江苏省如皋,海安2017-2018学年度第二学期期末调研测试高一数学试题

2017-2018学年江苏省南京市高一第二学期期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）在平面直角坐标系xOy中，记直线y＝x﹣2的倾斜角是θ，则θ的值为．2．（5分）在等比数列{a n}中，己知，则a6的值为．3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过点（﹣1，0），（1，4），则直线l的方程是．4．（5分）已知α为锐角，且，则sin2α的值为．5．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，则四个侧面△P AB，△PBC，△PCD，△P AD中，有个直角三角形．6．（5分）不等式的解集为．7．（5分）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则此圆锥的体积为．8．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，则角A的大小为．9．（5分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A 1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，．记异面直线AB1，与BD所成的角为θ，则cosθ的值为．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，经过点P（1，1）的直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B．若，则直线l的方程是．11．（5分）α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是．（填上所有正确命题的序号）．①若α∥β，m⊂α，则m∥β；②若m∥α，n⊂α，则m∥n；③若m⊥α，m∥n，则n⊥α；④若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β．12．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a2﹣b2＝（a cos B+b cos A）2，且△ABC的面积为50，则△ABC周长的最小值为．13．（5分）已知数列{a n}的通项公式为，则数列{a n}前15项和为S15的值为．14．（5分）已知正实数x，y满足x2+xy﹣2y2＝1，则5x﹣2y的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（15分）在平面直角坐标系xOy中，设直线l的方程为x+my﹣2m＝0（m≠0）．（1）若直线l的斜率为﹣1，求实数m的值；（2）若直线l与坐标轴为成的三角形的面积为2，求实数m的值．16．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1是矩形，侧面BCC1B1是菱形，M是AB1的中点．N是BC1与B1C的交点，AC⊥B1C，求证：（1）MN∥平面ACC1A1；（2）BC1⊥平面AB1C．17．（15分）在△ABC中，已知点D在BC边上，且2BD＝DC，AB＝2，．（1）若AD⊥BC，求tan∠BAC的值；（2）若，求线段AC的长．18．（15分）已知函数f（x）＝x2+ax﹣b（a，b∈R）．（1）若b＝﹣1，且函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（2）当b＝1﹣a时，解关于x的不等式f（x）≤0；（3）若正数a，b满足，且对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≥0恒成立，求实数a，b的值．19．（15分）某水产养殖户制作一体积为1200立方米的养殖网箱（无盖），网箱内部被隔成体积相等的三块长方体区域（如图），网箱．上底面的一边长为20米，网箱的四周与隔栏的制作价格是200元/平方米，网箱底部的制作价格为90元/平方米．设网箱上底面的另一边长为x米，网箱的制作总费用为y元．（1）求出y与x之间的函数关系，并指出定义域；（2）当网箱上底面的另一边长x为多少米时，制作网箱的总费用最少．20．（15分）已知{a n}是公差不为零的等差数列，{b n}是等比数列，且a2＝b2＝1，a3﹣1＝b3，a4﹣1＝b4．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记c n＝a n•b n，求数列{c n}的前n项和S n；（3）若满足不等式成立的n恰有3个，求正整数m的值．2017-2018学年江苏省南京市高一第二学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．【考点】I2：直线的倾斜角．【解答】解：直线y＝x﹣2的倾斜角是θ，则tanθ＝1，即θ＝，故答案为：【点评】本题考查了直线的斜率，属于基础题．2．【考点】88：等比数列的通项公式．【解答】解：∵在等比数列{a n}中，己知，∴＝＝，∴a6＝＝＝3．故答案为：3．【点评】本题考查等比数列的第6项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3．【考点】ID：直线的两点式方程．【解答】解：根据两点式方程可得＝，即y＝2x+2，故答案为：y＝2x+2【点评】本题考查了两点式方程，属于基础题．4．【考点】GS：二倍角的三角函数．【解答】解：∵α锐角，且，∴sin＝，∴sin2α＝2sinαcosα＝2×＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5．【考点】LW：直线与平面垂直．【解答】解：∵P A⊥平面ABCD∴P A⊥AB，P A⊥AD∴△P AB，△P AD为直角三角形事实上，BC⊥P A，BC⊥AB∴BC⊥平面P AB∴BC⊥PB∴△PBC为直角三角形同理△PDC为直角三角形∴四个侧面三角形均为直角三角形．【点评】此题考查了线面垂直与线线垂直之间的关系，难度不大．6．【考点】7E：其他不等式的解法．【解答】解：不等式，等价于x（x﹣2）≤0，∴0≤x≤2，∵x≠2．∴不等式的解集为：[0，2）故答案为：[0，2）【点评】本题考查不等式的解法，主要考查高次不等式的解法注意转化为二次不等式，考查运算能力，属于基础题．7．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【解答】解：如图，OA＝1，P A＝3，则OP＝．∴圆锥的底面积S＝π×12＝π，体积V＝．故答案为：．【点评】本题考查圆锥的体积求法，是基础的计算题．8．【考点】HR：余弦定理．【解答】解：∵，，∴由正弦定理可得：sin B＝＝＝，∵b＜c，B为锐角，∴B＝．∴A＝π﹣C﹣B＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值及三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．9．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【解答】解：∵在直四棱柱ABCD﹣A 1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，．∴BD∥B1D1，∴∠AB1D1是异面直线AB1，与BD所成的角（或所成的角的补角），设＝，∴AD1＝AB1＝＝2，B1D1＝，记异面直线AB1异面直线AB1，与BD所成的角为θ，则cosθ＝＝．故答案为：．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10．【考点】96：平行向量（共线）．【解答】解：设直线l的方程为：y﹣1＝k（x﹣1），（k≠0），可得A（1﹣，0），B （0，1﹣k）．∵，∴（1﹣﹣1，﹣1）＝﹣2（﹣1，1﹣k﹣1），即（﹣，﹣1）＝（2，2k）．∴﹣＝2，﹣1＝2k．解得k＝﹣．∴直线l的方程为：y﹣1＝﹣（x﹣1），化为：x+2y﹣3＝0．故答案为：x+2y﹣3＝0．【点评】本题考查了直线的方程、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系；LQ：平面与平面之间的位置关系．【解答】解：由α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，知：在①中，若α∥β，m⊂α，则由面面平行的性质定理得m∥β，故①正确；在②中，若m∥α，n⊂α，则m与n平行或异面，故②错误；在③中，若m⊥α，m∥n，则由线面垂直的判定定理得n⊥α，故③正确；在④中，若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m与β相交、平行或m⊂β，故④错误．故答案为：①③．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．12．【考点】HP：正弦定理．【解答】解：∵a2﹣b2＝（a cos B+b cos A）2＝（a•+b•）2＝c2，∴可得：a2＝b2+c2，可得：A＝，∵△ABC的面积为50，即：bc＝50，可得：bc＝100，∴可得a2＝b2+c2≥2bc＝200，可得：a≥10，当且仅当b＝c时等号成立，∵b+c＝＝≥＝20，∴△ABC周长l＝a+b+c≥，当且仅当b＝c时等号成立．故答案为：20+10．【点评】本题主要考查了余弦定理，勾股定理，三角形面积公式，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．13．【考点】8E：数列的求和．【解答】解：数列{a n}的通项公式为，由＝（﹣），可得S15＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）+（2+4+6+…+14）﹣7×7＝×+×7×16﹣49＝．故答案为：．【点评】本题考查数列的求和方法：分组求和，考查等差数列的求和公式和裂项相消求和方法，考查运算能力，属于中档题．14．【考点】KE：曲线与方程．【解答】解：∵x2+xy﹣2y2＝1，∴（x+2y）（x﹣y）＝1，令m＝x+2y，n＝x﹣y，∴mn＝1，∵x，y都是正实数，∴m＞0，则n＝＞0，∴5x﹣2y＝（x+2y）+4（x﹣y）＝m+4n．当且仅当m＝4n，即m＝2，n＝，也就是x＝1，y＝时，5x﹣2y有最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查曲线方程的应用，训练了利用基本不等式求最值，考查数学转化思想方法，是中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．【考点】IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【解答】解：（1）由题意可得：＝﹣1，解得m＝1．（2）由m≠0，x＝0时，y＝2；y＝0时，x＝2m；则围成的三角形面积为＝2，解得m＝±1．【点评】本题考查了直线的方程、三角形面积计算公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．【考点】LS：直线与平面平行；LW：直线与平面垂直．【解答】证明：（1）由四边形BCC1B1是菱形，可得N为B1C中点，又因为M为AB1，中点，可得MN∥AC，又因为MN⊄平面ACC1A1，AC⊂平面ACC1A1，故MN∥平面ACC1A1；（2）由四边形ACC1A1为矩形，可得AC⊥CC1，又因为AC⊥B1C，CC1⊂平面BCC1B1，B1C⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C＝C，可得AC⊥平面BCC1B1，则AC⊥BC1，由四边形BCC1B1是菱形，可得B1C⊥BC1，因为AC⊥B1C，B1C⊥BC1，AC⊂平面AB1C，B1C⊂平面AB1C，AC∩B1C＝C，故BC1⊥平面AB1C．【点评】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．17．【考点】HR：余弦定理．【解答】解：（1）AD⊥BC时，，由DC＝2BD，可得，则tan∠BAD＝1，tan∠CAD＝2，可得：tan∠BAC＝tan（∠BAD＝＝＝﹣3；（2）三角形ABD内由余弦定理，则，即BD2﹣3BD+2＝0，解得BD＝1或2，当BD＝1时，BC＝3，三角形ABC内，由余弦定理＝；当BD＝2时，BC＝6，三角形ABC内由余弦定理＝则AC＝2，或．【点评】本题主要考查了勾股定理，两角和的正切函数公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和分类讨论思想的应用，属于中档题．18．【考点】3R：函数恒成立问题．【解答】解：（1）b＝﹣1时，f（x）＝x2+ax+1，由函数f（x）有零点，可得△＝a2﹣4≥0，即a≤﹣2或a≥2；（2）b＝1﹣a时，f（x）＝x2+ax+a﹣1＝（x+1）（x+a﹣1），当﹣1＜1﹣a即a＜2时，f（x）≤0的解集为[﹣1，1﹣a]，当﹣1＝1﹣a即a＝2时，f（x）≤0的解集为{﹣1}，当﹣1＞1﹣a即a＞2时，f（x）≤0的解集为[1﹣a，﹣1]；（3）二次函数f（x）开口响上，对称轴，由a＞2可得f（x）在[1，+∞）单调递增，x∈[1，+∞）时f（x）≥0恒成立，当且仅当f（1）≥0，即1+a﹣b≥0，即a≥b﹣1，由，可得，则，由＞0可得b2﹣4b+4≤0，即（b﹣2）2≤0，则b＝2，此时1≤a≤1，则a＝1．【点评】本题考查函数恒成立条件的应用，考查转化思想以及计算能力．19．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【解答】解：（1）网箱的高为米，由三块区域面积相同可得隔栏与左右两边交点为三等分点，隔栏与四周总面积为平方米，底部面积为20x平方米，则×，定义域为（0，+∞）；（2），由x＞0可得，当且仅当即x＝20时等号成立，答：，定义域为（0，+∞）；网箱上底面的另一边长x为20米时，制作网箱的总费用最少．【点评】本题考查函数与方程的实际应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．20．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，a3＝a2+d＝1+d，b3＝b2q＝q；a4＝a2+2d＝1+2d，；由a3﹣1＝b3，a4﹣1＝b4可得1+d﹣1＝q，1+2d﹣1＝q2，由d≠0，q≠0可得d＝q＝2，则a1﹣a2﹣d＝﹣1，，则a n＝2n﹣3，；（2），×21+…+（2n﹣3）×2n﹣2（2n﹣5）×2n﹣2+（2n﹣3）×2n﹣1作差可得2×21﹣…﹣2×2n﹣2+（2n﹣3）×2n﹣1，则×；（3）不等式可化为，即，即，n＝1，m∈N*时一定成立，则n≥2时，满足的n共有两个，此时2n﹣3＞0，m+8＞0，即满足的n共有两个，令，n≥2，＝，则n＝2时，c3＜c2，n≥3时，c n+1＜c n，，，，，则n≥2时，{c n}中最大的三项值为，由n≥2时满足的n共有两个，可得，由m＞0解得，则正整数m＝3．【点评】本题考查数列的应用，等差数列以及等比数列的应用，考查转化思想以及计算能力．。

2018年江苏省如东高级中学高一下学期阶段测试（二）数学试题一、填空题1．不等式的解集为____________．.【答案】【解析】分析：把分式不等式转化为整式不等式，再利用二次不等式的结论得解．详解：原不等式等价于，解为，故答案为点睛：分式不等式，，这里容易出错，要注意．2．设{}na是等差数列，若45621a a a++=，则9S=.【答案】63【解析】试题分析：由45621a a a++=得57a=，所以19959()9632aSaa+===【考点】等差数列性质【思路点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.3．在△中，已知，，，则角=_________．【答案】【解析】分析：利用正弦定理，注意，则．详解：由正弦定理得，∵，∴，∴．故答案为30°．点睛：在用正弦定理如解三角形时，如果已知两边及一边的对角，求，则此三角形可能有两解，可先求得，如果，无解，如果，则只有一解，，如果，则若，则有两解，若，则只有一解．4．过点()2,4A 向圆224x y +=所引的切线方程为__________． 【答案】234100x x y =-+=或【解析】若斜率不存在，直线2x =与圆224x y +=相切，符合题意；若斜率存在，设切线斜率为k ，则切线方程为()42y k x -=-，即240kx y k --+=，32,4k ==， ∴切线方程为2x =或34100x y -+=，故答案为2x =或34100x y -+=.5．在等比数列{a n }中，各项均为正值，且a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝5，则a 4＋a 8＝________． 【答案】【解析】分析：利用的等比数列的性质，求解．详解：由题意，∴，又，∴．故答案为．点睛：在等差数列和等比数列中一般可用基本量法求解，得数列的这个性质要尽量进行应用，若是等差数列，若，则，若，则；若是等比数列，若，则，若，则． 6．已知点，若直线与线段恒有公共点，则实数的取值范围是_________．【答案】【解析】分析：作出图象，通过图形观察直线与线段AB 有交点时的斜率变化．详解：如图，直线是过定点且斜率为的直线，，，∴或．故答案为．点睛：本题考查直线与线段相交问题，解题时可根据图形观察出直线斜率的变化情况，注意到过P点与轴垂直的直线与线段有交点，因此直线的范围是在和的两侧，若过P点与轴垂直的直线与线段没有交点，因此直线的范围是在和之间．7．若直线与直线平行，则=_______________．【答案】1【解析】分析：两直线平行，则对应项系数成比例，但要注意常数项．详解：由题意，，时，两直线方程为，，重合，不合题意，舍去，时，两直线方程为和，平行，∴．故答案为1．点睛：直线与直线平行，则，但时，这两直线不一定平行，可能重合．解题时要注意检验．8．，则的最小值为________________ ．【答案】【解析】分析：作“1”的代换后，用基本不等式求解．详解：由是题意，当且仅当时取等号．故答案为．点睛：此类示最值问题，一般是用“1”的代换，凑配出基本不等式的形式，然后由基本不等式得最值，也可用代入消元法化为一元函数，再由函数的性质求得最值．如本题：由得，，则，可用导数的知识求得最值．9．已知直线l ： 210mx y m +--=，圆C ： 22240x y x y +--=，当直线l 被圆C 所截得的弦长最短时，实数m =__________． 【答案】11--【解析】直线l 过定点()2,1A ，圆()()22:125C x y -+-= ，当直线l 被圆C 所截得的弦长最短时， 121 1.21AC l m m -⊥⇒-⨯=-⇒=-- 10．若数列{a n }的前n 项和，则___________．【答案】【解析】分析：利用求得通项公式，再由等比数列的求和公式求和．详解：由已知，时，，∴，则，∴．故答案为．点睛：已知，求，可用公式求解，只是 要注意此式仅对适用，也要先求出，才能正确得出通项． 11．已知实数成等比数列，成等差数列，则的最大值为___________．【答案】【解析】分析：把已知条件用数学式子表示出来，变形得，这样可以理解为是方程的两根，由判别式可得的范围．详解：由题意，即，∴是方程的两根，∴，解得，当时，满足题意．∴的最大值为．故答案为．点睛：本题考查等差数列与等比数列的概念，考查一元二次方程的判别式的应用．解题时只要掌握相应的概念，用数学式表示出已知条件就可把问题转化，属于基础题．12．过点(，0)引直线l与曲线相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l的斜率等于____________．【答案】【解析】分析：中，因此只要最大，则其面积最大，即．详解：由题意，，∴当时，最大，设直线方程为（），即，∴，解得（舍去）．故答案为．点睛：本题考查直线与圆的位置关系，解题关键掌握转化与化归思想．曲线是单位圆的上半圆，面积要最大，则最大，从而，因此问题转化为圆心到直线的距离为，这样易求得直线的斜率．13．在中，已知，则的最小值是________．【答案】【解析】分析：可先用向量的数量积公式将原式变形为：，然后再结合余弦定理整理为，再由cosC的余弦定理得到a，b的关系式，最后利用基本不等式求解即可.详解：已知，可得，将角A,B,C的余弦定理代入得，由，当a=b时取到等号，故cosC的最小值为.点睛：考查向量的数量积、余弦定理、基本不等式的综合运用，能正确转化是解题关键.属于中档题.14．在平面直角坐标系中，已知B，C为圆上两点，点，且，则线段BC的长的取值范围是____________．【答案】【解析】分析：设的中点为，由已知，因此可设，求出点的轨迹方程知点轨迹是圆，从而易得的取值范围．详解：设的中点为，因为，所以，化简得，即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以的取值范围是，从而的取值范围是．故答案为．点睛：另解：设中点为，设，∵∴，又，∴，，，∴，解得，∴．二、解答题15．设锐角三角形的内角、、的对边分别为、、，.(1)求角的大小.(2)若，，求.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由于锐角△ABC中，a=2bsinA，利用正弦定理将等式两边的边化成相应角的正弦即可；（2）由（1）得B=30°，又，c=5，利用余弦定理可求得b，试题解析：（1）由a＝2bsinA，得sinA＝2sinBsinA，所以sinB＝．由△ABC为锐角三角形，得B＝．（2）根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2acosB＝27＋25－45＝7，所以b＝．---6分【考点】正余弦定理解三角形16．已知的三个顶点的坐标为，，．（1）求边上的高所在直线的方程；（2）若直线与平行，且在轴上的截距比在轴上的截距大，求直线与两条坐标轴围成的三角形的周长．【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）利用互相垂直的直线斜率之间的关系可得边上的高所在的直线的斜率，再利用点斜式，即可求解直线的方程；（2）设直线的方程为，即，利用斜率计算公式可得，再利用相互平行的直线斜率相等，求解的值，即可求解.详解：（1）∵，∴边上的高所在直线的斜率为又∵直线过点∴直线的方程为：，即（2）设直线的方程为：，即∵∴，解得：∴直线的方程为：∴直线过点，三角形斜边长为∴直线与坐标轴围成的直角三角形的周长为．点睛：本题综合考查了相互垂直的直线的斜率之间的关系，相互平行的直线斜率之间的关系，直线方程，两点间的距离公式等基础知识和基本方法的运用，着重考查了推理与运算能力.17．已知函数，．(1)当时，解不等式；(2)若存在，函数的图象在轴下方，求实数的取值范围．【答案】（1）或；（2）【解析】分析：（1）一元二次不等式可以对二次三项式因式分解后可得出相应二次方程的根，从而得不等式的解集；（2）题意说明不等式在上存在使之成立，可用分离参数法转化为求函数的最值．即化为，只要求得的最小值详解： (1) 当时，，所以，所以或(2) 因为函数的图象在轴下方，所以，所以．因为，所以，所以．因为，当且仅当即时等号成立，所以．点睛：在集合上恒成立，则，在集合上存在使成立，则；在集合上恒成立，则，在集合上存在使成立，则．18．已知数列{}na的前n项和为nS，点(,)nSnn在直线11122y x=+上．数列{}nb满足2120n n nb b b++-+=*()n N∈，311b=，且其前9项和为153.（Ⅰ）求数列{}na，{}nb的通项公式；（Ⅱ）设3(211)(21)n n n c a b =--，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求使不等式57n kT >对一切*n N ∈都成立的最大正整数k 的值．【答案】解：（Ⅰ）由已知得11122n S n n =+， 211122n S n n ∴=+ …………1分当2n ≥时，1n n na S S +=-22111111(1)(1)2222n n n n =+----5n =+ …………3分 当1n =时，116a S ==也符合上式． （没有检验1a 扣1分）5n a n ∴=+ ， *n N ∈ . …………4分由2120n n n b b b ++-+= *()n N ∈知{}n b 是等差数列， …………5分由{}n b 的前9项和为153，可得1959()91532b b b +==，得517b =，又311b =，∴{}n b 的公差5332b b d -==，由312b b d =+ ，得15b =，∴32n b n =+， *n N ∈ . …………7分（Ⅱ）3111()(21)(63)22121n c n n n n ==--+-+ ， (9)分[]111111(1)()()23352121n T n n ∴=-+-++--+11(1)221n =-+ …………10分∵n 增大， 121n +减小 ， n T 增大，∴{}n T 是递增数列．∴113n T T ≥=. 即n T 的最小值为13 …………12分 要使得57n k T >对一切*n N ∈都成立，只要11357k T =>， 19k ∴<，则max 18k =. …………14分【解析】本试题主要是考查了数列的通项公式的求解和求和的运用。

江苏省南通市海安中学2017-2018学年高一(创新班)下学期4月月考数学试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、填空题1. 已知复数z满足(1＋i)z＝1＋i(i是虚数单位)，则|z|＝________.2. 已知向量，，则______.3. 集合____________________．4. 已知函数y＝的图像在点M(1，f(1))处的切线方程是，则＝________.5. 一个高为的圆锥，底面周长为.该圆锥的表面积为______.6. 将函数的图象向左至少平移______个单位可得到函数的图象.7. 若函数（e为自然对数的底数）是奇函数，则实数的值为_______．8. 设是等差数列的前项的和,若则的值为__________．9. 已知圆：的两焦点为，，点满足，则的取值范围为______.10. 在锐角△中，若，，依次成等差数列，则的值为_______．11. 在平面直角坐标系中，若直线l：与圆C：相切，且圆心C在直线l的上方，则的最大值为______.12. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点,为坐标原点.若双曲线的离心率为2,的面积为,则_________.13. 已知实数x，y满足设，则z的取值范围是______.（表示a，b两数中的较大数）14. 若幂函数（）及其导函数在区间上的单调性一致（同为增函数或同为减函数），则实数a的取值范围是______.二、解答题15. 在长方形中，，.M，N分别是线段，的中点，P是长方形（含边界）内一点.（1）求的值；（2）求的取值范围.16. 如图，在四棱锥中，为二面角的平面角.（1）求证：平面平面；（2）若平面，求证：平面.17. 如图，在平面直角坐标系中，A，B是圆O：与x轴的两个交点（点B在点A右侧），点，x轴上方的动点P使直线，，的斜率存在且依次成等差数列.（1）求证：动点P的横坐标为定值；（2）设直线，与圆O的另一个交点分别为S，T.求证：点Q，S，T三点共线.18. 如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道的长为，且跑道所在的直线与海岸线l的夹角为（海岸线可以看作是直线），跑道上离海岸线距离最近的点B到海岸线的距离.D为海湾一侧海岸线上的一点，设（），点D对跑道的视角为.（1）将表示为x的函数；（2）求点D的位置，使取得最大值.19. 设数列的前n项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n项和为，求；（3）判断数列中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论.20. 已知函数.（1）过点（e是自然对数的底数）作函数图象的切线l，求直线l的方程；（2）求函数在区间（）上的最大值；（3）若，且对任意恒成立，求k的最大值.（参考数据：，）。

南京市2017-2018学年度第二学期期末调研测试卷高一数学一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．.1. 在平面直角坐标系中,记直线的倾斜角是,则的值为_________.【答案】.【解析】分析：由直线方程可得直线的斜率，由斜率可得倾斜角的值.详解：由直线方程，可得，由，可得，故答案为.点睛：本题主要考查直线的方程、直线的斜率与倾斜角，意在考查对基础知识的掌握情况，属于简单题.2. 在等比数列中,己知,则的值为_________.【答案】.【解析】分析：利用等比数列的下标性质列方程求解即可.详解：因为等比数列中,,所以，则，故答案为.点睛：本题主要考查等比数列的性质，属于基本题.在等比数列中，若，则. 3. 在平面直角坐标系中,已知直线经过点,则直线的方程是_________.【答案】.【解析】分析：利用斜率公式可得，由点斜式可得结果.详解：因为直线经过点,所以直线斜率为，由点斜式可得直线方程为，故答案为.点睛：本题主要考查已知两点求斜率，以及直线的点斜式方程，意在考查综合利用所学知识解决问题的能力，属于简单题.4. 已知为锐角,且,则的值为_________.【答案】.【解析】分析：利用平方关系求出的值，利用二倍角的正弦公式可得结果.详解：由为锐角，可得，则，故答案为.点睛：本题考查平方关系以及二倍角的正弦公式，属于中档题.“给值求值”问题，给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．5. 如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面,则四个侧面，中,有_________ 个直角三角形.【答案】.【解析】分析：由平面可得，是直角三角形，可证明平面，平面，可得，是直角三角形，从而可得结果.详解：由平面可得，是直角三角形，由平面，，结合底面是矩形,可得平面，平面，由此可得，是直角三角形，所以四个三角形均为直角三角形，故答案为.点睛：本题主要考查线面垂直的判定定理以及线面垂直的性质，属于中档题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理.6. 不等式的解集为_________.【答案】.【解析】分析：等价于，利用一元二次不等式的解法可得结果.详解：等价于，解得，故答案为.点睛：本题主要考查分式不等式的解法、一元二次不等式的解法，意在考查计算能力以及转化与划归思想的应用，属于简单题.7. 已知圆锥的底面半径为,母线长为,则此圆锥的体积为_________.【答案】.【解析】分析：由圆锥的底面半径为,母线长为，根据勾股定理求出圆锥的高，利用圆锥的体积公式可得结果.详解：因为圆锥的底面半径为,母线长为,所以，由勾股定理可得，体积，故答案为.点睛：本题主要考查圆锥的性质及圆锥的体积公式，意在空间想象能力以及考查对基础知识的掌握情况，属于简单题.8. 设的内角所对的边分别为.已知 ,，则角的大小为_________.【答案】.【解析】分析：利用正弦定理求出，再利用正弦定理求出，从而可得结果.详解：由余弦定理，则，即，解得，由正弦定理，解得，由，可得，故答案为.9. 如图,在直四棱柱中,底面是正方形,.记异面直线,与所成的角为,则的值为_________.【答案】.【解析】分析：因为，所以即为，利用余弦定理可得结果.详解：因为，所以即为，设，则三角形中，，由余弦定理可得，故答案为.点睛：本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题题.求异面直线所成的角的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到，异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.10. 在平面直角坐标系中,经过点的直线与轴交于点,与轴交于点.若,则直线的方程是_________.【答案】.【解析】分析：设，由列方程组求出，利用截距式可得结果.详解：设，由，可得，则，由截距式可得直线方程为，即，故答案为.点睛：本题主要考查向量相等的性质以及直线的方程，直线方程主要有五种形式，每种形式的直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜是否存在；截距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化为一般式.11. 为两个不同的平面,为两条不同的直线,下列命题中正确的是_________.(填上所有正确命题的序号).①若,则；②若，则；③若, 则；④若，则.【答案】①③.【解析】分析：根据线面平行的定义可得①正确；由有可能异面可得②不正确；线面垂直判定定理可得③正确；由不一定在平面内可得④不正确.详解：①若,则，与没有交点，有定义可得，故①正确.②若，则，有可能异面，故②不正确.③若, 则，由线面垂直判定定理可得，故③正确.④若，则，不一定在平面内，故④不正确，故答案为①③.点睛：本题主要考查线面平行的判定与性质、面面垂直的性质及线面垂直的判定，属于难题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.12. 设的内角所对的边分别为.若,且的面积为,则周长的最小值为_________.【答案】.【解析】分析：由，根据正弦定理可得，结合，利用余弦定理可得，由的面积为可得，利用换元法与基本不等式即可得结果.详解：由，由正弦定理，由，可得，则，，则，周长，令，则，在时递增，则最小值为，故答案为.点睛：本题考查正弦定理边角互化，余弦定理与基本不等式的应用，属于难题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.13. 已知数列的通项公式为，则数列前项和为的值为_________.【答案】.【解析】分析：,利用裂项相消法即可得结果详解：因为数列的通项公式为，所以，故答案为.点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.14. 已知正实数满足,则的最小值为_________.【答案】.【解析】分析：由得，可判定，利用基本不等式可得结果.详解：由得，由，可得，，当且仅当时等号成立，故答案为.点睛：本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15. 在平面直角坐标系中,设直线的若方程为.(1) 若直线的斜率为,求实数的值；(2) 若直线与坐标轴为成的三角形的面积为,求实数的值.【答案】(1)；(2) ；详解： (1)化为，所以斜率为,则；(2) 由，时,；时,；则围成的三角形面积为,由面积为可得.点睛：本题主要考查直线的方程与性质，以及直线方程与斜率的关系，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力.16. 如图,在三棱柱中,侧面是矩形,侧面是菱形,是的中点. 是与的交点,，求证:(1) 平面；(2) 平面.【答案】详见解析；【解析】分析：(1)由三角形中位线定理可得，根据线面平行的判定定理可得平面；(2)先证明平面,则，由菱形的性质,可得，根据线面垂直的判定定理可得平面.详解：(1)由四边形是菱形,可得为中点,又因为为的中点,可得，又因为平面,平面，可得平面；(2) 由四边形为矩形,可得，又因为,平面，平面，，可得平面,则，由四边形是菱形,可得，因为,,平面,平面，，可得平面.点睛：本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.17. 在中,已知点在边上,且,,.(1)若,求的值；(2)若，求线段的长.【答案】(1) ； (2) 或；【解析】分析：(1) 时,，由,可得，则，利用两角和的正切公式可得结果；(2)三角形内由余弦定理可得或，再分别利用余弦定理求得或.详解： (1) 时,，由,可得，则，；(2) 三角形内由余弦定理，则，即，解得或，时,，三角形内由余弦定理；时,,三角形内由余弦定理则或.点睛：本题主要考查两角和的正切公式、利用余弦定理解三角形，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.18. 已知函数.(1)若,且函数有零点,求实数的取值范围；(2)当时,解关于的不等式；(3)若正数满足,且对于任意的,恒成立, 求实数的值.【答案】(1) ；(2) 时；时；时；(3)；【解析】分析：(1)由可得结果；(2)时, ，分三种情况讨论，分别利用一元二次不等式的解法求解即可；(3)时恒成立,当且仅当,即,即,由，可得，则,解不等式即可的结果.详解：(1) 时,，由函数有零点,可得,即或；(2) 时,，当即时,的解集为,当即时,的解集为,当即时,的解集为;(3)二次函数开口响上,对称轴,由可得在单调递增,时恒成立,当且仅当,即,即,由，可得，则,由可得,即,则,此时，则.点睛：本题主要考查函数的零点、一元二次不等式的解法、二次函数的性质以及分类讨论思想的应用，属于中档题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.19. 某水产养殖户制作一体积为立方米的养殖网箱(无盖),网箱内部被隔成体积相等的三块长方体区域(如图),网箱.上底面的一边长为米,网箱的四周与隔栏的制作价格是元/平方米,网箱底部的制作价格为元/平方米.设网箱上底面的另一边长为米,网箱的制作总费用为元.(1)求出与之间的函数关系,并指出定义域；(2)当网箱上底面的另一边长为多少米时,制作网箱的总费用最少.【答案】(1) ，定义域为；(2)；【解析】分析：(1)隔栏与四周总面积为平方米,底部面积为平方米,结合不同位置的价格即可的结果；(2)，由可得,从而可得结果.详解： (1)网箱的高为米,由三块区域面积相同可得隔栏与左右两边交点为三等分点,隔栏与四周总面积为平方米,底部面积为平方米,则，定义域为；(2) ，由可得,当且仅当即时等号成立,答: ，定义域为；网箱上底面的另一边长为多少米时,制作网箱的总费用最少. 点睛：本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及几何概型概率公式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.解答本题题意的关键是：求出与之间的函数关系，进而利用基本不等式求解.20. 已知是公差不为零的等差数列,是等比数列,且,,.(1)求数列,的通项公式；(2)记,求数列的前项和；(3)若满足不等式成立的恰有个,求正整数的值.【答案】(1)，.(2) .(3).【解析】分析：(1)根据,,列出关于首项、,公差与公比的方程组，解方程组可得、,公差与公比的值，从而可得数列，的通项公式；(2)由(1)可得，利用错位相减法求和即可的结果；(3) 不等式可化为，先判断的增减性，可得则时, 中最大的三项值为，由时满足的共有两个,可得，由解得，则正整数. 详解： (1)设的公差为, 的公比为，，；，；由，可得，，由可得，则，，则，；(2) ，作差可得，则；(3) 不等式可化为，即，即，，时一定成立,则时,满足的共有两个,此时,，即满足的共有两个,令，，，则时,时,，，，，，则时,中最大的三项值为，由时满足的共有两个,可得，由解得，则正整数.点睛：本题主要考查等比数列和等差数列的通项以及错位相减法求数列的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.。