(完整版)函数的极值与导数导学案(最新整理)

§3.3导数与函数的极值、最值学习目标1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值．知识梳理1．函数的极值(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．2．函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．常用结论对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值．(×)(2)函数的极小值一定是函数的最小值．(×)(3)函数的极小值一定不是函数的最大值．(√)(4)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点．(×)教材改编题1．如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析 由题意知只有在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正．2．函数f (x )＝x 3－ax 2＋2x －1有极值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－6]∪[6，＋∞)B ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)C ．(－6，6)D ．[－6，6]答案 B解析 f ′(x )＝3x 2－2ax ＋2，由题意知f ′(x )有变号零点，∴Δ＝(－2a )2－4×3×2>0， 解得a >6或a <－ 6.3．若函数f (x )＝13x 3－4x ＋m 在[0,3]上的最大值为4，则m ＝________. 答案 4解析 f ′(x )＝x 2－4，x ∈[0,3]，当x ∈[0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2,3]时，f ′(x )>0，所以f (x )在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增．又f (0)＝m ，f (3)＝－3＋m .所以在[0,3]上，f (x )max ＝f (0)＝4，所以m ＝4.题型一 利用导数求函数的极值问题命题点1 根据函数图象判断极值例1 (2022·广州模拟)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(x －1)f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )A ．函数f (x )有极大值f (－3)和f (3)B ．函数f (x )有极小值f (－3)和f (3)C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3)D．函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)答案 D解析由题图知，当x∈(－∞，－3)时，y>0，x－1<0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－3,1)时，y<0，x－1<0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1,3)时，y>0，x－1>0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(3，＋∞)时，y<0，x－1>0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减．所以函数有极小值f(－3)和极大值f(3)．命题点2求已知函数的极值例2已知函数f(x)＝x－1＋ae x(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值．解(1)因为f(x)＝x－1＋ae x，所以f′(x)＝1－ae x，又因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝0，即1－ae1＝0，所以a＝e.(2)由(1)知f′(x)＝1－ae x，当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，因此f(x)无极大值与极小值；当a>0时，令f′(x)>0，则x>ln a，所以f(x)在(ln a，＋∞)上单调递增，令f′(x)<0，则x<ln a，所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，故f(x)在x＝ln a处取得极小值，且f(ln a)＝ln a，但是无极大值，综上，当a≤0时，f(x)无极大值与极小值；当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，但是无极大值．命题点3已知极值(点)求参数例3(1)(2022·大庆模拟)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＋b等于()A ．－7B ．0C ．－7或0D ．－15或6答案 A 解析 由题意知，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，可得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为f (x )在x ＝1处取得极值10，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3， 检验知，当a ＝－3，b ＝3时，可得f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，此时函数f (x )单调递增，函数无极值点，不符合题意；当a ＝4，b ＝－11时，可得f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)，当x <－113或x >1时， f ′(x )>0，f (x )单调递增；当－113<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x ＝1时，函数f (x )取得极小值，符合题意．所以a ＋b ＝－7.(2)(2022·南京模拟)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )在区间(0，＋∞)上有两个极值，则实数a 的取值范围为( )A ．(0，e)B.⎝⎛⎭⎫0，1eC.⎝⎛⎭⎫0，12 D.⎝⎛⎭⎫0，13 答案 C解析 f ′(x )＝ln x －ax ＋x ⎝⎛⎭⎫1x －a＝ln x ＋1－2ax ，由题意知ln x ＋1－2ax ＝0在(0，＋∞)上有两个不相等的实根，2a ＝ln x ＋1x， 设g (x )＝ln x ＋1x， 则g ′(x )＝1－(ln x ＋1)x 2＝－ln x x 2.当0<x <1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，所以g (x )的极大值为g (1)＝1，又当x >1时，g (x )>0，当x →＋∞时，g (x )→0，当x →0时，g (x )→－∞，所以0<2a <1，即0<a <12. 教师备选 1．(2022·榆林模拟)设函数f (x )＝x cos x 的一个极值点为m ，则tan ⎝⎛⎭⎫m ＋π4等于( ) A.m －1m ＋1B.m ＋1m －1C.1－m m ＋1D.m ＋11－m 答案 B解析 由f ′(x )＝cos x －x sin x ＝0，得tan x ＝1x ，所以tan m ＝1m， 故tan ⎝⎛⎭⎫m ＋π4＝1＋tan m 1－tan m ＝m ＋1m －1. 2．已知a ，b ∈R ，若x ＝a 不是函数f (x )＝(x －a )2(x －b )·(e x －1－1)的极小值点，则下列选项符合的是( )A ．1≤b <aB ．b <a ≤1C ．a <1≤bD ．a <b ≤1 答案 B解析 令f (x )＝(x －a )2(x －b )(e x －1－1)＝0，得x 1＝a ，x 2＝b ，x 3＝1.下面利用数轴标根法画出f (x )的草图，借助图象对选项A ，B ，C ，D 逐一分析．对选项A ，若1≤b <a ，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意； 对选项B ，若b <a ≤1，由图可知x ＝a 不是f (x )的极小值点，符合题意； 对选项C ，若a <1≤b ，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意； 对选项D ，若a <b ≤1，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意． 思维升华 根据函数的极值(点)求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)验证：求解后验证根的合理性．跟踪训练1 (1)(2022·长沙模拟)若x ＝1是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，则f (x )的极大值为( )A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3D ．1 答案 C解析 因为f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，故可得f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝e x －1[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]，因为x ＝1是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，故可得f ′(1)＝0，即2a ＋2＝0，解得a ＝－1.此时f ′(x )＝e x －1(x 2＋x －2)＝e x －1(x ＋2)(x －1)．令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝1，由f ′(x )>0可得x <－2或x >1；由f ′(x )<0可得－2<x <1，所以f (x )在区间(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故f (x )的极大值点为x ＝－2.则f (x )的极大值为f (－2)＝(4＋2－1)e －3＝5e －3.(2)(2022·芜湖模拟)函数f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)在⎣⎡⎦⎤12，3上有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫52，103B.⎣⎡⎭⎫52，103C.⎝⎛⎦⎤52，103D.⎣⎡⎦⎤2，103 答案 B解析 ∵f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)， ∴f ′(x )＝1x＋x －a ， ∵函数f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)在⎣⎡⎦⎤12，3上有且仅有一个极值点， ∴y ＝f ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，3上只有一个变号零点．令f ′(x )＝1x ＋x －a ＝0，得a ＝1x＋x . 设g (x )＝1x ＋x ，则g (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，在[1,3]上单调递增，∴g (x )min ＝g (1)＝2，又g ⎝⎛⎭⎫12＝52，g (3)＝103， ∴当52≤a <103时，y ＝f ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，3上只有一个变号零点． ∴实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫52，103.题型二 利用导数求函数最值例4 已知函数g (x )＝a ln x ＋x 2－(a ＋2)x (a ∈R )．(1)若a ＝1，求g (x )在区间[1，e]上的最大值；(2)求g (x )在区间[1，e]上的最小值h (a )．解 (1)∵a ＝1，∴g (x )＝ln x ＋x 2－3x ，∴g ′(x )＝1x ＋2x －3＝(2x －1)(x －1)x， ∵x ∈[1，e]，∴g ′(x )≥0，∴g (x )在[1，e]上单调递增，∴g (x )max ＝g (e)＝e 2－3e ＋1.(2)g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝a x ＋2x －(a ＋2)＝2x 2－(a ＋2)x ＋a x＝(2x －a )(x －1)x. ①当a 2≤1，即a ≤2时，g (x )在[1，e]上单调递增，h (a )＝g (1)＝－a －1； ②当1<a 2<e ，即2<a <2e 时，g (x )在⎣⎡⎭⎫1，a 2上单调递减，在⎝⎛⎦⎤a 2，e 上单调递增，h (a )＝g ⎝⎛⎭⎫a 2＝a ln a 2－14a 2－a ； ③当a 2≥e ，即a ≥2e 时，g (x )在[1，e]上单调递减，h (a )＝g (e)＝(1－e)a ＋e 2－2e. 综上，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －a －1，a ≤2，a ln a 2－14a 2－a ，2<a <2e ，(1－e )a ＋e 2－2e ，a ≥2e.教师备选已知函数f (x )＝ln x －ax －2(a ≠0)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )有最大值M ，且M >a －4，求实数a 的取值范围．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由f (x )＝ln x －ax －2(a ≠0)可得f ′(x )＝1x－a ， 当a <0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1a， 所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时， f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 综上所述，当a <0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当a <0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无最大值，当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减， 所以当x ＝1a时，f (x )取得最大值， 即f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a －a ×1a－2 ＝ln 1a－3＝－ln a －3， 因此有－ln a －3>a －4，得ln a ＋a －1<0，设g (a )＝ln a ＋a －1，则g ′(a )＝1a＋1>0， 所以g (a )在(0，＋∞)上单调递增，又g (1)＝0，所以g (a )<g (1)，得0<a <1，故实数a 的取值范围是(0,1)．思维升华 (1)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值．(2)若所给的闭区间[a ，b ]含参数，则需对函数f (x )求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f (x )的最值．跟踪训练2 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)，设该蓄水池的底面半径为r米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大.解 (1)∵蓄水池的侧面的总成本为100×2πrh ＝200πrh (元)，底面的总成本为160πr 2元，∴蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．由题意得200πrh ＋160πr 2＝12 000π，∴h ＝15r (300－4r 2)．从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．由h >0，且r >0，可得0<r <5 3.故函数V (r )的定义域为(0,53)．(2)由(1)知V (r )＝π5(300r －4r 3)， 故V ′(r )＝π5(300－12r 2)，令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(舍)．当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上单调递增；当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上单调递减．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8，即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．课时精练1．若函数f (x )＝x 2＋2xe x 的极大值点与极小值点分别为a ，b ，则a ＋b 等于() A ．－4 B. 2C ．0D ．2答案 C解析 f ′(x )＝2－x 2e x ，当－2<x <2时，f ′(x )>0；当x <－2或x >2时，f ′(x )<0.故f (x )＝x 2＋2x ex 的极大值点与极小值点分别为2，－2， 则a ＝2，b ＝－2，所以a ＋b ＝0.2．如图是函数y ＝f (x )的导函数的图象，下列结论中正确的是( )A ．f (x )在[－2，－1]上单调递增B ．当x ＝3时，f (x )取得最小值C ．当x ＝－1时，f (x )取得极大值D ．f (x )在[－1,2]上单调递增，在[2,4]上单调递减答案 D解析 根据题图知，当x ∈(－2，－1)，x ∈(2,4)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；当x ∈(－1,2)，x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增．所以y ＝f (x )在[－2，－1]上单调递减，在(－1，2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，故选项A 不正确，选项D 正确；故当x ＝－1时，f (x )取得极小值，选项C 不正确；当x ＝3时，f (x )不是取得最小值，选项B 不正确．3．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2－3x 在x ＝2处取得极小值，则f (x )的极大值为( )A ．2B ．－52C ．3＋ln 2D ．－2＋2ln 2 答案 B解析 由题意得，f ′(x )＝2x＋2ax －3， ∵f (x )在x ＝2处取得极小值，∴f ′(2)＝4a －2＝0，解得a ＝12， ∴f (x )＝2ln x ＋12x 2－3x ， f ′(x )＝2x ＋x －3＝(x －1)(x －2)x ，∴f (x )在(0,1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，∴f (x )的极大值为f (1)＝12－3＝－52. 4．(2022·重庆联考)函数f (x )＝x ＋2cos x 在[0，π]上的最大值为( )A ．π－2B.π6 C ．2D.π6＋ 3 答案 D解析 由题意得，f ′(x )＝1－2sin x ，∴当0≤sin x ≤12，即x 在⎣⎡⎦⎤0，π6和⎣⎡⎦⎤5π6，π上时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增； 当12<sin x ≤1，即x 在⎝⎛⎭⎫π6，5π6上时， f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴f (x )有极大值f ⎝⎛⎭⎫π6＝π6＋3，有极小值f ⎝⎛⎭⎫5π6＝5π6－3，而端点值f (0)＝2，f (π)＝π－2，则f ⎝⎛⎭⎫π6>f (0)>f (π)>f ⎝⎛⎭⎫5π6， ∴f (x )在[0，π]上的最大值为π6＋ 3. 5．(多选)已知x ＝1和x ＝3是函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x ＋k (a ，b ∈R )的两个极值点，且函数f (x )有且仅有两个不同零点，则k 值为( )A ．－43B.43 C ．－1D ．0 答案 BD解析 f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3，依题意1,3是f ′(x )＝0的两个根， 所以⎩⎨⎧ 1＋3＝－2b 3a ，1×3＝－33a，解得a ＝－13，b ＝2. 故f (x )＝－13x 3＋2x 2－3x ＋k . 易求得函数f (x )的极大值为f (3)＝k 和极小值为f (1)＝－43＋k .要使函数f (x )有两个零点，则f (x )极大值k ＝0或f (x )极小值－43＋k ＝0， 所以k ＝0或k ＝43. 6．(多选)已知函数f (x )＝x ＋sin x －x cos x 的定义域为[－2π，2π)，则( )A ．f (x )为奇函数B ．f (x )在[0，π)上单调递增C ．f (x )恰有4个极大值点D ．f (x )有且仅有4个极值点答案 BD解析 因为f (x )的定义域为[－2π，2π)，所以f (x )是非奇非偶函数，故A 错误；因为f (x )＝x ＋sin x －x cos x ，所以f ′(x )＝1＋cos x －(cos x －x sin x )＝1＋x sin x ，当x ∈[0，π)时，f ′(x )>0，则f (x )在[0，π)上单调递增，故B 正确；显然f ′(0)≠0，令f ′(x )＝0，得sin x ＝－1x， 分别作出y ＝sin x ，y ＝－1x在区间[－2π，2π)上的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间[－2π，2π)上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故f (x )在区间[－2π，2π)上的极值点的个数为4，且f (x )只有2个极大值点，故C 错误，D 正确．7．(2022· 潍坊模拟)写出一个存在极值的奇函数f (x )＝________.答案 sin x (答案不唯一)解析 正弦函数f (x )＝sin x 为奇函数，且存在极值．8．(2021·新高考全国Ⅰ)函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的最小值为________．答案 1解析 函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的定义域为(0，＋∞)．①当x >12时，f (x )＝2x －1－2ln x ， 所以f ′(x )＝2－2x ＝2(x －1)x，当12<x <1时，f ′(x )<0， 当x >1时，f ′(x )>0，所以f (x )min ＝f (1)＝2－1－2ln 1＝1；②当0<x ≤12时，f (x )＝1－2x －2ln x 在⎝⎛⎦⎤0，12上单调递减， 所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－2ln 12＝2ln 2＝ln 4>ln e ＝1.综上，f (x )min ＝1. 9．已知函数f (x )＝ln x －2x －2x ＋1. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝f (x )－4＋a x ＋1＋2(a ∈R )，若x 1，x 2是函数g (x )的两个极值点，求实数a 的取值范围． 解 (1)由题知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －2(x ＋1)－2(x －1)(x ＋1)2＝(x －1)2x (x ＋1)2≥0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立， 当且仅当x ＝1时，f ′(x )＝0，所以f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间．(2)因为g (x )＝f (x )－4＋a x ＋1＋2＝ln x －a x ＋1， 所以g ′(x )＝1x ＋a (x ＋1)2＝x 2＋(2＋a )x ＋1x (x ＋1)2(x >0)． 由题意知x 1，x 2是方程g ′(x )＝0在(0，＋∞)内的两个不同的实数解．令h (x )＝x 2＋(2＋a )x ＋1，又h (0)＝1>0，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧－2－a >0，Δ＝(2＋a )2－4>0，解得a <－4，即实数a 的取值范围为(－∞，－4)． 10．(2022·珠海模拟)已知函数f (x )＝ln x －ax ，x ∈(0，e]，其中e 为自然对数的底数．(1)若x ＝1为f (x )的极值点，求f (x )的单调区间和最大值；(2)是否存在实数a ，使得f (x )的最大值是－3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 解 (1)∵f (x )＝ln x －ax ，x ∈(0，e]，∴f ′(x )＝1－ax x， 由f ′(1)＝0，得a ＝1.∴f ′(x )＝1－x x， ∴x ∈(0,1)，f ′(x )>0，x ∈(1，＋∞)，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e]；f (x )的极大值为f (1)＝－1，也即f (x )的最大值为f (1)＝－1.(2)∵f (x )＝ln x －ax ，∴f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x ， ①当a ≤0时，f (x )在(0，e]上单调递增，∴f (x )的最大值是f (e)＝1－a e ＝－3，解得a ＝4e >0，舍去；②当a >0时，由f ′(x )＝1x －a ＝1－axx ＝0，得x ＝1a ，当0<1a <e ，即a >1e 时，∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，e 时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，1a ，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫1a ，e ，又f (x )在(0，e]上的最大值为－3，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－1－ln a ＝－3，∴a ＝e 2；当e ≤1a ，即0<a ≤1e 时，f (x )在(0，e]上单调递增，∴f (x )max ＝f (e)＝1－a e ＝－3，解得a ＝4e >1e ，舍去．综上，存在a 符合题意，此时a ＝e 2.11．若函数f (x )＝(x 2－a )e x 的两个极值点之积为－3，则f (x )的极大值为() A.6e 3 B ．－2eC ．－2e D.4e 2答案 A解析 因为f (x )＝(x 2－a )e x ，所以f ′(x )＝(x 2＋2x －a )e x ，由f′(x)＝(x2＋2x－a)e x＝0，得x2＋2x－a＝0，由函数f(x)＝(x2－a)e x的两个极值点之积为－3，则由根与系数的关系可知，－a＝－3，即a＝3，所以f(x)＝(x2－3)e x，f′(x)＝(x2＋2x－3)e x，当x<－3或x>1时，f′(x)>0；当－3<x<1时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，－3)上单调递增，在(－3,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)的极大值为f(－3)＝6 e3.12．函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在区间[－1,2]上的最大值为3，最小值为－29(a>0)，则a，b的值为()A．a＝2，b＝－29 B．a＝3，b＝2C．a＝2，b＝3 D．以上都不对答案 C解析函数f(x)的导数f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，因为a>0，所以由f′(x)<0，计算得出0<x<4，此时函数单调递减，由f′(x)>0，计算得出x>4或x<0，此时函数单调递增，即函数在[－1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，即函数在x＝0处取得极大值同时也是最大值，则f(0)＝b＝3，则f(x)＝ax3－6ax2＋3，f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3，则f(－1)>f(2)，即函数的最小值为f(2)＝－16a＋3＝－29，计算得出a＝2，b＝3.13．(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则() A．a<b B．a>bC．ab<a2D．ab>a2答案 D解析当a>0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图1所示，观察可知b>a.图1当a <0时，根据题意画出函数f (x )的大致图象，如图2所示，观察可知a >b .图2综上，可知必有ab >a 2成立．14．(2022·河南多校联考)已知函数f (x )＝2ln x ，g (x )＝x ＋2，若f (x 1)＝g (x 2)，则x 1－x 2的最小值为______．答案 4－2ln 2解析 设f (x 1)＝g (x 2)＝t ，即2ln x 1＝t ，x 2＋2＝t ，解得x 1＝2e t ，x 2＝t －2，所以x 1－x 2＝2e t －t ＋2，令h (t )＝2e t －t ＋2，则h ′(t )＝21e 2t －1， 令h ′(t )＝0，解得t ＝2ln 2，当t <2ln 2时，h ′(t )<0，当t >2ln 2时，h ′(t )>0，所以h (t )在(－∞，2ln 2)上单调递减，在(2ln 2，＋∞)上单调递增，所以h (t )的最小值为h (2ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2＝4－2ln 2，所以x 1－x 2的最小值为4－2ln 2.15．(多选)已知函数f (x )＝x ln x ＋x 2，x 0是函数f (x )的极值点，以下几个结论中正确的是( )A ．0<x 0<1eB ．x 0>1eC ．f (x 0)＋2x 0<0D ．f (x 0)＋2x 0>0答案 AD解析 函数f (x )＝x ln x ＋x 2(x >0)，∴f ′(x )＝ln x ＋1＋2x ，∵x 0是函数f (x )的极值点，∴f ′(x 0)＝0，即ln x 0＋1＋2x 0＝0，∴f ′⎝⎛⎭⎫1e ＝2e >0，当x >1e时，f ′(x )>0， ∵当x →0时，f ′(x )→－∞，∴0<x 0<1e，即A 正确，B 不正确； f (x 0)＋2x 0＝x 0ln x 0＋x 20＋2x 0＝x 0(ln x 0＋x 0＋2)＝x 0(1－x 0)>0，即D 正确，C 不正确．16．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a ln x (a >0)．(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，x 1<x 2，不等式f (x 1)≥mx 2恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝2x －2＋a x ＝2x 2－2x ＋a x，x >0， 一元二次方程2x 2－2x ＋a ＝0的Δ＝4(1－2a )，①当a ≥12时，f ′(x )≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当0<a <12时，令f ′(x )＝0， 得x 1＝1－1－2a 2>0，x 2＝1＋1－2a 2>0， 所以当0<x <1－1－2a 2时， f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当1－1－2a 2<x <1＋1－2a 2时， f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x >1＋1－2a 2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 综上所述，当a ≥12时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，当0<a <12时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－2a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－2a 2，＋∞. (2)由(1)知，0<a <12，x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝a 2，则0<x 1<12<x 2， 由f (x 1)≥mx 2恒成立，得x 21－2x 1＋a ln x 1≥mx 2，即(1－x 2)2－2(1－x 2)＋2(1－x 2)x 2ln(1－x 2)≥mx 2，即m ≤x 2－1x 2＋2(1－x 2)ln(1－x 2)， 记h (x )＝x －1x＋2(1－x )ln(1－x )， 1>x >12， 则h ′(x )＝1x 2－2ln(1－x )－1>0⎝⎛⎭⎫1>x >12， 故h (x )在⎝⎛⎭⎫12，1上单调递增，h ⎝⎛⎭⎫12＝－32－ln 2， 故m ≤－32－ln 2.。

《利用导数研究函数的极值》导学案一、学习目标1、理解函数极值的概念，能够区分极值与最值。

2、掌握利用导数求函数极值的方法和步骤。

3、能够运用导数解决与函数极值相关的实际问题。

二、学习重难点1、重点（1）函数极值的概念。

（2）利用导数求函数极值的方法。

2、难点（1）导数为零的点与极值点的关系。

（2）如何根据导数的符号变化确定函数的极值。

三、知识回顾1、导数的定义：函数＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x ＝ x_0\）处的导数＼（f'（x_0)＼）等于＼（＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)｝｛＼Delta x} ＼）。

2、导数的几何意义：函数＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x ＝ x_0\）处的导数＼（f'（x_0)＼）表示曲线＼（y ＝ f(x)＼）在点＼（（x_0, f(x_0)）＼）处的切线斜率。

3、基本初等函数的导数公式：（1）＼（（C)＇＝ 0\）（＼（C\）为常数）（2）＼（（x^n)＇＝ nx^｛n 1}＼）（＼（n ＼in Q\））（3）＼（（＼sin x)＇＝＼cos x\）（4）＼（（＼cos x)＇＝＼sin x\）（5）＼（（e^x)＇＝ e^x\）（6）＼（（＼ln x)＇＝＼frac{1}｛x}＼）（7）＼（（＼log_a x)＇＝＼frac{1}｛x\ln a}＼）（＼（a ＞ 0\）且＼（a ＼neq 1\））四、新课导入在我们的日常生活和实际问题中，经常需要研究函数的最大值和最小值。

例如，在生产中，为了降低成本，提高效益，需要找到生产函数的最优产量；在销售中，为了获得最大利润，需要确定最佳的销售价格和销售量。

而函数的极值是研究函数最值的重要工具。

那么，如何利用导数来研究函数的极值呢？五、知识讲解1、函数极值的定义设函数＼（f(x)＼）在点＼（x_0\）附近有定义，如果对＼（x_0\）附近的所有点＼（x\），都有＼（f(x) ＜ f(x_0)＼），则称＼（f(x_0)＼）是函数＼（f(x)＼）的一个极大值；如果对＼（x_0\）附近的所有点＼（x\），都有＼（f(x) ＞ f(x_0)＼），则称＼（f(x_0)＼）是函数＼（f(x)＼）的一个极小值。

函数的极值与导数(教案)第一章：极值的概念教学目标：1. 理解极值的概念；2. 能够找出函数的极值点；3. 能够判断函数的极值类型。

教学内容：1. 引入极值的概念；2. 讲解极值的判断方法；3. 举例讲解如何找出函数的极值点；4. 讲解极大值和极小值的概念；5. 举例讲解如何判断函数的极大值和极小值。

教学活动：1. 引入极值的概念，引导学生思考什么是极值；2. 通过示例讲解如何找出函数的极值点，引导学生动手尝试；3. 讲解极大值和极小值的概念，引导学生理解极大值和极小值的区别；4. 通过示例讲解如何判断函数的极大值和极小值，引导学生进行判断。

作业布置：1. 练习找出给定函数的极值点；2. 练习判断给定函数的极大值和极小值。

第二章：导数的基本概念教学目标：1. 理解导数的概念；2. 能够计算常见函数的导数；3. 能够利用导数判断函数的单调性。

教学内容：1. 引入导数的概念；2. 讲解导数的计算方法；3. 举例讲解如何利用导数判断函数的单调性；4. 讲解导数的应用。

教学活动：1. 引入导数的概念，引导学生思考什么是导数；2. 通过示例讲解如何计算常见函数的导数，引导学生动手尝试；3. 讲解导数的应用，引导学生理解导数在实际问题中的应用；4. 通过示例讲解如何利用导数判断函数的单调性，引导学生进行判断。

作业布置：1. 练习计算给定函数的导数；2. 练习利用导数判断给定函数的单调性。

第三章：函数的单调性教学目标：1. 理解函数单调性的概念；2. 能够利用导数判断函数的单调性；3. 能够找出函数的单调区间。

教学内容：1. 引入函数单调性的概念；2. 讲解如何利用导数判断函数的单调性；3. 举例讲解如何找出函数的单调区间；4. 讲解函数单调性的应用。

教学活动：1. 引入函数单调性的概念，引导学生思考什么是函数单调性；2. 通过示例讲解如何利用导数判断函数的单调性，引导学生动手尝试；3. 讲解如何找出函数的单调区间，引导学生理解单调区间的概念；4. 通过示例讲解如何找出给定函数的单调区间，引导学生进行判断。

函数的极值与导数一、教学目标1. 理解导数的定义和几何意义2. 学会求函数的导数3. 理解函数的极值概念4. 学会利用导数研究函数的极值二、教学内容1. 导数的定义和几何意义2. 常见函数的导数3. 函数的极值概念4. 利用导数研究函数的单调性5. 利用导数求函数的极值三、教学重点与难点1. 重点：导数的定义和几何意义，常见函数的导数，函数的极值概念，利用导数求函数的极值2. 难点：导数的运算法则，利用导数研究函数的单调性，求函数的极值四、教学方法1. 采用讲授法讲解导数的定义、几何意义、常见函数的导数及函数的极值概念2. 利用例题解析法讲解利用导数研究函数的单调性和求函数的极值3. 组织学生进行小组讨论和互动，巩固所学知识五、教学过程1. 导入：复习导数的定义和几何意义，引导学生思考如何求函数的导数2. 新课：讲解常见函数的导数，引导学生掌握求导数的方法3. 案例分析：利用导数研究函数的单调性，求函数的极值，引导学生理解和应用所学知识4. 练习与讨论：布置练习题，组织学生进行小组讨论，解答练习题5. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，布置课后作业，引导学生思考如何利用导数研究更复杂的函数极值问题六、课后作业1. 复习导数的定义和几何意义，常见函数的导数2. 练习求函数的导数3. 利用导数研究函数的单调性，求函数的极值七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习状态2. 练习与讨论：评估学生在练习题和小组讨论中的表现，检验学生对知识的掌握程度3. 课后作业：检查课后作业的完成情况，评估学生对课堂所学知识的巩固程度六、教学策略的调整1. 根据学生的课堂反馈，适时调整教学节奏和难度，确保学生能够跟上教学进度。

2. 对于学生掌握不够扎实的知识点，可以通过举例、讲解、练习等多种方式加强巩固。

3. 鼓励学生提出问题，充分调动学生的主动学习积极性，提高课堂互动性。

七、教学案例分析1. 通过分析具体案例，让学生理解导数在实际问题中的应用，例如在物理学中的速度、加速度的计算。

《函数的极值与导数》教案完美版第一章：极值的概念与性质1.1 极值的定义引入极值的概念，解释函数在某一点的局部性质。

通过图形和实例直观展示极值的存在。

1.2 极值的判定条件介绍函数的导数与极值的关系，讲解导数为零的必要性和充分性。

分析导数为正和导数为负时函数的单调性，得出极值的判定条件。

1.3 极值的判定定理介绍罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理在极值判定中的应用。

证明极值的判定定理，并通过实例进行验证。

第二章：导数与函数的单调性2.1 导数的定义与计算引入导数的概念，解释导数表示函数在某一点的瞬时变化率。

讲解导数的计算规则，包括常数函数、幂函数、指数函数和三角函数的导数。

2.2 导数与函数的单调性分析导数正负与函数单调性的关系，得出单调递增和单调递减的定义。

通过实例和图形展示导数与函数单调性的联系。

2.3 单调性的应用讲解利用单调性解决函数极值问题的方法。

分析函数的单调区间和极值点，得出函数的单调性对极值的影响。

第三章：函数的极值点与导数3.1 极值点的定义与判定引入极值点的概念，解释极值点是函数导数为零或不存在的点。

讲解极值点的判定方法，包括导数为零和导数不存在的条件。

3.2 极值点的求解方法介绍求解极值点的方法，包括解析法和数值法。

讲解如何利用导数和图形求解函数的极值点。

3.3 极值点的应用分析极值点在实际问题中的应用，如最优化问题。

举例说明如何利用极值点解决实际问题。

第四章：函数的拐点与导数4.1 拐点的定义与判定引入拐点的概念，解释拐点是函数导数由正变负或由负变正的点。

讲解拐点的判定方法，包括导数的正负变化和二阶导数的符号。

4.2 拐点的求解方法介绍求解拐点的方法，包括解析法和数值法。

讲解如何利用导数和图形求解函数的拐点。

4.3 拐点的应用分析拐点在实际问题中的应用，如曲线拟合和物体的运动。

举例说明如何利用拐点解决实际问题。

第五章：函数的极值与图像5.1 极值与函数图像的关系分析极值点在函数图像中的位置和特征。

函数的极值与导数一、教学目标：1. 理解极值的概念，掌握求函数极值的方法。

2. 掌握导数的定义，了解导数与函数极值的关系。

3. 能够运用导数判断函数的单调性，解决实际问题。

二、教学内容：1. 极值的概念：局部最小值、局部最大值、全局最小值、全局最大值。

2. 求函数极值的方法：（1）利用导数求极值；（2）利用二阶导数判断极值类型；（3）利用图像观察极值。

3. 导数的定义：函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率。

4. 导数与函数极值的关系：（1）函数在极值点处的导数为0；（2）函数在极值点附近的导数符号发生变化。

5. 利用导数判断函数的单调性：（1）导数大于0，函数单调递增；（2）导数小于0，函数单调递减。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：（1）极值的概念及求法；（2）导数的定义及求法；（3）导数与函数极值的关系；（4）利用导数判断函数的单调性。

2. 教学难点：（1）二阶导数判断极值类型；（2）利用导数解决实际问题。

四、教学方法：1. 采用讲解、演示、练习、讨论相结合的方法；2. 使用多媒体课件辅助教学，增强直观性；3. 设置典型例题，引导学生思考、探究；4. 注重引导学生发现规律，提高学生解决问题的能力。

五、教学安排：1. 课时：本章共需4课时；2. 教学过程：第一课时：极值的概念及求法；第二课时：导数的定义及求法；第三课时：导数与函数极值的关系；第四课时：利用导数判断函数的单调性，解决实际问题。

六、教学评价：1. 课堂讲解：观察学生对极值概念、导数定义及应用的理解程度，以及他们在课堂上的参与度和提问反馈。

2. 作业练习：通过布置相关的习题，评估学生对求极值方法、导数计算和单调性判断的掌握情况。

3. 小组讨论：评估学生在小组内的合作能力和解决问题的创造性思维。

4. 课后反馈：收集学生的疑问和反馈，以便对教学方法和内容进行调整。

七、教学反思：1. 教学方法是否适合学生的学习水平，是否需要调整以提高教学效果。

函数的极值与导数第一章：函数极值概念的引入1.1 教学目标让学生了解极值的概念，理解极大值和极小值的区别。

学会通过图像来观察函数的极值。

掌握利用导数求函数极值的方法。

1.2 教学内容函数极值的定义利用图像观察函数极值利用导数求函数极值1.3 教学步骤1. 引入极值的概念，让学生通过具体的例子来理解极大值和极小值。

2. 通过图像来观察函数的极值，引导学生学会从图像中找出极大值和极小值。

3. 讲解利用导数求函数极值的方法，让学生通过例题来掌握这个方法。

1.4 作业布置f(x) = x^3 3x^2 + 3x 1g(x) = x^2 4x + 4第二章：函数的单调性2.1 教学目标让学生理解函数单调性的概念，学会判断函数的单调性。

掌握利用导数来判断函数的单调性。

2.2 教学内容函数单调性的定义利用导数判断函数单调性2.3 教学步骤1. 引入函数单调性的概念，让学生通过具体的例子来理解函数单调性。

2. 讲解利用导数来判断函数单调性的方法，让学生通过例题来掌握这个方法。

2.4 作业布置h(x) = x^3 3xk(x) = x^2 4x + 3第三章：函数的极值定理3.1 教学目标让学生了解函数的极值定理，学会应用极值定理来解决问题。

3.2 教学内容函数的极值定理3.3 教学步骤1. 讲解函数的极值定理，让学生理解极值定理的意义。

2. 通过例题让学生学会应用极值定理来解决问题。

3.4 作业布置求函数f(x) = x^3 3x^2 + 3x 1 的极大值和极小值。

第四章：函数的拐点4.1 教学目标让学生了解拐点的概念，学会通过导数来找函数的拐点。

4.2 教学内容拐点的定义利用导数找拐点4.3 教学步骤1. 引入拐点的概念，让学生通过具体的例子来理解拐点。

2. 讲解利用导数来找拐点的方法，让学生通过例题来掌握这个方法。

4.4 作业布置m(x) = x^3 3xn(x) = x^2 4x + 4第五章：函数的单调性与极值的应用5.1 教学目标让学生学会运用函数的单调性和极值来解决实际问题。

《函数的极值与导数》教案完美版第一章：极值的概念与定义1.1 极值的概念引入极值的概念，让学生了解函数在某一点取得局部最值的含义。

通过图像和实际例子来说明极值的存在和重要性。

1.2 极值的定义介绍极值的定义，包括局部极值和全局极值。

解释极值的必要条件和充分条件。

第二章：导数与极值的关系2.1 导数的定义与性质复习导数的定义和基本性质，包括导数的符号变化与函数单调性的关系。

2.2 导数与极值的关系引入导数与极值的关系，讲解导数为零的点可能是极值点的原理。

通过实例来说明导数在判断极值中的作用。

第三章：一元函数的极值判定3.1 判定极值的存在性介绍判定极值存在性的方法，包括罗尔定理和拉格朗日中值定理。

3.2 判定极值的具体方法讲解利用导数符号变化判断极值的方法，包括导数单调性和零点存在性定理。

第四章：多元函数的极值4.1 多元函数极值的概念引入多元函数极值的概念，让学生了解多元函数在不同维度上的极值问题。

4.2 多元函数极值的判定讲解多元函数极值的判定方法，包括拉格朗日乘数法和海森矩阵。

第五章：实际应用中的极值问题5.1 应用背景介绍通过实际例子介绍极值在各个领域中的应用，如优化问题、物理学、经济学等。

5.2 实际应用案例分析分析具体案例，让学生了解如何运用极值理论和方法解决问题。

第六章：利用极值解决实际问题6.1 优化问题概述介绍优化问题的概念，解释最小值和最大值在优化问题中的作用。

举例说明优化问题在工程、经济等领域的应用。

6.2 利用极值解决优化问题讲解如何利用函数的极值解决优化问题，包括确定最优解的方法和步骤。

通过实际案例分析，让学生掌握优化问题的解决技巧。

第七章：函数极值的存在性定理7.1 拉格朗日中值定理复习拉格朗日中值定理的内容，解释其在函数极值存在性判断中的应用。

利用拉格朗日中值定理证明函数极值的存在性。

7.2 罗尔定理与极值存在性讲解罗尔定理的内容及其在函数极值存在性判断中的应用。

结合罗尔定理和拉格朗日中值定理，证明函数极值的存在性。

《函数的极值与导数》教案完美版第一章：极值的概念与性质1.1 极值的定义介绍函数极值的概念，解释局部极值和全局极值的区别。

通过图形和实例来说明函数极值的存在性。

1.2 极值的判定条件介绍导数与极值的关系，讲解导数为零的必要性和充分性。

分析一阶导数和二阶导数在极值判定中的作用。

1.3 极值的性质探讨极值的单调性，解释局部极值和全局极值之间的相互关系。

研究极值点的稳定性，分析函数在极值点附近的behavior。

第二章：导数的基本概念与计算2.1 导数的定义引入导数的概念，解释导数表示函数在某一点的瞬时变化率。

通过图形和实例来说明导数的几何意义。

2.2 导数的计算介绍导数的计算规则，包括常数函数、幂函数、指数函数和三角函数的导数。

讲解和练习四则运算、链式法则和高阶导数的计算。

2.3 导数的应用探讨导数在函数图像上的应用，分析函数的单调性、凹凸性和拐点。

引入洛必达法则，讲解其在函数极限计算中的应用。

第三章：函数的单调性与凹凸性3.1 单调性的判定介绍单调性的概念，讲解单调递增和单调递减的定义。

分析导数与函数单调性的关系，给出单调性的判定条件。

3.2 凹凸性的定义与判定引入凹凸性的概念，解释函数凹凸性的几何意义。

讲解凹凸性的判定条件，分析函数图像的凹凸特征。

3.3 单调性与凹凸性的应用探讨单调性和凹凸性在实际问题中的应用，例如最优化问题。

通过实例讲解如何利用单调性和凹凸性来分析函数的性质。

第四章：函数的极值问题4.1 局部极值的判定与计算讲解局部极值的判定条件，分析一阶导数和二阶导数在局部极值问题中的应用。

通过实例来说明局部极值的计算方法。

4.2 全局极值的判定与计算介绍全局极值的概念，讲解全局极值的判定方法。

分析函数在不同区间上的单调性，确定全局极值的存在性和位置。

4.3 实际问题中的应用通过实际问题来探讨函数极值的应用，例如最值问题、优化问题等。

讲解如何利用函数极值来解决实际问题。

第五章：函数的拐点与曲线的凹凸性5.1 拐点的定义与判定引入拐点的概念，解释拐点表示函数图像的凹凸性变化。

《函数的极值与导数》教案§1.3.2函数的极值与导数（1）【教学目标】1．理解极大值、极小值的概念．2．能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值． 3．掌握求可导函数的极值的步骤．【教学重点】极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤． 【教学难点】对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤． 【内容分析】对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明．并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的． 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法．判断极值点的关键是这点两侧的导数异号． 【教学过程】一、复习引入：1． 函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数．2．用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数f ′(x )． ②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间．③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间． 二、讲解新课：1．极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点． 2．极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0)．就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点． 3．极大值与极小值统称为极值．在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值．请注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．（ⅱ）函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f ．（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．4． 判别f (x 0)是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值． 5． 求可导函数f (x )的极值的步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) ． (2)求方程f ′(x )=0的根．(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值三、讲解范例：例1求y =31x 3－4x +4的极值． 解：y ′=(31x 3－4x +4)′=x 2－4=(x +2)(x －2) ．令y ′=0，解得x 1=－2，x 2=2． 当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表．∴当x =－2时，y 有极大值且y 极大值=328．当x =2时，y 有极小值且y 极小值=3例2求y =(x 2－1)3+1的极值．解：y ′=6x (x 2－1)2=6x (x +1)2(x －1)2令y ′=0解得x 1=－1，x 2=0，x 3=1．当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表．∴当x =0时，有极小值且极小值=0求极值的具体步骤：第一，求导数f ′(x )．第二，令f ′(x )=0求方程的根，第三，列表，检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值，如果左右都是正，或者左右都是负，那么f (x )在这根处无极值．如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点． 四、课堂练习：1．求下列函数的极值．(1)y =x 2－7x +6 (2)y =x 3－27x(1)解：y ′=(x 2－7x +6)′=2x －7令y ′=0，解得x =27．当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表．∴当x =27时，y 有极小值，且y 极小值=－425． (2)解：y ′=(x 3－27x )′=3x 2－27=3(x +3)(x －3)令y ′=0，解得x 1=－3，x 2=3．当x∴当x =－3时，y 有极大值，且y 极大值=54． 当x =3时，y 有极小值，且y 极小值=－54． 五、小结 ：函数的极大、极小值的定义以及判别方法．求可导函数f (x )的极值的三个步骤．还有要弄清函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在整个定义区间可能有多个极值，且要在这点处连续．可导函数极值点的导数为0，但导数为零的点不一定是极值点，要看这点两侧的导数是否异号．函数的不可导点可能是极值点． 六、课后作业：§1.3.2函数的极值与导数（2）【课 题】函数的极值（2）【教学目标】熟练掌握求可导函数的极值的步骤，灵活应用．【教学重点】极大、极小值的判别方法，求可导函数的极值的步骤的灵活掌握． 【教学难点】求可导函数的极值． 【教学过程】1．用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数f ′(x )． ②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间．③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间．2．极大值： 一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜f (x 0)，就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值=f (x 0)，x 0是极大值点．3．极小值：一般地，设函数f (x )在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0)．就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值=f (x 0)，x 0是极小值点．4．极大值与极小值统称为极值，注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．（ⅱ）函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f ．（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点． 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．5． 判别f (x 0)是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值． 6． 求可导函数f (x )的极值的步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) ； (2)求方程f ′(x )=0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值． 二、讲解范例：例1 对可导函数，在一点两侧的导数异号是这点为极值点的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案：C ． 充要条件．由极大、极小值的判别方法可以知道是充分条件． 由极大值点的定义，任意x ＜x 0，f (x )＜f (x 0)．所以左侧是增函数，所以f ′(x )＞0，任意x ＞x 0，f (x )＜f (x 0)． 所以右侧是减函数，所以f ′(x )＜0，所以x 0两侧的导数异号． 当x 0是极小值时，同样可以证明．例2下列函数中，x =0是极值点的函数是(B)A ．y =－x 3B ．y =cos 2xC ．y =tanx －xD ．y =x1 分析：做这题需要按求极值的三个步骤，一个一个求出来吗？不需要，因为它只要判断x =0是否是极值点，只要看x =0点两侧的导数是否异号就可以了．解：A ． y =－x 3，∵y ′=(－x 3)′=－3x 2，当x ＜0或x ＞0时，y ′＜0，∴x =0不是极值点．B ． y =cos 2x ． ∵y ′=(cos 2x )′=2cosx (－sinx )=－sin 2x ． 当x ＜0时，－sin 2x ＞0，y ′＞0． 当x ＞0时，－sin 2x ＜0，y ′＜0．∴x =0是y =cos 2x 的极大值点．C ．y =tanx －x ，y ′=(tanx －x )′=x2cos 1－1,当x ＜0或x ＞0时，0＜cos 2x ＜1，y ′＞0．∴x =0不是极值点．D ． y =x 1． y ′=(x 1)′=－21x, 当x ＜0或x ＞0时y ′＜0，∴x =0不是极值点，故选B ．例3 下列说法正确的是(C)A ．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大．B ．函数在闭区间上的最大值一定是极大值．C ．对于f (x )=x 3+px 2+2x +1，若｜p ｜＜6，则f (x )无极值．D ．函数f (x )在区间(a ，b )上一定存在最值．答案：C ．∵f (x )=x 3+px 2+2x +1．∴f ′(x )=3x 2+2px +2．∵Δ=4p 2－4×3×2=4(p 2－6)． 若｜p ｜＜6．则Δ＜0，∴f ′(x )=0无实根，即f ′(x )＞0， ∴f (x )无极值．选项A 、B 、D 可以通过举出反例说明是假命题． 例4 函数f (x )=asinx +31sin 3x 在x =3π处具有极值，求a 的值． 分析：f (x )在x =3π处有极值，根据一点是极值点的必要条件可知，f ′(3π)=0可求出a的值．解：f ′(x )=(asinx +31sin 3x )′=acosx +cos 3x ∵f ′(3π)=0，∴a ·cos3π+cos 3×3π=0，21a －1=0，∴a =2． 例5 y =alnx +bx 2+x 在x =1和x =2处有极值，求a 、b 的值． 解：y ′=(alnx +bx 2+x )′=xa+2bx +1．∵y ′｜x =1=0，y ′｜x =2=0． ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=++61320142012b a b a b a ． 例6 确定函数y =12+x x的单调区间，并求函数的极大、极小值． 解：y ′=222222222)1()1)(1()1(1)1(21)1(+-+=+-=+⋅-+='+x x x x x x x x x x x 令22)1()1)(1(+-+x x x ＞0，解得－1＜x ＜1．∴y =12+x x的单调增区间为(－1，1)．令22)1()1)(1(+-+x x x ＜0，得x ＜－1或x ＞1，∴y =12+x x减区间为(－∞，－1)与(1，+∞)．令y ′=22)1()1)(1(+-+x x x =0，解得x 1=－1，x 2=1． 当x 变化时，′，的变化情况如下表：∴当x =－1时，y 有极小值，且y 极小值=－21，当x =1时，y 有极大值，且y 极大值=21． 例7 求函数y =25431xx ++的极值与极值点．解：y ′=(25431xx ++)′232222)54(5125454210)31(543x x x x xx x +-=+++-+=，令y ′=0，解得x =512． x 变化时，y′，y 的变化情况如下表：∴当x =512时，y 有极大值，且y 极大值=10．例8 求函数y =x 2lnx 的极值．解：定义域为(0，+∞)，y ′=(x 2lnx )′=2xlnx +x 2·x1=2xlnx +x =x (2lnx +1)． 令y ′=0，得x =21-e．当x∴当x =21-e时，y 有极小值，且y 极小值=－e21． 三、课堂练习：求下列函数的极值．1．y =2x 2+5x ．解：y ′=(2x 2+5x )′=4x +5． 令y ′=0，解得x =－45． 当x 变化时，当x =－45时，y 有极小值，且y 极小值=－825．2．y =3x －x 3．解：y ′=(3x －x 3)′=3－3x 2=3(1+x )·(1－x )．令y ′=0，解得x 1=－1，x 2=1． 当x当x =极小值极大值四、小结 ：这节课主要复习巩固了求可导函数的极值的方法，以及有关极值问题的题目，注意极大、极小值与最大、最小值的区别 极值点的充分条件、必要条件． 五、课后作业：风，没有衣裳；时间，没有居所；它们是拥有全世界的两个穷人生活不只眼前的苟且，还有诗和远方的田野。

《§1.3.2函数的极值与导数》导学案课前部分编辑人：审核：高二数学组【学习目标】1．知识与技能目标：（1）理解极大值、极小值的概念；（2）能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；（3）掌握求可导函数的极值的步骤.2．过程与方法目标：培养学生观察、分析和概括的能力，使学生进一步感受数形结合思想.3.情感、态度与价值观目标进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神；激发学生积极主动地参与数学学习活动，养成良好的学习习惯.【学习重点、难点】重点：极值的概念与求法.难点：函数在某点取得极值的必要条件和充分条件一、【复习回顾】函数的单调性与其导函数正负的关系？二、【学习探究】问题：观察下图，从图2中挑选出与图1点a位置相似的点，函数()y f x=在这些点处的函数值与这些点附近的函数值有什么大小关系？()y f x=在这些点的导数值是多少？在这些点左右两侧，()y f x=的导数的正负有什么规律？从图2中挑选出与图1点b位置相似的点，并回答上述问题新知：极值的概念阅读教材27p内容，自主学习函数极值的概念，回答下列问题.1. 若函数)(xfy=在x0处存在导数，则x0左右两侧及x0处的导数满足哪些条件时x才会是)(xf的极值点？2．函数的极值点能出现在定义域区间的端点处吗?3．函数的极值是唯一的吗？一个函数的极大值一定大于它极小值吗？提示：极值反映了函数在某一点附近的函数值的大小情况，刻画的是函数的局部性质. 做一做图3是导函数)(xfy'=的图象，函数y=f(x)的极大值点有_ _,极小值点有思考：1.可导函数)(xfy=在一点的导数值为0是函数在这点取极值的什么条件？2.在导函数图象上怎么找极值点？图3图2图1三、【典型例题】例1 求函数31443y x x =-+的极值.你能总结出求极值的一般步骤吗？自我检测已知函数时有极值，与在12354)(23-==+++=x x bx ax x x f 求函数的解析式.四、【质疑汇总】1.我的疑惑？2.小组合作探究后的疑惑五、【自学总结】我的收获3．其他组展示的问题及成果：（评价与反思）《§1.3.2函数的极值与导数》导学案课上部分编辑人：审核：高二数学组【展示交流】1.课上要解决的问题是：2．展示提纲：《§1.3.2函数的极值与导数》导学案课后部分编辑人：审核：高二数学组【课后反思】【课后作业】1.选修2-229p练习1、22.第9课时卷子【高考链接】1.（2012陕西7题5分）设函数xxexf=)(则（）的极大值点为)(1..xfxA=的极小值点为)(1..xfxB=的极大值点为)(1..xfxC-=的极小值点为)(1..xfxD-=2.（2012重庆8题5分）设函数且上可导，其导数为在),()('xfRxf函数()()/1y x f x=-的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A.函数()f x有极大值()2f和极小值()1fB. 函数()f x有极大值()2f-和极小值()1fC. 函数()f x有极大值()2f和极小值()2f-D. 函数()f x有极大值()2f-和极小值()2f达标检测（限时独立完成）1．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：①f(x)是增函数，无极值；②f(x)是减函数，无极值；③f(x)的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0,2)；④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．其中正确的命题有( )A．1个B．2个C．3个D．4个2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )A．1个B．2个C．3个D．4个3. 函数32()39f x x ax x=++-在3x=-时有极值10，则a的值为4．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝______，b＝________.达标检测（限时独立完成）1．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：①f(x)是增函数，无极值；②f(x)是减函数，无极值；③f(x)的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0,2)；④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．其中正确的命题有( )A．1个B．2个C．3个D．4个2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )A．1个B．2个C．3个D．4个3. 函数32()39f x x ax x=++-在3x=-时有极值10，则a的值为4．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝______，b＝________.。

第三章 导数及其应用3.3.2函数的极值与导数一、学习目标：1.了解函数极值点、极值的概念，理解函数取得极值的必要条件2.掌握求可导函数极值的步骤，会利用导数求函数的极大值、极小值【重点、难点】重点：极值的概念、利用导数求函数的极值难点：极值的综合应用二、学习过程【情景创设】横看成林侧成峰，远近高低各不同.在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山中的最高处，但它却是其附近的最高点；同样，各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处，但它却是其附近的最低点！而对于函数图象，曲线在升、降转折点处形成“峰”“谷”，函数的这种性质以及这种特点，无论在实际上还是在实际应用上都具有重要的意义.这节课我们将学习函数的这些知识——极值.【导入新课】1.观察下图中P 点附近图像从左到右的变化趋势、P 点的函数值以及点P 位置的特点函数图像在P 点附近从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调递增变为单调递减），在P 点附近，P 点的位置最高，函数值最大，同理找出点Q 附近的函数值变化情况.2.极小值点与极小值若函数()f x 满足:(1)在x a =附近其他点的函数值()f x ___()f a ;(2)()f a '=__;(3)在x a =附近的左侧_________,在x a =附近的右侧_________,则点a 叫做函数()y f x =的极小值点, ()f a 叫做函数()y f x =的极小值.3.极大值点与极大值若函数()f x 满足:(1)在x b =附近其他点的函数值()f x ___()f b ;(2)()f b '=__;(3)在x b =附近的左侧_________,在x b =附近的右侧_________,则点b 叫做函数()y f x =的极大值点, ()f b 叫做函数()y f x =的极大值.4.极值的定义(1)极小值点、极大值点统称为_______.(2)极大值与极小值统称为_____.5.求函数()y f x =的极值的方法(1)如果在0x 附近的左侧_________,右侧_________,那么()0f x 是极大值.(2)如果在0x 附近的左侧_________,右侧_________,那么()0f x 是极小值.【典型例题】例1 观察图形,回答下列问题:（1）可导函数()f x 在点0x 处取极值的充要条件是什么?（2）函数在某个区间上有多个极值点,那么一定既有极大值也有极小值吗?（3）上图中哪些是极大值点，哪些是极小值点？例2 求函数()31443f x x x =-+的极值.例3 函数()32113f x x x ax =-+-有极值点，求a 的取值范围.【变式拓展】已知函数()3ln 42x a f x x x =+--，其中a R ∈，，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线垂直于12y x =. (1)求a 的值.(2)求函数()y f x =的单调区间与极值三、学习总结1.对于极值的认识(1)函数的极值是一个局部性的概念,是仅对某一点的左右两侧区域而言的.极值点是区间内部的点而不会是端点.(2)若()f x 在某区间内有极值,那么()f x 在该区间内一定不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值. 2.对函数取极值条件的认识（1）可导函数的极值点是导数为零的点,但是导数为零的点不一定是极值点,即“函数()y f x =在一点的导数值为零是函数()y f x =在这点取极值的必要条件,而非充分条件.”（2）可导函数()f x 在点0x 处取得极值的充要条件是()00f x '=,且在0x 左侧和右侧()f x '的符号不同.（3）如果在0x 的两侧()f x '的符号相同,则0x 不是()f x 的极值点.3.对于函数极值点的认识(1)函数()f x 在某区间内有极值,它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.(2)当函数()f x 在某区间上连续且有有限个极值点时,函数()f x 在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的.(3)从曲线的切线角度看,曲线在极值点处切线的斜率为0,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正.四、随堂检测1. 函数()y f x =是定义在R 上的可导函数,则下列说法不正确的是 ( )A.若函数在0x x =时取得极值,则()00f x '=B.若()00f x '=,则函数在0x x =处取得极值C.若在定义域内恒有()00f x '=,则()y f x =是常数函数D.函数()y f x =在0x x =处的导数是一个常数2. 设函数()xf x xe =,则 ( ) A.1x =为()f x 的极大值点 B.1x =-为()f x 的极大值点C.1x =为()f x 的极小值点D.1x =-为()f x 的极小值点3.设三次函数()f x 的导函数为()f x ',函数()y x f x '=⋅的图象的一部分如图所示,则 ( )A.()f x 极大值为3f ,极小值为(3f -B.()f x 极大值为(3f ,极小值为3fC.()f x 极大值为()3f -,极小值为()3fD.()f x 极大值为()3f ,极小值为()3f -4. 已知函数()2x f x x e =,求()f x 的极小值和极大值.。

高中数学教案——函数的极值和导数教案内容：一、教学目标1. 理解导数的概念，掌握导数的计算方法。

2. 掌握函数的单调性，能够判断函数的单调区间。

3. 理解函数的极值概念，能够求出函数的极值。

二、教学重点与难点1. 重点：导数的计算方法，函数的单调性，函数的极值。

2. 难点：导数的应用，函数的极值的求法。

三、教学方法采用讲解法、例题解析法、学生自主探究法。

四、教学准备1. 教学课件。

2. 相关例题及练习题。

五、教学过程1. 导入：回顾初中阶段学习的函数图像，引导学生思考函数的增减性。

2. 讲解导数的概念：定义域内的函数在某一点的导数，即为该点的切线斜率。

引导学生理解导数的几何意义。

3. 导数的计算：讲解基本函数的导数公式，引导学生掌握导数的计算方法。

4. 函数的单调性：通过例题，讲解函数单调性的判断方法，引导学生掌握如何判断函数的单调区间。

5. 函数的极值：讲解函数极值的概念，通过例题，引导学生掌握求函数极值的方法。

6. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。

7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点。

8. 课后作业：布置适量作业，巩固所学知识。

注意：在教学过程中，要注重引导学生主动思考，培养学生的动手能力及解决问题的能力。

要及时解答学生的疑问，确保学生能够掌握所学知识。

六、教学内容与要求1. 理解曲线的切线与函数导数的关系。

2. 掌握基本函数的导数求解方法。

3. 能够运用导数判断函数的单调性。

七、教学过程1. 复习导入：通过回顾上节课的内容，引导学生复习导数的基本概念和计算方法。

2. 讲解导数的几何意义：通过图形演示，解释导数表示曲线在某点的切线斜率。

3. 导数的计算：详细讲解和练习基本函数的导数求解，包括幂函数、指数函数、对数函数等。

4. 函数单调性的判断：利用导数的概念，解释如何判断函数的单调性。

5. 例题解析：通过具体例题，演示如何运用导数判断函数的单调区间和求极值。

八、教学策略1. 采用互动式教学，鼓励学生提问和参与讨论。

3．3.2函数的极值与导数1．函数的极值定义设函数f(x)在点x0及其附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有□01 f(x)≤f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的一个□02极大值，记作y极大值＝f(x0)；如果对x0附近的所有点都有□03f(x)≥f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的一个□04极小值，记作y极＝f(x0)．极大值与极小值统称为极值．小值2．函数极值的判定当函数f(x)在点x0处连续时，判断f(x0)是否存在极大(小)值的方法是：(1)如果在x0附近的左侧□05f′(x)>0，右侧□06f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧□07f′(x)<0，右侧□08f′(x)>0，那么f(x0)是极小值；(3)如果f′(x)在点x0的左右两侧符号不变，则f(x0)□09不是函数f(x)的极值．3．求可导函数极值的步骤一般情况下，我们可以通过如下步骤求出函数y＝f(x)的极值点：(1)求出导数□10f′(x)；(2)解方程□11f′(x)＝0；(3)对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左、右两侧的符号[即f(x)的单调性]，确定□12极值：①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为□13极大值点；②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为□14极小值点；③若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0□15不是极值点．函数极值点的两种情况(1)若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f′(x0)＝0，反过来不一定成立．(2)函数的不可导点也可能是函数的极值点，如：y＝|x|在x＝0处不可导，但x＝0是函数的极小值点，因此，函数取极值点只可能为f′(x)＝0的根或不可导点两种情况．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)＝x3＋ax2－x＋1必有2个极值．()(2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．()(3)函数f(x)＝1x有极值．()答案(1)√(2)√(3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极大值点的个数为________．(2)函数f(x)＝ax3＋x＋1有极值的充要条件是________．(3)已知函数f(x)＝x2－2ln x，则f(x)的极小值是________．答案(1)2(2)a<0(3)1探究1求已知函数的极值例1求下列函数的极值．(1)f(x)＝3x＋3ln x；(2)f(x)＝x3－3x2－2在(a－1，a＋1)内的极值(a>0)．[解](1)函数f(x)＝3x＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－3x2＋3x＝3(x－1)x2.令f′(x)＝0得x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值3因此当x＝1时，f(x)有极小值，并且f(1)＝3.(2)由f(x)＝x3－3x2－2得f′(x)＝3x(x－2)，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由此可得：当0<a<1时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值；当a＝1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值；当1<a<3时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值；当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．综上得，当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小值；当1<a<3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a＝1或a≥3时，f(x)无极值．[条件探究]若将例1(2)中a＞0改为a＜0，结果会怎样？解由例1(2)中表可得：当－1<a<0时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值．当a≤－1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．综上得，当－1<a<0时，f(x)有极大值－2，无极小值．当a≤－1时，f(x)无极值．拓展提升求函数极值的方法一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法是：解方程f′(x)＝0，设解为x0，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．注：如果在x0附近的两侧f′(x)符号相同，则x0不是函数f(x)的极值点．例如，对于函数f(x)＝x3，我们有f′(x)＝3x2.虽然f′(0)＝0，但由于无论是x>0，还是x <0，恒有f ′(x )>0，即函数f (x )＝x 3是单调递增的，所以x ＝0不是函数f (x )＝x 3的极值点．一般地，函数y ＝f (x )在一点的导数值为0是函数y ＝f (x )在这点取极值的必要条件，而非充分条件．【跟踪训练1】 求下列函数的极值． (1)f (x )＝2xx 2＋1－2； (2)f (x )＝x 2e －x .解 (1)函数的定义域为R . f ′(x )＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝－2(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)2.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：由上表可以看出，当x ＝－1时，函数有极小值，且极小值为f (－1)＝－3； 当x ＝1时，函数有极大值，且极大值为f (1)＝－1. (2)∵f (x )＝x 2e x ，∴f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2e x ′＝2x ·e x －x 2e x (e x )2＝x (2－x )e x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：由上表可以看出，当x ＝0时，函数有极小值，且f (0)＝0； 当x ＝2时，函数有极大值，且f (2)＝4e 2. 探究2 已知函数的极值求参数例2 已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值． [解] 因为f (x )在x ＝－1时有极值0， 且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b .所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去． 当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数；当x ∈(－∞，－3]和[－1，＋∞)时，f (x )为增函数． 所以f (x )在x ＝－1时取得极小值，因此a ＝2，b ＝9. 拓展提升已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点：(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后还须验证根的合理性．【跟踪训练2】已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，f(x)在点x＝0处取得极值，并且在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性．(1)求实数b的值；(2)求实数a的取值范围．解(1)因为f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f(x)在点x＝0处取得极值，所以f′(0)＝0，解得b＝0.(2)令f′(x)＝0，即3x2＋2ax＝0，解得x＝0或x＝－23a.依题意有－23a>0.又函数在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性，所以必有2≤－23a≤4，解得－6≤a≤－3.探究3利用极值判断方程根的个数例3已知曲线f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a与x轴只有一个交点，求实数a的取值范围．[解]f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.列表：所以当x＝－1时，f(x)有极小值f(－1)＝a－5；当x＝3时，f(x)有极大值f(3)＝a＋27.画出大致图象，要使f(x)的图象与x轴只有一个交点，只需极大值小于0(如图1)或极小值大于0(如图2)．所以a－5>0或a＋27<0.解得a>5或a<－27.故实数a的取值范围为a>5或a<－27.拓展提升(1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题．一般地，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标．(2)事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．【跟踪训练3】设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，求实数a的取值范围．解(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝ 2.因为当x>2或x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<2时，f′(x)<0.所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；单调减区间为(－2，2)．当x＝－2时，f(x)有极大值5＋42；当x＝2时，f(x)有极小值5－4 2.(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如右图所示，当5－42<a<5＋42时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同交点，即方程f (x )＝a 有三个不同的解．1.在极值的定义中，取得极值的点的横坐标称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值.2.函数的极值是函数的局部性质．可导函数f (x )在点x ＝x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x ＝x 0两侧f ′(x ) 符号相反.3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.1．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a ，b 的值分别为( ) A ．1，－3 B ．1,3 C ．－1,3 D ．－1，－3答案 A解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋b ，∴f ′(1)＝3a ＋b ＝0.① 又当x ＝1时有极值－2，∴a ＋b ＝－2.② 联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3.2．设函数f (x )＝x e x ，则( ) A ．x ＝1为f (x )的极大值点 B ．x ＝1为f (x )的极小值点 C ．x ＝－1为f (x )的极大值点 D ．x ＝－1为f (x )的极小值点 答案 D解析 求导得f ′(x )＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)，令f ′(x )＝e x (x ＋1)＝0，解得x ＝－1，易知x ＝－1是函数f (x )的极小值点．3．函数f (x )＝x 3－6x 2－15x ＋2的极大值是________，极小值是________． 答案 10 －98解析 f ′(x )＝3x 2－12x －15＝3(x －5)(x ＋1)，在(－∞，－1)，(5，＋∞)上f ′(x )>0，在(－1,5)上f ′(x )<0，所以f (x )极大值＝f (－1)＝10，f (x )极小值＝f (5)＝－98.4．函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为________． 答案 y ＝－1e解析 由题知y ′＝e x ＋x e x ，令y ′＝0，解得x ＝－1，代入函数解析式可得极值点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1e ，又极值点处的切线为平行于x 轴的直线，故方程为y＝－1e .5．已知函数f (x )＝x 3－3x ＋a (a 为实数)，若方程f (x )＝0有三个不同实根，求实数a 的取值范围．解 令f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝1. 当x <－1时，f ′(x )>0； 当－1<x <1时，f ′(x )<0； 当x >1时，f ′(x )>0.所以当x ＝－1时，f (x )有极大值f (－1)＝2＋a ； 当x ＝1时，f (x )有极小值f (1)＝－2＋a . 因为方程f (x )＝0有三个不同实根，所以y ＝f (x )的图象与x 轴有三个交点，如图．所以极大值2＋a ＞0，极小值－2＋a ＜0， 解得－2＜a ＜2，故实数a 的取值范围是(－2,2)．A 级：基础巩固练一、选择题1．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c ，其导函数图象如图所示，则函数f (x )的极小值是( )A．a＋b＋cB．8a＋4b＋cC．3a＋2bD．c答案 D解析由图象可以看出，当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(0,2)时，f′(x)>0，函数f(x) 单调递增；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．所以x＝0时，函数取得极小值，f(0)＝c.2．函数f(x)＝x3－3x2－9x(－2<x<2)有()A．极大值为5，极小值为－27B．极大值为5，极小值为－11C．极大值为5，无极小值D．极大值为－27，无极小值答案 C解析f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)．令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3(舍去)．当－2<x<－1时，f′(x)>0；当－1<x<2时，f′(x)<0，故当x＝－1时，f(x)有极大值，f(x)极大值＝f(－1)＝5，无极小值．3．设函数y＝f(x)在R上可导，则f′(x0)＝0是y＝f(x)在x＝x0处取得极值的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析以f(x)＝x3为例，f(x)＝x3在x＝0处导数为0，但不取得极值．故f′(x0)＝0是y＝f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．4．若函数f(x)＝2x3－9x2＋12x－a恰好有两个不同的零点，则a可能的值为()A．4 B．6 C．7 D．8答案 A解析由题意得f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)，由f′(x)>0得x<1或x>2，由f′(x)<0得1<x<2，所以函数f(x)在(－∞，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，从而可知f(x)的极大值和极小值分别为f(1)，f(2)，若欲使函数f(x)恰好有两个不同的零点，则需使f(1)＝0或f(2)＝0，解得a＝5或a＝4，而选项中只给出了4.故选A.5．设a∈R，若函数y＝e x＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则()A．a<－1 B．a>－1C．a<－1e D．a>－1e答案 A解析∵y＝e x＋ax，∴y′＝e x＋a，令y′＝e x＋a＝0，则e x＝－a. 即x＝ln (－a)，又∵x>0，∴－a>1，即a<－1.二、填空题6．函数f(x)＝13x3－x2－3x－1的图象与x轴的交点个数是________．答案 3解析f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)，函数在(－∞，－1)和(3，＋∞)上是增函数，在(－1,3)上是减函数，由f(x)极小值＝f(3)＝－10<0，f(x)极大值＝f(－1)＝23>0知函数f(x)的图象与x轴的交点个数为3.7．函数f(x)＝2x＋ln x的极小值为________．答案1＋ln 2解析由f(x)＝2x＋ln x知，f′(x)＝－2x2＋1x＝x－2x2，令f′(x)＝0，得x＝2.x，f′(x)，f(x)取值情况如下表：f (x )1＋ln 2∴f (x )极小值＝f (2)＝1＋ln 2.8．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－12内单调递增； ②函数y ＝f (x )在区间 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3内单调递减； ③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值． 其中正确的结论为________． 答案 ③解析 由导函数的图象知：当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x ∈(2,4)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 在x ＝－2时，f (x )取极小值； 在x ＝2时，f (x )取极大值； 在x ＝4时，f (x )取极小值． 所以只有③正确． 三、解答题9．已知函数y ＝ax 3＋bx 2，当x ＝1时，有极大值3. (1)求实数a ，b 的值； (2)求函数y 的极小值． 解 (1)y ′＝3ax 2＋2bx .由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝3，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝3，3a ＋2b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9.(2)由(1)，知y ＝－6x 3＋9x 2.所以y ′＝－18x 2＋18x ＝－18x (x －1)． 令y ′＝0，解得x 1＝1，x 2＝0.所以当x <0时，y ′<0；当0<x <1时，y ′>0； 当x >1时，y ′<0.所以当x ＝0时，y 有极小值，其极小值为0.10．已知a ∈R ，讨论函数f (x )＝e x (x 2＋ax ＋a ＋1)的极值点的个数． 解 f ′(x )＝e x (x 2＋ax ＋a ＋1)＋e x (2x ＋a ) ＝e x [x 2＋(a ＋2)x ＋(2a ＋1)]．令f ′(x )＝0，所以x 2＋(a ＋2)x ＋2a ＋1＝0.※ ①当Δ＝(a ＋2)2－4(2a ＋1)＝a 2－4a >0，即a <0或a >4时，设※有两个不同的根x 1，x 2，不妨设x 1<x 2， 所以f ′(x )＝e x (x －x 1)(x －x 2)．即f (x )有两个极值点．②当Δ＝0，即a ＝0或a ＝4时，设※有两个相等实根x 1， 所以f ′(x )＝e x (x －x 1)2≥0，所以f (x )无极值．③当Δ<0，即0<a<4时，x2＋(a＋2)x＋2a＋1>0，所以f′(x)>0(x∈R)．故f(x)也无极值．综上所述，当a<0或a>4时，f(x)有两个极值点，当0≤a≤4时f(x)无极值点．B级：能力提升练1．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是()答案 C解析因为f(x)在x＝－2处取得极小值，所以在x＝－2附近的左侧，f(x)单调递减，即f′(x)<0；在x＝－2附近的右侧，f(x)单调递增，即f′(x)>0.故在x＝－2附近的左侧有y＝xf′(x)>0；在x＝－2附近的右侧有y＝xf′(x)<0.所以可排除选项A，B，D，只有选项C满足这一条件．而且当x＝0时，xf′(x)＝0，选项C也满足这一条件．故选C.2．已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－43处取得极值．(1)确定a的值；(2)若g(x)＝f(x)e x，讨论g(x)的单调性．解(1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2＋2x，因为f(x)在x＝－43处取得极值，所以f′⎝⎛⎭⎪⎫－43＝0，即3a·169＋2·⎝⎛⎭⎪⎫－43＝16a3－8 3＝0，解得a＝12.(2)由(1)得g(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫12x3＋x2e x，故g′(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫32x2＋2x e x＋⎝⎛⎭⎪⎫12x3＋x2e x＝⎝⎛⎭⎪⎫12x3＋52x2＋2x e x＝12x(x＋1)(x＋4)e x.令g′(x)＝0，解得x＝0，x＝－1或x＝－4.当x<－4时，g′(x)<0，故g(x)为减函数；当－4<x<－1时，g′(x)>0，故g(x)为增函数；当－1<x<0时，g′(x)<0，故g(x)为减函数；当x>0时，g′(x)>0，故g(x)为增函数．综上知g(x)在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数．。