导数的计算学案

导数学案(完整版)精心

选修〔 1-1〕第三章 导数及其应用

课题： §3.1 变化率与导数

学习目标： 1. 认识函数的均匀变化率、刹时变化率的观点；

2. 理解导数的观点，理解、掌握导数的几何意义

3. 会利用定义求函数在某一点周边的均匀变化率及导数；

4. 会利用定义求函数在某点处的切线方程.

学习过程：

一、变化率问题

[ 开篇思虑 ]：阅读开篇语，认识课程目标

1. 微积分的创办与自然科学中的哪些问题的办理直接有关？

2. 导数的研究对象是什么？

[ 问题研究一 ]：气球膨胀率

吹气球时，跟着气球内空气容量的增添，气球的半径增添得愈来愈慢。从数学的角度如何描绘这类现象 ? 阅读教材 P72 并思虑：

〔 1〕问题中波及到的两个变量分别是 、 ，这

两个变量间的函数关系是 ；

（ 2〕 “气球的半径增添得愈来愈慢 〞的意思是 “ 〞，从数学角度进行描绘就是 “ 适用标准文案

当空气容量从 2.5 L 增添到 4 L 时，气球半径 r 增添了 ，气球的均匀

膨胀率为 ；

能够看出，跟着气球体积渐渐变大，它的均匀膨胀率渐渐 .

〔 4〕思虑：当空气容量从 V1 增添到 V2 时，气球的均匀膨胀率是

[问题研究二 ]：高台跳水

在高台跳水运动中，运发动相对于水面的高度 h(单位：米 )与起跳后的时间 t〔单位：秒〕存在函

数关系

) t 2 t

10

h t

如何用运发动在某些时间段内的均匀速度大略地描绘其运动状态？ (

阅读教材 P73 并思虑： h

假定用运发动在某段时间 t1 , t 2 内的均匀速度 v 描绘其运动状态，

那么：〔 1〕 v = ；

〔 2〕算一算：

在 0 t 0.5 这段时间内， v =

o t

在 1 t 2 这段时间内， v = t1 t2

在 0 t 65 这段时间内， v =

课前案

一、教学目标：1. 理解导数的概念及其几何意义；2. 掌握用导数的概念求简单函数在某点处的导数及曲线的切线问题.

二、教学重难点：1. 教学重点：导数的概念及利用导数概念求导数、导数的几何意义及其应用.

2. 教学难点：导数的概念及其几何意义的理解.

三、教材梳理：1. 导数的概念

对于函数()yfx，设自变量x从0x变化到0xx，相应地，函数值y就从0()fx变化到0(Δ)fxx.这时，x的变化量为Δx，y的变化量为00Δ(Δ)()yfxxfx.我们把比值ΔΔyx，即Δ_________________Δyx叫做函数()yfx从0x到0xx的平均变化率.

如果当Δ0x时，平均变化率ΔΔyx无限趋近于一个确定的值，即ΔΔyx有极限，则称()yfx在0xx处可导，并把这个确定的值叫做()yfx在0xx处的导数（也称为瞬时变化率），记作0()fx或0xxy，即0Δ0Δ()lim____________________Δxyfxx.

2. 导数的几何意义

平均变化率00(Δ)()ΔΔΔfxxfxyxx表示割线0PP的斜率.

函数()yfx在0xx处的导数0()fx就是切线0PT的斜率0k，即0000Δ0(Δ)()lim()Δxfxxfxkfxx.这就是导数的几何意义.

函数()yfx在0xx处的切线方程为： 。

3.导函数：''____________________fxy。

课中案

例1 （1）设1()fxx，求(1)f. （2）()fxx，求(1)f.

例2 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设st时汽车的速度（单位：m/s）为2()660yvttt，求汽车在第2 s与第6 s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.

例3 如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数2()4.94.811httt的图象.根据图象，请描述、比较曲线()ht在012tttt，，附近的变化情况.

3.1导数概念 单元教学设计

一、教案头

单元标题： 导数概念 单元教学学时 4

在整体设计中的位置 第15、16次

授课班级 上课地点

教学 目标 实力目标 学问目标 素养目标

➀能够变速直线运动速度、切线斜率

➁能够抽象出导数概念

➂能够利用导数概念计算导数

➃能够计算高阶导数

➄能够总结基本函数的导数运算公式 导数概念

左右导数

计算导数 ➀深刻思维实力

➁团结合作实力

➂语言表达实力

实力训练任务

及案例 任务1 理解变速直线运动速度、切线斜率

任务2 抽象导数概念

任务3 简洁计算导数、高阶导数

任务4 总结基本函数的导数运算公式

案例1（电流强度模型） 电流强度模型 设在时间]t[0,0这段时间内通过导线横截面的电流是)(tQQ，利用导数概念分析电流强度

案例2 （细杆的线密度模型） 设一根质量非匀称分布的细杆放在x轴上，在[0]上的质量是x的函数(x),求杆上点0x处的线密度 教学 材料 高等数学教材 侯风波主编 高等教化出版社

高等数学习题集 张天德主编 山东科技出版社

高等数学应用205例 李心灿主编高等教化出版社

经济数学基础 顾静相主编 高等教化出版社 二、教学设计

步骤 教学内容 教学方法 教学手段 学生活动 时间

安排

1

（告知） 本单元学习目标：

瞬时速度，切线斜率

导数概念，高阶导数 陈述 板书 识记 5分钟

2

（引入

任务1） （1）瞬时速度

设一个物体的路程和时间的函数是(t)，试探讨在时刻0t时的瞬时速度

tsttstvt(t)-)(lim000

（2）切线斜率

函数(x)在0x处的切线斜率

xfxxfx(x)-)(limtan00

α+ΔxTx0x0M(x0,f(x0))M1N 老师画图讲解 老师提示 学生仔细听讲

分组研讨 50分钟

3

（任务2） 导数

通过任务2，抽象出随意函数(x)在0x的导数概念

00000-)(-)(lim(x)-)(lim0xxxfxfxsxxfxfxxx 老师启发讲解

高二选修2-2

导学案审校：

简单复合函数的导数

【自主学习】

1.常见函数的导数

__)(bkxC

______

x

=_______)(sinx

=________)(cosx

_______

)(xa

=___________)(logx

a=__________)(xe

=_______)(lnx

=_____________

2.函数的和、差、积、商的导数.

法则1

)()(xgxf

=___________

)()(xgxf

=______________

法则2

))()((xgxf

=________________________,))((xcf

=___________

法则3)(

vu

=_______________________)0(v

3.复合函数:由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数)(ufy

与)(xu

复

合而成的函数一般形式是)]([xfy

，其中u称为中间变量．

【问题探究】

1.求函数2)13(xy

的导数。

方法一：将

xyxy的导数记为关于

则方法二：将2)13(xy

看成有2uy

及



xy13xu

复合而成，则



xy

2.求xy2sin

的导数。（用两种方法）

由问题探究，我们有简单的复合函数的求导法则是：

若baxuufy),(

，则

xuxuyy.

,即ayy

ux.

3.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．

4.试说明下列函数是怎样复合而成的？

⑴32)2(xy

；⑵2sinxy

；⑶)

4cos(xy

；⑷)13sin(lnxy

．

5.写出由下列函数复合而成的函数：

⑴uycos

，21xu

；⑵uyln

，xuln

．高二选修2-2 导学案编写：审校：

【典型例题】

【例1】

求下列函数的导数求下列函数的导数

⑴2)32(xy

⑵3)31(xy

⑶)15ln(xy

⑷xey2

⑸

131



xy

⑹)21cos(xy