考前回扣一、集合、复数与常用逻辑用语知识方法1.集合的概念、关系及运算(1)集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性,求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验.(2)集合与集合之间的关系:A⊆B,B⊆C⇒A⊆C,空集是任何集合的子集,含有n个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n-1,非空真子集数为2n-2.(3)集合的基本运算①交集:A∩B={x|x∈A,且x∈B}.②并集:A∪B={x|x∈A,或x∈B}.③补集:∁U A={x|x∈U,且x∉A}.重要结论:A∩B=A⇔A⊆B;A∪B=A⇔B⊆A.2.四种命题的关系(1)逆命题与否命题互为逆否命题;(2)互为逆否命题的两个命题同真假;(3)当判断原命题的真假比较困难时,可以转化为判断它的逆否命题的真假.3.充分、必要条件若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;若p⇔q,则p,q互为充要条件.4.简单的逻辑联结词命题p∨q,只要p,q有一真,即为真;命题p∧q,只有p,q均为真,才为真; p和p为真假对立的命题.5.全称命题与特称命题(1)全称命题p:∀x∈M,p(x),它的否定 p:∃x0∈M, p(x0).(2)特称命题p:∃x0∈M,p(x0),它的否定 p:∀x∈M, p(x).6.复数(1)复数的有关概念(2)运算法则加减法:(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.乘法:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.除法:==.易忘提醒1.求解集合运算时,要注意集合端点值的取舍,涉及含参数的集合运算时,要注意集合中元素的“互异性”.2.判断一些命题的真假时,如果不能直接判断,可以转化为判断其逆否命题的真假.3.否命题是既否定条件,又否定结论;而命题的否定是只否定命题的结论.在否定结论时,应将“且”改成“或”,将“或”改成“且”.4.A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/ A)与A的充分不必要条件是B(B⇒A,且A⇒/ B)两者的不同.5.只有当两个复数全是实数时,两复数才能比较大小,即当z1,z2∈C时,若z1,z2能比较大小,它们的虚部均为0.习题回扣(命题人推荐)1.(集合的运算)若集合M=x y=,N={y|y=},则M∩∁R N= .答案:{x|x<0}2.(复数的概念与运算)+1= .答案:3.(复数相等)若x,y∈R,且(x-3y)+(2x+3y)i=5+i,则x-y= .答案:34.(充要条件)两直线斜率相等是两直线平行的条件.答案:既不充分又不必要5.(命题真假判断)下列命题是真命题的序号是.①“空集是集合A的子集”的否定;②有些整数只有两个正因数;③∃x是无理数,x2也是无理数;④“任意两个等边三角形都是相似”的否定.答案:②③二、平面向量、框图与合情推理知识方法1.平面向量(1)平面向量的两个重要定理①向量共线定理:向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ,使b=λa.②平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2,其中e1,e2是一组基底.(2)两个非零向量平行、垂直的充要条件若两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则:①a∥b⇔a=λb(λ≠0)⇔x1y2-x2y1=0.②a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.(3)平面向量的三个性质①若a=(x,y),则|a|==.②若A(x1,y1),B(x2,y2),则||=.③若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为a与b的夹角,则cos θ==.(4)常用的重要结论:①若直线l的斜率为k,则(1,k)是直线l的一个方向向量;②若=λ+μ(λ,μ为常数),则A,B,C三点共线的充要条件是λ+μ=1.程序框图的三种基本逻辑结构(1)顺序结构:如图(1)所示;(2)条件结构:如图(2)和(3)所示;(3)循环结构:如图(4)和(5)所示.3.合情推理合情推理包括归纳推理和类比推理.归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理;而类比推理是由特殊到特殊的推理.易忘提醒1.注意向量平行与三点共线的区别与联系,当两向量平行且有公共点时,才能得出三点共线;另外,利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合.2.向量相等具有传递性,向量平行不具有传递性.如a∥b,b∥c,只有b≠0时,a∥c.3.a·b=0不能推出a=0或b=0,因为a·b=0时,有可能a⊥b.4.a·b>0是两个向量a,b夹角为锐角的必要不充分条件.5.利用循环结构表示算法,第一要准确地选择表示累计的变量,第二要注意在哪一步开始循环,满足什么条件不再执行循环体.6.直到型循环是先执行再判断,直到条件满足才结束循环;当型循环是先判断再执行,若满足条件则进入循环体,否则结束循环.7.合情推理的结论不一定是正确的,要确定其结论的正确性还需证明.习题回扣(命题人推荐)1.(程序框图)执行如图所示的程序框图,如果输入的t∈[-1,3],则输出的s属于( A )(A)[-3,4] (B)[-5,2](C)[-4,3] (D)[-2,5]2.(共线向量)设平面向量a=(1,2),b=(-2,y),若a∥b,则|2a-b|= .3.(数量积的应用)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=4,且a·b=2,则a与b的夹角为.答案:4.(数量积的应用)设Ox,Oy是平面内相交成60°角的两条数轴,e1,e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量,若向量=xe1+ye2,则把有序数对(x,y)叫做向量在坐标系xOy下的坐标.假设=3e1+2e2,则||= .答案:5.(类比推理)设P是△ABC内一点,△ABC三边上的高分别为h A,h B,h C,P到三边的距离依次为l a,l b,l c,则有++=1;类比到空间,设P是四面体ABCD内一点,四顶点到对面的距离分别是h A,h B,h C,h D,P到这四个面的距离依次是l a,l b,l c,l d,则有.答案:+++=1三、不等式与线性规划、计数原理与二项式定理知识方法1.一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2+bx+c>0(a≠0),再求相应一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集.2.线性规划(1)判断二元一次不等式表示的平面区域的方法.在直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的某一侧任取一点(x0,y0),通过Ax0+By0+C的符号来确定Ax+By+C>0(或Ax+By+C<0)所表示的区域.(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤:①画出可行域;②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点;③求出目标函数的最大值或者最小值.(3)求解实际生活中线性规划问题时,应根据条件确定可行域及目标函数,根据可行域及目标函数特征求最值.3.基本不等式(1)已知x,y∈(0,+∞),如果积xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2;(2)已知x,y∈(0,+∞),如果和x+y是定值S,那么当x=y时积xy有最大值.4.排列与组合(1)分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成,则要用分类加法计数原理将方法种数相加;如果需要通过若干步才能将规定的事件完成,则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘.公式①=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=②===①0!=1;=n!性质②=;=+5.二项式定理二项式定理(a+b)n=a n+a n-1b1+…+a n-k b k+…+b n(n∈N*)二项展开式T k+1=a n-k b k,它表示第k+1项的通项公式二项式系数二项展开式中各项的系数(k∈{0,1,2,…,n})(2)二项式系数的性质①0≤k≤n时,与的关系是=.②二项式系数先增后减中间项最大.当n为偶数时,第+1项的二项式系数最大,最大值为;当n为奇数时,第项和项的二项式系数最大,最大值为和.③各二项式系数和:+++…+=2n,+++…=+++…=2n-1.易忘提醒1.求解形如ax2+bx+c>0(a≠0)的一元二次不等式时,易忽视对系数a的讨论导致漏解或错解,应分a>0,a<0进行讨论.在填空题中不等式的解集一定要写成集合或区间的形式.2求解线性规划问题时应明确:“直线定界,特殊点定域”,定界时注意是否包含边界.3.求线性目标函数最值时,应将z=ax+by转化为y=-x+.要注意b>0或b<0对目标函数最值的影响,且应注意正切函数y=tan α在,π时,函数是增函数.4.使用基本不等式≥时应注意“一正、二定、三相等”的条件,在多次使用基本不等式求最值时,应注意取“等号”的条件是否一致.习题回扣(命题人推荐)1.(不等式的解法)函数y=的定义域为R,则m的取值范围是.答案:,+∞2.(线性规划)若x,y满足约束条件则z=2x+3y的最大值为. 答案:703.(基本不等式单调性法)(1)函数f(x)=的最小值为;(2)函数f(x)=的最小值为.答案:(1)2 (2)4.(不等式性质)已知则2x+y的取值范围是.答案:[1,5]四、函数图象与性质、函数与方程知识方法1.函数的三个性质(1)单调性对于函数y=f(x)定义域内某一区间D上的任意x1,x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在D 上是增(减)函数;对于函数y=f(x)定义域内某一区间D上的任意x1,x2,>0(<0)⇔f(x)在D上是增(减)函数.(2)奇偶性对于定义域(关于原点对称)内的任意x,f(x)+f(-x)=0⇔f(x)是奇函数;对于定义域(关于原点对称)内的任意x,f(x)-f(-x)=0⇔f(x)是偶函数.(3)周期性设函数y=f(x),x∈D.若T为f(x)的一个周期,则nT(n≠0,n∈Z)也是f(x)的周期.2.关于函数性质常见结论(1)常见抽象函数的周期.(设函数y=f(x),定义域为D)①若∀x∈D,且f(x+a)=-f(x),则T=2|a|;(a≠0,下同)②若∀x∈D,且f(x+a)=±,则T=2|a|;③若∀x∈D,且f(x+a)=f(x+b),则T=|b-a|(a≠b).(2)抽象函数对称性.(y=f(x),定义域为D)①若对∀x∈D,且f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直线x=对称;特别地,当a=b,即f(a+x)=f(a-x)时,函数f(x)的图象关于直线x=a对称;②若对∀x∈D,f(a+x)=-f(b-x)(即f(x+a+b)=-f(-x)),则函数图象关于点,0中心对称,特别地,当a=b时,即f(a+x)=-f(a-x),则函数图象关于点(a,0)中心对称.(3)关于奇偶性结论①若奇函数y=f(x)在原点处有定义,则一定有f(0)=0;②若函数y=f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=f(|x|);③奇函数在关于原点对称的区间有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的区间单调性相反.3.关于指数与对数式的七个运算公式(1)a m·a n=a m+n;(2)(a m)n=a mn;(3)log a(MN)=log a M+log a N;(4)log a=log a M-log a N;(5)log a M n=nlog a M;(6)=N;(7)log a N=(a>0且a≠1,b>0且b≠1,M>0,N>0).4.指数函数与对数函数的图象和性质指数函数对数函数图象单调性0<a<1时,在R上单调递减;a>1时,在R上单调递增a>1时,在(0,+∞)上单调递增;0<a<1时,在(0,+∞)上单调递减函数值性质0<a<1当x>0时,0<y<1;当x<0时,y>1当x>1时,y<0,当0<x<1时,y>0 a>1当x>0时,y>1;当x<0时,0<y<1当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<05.函数的零点(1)函数的零点及其与方程根的关系对于函数f(x),使f(x)=0的实数x叫做函数f(x)的零点,函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标.(2)零点存在性定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.易忘提醒1.判断函数奇偶性时,首先考虑函数定义域是否关于原点对称.2.函数有多个单调区间时,易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”,它们之间一般用“,”隔开或者用“和”字连接.3.底数含参数的指数、对数函数单调性,要分底数a>1和0<a<1两种情况讨论.4.函数的零点不是一个“点”,而是函数图象与x轴交点的横坐标.习题回扣(命题人推荐)1.(函数的定义域)函数f(x)=的定义域为.答案:(-∞,-2)∪(4,+∞)2.(函数的奇偶性)函数f(x)=x2+(a-1)x+b在定义域(-5,b+2)上是偶函数,则a+b= .答案:43.(指数函数的图象和性质)函数f(x)=3+(a-1)x-2(a>1且a≠2)必过定点.答案:(2,4)4.(对数的运算)(lg 5)2+lg 50·lg 2=.答案:15.(函数的零点)函数f(x)=3x-7+ln x的零点位于区间(n,n+1)(n∈N*)内,则n= . 答案:2五、导数的简单应用与定积分知识方法1.导数的几何意义(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率,即k=f'(x0).(2)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).2.函数的单调性(1)在某个区间(a,b)内,如果f'(x)>0(f'(x)<0),那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增(单调递减).(2)利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤①确定函数f(x)的定义域;②求导数f'(x);③在函数f(x)的定义域内解不等式f'(x)>0和f'(x)<0;④根据③的结果确定函数f(x)的单调区间.3.函数的极值设函数y=f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近所有的点x都有f(x)<f(x0),那么f(x0)是函数的一个极大值,记作y极大值=f(x0);如果对x0附近的所有的点都有f(x)>f(x0),那么f(x0)是函数的一个极小值,记作y极小值=f(x0).极大值与极小值统称为极值.4.函数的最值将函数y=f(x)在[a,b]内的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.5.定积分(1)定积分的性质①kf(x)dx=k f(x)dx;②[f1(x) ±f2(x)]dx=f1(x)dx±f2(x)dx;③f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx.(其中a<c<b)(2)微积分基本定理一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F'(x)=f(x),那么f(x)dx=F(b)-F(a).易忘提醒1.曲线y=f(x)“在点P(x0,y0)处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”是不同的.前者只有一条,后者则可能有多条.2.求复合函数y=f(ax+b)的导数时应注意复合函数求导法则,其导数为y'=af'(ax+b).3.利用导数研究函数的单调性,首先确定函数的定义域.4.已知单调性求参数时,应明确f'(x)>0在(a,b)上成立是f(x)在(a,b)上是增函数的充分条件.当f(x)在(a,b)上是增函数时,应有f'(x)≥0恒成立(其中满足f'(x)=0的x只有有限个),否则答案不全面.5.可导函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)=0是y=f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件.6.求定积分时应明确定积分结果可负,但曲边形的面积非负.习题回扣(命题人推荐)1.(导数的运算)函数f(x)=xsin x的导数为f'(x)= .答案:sin x+xcos x2.(导数几何意义)曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则a+b= .答案:23.(函数的单调性与导数)函数f(x)=2x3-6x2+7的单调递增区间是.答案:(-∞,0),(2,+∞)4.(函数的极值与导数)函数f(x)=x3-4x+在x= 处取极大值,其值是.答案:-25.(定积分)x+dx= .答案:4+ln 3六、导数的综合应用知识方法1.利用导数解决与函数有关的方程根问题(1)利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式方程根的个数问题的一般思路:①将问题转化为函数零点的个数问题,进而转化为函数图象交点的个数问题;②利用导数研究该函数在给定区间上的单调性、极值(最值)、端点值等;③画出函数的大致图象;④结合图象求解.(2)证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤:①在该区间上构造与方程相应的函数;②利用导数研究该函数在该区间上的单调性;③判断该函数在该区间端点处的函数值异号;④作出结论.2.利用导数证明不等式不等式的证明可转化为利用导数研究函数的单调性、极值和最值,再由单调性或最值来证明不等式,其中构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.易忘提醒在解决导数的综合问题时,应注意:(1)树立定义域优先的原则.(2)熟练掌握基本初等函数的求导公式和求导法则.(3)理解与不等式有关的导数综合问题化为函数最值问题的转化过程.(4)理解含参导数的综合问题中分类讨论思想的应用.(5)存在性问题与恒成立问题容易混淆,它们既有区别又有联系:若f(x)≤m恒成立,则f(x)max≤m;若f(x)≥m恒成立,则f(x)min≥m.若f(x)≤m有解,则f(x)min≤m;若f(x)≥m有解,则f(x)max≥m.七、三角函数的图象与性质、三角恒等变换知识方法1.三角函数定义及诱导公式(1)三角函数的定义设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sin α=y,cos α=x,tan α=.各象限角的三角函数值的符号;一全正,二正弦,三正切,四余弦.(2)诱导公式及记忆对于“±α,k∈Z的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆:奇变偶不变,符号看象限.2.“牢记”五组公式(1)同角三角函数关系式①平方关系:sin2α+cos2α=1;②商数关系:tan α=.(2)两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β;cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β;tan(α±β)=.(3)二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α=2sin αcos α;cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;tan 2α=;cos2α=,sin2α=.(4)辅助角公式asin α+bcos α=sin(α+φ)tan φ=.(5)关于α与的正弦、正切、余弦公式①tan ===±.②sin α=,cos α=.3.“明确”三种三角函数图象、性质及两种图象变换(1)三种函数的图象和性质函数y=sin x y=cos x y=tan x图象单调性在-+2kπ,+2kπ(k∈Z)上在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上单调递增;在[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上单在-+kπ,+kπ(k单调递增;在+2kπ,+2kπ(k∈Z)上单调递减调递减∈Z)上单调递增对称性对称中心:(kπ,0)(k∈Z);对称轴:x=+kπ(k∈Z)对称中心:+kπ,0(k∈Z);对称轴:x=kπ(k∈Z)对称中心:,0(k∈Z);无对称轴(2)两种三角函数图象变换(以y=sin x变为y=sin (ωx+φ)(ωφ≠0)为例)①先平移后伸缩:y=sin x y=sin(x+φ)y=sin(ωx+φ) y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0).②先伸缩后平移:y=sin x y=sinωx y=sin(ωx+φ)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0).易忘提醒1.使用诱导公式时,要根据“口诀”确定符号.2.研究形如y=Asin(ωx+φ)(ωφ≠0)的性质时,要将ωx+φ作为一个整体考虑,而当ω<0时,求y=Asin(ωx+φ)的单调性,应先利用诱导公式将x系数变为正数后再求其单调区间,要注意单调区间一定写成“区间”的形式,且角度制与弧度制不能混用,并且k∈Z.3.由函数y=Asin ωx(ω≠0)的图象得到y=Asin(ωx+φ)的图象时,平移长度是,而不是|φ|.4.三角函数平移时,若两三角函数名称不一致,需利用诱导公式化为同名函数后再平移.5.利用三角恒等变换公式研究给角求值或给值求角时,不要忽视角的范围.习题回扣(命题人推荐)1.(定义转化法)若α是第二象限角且cos =-cos ,则是第象限角.答案:三2.(转化法)若<α<π,则-= .答案:-2tan α3.(数形结合、定义法)函数y=|cos 2x|的最小正周期T= .答案:八、解三角形知识方法1.正弦定理===2R(2R为△ABC外接圆的直径).变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C.sin A=,sin B=,sin C=.a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.2.余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C.推论:cos A=,cos B=,cos C=.3.面积公式S△ABC=bcsin A=acsin B=absin C.4.常用结论(1)三角形内角和A+B+C=π;(2)a>b>c⇔A>B>C⇔sin A>sin B>sin C;(3)sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C.易忘提醒1.根据正弦值求角时,应分类讨论.2.判断三角形形状时,应注意等式两边不要约分.3.已知两边及一边的对角,利用正、余弦定理求解时,解的情况可能不唯一.习题回扣(命题人推荐)1.(解三角形)在三角形ABC中,分别根据下列条件解三角形,其中有两个解的序号是.①a=30,b=40,A=30°②a=25,b=30,A=150°③a=8,b=16,A=30°④a=72,b=60,A=135°答案:①2.(实际应用)一只船以均匀的速度由A点向正北方向航行,如图,开始航行时,灯塔C在点A的北偏东30°方向,行驶60海里后,测灯塔C在点B的北偏东45°方向,则A到C的距离为海里.答案:(60+60)3.(公式变形)△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=11∶8∶5,则cos B= .答案:4.(解三角形)△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,若A=,a=1,b=,则B= .答案:或九、等差数列与等比数列知识方法1.等差数列(1)基本公式:通项公式、前n项和公式.(2)项的性质:m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)时,a m+a n=a p+a q,当p=q时,a m+a n=2a p.(3)基本方法:①基本量方法;②定义法证明数列{a n}为等差数列,其他证明方法均为定义法的延伸;③函数方法处理等差数列的前n项和问题.2.等比数列(1)基本公式:通项公式、前n项和公式(分公比等于1和不等于1).(2)项的性质:m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)时,a m a n=a p a q,当p=q时,a m a n=.(3)基本方法:①基本量方法;②定义法证明数列{a n}为等比数列,其他证明方法均为定义法的延伸.易忘提醒1.b2=ac是a,b,c为等比数列的必要不充分条件;2.当等比数列的公比不确定时,求前n项和要分公比等于1和不等于1分别进行计算.习题回扣(命题人推荐)1.(等差数列的判定)已知数列{a n}满足如下条件:①a n=an+b(a,b为常数);②2a n+1=a n+a n+2对∀n∈N*恒成立;③前n项和S n=2n2+3n+2.在上述条件中能够判定{a n}为等差数列的是.答案:①②2.(等差数列的基本运算)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若S10=310,S20=1 220,则S n= .答案:3n2+n3.(等比数列的基本运算)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,若S5=10,S10=50,则S15= .答案:2104.(等比数列的判定)已知数列{a n},{b n}均为等比数列,则数列:①{a n+b n};②{ka n}(k为非零常数);③{a n b n};④;⑤{b3n-2}中一定为等比数列的是.答案:②③④⑤5.(等差、等比数列的综合)已知{a n}是公差为d的等差数列,其前n项和为S n;{b n}是公比为q的等比数列,其前n项和为T n.有下列结论:①=d;②=q m-n;③S k,S2k-S k,S3k-S2k为等差数列;④T k,T2k-T k,T3k-T2k为等比数列(其中m,n,k为正整数).其中正确结论的序号是.解析:④中,当k为偶数时,有T k=0的可能,如果k为奇数,则④的结论也正确.答案:①②③十、数列求和及简单应用知识方法1.a n,S n的关系a n=2.基本公式等差数列、等比数列求和公式.3.常用裂项公式(1)=-;(2)=-;(3)=-(n≥2);(4)=-等.4.基本递推关系(1)a n+1=a n+f(n)(叠加法);(2)=f(n)(叠乘法);(3)a n+1=ca n+d(c≠0,1,d≠0)(转化为a n+1+λ=c(a n+λ));(4)a n+1-qa n=p·q n+1(p≠0,q≠0,1)转化为-=p等.易忘提醒1.根据S n求通项时,不要忘记分类求解.2.裂项求和时注意验证裂项前后的等价性;错位相减求和时,不要忘记检验第一项与后面的项是否组成等比数列,不要忘记最后一项.习题回扣(命题人推荐)1.(由a n与S n的关系求a n)已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1,则a n= .答案:2.(逆推数列求和)已知数列{a n}中,a1=1,a2=2,a n+2=a n+1+a n,则该数列的前6项之和是.答案:323.(转化为等比数列求和)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=4a n+3,则该数列的前n项和S n= .解析:a n+1+1=4(a n+1),a n=2×4n-1-1,所以S n=-n=·4n-n-.答案:·4n-n-4.(裂项相消法求和)数列的前2 017项的和是.答案:十一、空间几何体的三视图、表面积与体积知识方法1.棱柱、棱锥(1)棱柱的性质侧棱都相等,侧面是平行四边形;两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形;过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形;直棱柱的侧棱长与高相等且侧面与对角面是矩形.(2)正棱锥的性质侧棱相等,侧面是全等的等腰三角形,斜高(侧面等腰三角形底边上的高)相等;棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形;棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形;某侧面上的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形;侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形.2.三视图(1)正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体得到的投影图.画三视图的基本要求:正俯一样长,俯侧一样宽,正侧一样高;(2)三视图排列规则:俯视图放在正视图的下面,长度与正视图一样;侧视图放在正视图的右面,高度和正视图一样,宽度与俯视图一样.3.几何体的切接问题(1)解决球的内接长方体、正方体、正四棱柱等问题的关键是把握球的直径即是棱柱的体对角线.(2)解决柱、锥的内切球问题的关键是找准切点位置,化归为平面几何问题.4.柱体、锥体、台体和球的表面积与体积(不要求记忆)(1)表面积公式①圆柱的表面积S=2πr(r+l);②圆锥的表面积S=πr(r+l);③圆台的表面积S=π(r'2+r2+r'l+rl);④球的表面积S=4πR2.(2)体积公式①柱体的体积V=Sh;②锥体的体积V=Sh;③台体的体积V=(S'++S)h;④球的体积V=πR3.易忘提醒在有关体积、表面积的计算应用中注意等积法的应用.习题回扣(命题人推荐)1.(直观图的面积)一个水平放置的平面图形,其直观图的面积是,则原图形的面积是.答案:42.(多面体)构成多面体的面最少是.答案:四个3.(三视图求体积)某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示,则该三棱锥的体积为.答案:44.(球的有关计算)如果两个球的体积之比为8∶27,那么这两个球的表面积之比为.答案:4∶95.(棱台的体积计算)已知棱台的上下底面面积分别为4,16,高为3,则该棱台的体积为.答案:28十二、点、直线、平面之间的位置关系知识方法1.直线与平面平行的判定和性质(1)判定①判定定理:a∥b,b⊂α,a⊄α⇒a∥α.②面面平行的性质:α∥β,a⊂α⇒a∥β.③a⊥b,α⊥b,a⊄α,则a∥α.(2)性质:l∥α,l⊂β,α∩β=m⇒l∥m.2.直线和平面垂直的判定和性质(1)判定①判定定理:a⊥b,a⊥c,b,c⊂α,b∩c=O ⇒a⊥α.②a∥b,a⊥α⇒b⊥α.③l⊥α,α∥β⇒l⊥β.④α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.(2)性质①l⊥α,a⊂α⇒l⊥a.②l⊥α,m⊥α⇒l∥m.3.两个平面平行的判定和性质(1)判定①判定定理:a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α⇒β∥α.②l⊥α,l⊥β⇒α∥β.③α∥γ,α∥β⇒β∥γ.(2)性质:α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b⇒a∥b.4.两个平面垂直的判定和性质(1)判定:a⊂α,a⊥β⇒α⊥β.(2)性质:α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.易忘提醒1.平行问题的转化关系2.垂直关系的转化习题回扣(命题人推荐)1.(面面位置关系)三个平面两两相交有三条交线,这三条直线的位置关系是. 答案:交于一点或者互相平行2.(面面位置关系)如果α∥β,β⊥γ,那么α,γ的位置关系是.答案:α⊥γ3.(线面位置关系)如果α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,则l与γ的位置关系是.答案:l⊥γ4.(线面位置关系)已知直线a在平面β外,平面α∥平面β,a∥平面α,则直线a与平面β的位置关系是.答案:平行5.(面面平行的性质)如图,已知三个平面α,β,γ互相平行,a,b是异面直线,a与α,β,γ分别交于A,B,C三点,b与α,β,γ分别交于D,E,F三点,连接AF交平面β于G,连接CD交平面β于H,则四边形BGEH必为.答案:平行四边形十三、立体几何中的向量方法知识方法1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1),平面α,β的法向量分别为μ=(a2,b2,c2),v=(a3,b3,c3).(1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0.(2)线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a=kμ⇔a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2.(3)面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ=λv⇔a2=λa3,b2=λb3,c2=λc3.(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v=0⇔a2a3+b2b3+c2c3=0.2. 空间角的计算(1)两条异面直线所成角的求法设直线a,b的方向向量为a,b,其夹角为θ,则cos φ=|cos θ|=(其中φ为异面直线a,b所成的角).(2)直线和平面所成角的求法如图所示,设直线l的方向向量为e,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为φ,两向量e与n的夹角为θ,则有sin φ=|cos θ|=.(3)二面角的求法①利用向量求二面角的大小,可以不作出平面角,如图所示,<m,n>即为所求二面角αABβ的平面角.②对于易于建立空间直角坐标系的几何体,求二面角的大小时,可以利用这两个平面的法向量的夹角来求.如图所示,二面角αlβ,平面α的法向量为n1,平面β的法向量为n2,<n1,n2>=θ,则二面角αlβ的大小为θ或π-θ.易忘提醒异面直线所成角的范围是0,,线面角的范围是0,,二面角的范围是[0,π].习题回扣(命题人推荐)1.(直线的方向向量和平面的法向量)平面α的一个法向量n=(0,1,-1),如果直线l⊥平面α,则直线l的单位方向向量是.答案:±0,,-2.(平面的法向量)已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC中的单位法向量是.答案:±,,3.(空间向量的计算)已知A(4,-7,1),B(6,2,z),若||=11,则z= .答案:7或-54.(向量法求线线角)在正方体ABCD A1B1C1D1中,E是C1D1的中点,则异面直线DE与AC所成的角的余弦值为.答案:5.(向量法求线面角)已知正三棱柱ABC A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于.答案:十四、直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质知识方法1.直线:直线的倾斜角和斜率、直线方程的四种特殊形式、直线方程的一般形式、两直线平行关系和垂直关系的判断、点到直线的距离公式、两平行线间的距离公式.2.圆:圆的定义、标准方程和一般方程、一般的二元二次方程表示圆的充要条件、直线与圆。
