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高中数学数列知识点总结(经典)

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数列基础知识点和方法归纳 1. 等差数列的定义与性质 定义：1nnaad（d为常数），11naand

等差中项：xAy，，成等差数列2Axy

前n项和11122nnaannnSnad 性质：na是等差数列 （1）若mnpq，则mnpqaaaa； （2）数列12212,,nnnaaa仍为等差数列，232nnnnnSSSSS，，……仍为等差数列，公差为dn2； （3）若三个成等差数列，可设为adaad，，

（4）若nnab，是等差数列，且前n项和分别为nnST，，则2121mmmmaSbT

/ （5）na为等差数列2nSanbn（ab，为常数，是关于n的常数项为0的二

次函数） nS的最值可求二次函数2nSanbn的最值；或者求出na中的正、负分界

项， 即：当100ad，，解不等式组100nnaa可得nS达到最大值时的n值.

当100ad，，由100nnaa可得nS达到最小值时的n值. (6)项数为偶数n2的等差数列na，有 ),)(()()(11122212为中间两项nnnnnnnaaaanaanaanS ndSS奇偶，1nnaaSS偶奇. （7）项数为奇数12n的等差数列na，有 )()12(12为中间项nnnaanS，

naSS偶奇，1nnSS偶奇.

- 2. 等比数列的定义与性质

定义：1nnaqa（q为常数，0q），11nnaaq.

等比中项：xGy、、成等比数列2Gxy，或Gxy.

前n项和：11(1)1(1)1nnnaqSaqqq（要注意！） 性质：na是等比数列 （1）若mnpq，则mnpqaaaa·· （2）232nnnnnSSSSS，，……仍为等比数列,公比为nq. 注意：由nS求na时应注意什么 1n时，11aS； 2n时，1nnnaSS. ） 3．求数列通项公式的常用方法 （1）求差（商）法 如：数列na，12211125222nnaaan……，求na 解 1n时，112152a，∴114a ① 2n时，12121111215222nnaaan…… ②

①—②得：122nna，∴12nna，∴114(1)2(2)nnnan ［练习］数列na满足111543nnnSSaa，，求na 注意到11nnnaSS，代入得14nnSS；又14S，∴nS是等比数列，4nnS 2n时，1134nnnnaSS……· （2）叠乘法 《 如：数列na中，1131nnanaan，，求na

解 3212112123nnaaanaaan·……·……，∴11naan又13a，∴3nan

.

（3）等差型递推公式 由110()nnaafnaa，，求na，用迭加法

2n时，21321(2)(3)()nnaafaafaafn…………两边相加得1(2)(3)()naafffn…… ∴0(2)(3)()naafffn…… ［练习］数列na中，111132nnnaaan，，求na

（1312nna）

（4）等比型递推公式

1nnacad（cd、为常数，010ccd，，）

可转化为等比数列，设111nnnnaxcaxacacx 【 令(1)cxd，∴1dxc，∴1ndac是首项为11dacc，为公比的等比数列

∴1111nnddaaccc·，∴1111nnddaaccc （5）倒数法 如：11212nnnaaaa，，求na 由已知得：1211122nnnnaaaa，∴11112nnaa ∴1na为等差数列，111a，公差为12，∴11111122nnna·， ∴21nan (

附：

公式法、利用1(2)1(1)nnSSnSnna、累加法、累乘法.构造等差或等比1nnapaq

或1()nnapafn、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法 。 ) 4. 求数列前n项和的常用方法 (1) 裂项法 把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.

如：na是公差为d的等差数列，求111nkkkaa

解：由11111110kkkkkkdaaaaddaa· ∴11111223111111111111nnkkkkkknnaadaadaaaaaa……

11111ndaa



［练习］求和：111112123123n………… 121nnaSn…………，

· （2）错位相减法 若na为等差数列，nb为等比数列，求数列nnab（差比数列）前n项和，可由

nnSqS，求nS，其中q为nb的公比.

如：2311234nnSxxxnx…… ① 23412341nnnxSxxxxnxnx·…… ②

①—②2111nnnxSxxxnx……

1x时，2111nnnxnxSxx，1x时，11232nnnSn…… （3）倒序相加法 把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.

121121nnnnnnSaaaaSaaaa

……

……相加12112nnnnSaaaaaa……

［练习］已知22()1xfxx，则 ` 111(1)(2)(3)(4)234fffffff



由2222222

111()111111xxx

fxfxxxxx







∴原式11111(1)(2)(3)(4)111323422fffffff (附： a.用倒序相加法求数列的前n项和 如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。

b.用公式法求数列的前n项和 对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。

c.用裂项相消法求数列的前n项和 裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。

' d.用错位相减法求数列的前n项和

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。

e.用迭加法求数列的前n项和 迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an ，从而求出Sn。

f.用分组求和法求数列的前n项和 所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。

g.用构造法求数列的前n项和 所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。 )

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高中数学数列知识点总结(经典)

高中数学数列知识点总结(经典)

数列基础知识点和方法归纳1. 等差数列的定义与性质定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+ 前n 项和()()11122n n a a n n n S nad +-==+性质：{}n a 是等差数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；（3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，， （4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）2. 等比数列的定义与性质定义：1n na q a +=（q 为常数，0q ≠），11n n a a q -=.等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G =前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（要注意！）性质：{}n a 是等比数列（1）若m n p q +=+，则mn p q a a a a =·· （2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q . 注意：由n S 求n a 时应注意什么？1n =时，11a S =； 2n ≥时，1n n n a S S -=-. 3．求数列通项公式的常用方法 （1）求差（商）法如：数列{}n a ，12211125222n n a a a n +++=+……，求n a解 1n =时，112152a =⨯+，∴114a = ①2n ≥时，12121111215222n n a a a n --+++=-+…… ②①—②得：122n n a =，∴12n n a +=，∴114(1)2(2)n n n a n +=⎧=⎨≥⎩［练习］数列{}n a 满足111543n n n S S a a +++==，，求n a注意到11n n n a S S ++=-，代入得14n nS S +=；又14S =，∴{}n S 是等比数列，4n n S =2n ≥时，1134n n n n a S S --=-==……· （2）叠乘法如：数列{}n a 中，1131n n a na a n +==+，，求n a解3212112123n n a a a n a a a n --=·……·……，∴11n a a n=又13a =，∴3n a n =. （3）等差型递推公式由110()n n a a f n a a --==，，求n a ，用迭加法2n ≥时，21321(2)(3)()n n a a f a a f a a f n --=⎫⎪-=⎪⎬⎪⎪-=⎭…………两边相加得1(2)(3)()n a a f f f n -=+++……∴0(2)(3)()n a a f f f n =++++…… ［练习］数列{}n a 中，()111132n n n a a a n --==+≥，，求n a （()1312nn a =-）（4）等比型递推公式1n n a ca d -=+（c d 、为常数，010c c d ≠≠≠，，）可转化为等比数列，设()()111n n n n a x c a x a ca c x --+=+⇒=+- 令(1)c x d -=，∴1d x c =-，∴1n d a c ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是首项为11d a c c +-，为公比的等比数列 ∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭·，∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫=+- ⎪--⎝⎭（5）倒数法 如：11212nn n a a a a +==+，，求n a 由已知得：1211122n n n n a a a a ++==+，∴11112n n a a +-= ∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，111a =，公差为12，∴()()11111122n n n a =+-=+·， ∴21n a n =+4. 求数列前n 项和的常用方法(1) 裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：{}n a 是公差为d 的等差数列，求111nk k k a a =+∑解：由()()11111110k k k k k k d a a a a d d a a ++⎛⎫==-≠ ⎪+⎝⎭·∴11111223111*********nnk k k k k k n n a a d a a d a a a a a a ==+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑…… 11111n d a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭［练习］求和：111112123123n+++++++++++ (1)21n n a S n ===-+…………，（2）错位相减法若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，求数列{}n n a b （差比数列）前n 项和，可由n n S qS -，求n S ，其中q 为{}n b 的公比.如：2311234n n S x x x nx -=+++++……①()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·……②①—②()2111n n n x S x x x nx --=++++-……1x ≠时，()()2111nnnx nx S xx -=---，1x =时，()11232n n n S n +=++++=…… （3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++⎫⎬=++++⎭…………相加()()()12112n n n n S a a a a a a -=++++++……［练习］已知22()1x f x x =+，则111(1)(2)(3)(4)234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由2222222111()111111x x x f x f x x x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+=+= ⎪+++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴原式11111(1)(2)(3)(4)111323422f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦。

高中数学数列知识点总结(精华版)

高中数学数列知识点总结(精华版)

一、数列1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. ⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．⑵在数列中同一个数可以重复出现． ⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念．⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =.3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式. 4.数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ②⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n nn .5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1. ③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 1、已知*2()156n n a n N n =∈+，则在数列{}na 的最大项为__（答：125）； 2、数列}{n a 的通项为1+=bn ana n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（答：n a <1+n a ）；3、已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）；4、一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（）（答：A ）二、 等差数列1、 等差数列的定义：如果数列{}a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。

数列知识点总结(高中数学)

数列知识点总结(高中数学)

数列知识点总结 数列的概念与简单表示法知识点一、数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。

数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项（通常称为首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项，所以数列的一般形式可以写成： ,,,,,,321 n a a a a简记为{}n a 。

项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列。

1.从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列； 2.从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列； 3.各项相等的数列叫做常数列；4.从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它前一项的数列叫做摆动数列； 知识点二、通项公式如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。

知识点三、数列的前n 项和1.数列的前n 项和的定义：我们把数列{}n a 从第一项起到第n 项止的各项之和，称为数列{}n a 的前n 项和，记作n S ，即n n a a a S +++= 21。

2.数列前n 项和n S 与通项公式n a 之间的关系：⎩⎨⎧≥-==-.2,,1,11n S S n S a n n n等差数列知识点一、等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

知识点二、等差中项有三个数b A a ,,组成的等差数列可以看成简单的等差数列，这时A 叫做b a 与的等差中项。

1.根据等差中项的定义：b A a ,,是等差数列，则2b a A +=；反之，若2ba A +=，则b A a ,,是等差数列。

2.在等差数列{}n a 中，任取相邻的三项()*+-∈≥N n n a a a n n n ,2,,11，则n a 是1-n a 与1+n a 的等差中项；反之，n a 是1-n a 与1+n a 的等差中项对一切*∈≥N n n ,2均成立，则数列{}n a 是等差数列。

高中数学数列知识点总结

高中数学数列知识点总结

高中数学数列知识点总结一、数列的概念数列是由一系列按照一定规律排列的数构成的序列。

其中，数列中的每一个数称为该数列的项，而数列的顺序不同，项的值也可能不同。

二、数列的表示方法数列常用的表示方法有两种： 1. 列举法：将数列的各项按照一定顺序列举出来，使用逗号将它们分隔开。

例如：1, 2, 3, 4, 5, … 2. 通项公式法：通过一个固定的公式，可以计算数列中任意位置的项。

例如：an = 2n+1，其中an表示数列中的第n项。

三、等差数列等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。

常用的表示方法是an = a1 + (n-1)d，其中a1表示首项，d表示公差，n表示项数。

等差数列的常用性质有： - 公差d的求法：d = a2 - a1 = a3 - a2 = … - 第n项的求法：an = a1 + (n-1)d - 前n项和的求法：Sn = n/2*(a1 + an) - 通项公式的推导：根据前两项之差和前两项之和的关系，可以推导出等差数列的通项公式。

四、等比数列等比数列是指数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。

常用的表示方法是an = a1 * r^(n-1)，其中a1表示首项，r表示公比，n表示项数。

等比数列的常用性质有： - 公比r的求法：r = a2 / a1 = a3 / a2 = … - 第n项的求法：an = a1 * r^(n-1) - 前n项和的求法：Sn = (a1 * (1-r^n)) / (1-r) - 通项公式的推导：根据前两项之比和前两项之积的关系，可以推导出等比数列的通项公式。

五、数列求和公式的推导数列求和公式是指在一定条件下，通过一定的数学推导可以得到数列前n项和的公式。

常见的数列求和公式有等差数列求和公式和等比数列求和公式。

1. 等差数列求和公式设有等差数列a1, a2, a3, …, an，且首项为a1，末项为an，项数为n，公差为d，则等差数列的前n项和为Sn = n/2*(a1 + an)。