河北省雄安新区博奥高级中学高二数学上学期开学考试试题

HY 中学2021-2021学年高二数学上学期开学考试试题 文〔含解析〕创作单位：*ＸＸＸ创作时间：2022年4月12日 创作编者：聂明景一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。

每一小题给出的四个选项里面只有一项是哪一项符合题目要求的。

(){}|10A x x x =+≥，{B y y ==，那么〔〕A. A B =B. A B ⊆C. AB R = D. B A ⊆【答案】D 【解析】 【分析】分别求解出集合A 和集合B ，根据集合的包含关系可确定结果.【详解】(){}(][)|10,10,A x x x =+≥=-∞-+∞，{[)0,B y y ===+∞B A ∴⊆此题正确选项：D【点睛】此题考察集合间的包含关系，属于根底题.1l ：60x ay ++=与2l ：()2320a x y a -++=平行，那么1l 与2l 间的间隔 为( )【答案】B 【解析】∵直线1l ：60x ay ++=与2l ：(2)320a x y a -++=平行 ∴16232a a a=≠- ∴1a =-∴直线1l 与2l 之间的间隔为3d ==. 应选B.()2,tan a θ=，()1,1b =-，//a b ，那么tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭〔〕A. 2B. 3C. 1-D. 3-【答案】D 【解析】 【分析】根据向量平行坐标运算可求得tan θ；利用两角和差正切公式可求得结果.【详解】由//a b 得：tan 2θ=- tantan 124tan 34121tan tan 4πθπθπθ-+⎛⎫∴-===- ⎪-⎝⎭+ 此题正确选项：D【点睛】此题考察利用两角和差正切公式求解函数值，涉及到向量平行的坐标表示，属于根底题.20ax bx c ++>的解集为〔-4,1〕，那么不等式2(1)(3)0b x a x c +-++>的解集为〔 〕 A. 4(1,)3-B. 4(,1)(,)3-∞-⋃+∞C. 4(,1)3-D.4(,)(1,)3-∞-⋃+∞【解析】 【分析】根据不等式ax 2+bx +c ＞0的解集求得a 、b 、c 的关系，代入不等式b 〔x 2+1〕﹣a 〔x +3〕+c ＞0中，化简并求出该不等式的解集可得答案． 【详解】不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为〔﹣4，1〕， 那么不等式对应方程的实数根为﹣4和1，且a ＜0；由根与系数的关系知，4141b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，∴34b ac a =⎧⎨=-⎩，∴不等式b 〔x 2+1〕﹣a 〔x +3〕+c ＞0化为 3a 〔x 2+1〕﹣a 〔x +3〕﹣4a ＞0， 即3〔x 2+1〕﹣〔x +3〕﹣4＜0， 解得﹣1＜x 43＜， ∴该不等式的解集为〔﹣1，43〕． 应选：A ．【点睛】此题考察了一元二次不等式的解法与应用问题，是根底题．()sin f x x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍〔纵坐标不变〕，再把所得曲线向右平移6π个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是〔 〕 A. 12x π=-B. 12x π=C. 3x π=D. 712x π=【解析】 【分析】先求出图像变换最后得到的解析式，再求函数图像的对称轴方程. 【详解】由题得图像变换最后得到的解析式为sin 2()sin(2)63y x x ππ=-=-， 令52,,32212k x k k Z x πππππ-=+∈∴=+， 令k=-1,所以12x π=-.应选：A【点睛】此题主要考察三角函数图像变换和三角函数图像对称轴的求法，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度，属于根底题.ABC ∆中，角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，60,1A b ︒==，ABC ∆，那么ABC ∆外接圆的直径为〔 〕B.【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形面积公式求得c ；利用余弦定理求得a ；根据正弦定理求得结果.【详解】由题意得：113sin sin 6022ABC S bc A c ∆====，解得：4c =由余弦定理得：2222cos 1168cos6013a b c bc A =+-=+-= a ∴=由正弦定理得ABC ∆外接圆的直径为：2sin 60a A ==此题正确选项：D【点睛】此题考察正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合应用问题，考察学生对于根底公式和定理的掌握情况.7.中国古代数学名著?算法统宗?中有这样一个问题：“三百七十里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行数里，请公仔细算相还〞.其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地〞，请问从第几天开场，走的路程少于30里〔〕A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】由题意知，此题考察等比数列问题，此人每天的步数构成公比为12的等比数列，由求和公式可得首项，进而求得答案。

宁夏中学2021-2021学年高二数学上学期开学考试试题 理〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题4分，一共48分.在每一小题给出的四个选项里面，有且只有一项是哪一项符合题目要求的把答案填涂在答题卡上〕 1.集合{}1,2,3A =，集合(){},,B x y x A x y A =∈-∈，那么符合条件的集合B 的子集个数为〔 〕 A. 3 B. 4C. 8D. 10【答案】C 【解析】 【分析】列举出集合B 中的运算，利用子集个数公式可得出结果. 【详解】{}1,2,3A =，(){}()()(){},,2,1,3,2,3,1B x y x A x y A =∈-∈=，因此，符合条件的集合B 的子集个数为328=. 应选：C.【点睛】此题考察集合子集个数的计算，解答的关键就是求出集合的元素个数，考察计算才能，属于根底题.2.假设函数()2f x x a =+的单调递增区间是)3,⎡+∞⎣，那么a 的值是〔 〕 A. 6 B. 2C. 2-D. 6-【答案】D 【解析】 【分析】将函数()y f x =的解析式表示为分段函数的形式，求出该函数的单调递增区间，即可得出实数a 的值.【详解】()2,222,2a x a x f x x a a x a x ⎧+≥-⎪⎪=+=⎨⎪--<-⎪⎩，那么函数()2f x x a =+的单调递增区间为,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， 32a∴-=，解得6a =-. 应选：D.【点睛】此题考察利用函数的单调区间求参数，考察计算才能，属于根底题.3.直线1:210l x y +-=，2:250l x my ++=，3:310l nx y ++=，假设12//l l 且13l l ⊥，那么m n -的值是〔 〕 A. 10- B. 2-C. 2D. 10【答案】D 【解析】 【分析】根据直线平行与垂直求出实数m 、n 的值，进而可计算出m n -的值. 【详解】12//l l ，那么25121m =≠-，解得4m =，13l l ⊥，那么60n +=，解得6n =-. 因此，10m n -=. 应选：D.【点睛】此题考察根据两直线平行与垂直求参数，考察计算才能，属于根底题.4.m 、n 是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，以下命题中正确的选项是〔 〕 A. 假设αγ⊥，βγ⊥，那么//αβ B. 假设m α⊥，n α⊥，那么//m n C. 假设//m α，//n α，那么//m n D. 假设//m α，//m β，那么//αβ【答案】B【解析】 【分析】利用面面垂直的性质定理可判断A 选项的正误；利用线面垂直的性质定理可判断B 选项的正误；利用线面平行的性质定理可判断C 选项的正误；利用线面平行和面面平行的性质定理可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，假设αγ⊥，βγ⊥，那么α与β平行或者相交，A 选项错误； 对于B 选项，假设m α⊥，n α⊥，那么//m n ，B 选项正确；对于C 选项，假设//m α，//n α，那么m 与n 平行、相交或者异面，C 选项错误； 对于D 选项，假设//m α，//m β，那么α与β平行或者相交，D 选项错误. 应选：B.【点睛】此题主要考察空间直线和平面、平面和平面平行或者垂直的位置关系的判断，要求纯熟掌握相应的断定定理和性质定理． 5.函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是( )A. B.C. D.【答案】A 【解析】【详解】试题分析：由偶函数排除B 、D,排除C.应选A.考点：函数的图象与性质．6.函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有()()2f x f x π+=，当()0,x π∈时，()2sin 2x f x =，那么173f π⎛⎫= ⎪⎝⎭〔 〕A.12B.32C. 13【答案】C 【解析】 由题意1717()(6)()()2sin 133336f f f f ππππππ=-=-===，应选C ． 7.各侧棱长都相等，底面是正多边形的棱锥称为正棱锥，正三棱锥P ABC -的侧棱长为a ，侧面都是直角三角形，且四个顶点都在同一个球面上，那么该球的外表积为〔 〕 22a π B. 22a π23a πD. 23a π【答案】D 【解析】因为侧棱长为a 的正三棱锥P ﹣ABC 的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，三棱锥的正方体的一个角，把三棱锥扩展为正方体，它们有一样的外接球，球的直径就是正3a ；所以球的外表积为：4π23⎫⎪⎪⎝⎭=3πa 2 故答案为D ．点睛：此题考察了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，球心到各顶点间隔 相等，这样可先确定几何体中局部点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的间隔 相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点间隔 相等的直线，这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，有时也可利用补体法得到半径． 8.函数()()sin f x x ωϕ=+〔其中2πϕ<〕的图象如下图，为了得到()y f x =的图象，只需把sin y x ω=的图象上所有点〔 〕A. 向左平移3π个单位长度 B. 向左平移6π个单位长度 C. 向右平移3π个单位长度D. 向右平移6π个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据函数()y f x =的图象求出该函数的周期，进一步利用函数经过的点的坐标求出函数的解析式，然后利用函数图象的平移变换可得出结果．【详解】由图象可知，函数()y f x =的最小正周期为74123T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，22Tπω∴==， ()()sin 2f x x ϕ∴=+，sin 2033f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2sin 03πϕ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭， 由于函数()y f x =在3x π=附近单调递减，那么()223k k Z πϕππ+=+∈， ()23k k Z πϕπ∴=+∈，22ππϕ-<<，那么0k =，3πϕ=，所以，()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 因此，为了得到函数()y f x =的图象，只需将函数sin 2y x =的图象上所有点向左平移6π个单位长度.应选：B.【点睛】此题考察了利用函数图象求函数解析式，以及三角函数图象变换，考察计算才能，属于中等题.9.在如下图的空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是()0,0,2、()2,2,0、()1,2,1、()2,2,2，给出编号为①，②，③，④的四个图，那么该四面体的正视图和俯视图分别为〔 〕A. ①和②B. ①和③C. ④和②D. ③和②【答案】C 【解析】 【分析】在坐标系中，标出的四个点，根据三视图的画图规那么，可得结论． 【详解】在坐标系中，标出的四个点，根据三视图的画图规那么，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②， 应选：C.【点睛】此题考察三视图的画法，做到心中有图形，考察空间想象才能，是根底题． 10.角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.角β满足()5sin 13αβ+=，那么cos β的值是〔 〕 A. 5665-或者1665 B. 1665C. 5665-D.5665或者1665-【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数的定义可得出cos α和sin α的值，分()12cos 13αβ+=和()12cos 13αβ+=-两种情况讨论，利用两角差的余弦公式可求得cos β的值.【详解】()5sin 13αβ+=，()12cos 13αβ∴+==±. 由任意角的三角函数的定义可得3cos 5α=-，4sin 5α=-.当()12cos 13αβ+=时，()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+-=+++123545613513565⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 当()12cos 13αβ+=-时，()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+-=+++123541613513565⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.综上所述，56cos 65β=-或者1665. 应选：A.【点睛】此题考察三角函数求值，涉及两角差的余弦公式的应用，考察计算才能，属于中等题.11.直线y ax = 与圆222220C x y ax y ：+--+=交于两点,A B ，且CAB 为等边三角形，那么圆C 的面积为 A. 49π B. 36π C. 7π D. 6π【答案】D 【解析】圆方程可化为222()(1)1x a y a -+-=-⇒ 圆心(,1)C a 到直线的间隔d =27(71)6a S ππ=⇒=⇒=-=，应选D.12.对实数a 和b ，定义运算“⊗〞：,1,1a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩，设函数()()()222f x x x x =-⊗-，x ∈R ，假设函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公一共点，那么实数c 的取值范围是〔 〕 A. ](3,21,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭B. ](3,21,4⎛⎫-∞-⋃--⎪⎝⎭C. 111,,44⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. 311,,44⎛⎛⎫⎤-⋃+∞ ⎪ ⎥⎝⎭⎦⎝ 【答案】B 【解析】 【分析】令()0f x c -=得()f x c =，将问题转化为直线y c =与函数()y f x =的图象有两个交点，并根据定义得出()y f x =的解析式，作出函数()y f x =的图象即可得出答案． 【详解】令()0f x c -=得()f x c =，将问题转化为直线y c =与函数()y f x =的图象有两个交点， 假设()2221x x x---≤，即2230--≤xx ，解得312x -≤≤. 假设()2221x x x--->，即2230xx -->，解得1x <-或者32x >.. ()2232,123,12x x f x x x x x⎧--≤≤⎪⎪∴=⎨⎪--⎪⎩或.作出函数()y f x =的图象如以下图所示：如下图，当2c ≤-或者314c -<<-时，直线y c =与函数()y f x =的图象有两个交点， 因此，实数c 的取值范围是(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃-- ⎪⎝⎭. 应选：B.【点睛】此题考察了利用函数的零点个数求参数，解题的关键就是作出函数的图象，考察数形结合思想的应用，属于中档题．二、填空题〔本大题4小题，每一小题4分，一共16分.把正确答案填在题中横线上〕()f x k x α=⋅的图象过点1(,2)2，那么k α+=_______．【答案】0 【解析】试题分析：因为是幂函数，所以，得12()2α=，1α∴=-，0k α∴+=.考点：幂函数的定义.14.化简22111cos 80cos 10cos 20⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭__________. 【答案】81cos 40-【解析】 【分析】通分，利用二倍角的正弦、余弦的降幂公式可化简所求代数式. 【详解】22222222111111cos 10sin 10cos 80cos 10cos 20sin 10cos 10cos 20sin 10cos 10cos 20-⎛⎫⎛⎫-⋅=-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22cos 204481cos 40sin 201cos 401sin 20cos 2022====--⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭.故答案为：81cos 40-.【点睛】此题考察三角函数值化简计算，涉及二倍角降幂公式的应用，考察计算才能，属于中等题.15.在平行四边形ABCD 中，1AD =，60BAD ∠=，E 为CD 的中点.假设1AC BE ⋅=，那么AB 的长为__________.【答案】12【解析】 【分析】利用基底AB 、AD 表示向量BE ，然后利用平面向量数量积的运算律可求得AB 的长. 【详解】如以下图所示：E 是CD 的中点，四边形ABCD 为平行四边形，12BE BC CE AD AB ∴=+=-， AC AB AD =+，()22111222AC BE AD AB AD AB AD AB AD AB⎛⎫⋅=+⋅-=+⋅- ⎪⎝⎭22111cos60122AB AB =+-=，220AB AB ∴-=，0AB ≠，解得12AB =.故答案为：12.【点睛】此题考察向量模的计算，选择适宜的基底表示向量是解答的关键，考察了平面向量数量积运算律的应用，考察运算求解才能，属于中等题.16.在函数24y x =的图象上求一点P ，使P 到直线45y x =-的间隔 最短，那么P 点的坐标为__________. 【答案】1,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】设点P 的坐标为()2,4t t ，利用点到直线的间隔 公式结合二次函数的根本性质可求得点P 的坐标.【详解】设点P 的坐标为()2,4t t，那么点P 到直线45y x =-的间隔为22214t d -+===当210t -=时，即当12t =时，d 取最小值，因此，点P 的坐标为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：1,12⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】此题考察抛物线上到直线间隔 最小的点的坐标的求解，考察点到直线的间隔 公式和二次函数的根本性质的应用，考察计算才能，属于中等题.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共56分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕17.平面向量()3,4a =-，()2,b x =，()2,c y =，//a b ，a c ⊥. 〔1〕求向量b 和向量c ； 〔2〕求b 与c 夹角和a b +. 【答案】〔1〕82,3b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，32,2c ⎛⎫= ⎪⎝⎭；〔2〕b 与c 的夹角为2π，253a b +=. 【解析】 【分析】〔1〕利用一共线向量的坐标表示可求得x 的值，利用垂直向量的坐标表示可求得y 的值，由此可计算出向量b 和向量c 的坐标；〔2〕计算出b c ⋅的值，可求得b 与c 的夹角，利用向量模的坐标计算公式可求出a b +. 【详解】〔1〕()3,4a =-，()2,b x =，()2,c y =，且//a b ，a c ⊥，所以383240x y =-⎧⎨⨯-=⎩，解得8332x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此，82,3b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，32,2c ⎛⎫= ⎪⎝⎭；〔2〕2832032b c ⋅=-⨯=，那么b c ⊥，即b 与c 的夹角为2π.205,3a b ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，因此，22553a b +=+=. 【点睛】此题考察利用向量平行与垂直求参数，同时也考察了向量夹角与模的计算，考察运算求解才能，属于根底题.18.圆22:8120C x y y +-+=，直线:20l ax y a ++=. 〔1〕当a 为何值时，直线与圆C 相切.〔2〕当直线与圆C 相交于A 、B 两点，且AB =时，求直线的方程. 【答案】〔1〕34a =-；〔2〕20x y -+=或者7140x y -+=. 【解析】 【分析】〔1〕将圆C 的方程化为HY 形式，得出圆C 的圆心坐标和半径长，利用圆心到直线的间隔 等于半径，可计算出实数a 的值；〔2〕利用弦长的一半、半径长和弦心距满足勾股定理可求得弦心距，利用点到直线的间隔 公式可求得实数a 的值，进而可得出直线l 的方程.【详解】〔1〕圆C 的HY 方程为()2244x y +-=，圆心C的坐标为()0,4，半径长为2，当直线l 与圆C 2=，解得34a =-；〔2〕由题意知，圆心C 到直线l 的间隔为d ==由点到直线的间隔公式可得d ==，整理得2870a a ++=，解得1a =-或者7-.因此，直线l 的方程为20x y -+=或者7140x y -+=.【点睛】此题考察直线与圆的位置关系，考察利用直线与圆相切求参数以及根据弦长求直线方程，解答的核心就是圆心到直线的间隔 的计算，考察计算才能，属于中等题.19.定义在R 上的函数()221x x a f x -=+是奇函数.〔1〕务实数a 的值，并求函数()f x 的值域；〔2〕假设集合Q 为()f x 的值域，集合{}2log ,1U y y x x ==<，集合1,2P y y x x ⎧⎫==<-⎨⎬⎩⎭，求()U P Q .【答案】〔1〕1a =，值域为()1,1-；〔2〕11,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦.【解析】 【分析】〔1〕利用奇函数的定义得出()()0f x f x -+=，化简计算可求得实数a 的值，令221xxa y -=+，用y 表示2x ，结合20x >可求出y 的取值范围，即为函数()y f x =的值域； 〔2〕求出集合U 、P ，利用补集和交集的定义可求出集合()UP Q .【详解】〔1〕因为函数()221xx a f x -=+是奇函数，那么()()0f x f x +-=，即()()()()2222222121212121221x xx x x x x x x x x x x a a a a a a f x f x ---------+⋅-+-=+=+=+++++()()1211021x x a a -⋅+==-=+，解得1a =，()1221xxf x -∴=+. 由1221x x y -=+得121x y y -=+，20x >，得101y y ->+，即101y y -<+，解得11y -<<. 因此，函数()y f x =的值域为()1,1-；〔2〕由于对数函数2log y x =为()0,∞+上的增函数，当01x <<时，22log log 10y x =<=，那么{}()2log ,1,0U y y x x ==<=-∞，11,2,02P y y x x ⎧⎫⎛⎫==<-=-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，那么1,2U P ⎛⎤=-∞- ⎥⎝⎦，且()1,1Q =-，因此，()11,2U P Q ⎛⎤=-- ⎥⎝⎦. 【点睛】此题考察利用函数的奇偶性求参数，同时也考察了函数值域以及集合的混合运算，考察计算才能，属于中等题.20.三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11A ACC 为菱形，且160A AC ∠=，平面11A ACC ⊥平面ABC ，M 、N 分别是AB 、1CC 的中点.〔1〕求证：//CM 平面1A BN ；〔2〕求证：1AC BN ⊥； 〔3〕求1BA 与平面11A ACC 所成角的大小.【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕证明见解析；〔3〕45. 【解析】 【分析】〔1〕连接1AB 交1A B 于点E ，连接ME 、NE ，证明四边形CMEN 为平行四边形，可得出//CM EN ，再利用线面平行的断定定理即可得出结论；〔2〕取AC 的中点F ，连接1AC 、BF 、NF ，证明出1A C ⊥平面BFN ，进而可证明出1AC BN ⊥； 〔3〕连接1A F ，证明出AF ⊥平面11AAC C ，可得出1BA 与平面11AAC C 所成的角为1BA F ∠，通过解1A BF ∆可得出1BA F ∠的值.【详解】〔1〕如图，连接1AB 交1A B 于点E ，连接ME 、NE ，那么E 为1AB 的中点， 在三棱柱111ABC A B C -中，11//BB CC 且11BB CC =，M 、E 分别为AB 、1AB 的中点，所以，1//ME BB 且112ME BB =， N 为1CC 的中点，//EM CN ∴且EM CN =，那么四边形CMEN 为平行四边形， //CM EN ∴，CM ⊄平面1A BN ，EN ⊂平面1A BN ，因此，//CM 平面1A BN ；〔2〕取AC 的中点F ，连接1AC 、BF 、NF ， 四边形11AAC C 为菱形，那么11A C AC ⊥，F 、N 分别为AC 、1CC 的中点，1//FN AC ，那么1FN A C ⊥.ABC ∆为等边三角形，F 为AC 的中点，BF AC ∴⊥，平面11A ACC ⊥平面ABC ，平面11A ACC ⋂平面ABC AC =，BF ⊂平面ABC ，BF ∴⊥平面11A ACC ，1A C ⊂平面11A ACC ，1A C BF ∴⊥，BFFN F =，1A C ∴⊥平面BFN ，BN ⊂平面BFN ，1A C BN ∴⊥；〔3〕由〔2〕知，BF ⊥平面11A ACC ，所以，直线1BA 与平面11A ACC 所成的角为1BA F ∠，1AA AC =，160A AC ∠=，那么1A AC ∆为等边三角形，所以，132A F AC =，同理可得32BF AC =，1A F BF ∴=， BF ⊥平面11A ACC ，1A F ⊂平面11A ACC ，1BF A F ∴⊥，那么1A BF ∆为等腰直角三角形，且145BA F ∠=， 因此，1BA 与平面11A ACC 所成角为45.【点睛】此题考察直线与平面平行的证明，同时也考察了利用线面垂直证明线线垂直，以及线面角的计算，考察推理才能与计算才能，属于中等题.21.线段AB 的端点B 的坐标是(6,5)，端点A 在圆221:(4)(3)4C x y -+-=上运动.〔Ⅰ〕求线段AB 的中点P 的轨迹2C 的方程；〔Ⅱ〕设圆1C 与曲线2C 的两交点为M N 、，求线段MN 的长；〔Ⅲ〕假设点C 在曲线2C 上运动，点Q 在x 轴上运动，求AQ CQ +的最小值. 【答案】〔Ⅰ〕22(5)(4)1x y -+-=;〔Ⅱ〕142;〔Ⅲ〕523. 【解析】试题分析：〔Ⅰ〕设点P 的坐标为(,)x y ，点A 的坐标为00(,)x y ，根据B 点坐标，和点P 是线段AB 的中点，得026x x =-，025y y =-，再由点A 在圆1C 上运动，求得点A 的轨迹方程，进而可求得点点P 的轨迹2C 的方程；〔Ⅱ〕由两圆的方程，相减得到直线MN 的方程，根据圆的弦长公式，即可求解MN 的长； 〔Ⅲ〕根据圆的性质得QA QC +≥123QC QC +-，由3C 为1C 关于x 轴的对称点，进而可求得QA QC +的最小值，即可得到AQ CQ +的最小值． 试题解析：〔Ⅰ〕设点P 的坐标为(),x y ，点A 的坐标为()00,x y ，由于点B 的坐标为()6,5， 且点P 是线段AB 的中点，所以062x x +=，052y y += 于是有026x x =-，025y y =-①因为点A 在圆()()221:434C x y -+-=上运动， 所以点A 的坐标满足方程()()22434x y -+-= 即：()()2200434x y -+-=②把①代入②，得()()222642534x y --+--= 整理，得()()22541x y -+-=所以点P 的轨迹2C 的方程为()()22541x y -+-=.〔Ⅱ〕圆()()221:434C x y -+-=与圆()()222:541C x y -+-=的方程 相减得：22190x y +-=由圆()()222:541C x y -+-=的圆心为()5,4，半径为1，且()5,4到直线22190x y +-=的间隔 d ==那么公一共弦长2MN ===〔Ⅲ〕1C 是以()14,3C 为圆心，半径12r =的圆2C 是以()25,4C 为圆心，半径21r =的圆所以11QA QC QC r +≥- 22123QC r QC QC +-=+-① 当且仅当A 在线段1QC 且C 在线段2QC 上时，取等号. 设()34,3C -为()14,3C 关于x 轴的对称点 那么13QC QC =代入①式得：323QA QC QC QC +≥+- 233523C C ≥-=-当且仅当23C Q C 、、一共线时，取等号. 所以AQ CQ +的最小值为523-.点睛：此题考察了圆的HY 方程求解、直线与圆的位置关系等知识点的应用，此类为解答的关键在于熟记圆的HY 方程与一般方程、直线与圆的位置关系的断定与应用，同时注意数形结合法与转化思想在解题中的合理运用．22.向量9(sin ,1),(sin ,cos )8a xb x x ==-， 设函数[](),0,f x a b x π=⋅∈． 〔1〕求()f x 的值域；〔2〕设函数()f x 的图像向左平移2π个单位长度后得到函数()h x 的图像， 假设不等式()()sin 20f x h x x m ++-<有解，务实数m 的取值范围．【答案】〔1〕171,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦〔2〕9,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】〔1〕根据向量的数量积和三角形函数的性质即可求出值域；〔2〕先求出h 〔x 〕，由不等式f 〔x 〕+h 〔x 〕+sin2x ﹣m ＜0有解，转化为m ＞f 〔x 〕+h 〔x 〕+sin2x ，根据二次函数的性质即可求出． 【详解】解：〔1〕()222991sin cos 1cos cos cos cos 888f x x x x x x x =+-=-+-=-+- ()211cos 28f x x ⎛⎫∴=--+ ⎪⎝⎭，[]()1710,1cos 188x x f x π∈∴-≤≤∴-≤≤ ()f x ∴的值域为171,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦〔2〕函数()21cos cos 8f x x x =-+-，[]0,x π∈的图像向左平移2π个单位长度后得到函数()h x 的图像，()2211cos cos sin sin 2288h x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫∴=-+++-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，依题意，不等式()()sin2m f x h x x >++在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有解， 设()()5sin2cos sin sin24y f x h x x x x x =++=--+ 52sin cos cos sin ,0,42x x x x x π⎡⎤=+--∈⎢⎥⎣⎦，令[]cos sin ,0,1,142t x x x x t ππ⎛⎫⎡⎤=-=+∈∴∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，那么[]2211,1,142y t t t t ⎛⎫=-+-=--∈- ⎪⎝⎭∴函数()()sin2y f x h x x =++的值域为9,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. ∴ min 94m y >=- 故实数m 的取值范围为9,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】此题主要考察函向量的数量积，正余弦函数的单调性、定义域和值域，二次函数的性质，不等式成立的问题，属于中档题．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

卜人入州八九几市潮王学校一中二零二零—二零二壹高二数学上学期开学考试试题〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共12小题〕1.已如集合，，那么A. B.C.或者D.2.向量，，，假设，那么实数x的值是A. B. C. D.3.，，那么A. B. C. D.4.等比数列满足，且，那么A.8B.16C.32D.645.对于实数a，b，cA.假设，那么B.假设，那么C.假设，那么D.假设，那么6.过两直线：，：的交点且与平行的直线方程为A. B.C. D.7.是公差为1的等差数列，为的前n项和，假设，那么A. B. C.10 D.128.设m，nA.，，且，那么B.，，且，那么C.，，，那么D.，，，，那么9.的内角A，B，C所对的边分别为，c，且，，A. B. C. D.10.直线与圆的位置关系是A.相交B.相切C.相离D.相交或者相切11.圆锥的底面圆周及顶点均在球面上，假设圆锥的轴截面为正三角形，那么圆锥的体积与球的体积之比为A.27：32B.3：8C.：16D.9：3212.在R上定义运算：假设不等式对任意实数x成立，那么A. B. C. D.二、填空题〔本大题一一共4小题〕13.函数的定义域为______．14.假设，，，那么的最小值为______．15.设，将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，假设是偶函数，那么的最小值为______16.如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，假设，那么．三、解答题〔本大题一一共4小题〕17.等差数列中，，，Ⅰ求的通项公式；Ⅱ设，求数列的前n项和．18.圆C：，直线：，：假设，，被圆C所截得的弦的长度之比为1：2，务实数k的值线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程19.如图，正方体切掉三棱锥后形成多面体，过的截面分别交，于点E，F．证明：平面；求异面直线与EF所成角的余弦值．20.如图，某城有一块半径为单位：百米的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处图中阴影局部只有一块绿化地，后来有众多民建议在绿化地上建一条小路，便于民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？答案和解析1.【答案】D【解析】解：，，．应选：D．可以求出集合A，B，然后进展交集的运算即可．此题考察了描绘法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考察了计算才能，属于根底题．2.【答案】A【解析】解：，，即，向量，，，，即，解得，应选：A．根据向量垂直和向量数量积的关系，建立方程关系即可得到结论．此题主要考察平面向量垂直于向量数量积之间的关系，利用向量坐标的根本运算是解决此题的关键，考察学生的计算才能．3.【答案】D【解析】解：由，，得到，所以，那么．应选：D．由cos x的值及x的范围，利用同角三角函数间的根本关系求出sin x的值，进而求出tan x的值，然后把所求的式子利用二倍角的正切函数公式变形后，将tan x的值代入即可求出值．此题考察了同角三角函数间的根本关系，以及二倍角的正切函数公式．学生求sin x和tan x时注意利用x的范围断定其符合．4.【答案】A【解析】解：等比数列满足，且，那么，解得，，应选：A．先由题意求出公比，再根据等比数列的通项公式公式即可求出的值此题考察了等比数列的通项公式，考察了运算求解才能，属于根底题5.【答案】BA，当时，有故A错误；B假设，那么，；，，故B正确；C假设，取，，可知，故C错误；D假设，取，，可知，故D错误．应选：B．6.【答案】D【解析】解：两直线：，：的交点为，解得，即；设与平行的直线方程为，那么，解得，所求的直线方程为．应选：D．求出两直线、的交点坐标，再设与平行的直线方程为，代入交点坐标求出m的值，即可写出方程．此题考察了直线方程的应用问题，是根底题．7.【答案】B【解析】解：是公差为1的等差数列，，，解得．那么．应选：B．利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．此题考察了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：对于A，，，且，利用面面垂直的性质定理得到作垂直于交线的直线与垂直，又，得到，又，得到，所以；故A正确；对于B，，，且，那么m与n位置关系不确定，可能相交、平行或者者异面；故B错误；对于C，，，，那么与可能平行；故C错误；对于D，，，，，那么与可能相交；故D错误；应选：A．利用线面垂直、面面垂直的性质定理和断定定理对选项分别分析选择．此题考察了线面垂直、面面垂直的性质定理和断定定理的运用；关键是由条件，正确运用定理的条件进展判断．9.【答案】B【解析】解：，由正弦定理角化边得：，化简得：，，又，，应选：B．对等式利用正弦定理角化边，再利用余弦定理即可求出角A．此题考察三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考察运算才能，属于根底题．10.【答案】D【解析】解：表示圆心为，半径，，，由，，得，，代入成立，所以点为圆上的定点，所以直线与圆相切或者者相交，应选：D．求出直线上的定点，判断点与圆的关系，求出即可．此题主要考察直线和圆的位置关系的判断，根底题．11.【答案】D【解析】解：取圆锥的轴截面如以下列图所示，设球的半径为R，圆锥的高为h，底面圆的半径为r，那么圆锥的母线长为2r，结合图形可得，所以，，圆锥的高为，所以，圆锥的体积为，因此，圆锥的体积与球的体积之比为．应选：D．设球的半径为2R，用R表示圆锥的底面圆半径以及高，再利用锥体体积公式得出圆锥的体积的表达式，然后再结合球体的体积公式可得出答案．此题考察球体体积的计算，考察圆锥体积的计算，解决此题的关键在于利用球体的半径来表示圆锥中的几何量，考察计算才能，属于中等题．12.【答案】C【解析】解：，即任意实数x成立，故，应选：C13.【答案】【解析】解：要使原函数有意义，那么：；；原函数的定义域为：．故答案为：．可看出，要使得原函数有意义，那么需满足，解出x的范围即可．考察函数定义域的概念及求法，对数函数的定义域．14.【答案】【解析】解：假设，，，那么，当且仅当时，取等号，那么的最小值为．故答案为：．利用柯西不等式求出即可．此题考察了柯西不等式的应用，属于根底题．15.【答案】【解析】解：因为，所以，将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，那么，又是偶函数，所以，即，又，所以的最小值为，故答案为：．由三角函数图象的平移及三角函数的性质得：，又是偶函数，所以，即，又，所以的最小值为，得解．此题考察了三角函数图象的平移及三角函数的性质，属中档题．16.【答案】【解析】【分析】此题考察平面向量根本定理的运用，考察向量的加法运算，考察学生分析解决问题的才能，属于中档题，设，，那么，，利用平面向量根本定理，建立方程，求出，，即可得出结论．【解答】解：设，，那么，．由于，，且，解得，，，故答案为．17.【答案】解：设等差数列的公差为d，，解得，，【解析】由，，结合等差数列的通项公式可求，d，进而可求由，利用裂项求和即可求解此题主要考察了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用，试题比较容易18.【答案】解：根据题意，圆C：，其圆心为，半径，点C到直线的间隔，那么直线被圆C截得的弦长，假设直线、，被圆C所截得的弦的长度之比为1：2，那么直线被圆C截得的弦长，那么点C到直线的间隔，直线：，即，那么；解可得：；根据题意，设，线段AB的中点为M，且，那么，又由端点A在圆C上运动，那么有，变形可得：；故线段AB的中点M的轨迹方程为．【解析】根据题意，由直线与圆的位置关系分析求出圆心C到直线的间隔和被圆C所截得的弦长，再求出直线被圆C所截得的弦长与圆心C到直线的间隔，列方程求出k的值，根据题意，设，由中点坐标公式可得A的坐标，将A的坐标代入圆C的方程，即可得答案．此题考察直线与圆的位置关系，涉及轨迹方程的求法，属于根底题．19.【答案】证明：，，，，，，四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面．解：由得平面，又平面，平面平面，，是异面直线与EF所成的角或者所成角的补角，设正方休的棱长为a，那么，，，在中，，异面直线与EF所成角的余弦值为．【解析】推导出，，从而四边形是平行四边形，进而，由此能证明平面．推导出，从而是异面直线与EF所成的角或者所成角的补角，由此能求出异面直线与EF 所成角的余弦值．此题考察线面平行的证明，考察异面直线所成角的余弦值的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算求解才能，考察数形结合思想，是中档题．20.【答案】解：如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy．设，，那么直线AB方程为，即．因为AB与圆C：相切，所以，化简得，即，因此，因为，，所以，于是．又，解得，或者，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以AB最小值为，此时．答：当A，B两点离道路的交点都为百米时，小道AB最短．【解析】分别由两条道路所在直线建立直角坐标系设，，求得直线AB的方程和圆的方程，运用直线和圆相切的条件：，求得a，b的关系，再由两点的间隔公式和根本不等式，解不等式可得AB的最小值，及此时A，B的位置．此题考察根本不等式在最值问题中的运用，同时考察直线和圆相切的条件，考察化简整理的运算才能，属于中档题．。

A10联盟2023级高二上学期9月初开学摸底考数学（北师大版）试题命题单位：淮南二中数学教研组 编审单位：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卡上作答.第Ⅰ卷（选择题 共58分）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题所给四个选项中，只有一项是符合题意的．1. 已知集合{}3,2,0,1,2A =−−，{}260B x xx =∈−−≥N ，则()NA B = （ ）A. {}3,2,0,1,2−−B. {}1,0,1,2− C {}0,1,2D. {}1,22. 设,a b ∈R ，则“10b a>>”是“1a b <”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩（单位：分）为：72，78，80，81，83，86，88，90，则这组数据的第75百分位数是（ ） A. 86B. 87C. 88D. 904. 一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A 为“第一次向下的数字为2或3”，事件B 为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ） A. 1()4P A =B. 事件A 与事件B 互斥C. 事件A 与事件B 相互独立D. 1()2P A B ∪=5. 已知4tan 23θ=，π0,4θ∈ ，若ππcos cos 44m θθ −=+，则实数m 值为（ ） A. 3−B. 2−C. 3D. 26. 已知平面向量1e 和2e 满足2122e e == ，2e 在1e 上的投影向量为1e −，则1e 在2e 上的投影向量为（ ）.的A. 214e −B. 12−C. 212e −D. 2e −7. 已知函数()lg ,01016,102x x f x x x <≤= −+>，若a ，b ，c ，d 互不相等，且()()()()f a f b f c f d ===，则+++a b c d 的取值范围为（ ）A. [)26,+∞B. ()14,+∞C. 34126,10D. 22126,108. 在ABC 中，M 为BC 上一点且满足2BM MC =，120AMC ∠=°，2AM =，若3ABM S =△，则ABC 的外接圆半径为（ ）A.B.C. 1D. 3二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9. 瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：i e cos isin x x x =+其中e 是自然对数的底数，i 是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A.πi 2e 的虚部为1B. 复数πi4e在复平面内对应的点位于第二象限C. i i e e sin 2ix xx −−=D. 若πi 31e z =，i 2e z θ=在复平面内分别对应点1Z ，2Z ，则12 OZ Z 面积的最大值为110. 把函数()()π14sin cos 0π6f x x x ωωω=+⋅+<<的图象向右平移π12个单位长度，得到的函数是一个奇函数，则下列说法正确的是（ ） A. ()f x 的最小正周期为2π B. ()π3f x f x−=C. 当π0,3x ∈时，()f x 的值域为[]1,2D. 若方程()1f x =在区间()π,m −上恰有六个不等实根，则实数m 的取值范围为7π2π,311. 如图，M 为棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −表面上的一个动点，则（ ）A. 当M 在平面1111D C B A 内运动时，四棱锥M ABCD −的体积是定值B. 当M 在直线11A C 上运动时，BM 与AC 所成角取值范围为ππ,42C. 使得直线MA 与平面ABCD 所成的角为60°的点MD. 若N 为棱11A B 的中点，当M 在底面ABCD 内运动，且//MN 平面11B CD 时，MN共92分）三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12. 在ABC 中，D 为BC 边上的中点，E 是AD 上靠近A 的四等分点，若BE xAB y AC =+，则x y +=______．13. 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．专家发现：两岁燕子的飞行速度可以表示为25log 10qv =（米/秒），若某只两岁的燕子耗氧量为1q 时的飞行速度为1v （米/秒），另一只两岁的燕子耗氧量为2q 时的飞行速度为2v （米/秒），两只燕子同时起飞，当124q q =时，一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为______米14. 已知P A B C D ,,,,是球O 的球面上的五个点，四边形ABCD 为梯形，AD BC ∥，1AB DC AD ===，2BC PA ==，PD ⊥平面ABCD ，则球O 的表面积为______．四、解答题：本大题共5个小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．的15. 2023年起我国旅游按下重启键，寒冬有尽，春日可期，先后出现了“淄博烧烤”，“哈尔滨与小土豆”，“天水麻辣烫”等现象级爆款，之后各地文旅各出奇招，六安文旅也在各大平台发布了六安的宣传片：六安瓜片、舒城小兰花、固镇大白鹅等等出现在大众视野现为进一步发展六安文旅，提升六安经济，在5月份对来六安旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿，交通，服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中4b a =.（1）试估计游客满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和第60百分位数. （2）六安文旅6月份继续对来六安旅游的游客发起满意度调查现知6月1日-6月7日调查的4万份数据中其满意度的平均值为85，方差为74：6月8日-6月14日调查的6万份数据中满意度的平均值为95，方差为69.由这些数据计算6月1日—6月14日的总样本的平均数与方差.16. 已知锐角ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且cos sin 0a C C b c +−−=． （1）求A ；（2）若2a =，求ABC 周长的取值范围．17. 如图1，矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为边CD 上一点．现将ADE 沿着AE 折起，使点D 到达点P 的位置．（1）如图2，若E 为边CD 的中点，点F 为线段PB 的中点，求证：//CF 平面PAE ； （2）如图3，设点P 在平面ABCE 内的射影K 落在线段AB 上． ①求证：CB ⊥平面PAB ； ②当14AK AB =时，求直线PC 与平面ABCE 所成的角的余弦值． 18. 设函数()e e 2x x f x −−=，()e e2xxg x −+=．的（1）判断函数()f x 的奇偶性，并讨论其单调性（不需证明单调性）； （2）求证：()()()()2f x y f x y f xg y ++−=；（3）若()()()22ln 42ln 2xx x h x f t f −+⋅在区间[]1,1−上的最小值为78−，求t 的值． 19. 对于集合{}12,,,n A θθθ= 和常数0θ，定义：σ=A 相对的0θ的“正弦标准差”．（1）若集合ππ,63A = ，0π4θ=，求A 相对0θ的“正弦标准差”； （2）若集合π,,4A αβ = ，是否存在3π,π4∈α，3π7π,24β ∈，使得相对任何常数0θ的“正弦标准差”是一个与0θ无关的定值？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．的。