数列知识点总结
第一部分 等差数列
一 定义式： 1n n a a d --=
二 通项公式：n a 1()(1)m a n m d a n d
=+-⎧⎨=+-⎩ 一个数列是等差数列的等价条件：b an a n +=(a ，b 为常数)，即n a 是关于n 的一次函数，因为n Z ∈，所以n a 关于n 的图像是一次函数图像的分点表示形式。
三 前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=na =中间项 1(1)2
n n na d -=+ 一个数列是等差数列的另一个充要条件：bn an S n +=2(a ，b 为常数，a ≠0)，即n S 是关于
n 的二次函数，因为n Z ∈，所以n S 关于n 的图像是二次函数图像的分点表示形式。
四 性质结论
1.3或4个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置，
如：3个数a-d,a,a+d ； 4个数a-3d,a-d,a+d,a+3d
2.a 与b 的等差中项2
a b A +=； 在等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则
m n p q a a a a +=+；若2m n p +=，则2m n p a a a +=；
3.若等差数列的项数为2()
+∈N n n ，则，奇偶nd S S =- 1
+=n n a a S S 偶奇
； 若等差数列的项数为()+∈-N n n 12，则()n n a n S 1212-=-，且n a S S =-偶奇，1
-=n n S S 偶奇 4.凡按一定规律和次序选出的一组一组的和仍然成等差数列。设12,n A a a a =++⋯+，122n n n B a a a ++=++⋯+，
21223n n n C a a a ++=++⋯+，则有C A B +=2；
5.10a >,m n S S =,则前2m n S +(m+n 为偶数)或12
m n S +±(m+n 为奇
数)最大
第二部分 等比数列
一 定义：1
(2,0,0){}n n n n a q n a q a a -=≥≠≠⇔成等比数列。 二 通项公式：11-=n n q a a ，n m n m a a q -=
数列{a n }是等比数列的一个等价条件是：
(1),(0,01n n S a b a b =-≠≠，）当0q >且0q ≠时，
n a 关于n 的图像是指数函数图像的分点表示形式。
三 前n 项和：1111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q +=⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩
； (注意对公比的讨论)
四 性质结论：
1.a 与b 的等比中项
G 2
G ab G ⇔=⇔=(,a b 同号)；
2.在等比数列{}n a 中，若m n p q +=+，则m n p q a a a a ⋅=⋅；
若2m n p +=，则2
m n p a a a ⋅=；
3.设12,n A a a a =++⋯+，122n n n B a a a ++=++⋯+， 21223n n n C a a a ++=++⋯+， 则有2B A C =⋅
第三部分 求杂数列通项公式n a
一． 构造等差数列：递推式不能构造等比时，构造等差数列。
第一类：凡是出现分式递推式都可以构造等差数列来求通项公式， 例如：
11
2111-=----n n n a a a ， 两边取倒数}11{112111-⇒-=+-⇒-n n n a a a 是公差为2的等差数列)1(21
1111-+-=-⇒n a a n ，从而求出n a 。 第二类：
221(1)(1)n n n a n a n n ---=-⇒
1111n n n n a a n n -+-=⇒-1n n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是公差为1的等差数列 1111211
n n n n a a a n n ++⇒=⇒=+ 二。递推：即按照后项和前项的对应规律，再往前项推写对应式。
例如()1211n n n n n a na a n n a a n a --=⇒=-⇒⋅⋅⋅⋅=!
【注: !(1)(2)1n n n n =--】
求通项公式n a 的题，不能够利用构造等比或者构造等差求n a 的时候，一般通过递推来求n a 。
第四部分 求前n 项和n S
一 裂项相消法：
1111122334111111111()()()()122334111111
n n n n n n n ++++=⋅⋅⋅+-+-+-++-+=-=++（）、11111,2,3,4,n 39278111111234392781+的前和是：（++++）+（+++） 二 错位相减法：凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法，
求：
23n-2n-1n n S =x 3x 5x (2n-5)x (2n-3)x (2n-1)x (x 1)
+++
+++≠23n-2n-1n n S =x 3x 5x (2n-5)x (2n-3)x (2n-1)x (x 1)+++
+++≠① 234
n-1n n+1n xS =x 3x 5x (2n-5)x (2n-3)x (2n-1)x (x 1)+++++≠②
①减②得： ()()()
()23n-1n n+1n 2n-1n+1(1x)S =x 2x 2x 2x 2x 2n 1x 2x 1x x 2n 1x 1x -+++++---=+---
从而求出n S 。
错位相减法的步骤：
(1)将要求和的杂数列前后各写出三项，列出①式
(2)将①式左右两边都乘以公比q ，得到②式
(3)用①-②，错位相减
(4)化简计算
三 倒序相加法：前两种方法不行时考虑倒序相加法
例：等差数列求和：
n 123n 2n 1n n n n 1n 2321S =a a a a a a S =a a a a a a ----+++
+++++++++
两式相加可得： ()()()()()()
()n 1n 2n 13n 23n 22n 11n 1n n
2S =a a a a a a a a a a a a n a a S ----++++++++++++=+⇒
