第一节 常数项级数

第十一章 无穷级数

第一节 常数项级数的概念与性质

教学目标：

1、理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念.

2、掌握级数的基本性质及收敛的必要条件，掌握几何级数收敛和发散的条件.

课时安排：2课时

重点：1、 掌握级数收敛的充要和必要条件；

2、 掌握收敛级数的性质；

难点：级数概念及其敛散性

教学法：讲授法

一、问题的引出：

1、用正多边形的面积逼近园的面积；

①.S≈6A

②.S≈＋612AA

S≈＋61224....AAA++

S≈ 1621liminniA-=å

二、常数项无穷级数定义

1、定义: 设1u，2u，. . . 是常数列, 算式

简称为级数 。记为1nNu，称为一般项或通项。

2、部分和与部分数列.

① 部分和：前几项的和

②部分和数列：( )

③ 1nnnuss-=-

④ nnnn1ulimS¥==å

3、敛散定义（充要条件） ①设1nNu若limnnS ，称1nNu收敛，否则称发散。（判别敛散的方法）。

②若收敛，如何求和。（收敛，求和的方法）（求数列的极限）

1limnnnnSSu¥==å@

4、例子.

nnn1n1unSn1¥=+å=例 . 设 前项部分的和为

问：①.收敛否？ ………………………………………………（收敛）

②.若收敛，和为多少？ ……………………………（ 1 ）

③.写出（求出）该级数.

()()n1nnn1nn1n1n11SuSSnnn+11unn1--ゥ==-=\=-=\=+邋

例 2. 判别 ()n11nn1¥=+å 是否收敛，若收敛，求和。(用定义)。

()n111 1 S...1223nn1=+++创+解：）.

()()()111111...223nn1=-+-++-+

第一节 常数项级数的概念与性质

一、选择题

1. 记Sn =niiu1, 则SSnnlim存在是级数1nnu收敛的 ( )

A. 充要条件; B. 充分条件; C. 必要条件; D. 既非充分又非必要条件.

2. 若级数1nnu收敛, 则下列级数中不收敛的是 ( )

A. 12nnu; B. 1)2(nnu; C. 2 + 1nnu; D. knnu.

3. 0limnna是无穷级数1nna收敛的 ( )

A. 充分而非必要条件; B. 必要而非充分条件;C. 充分必要条件; D. 既非充分也非必要条件.

4. 设a是非零常数, 则当|q|<1时, 级数0)1(nnnaq收敛于 ( )

A. q11; B. q11; C. qa1 ; D. qa1.

5. 设Sn = a1 + a2 + … + an, 而无穷级数1nna收敛, 则下列说法正确的是 ( )

A. 0limnnS; B. nnSlim存在; C. nnSlim可能不存在; D. {Sn}为单调数列.

二、填空题

1. 设常数项级数1,2002nna 则nnalim .

2. 已知无穷级数1!nnnn收敛, 则nnnn!lim=__________ .

3. 若aunnlim, 则级数11)(nnnuu= .

三、解答题

1. 判断下列级数的敛散性.

(1) 111nnn; (2) nnn98)1(9898983322;

(3) 1)3121(nnn; (4) 1)122(nnnn.

n 1 n 1

§ 11-2 常数项级数的审敛法

一、正项级数及其审敛法

正项级数： Un Un 0 ⑴

n 1

显然，部分和数列sn单调增加：s1 s2 Sn . sn

1.收敛准则

定理1正项级数 Un收敛部分数列Sn有界.

n 1

n

例1判别正项级数 亠的收敛性

定理2设 Un和 Vn都是正项级数，且Un V. (n

n 1 n 1

则 Un收敛；反之,

n 1 若 Un发散，则 Vn发散.

n 1 n 1

分析: Vn

n 1 ，贝U Un的部分和

n 1

Sn U1 U2 Un V1 V2 Vn (n 1,2, ),

即Sn有界，由TH1知 Un收敛。反之，设

n 1 Un发散，则

n 1 Vn

n 1 必发散.因为若

Vn收敛，由上面已证结论知 Un也收敛，与假设矛盾 n

1

1

解「 sin 2

22

22

1 1

I 2n

1 1

2 2

Sin2n 1 1 1

2n 2 22 2n

1有上界 级数收敛

1,2,).若 Vn收敛,

n 1 2.比较审敛法 推论 设 Un和 Vn都是正项级数，如果级数 Vn收敛，且存在自然数 N,使

n 1 n 1

kvn (k 0)成立，则级数 un收敛；如果级数 vn发散，且当n N

n 1 n 1

分析：因为级数的每一项同乘不为零的常数 k，以及去掉级数前面的有限项不会 影响级数的收敛性.

注：比较审敛法的：必须有参考级数。常用：几何级数， p —级数(调级数)

例3判别下列级数的敛散性. 当n N时有Un

时有 un kvn (k 0)成立,则级数 Un发散.

n 1

例2讨论p —级数 ⑵的收敛性，其中常数p>0.

1，当n 则書

n时, 1

丄，但调和级数发散，故级数(2)发散.

n

有

1

np I

n 1np 2dx

x (n np 1 n 2,3,

考虑级数 (n 1) 级数(3)的部分和

sn 1

2卩1 1

3p 1 1 =1 1

丄，Sn=1」+ —-+_—=1——T1(nT^

(n +1! 2! 2! 3! n! (n +1 ) (n +1)第九讲：无穷级数

一、 常数项级数

1、概念与性质：

（1） 数列tuj中的各项用加号连接的形式： U1+U2 +■… □c

+ u n +…=2 Un称为无穷项

n 二1

数项级数，第n项称为一般项（通项）。

n oc

数列sn =送Un称为级数s Un的前n项之和 （部分和） ，若nmsn = S，则称级数

Z Un的和为S，级数艺Un收敛；若lim Sn不存在, n£ ni F 则称级数 送Un发散。

n4

oC oC

若级数2 Un收敛，rn =S-Sn称为级数送Un n 二 n 二 的余项，lim rn =

0。

n_jpc

例1判定下列级数的敛散性:

解：Un =ln 1 中一1 = 1 n(n +1 )-|n n ， V n丿

Sn = In2-In1+In 3- I n2+…+ln(1+n)-lnn=ln(1 + nl 处(nT 处

故S In

nd： 〔1+1 ］发散;

V n丿

解: Un

□c

故 2(n +1! 收敛;

③调和级数：2 1 ；

n# n n!

(2) 性质:

ii、改变级数的有限项，不会改变级数的敛散性;

□C OC

推论：送Un与无Un同敛散;

n=1 n =N +

边 1

巳― +

[(2k -1 2(2k 门 1—Lh . J ,

I k#(2k-1f 4 +1Q 1 < 1

解：由一 >1 n |1 + — 1 = 1 n (n

+1 )_|n n , n I n丿

1 1

S^ =1 +- +…+— >1 n2 - In1 + ln 3-1 n2 +…+ln(n +1)—1 n n = ln(n + 1

□C 1

（nT处），故级数2 —发散。

n4 n

④几何级数: Z aq

nA 4-q'

发散, de

q >1

⑤p —级数: £1-