【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第15章 选考部分 矩阵与变换教学案 苏教版选修4

规律方法 已知 A＝ac db，求特征值和特征向量，其步骤为： (1)令 f(λ)＝（ －λc－（a）λ－d－）b＝(λ－a)(λ－d)－bc＝0，求出特征 值 λ； (2)列方程组（ －λc－x＋a） （xλ－－db）y＝y＝0，0； (3)赋值法求特征向量，一般取 x＝1 或者 y＝1，写出相应的 向量．
y)变成点 A′(13，5)，试求 M 的逆矩阵及点 A 的坐标．
解 由 M＝21 － －31，得|M|＝1， 故 M－1＝－－11 32.
从
而
由
2 1
－3 －1
x y
＝
13 5
得
x y
＝
－1 －1
3 2
13 5
＝
－－11××1133＋＋32××55＝－23，故yx＝＝－2，3，∴A(2，－3)为所求．
矩阵 M＝2b a1所对应的变换将直线 x－y＝1 变换成 x＋2y ＝1，求 a，b 的值． 解 设点(x，y)是直线 x－y＝1 上任意一点，在矩阵 M 的作 用下变成点(x′，y′)，则2b a1xy＝xy′′，
所以xy′′＝＝b2xx＋＋ya.y， 因为点(x′，y′)，在直线 x＋2y＝1 上，所以
①对于特征值 λ1＝－1， 解相应的线性方程组x2＋ x＋y＝2y＝0，0得一个非零解xy＝＝－1，1. 因此，α＝1－1是矩阵 A 的属于特征值 λ1＝－1 的一个特征向量； ②对于特征值 λ2＝3，解相应的线性方程组2－x－2x2＋y＝2y0＝，0 得一个非零解xy＝＝11.， 因此，β＝11是矩阵 A 的属于特征值 λ2＝3 的一个特征向量．
因此，由 AX＝B，同时左乘 A－1，有 A－1AX＝A－1B＝2－1－3213＝－5 7. 即原方程组的解为yx＝＝5－. 7，

第十四章 矩阵与变换第一节矩阵及其变换1．乘法规则(1)行矩阵[a11 a12]与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤b11b21的乘法法则：[a11 a12]⎣⎢⎡⎦⎥⎤b11b21＝[a11b11＋a12b21]．(2)二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a11 a12a21 a22与列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x0y0的乘法规则：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a11 a12a21 a22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x0y0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a11x0＋a12y0a21x0＋a22y0. (3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵，其乘法法则如下：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a11 a12a21 a22⎣⎢⎡⎦⎥⎤b11 b12b21 b22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a11b11＋a12b21 a11b12＋a12b22a21b11＋a22b21 a21b12＋a22b22. (4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律，即(AB)C ＝A(BC)． (5)AkAl ＝Ak ＋l ，(Ak)l ＝Akl(其中k ，l ∈N*)． 2．常见的平面变换 (1)恒等变换：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，该变换把点(x ，y)变成(x ，y)，故矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001表示恒等变换．(2)反射变换：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x y ，该变换把点(x ，y)变成(－x ，y)，故矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1表示关于y 轴的反射变换；类似地，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0， 11 0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0， －1－1 0分别表示关于x 轴、直线y ＝x 和直线y ＝－x 的反射变换．(3)伸缩变换：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤100k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ky ，该变换把点(x ，y)变成点(x ，ky)，在此变换中，点的横坐标不变，纵坐标变成原来的k 倍，故矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1， 00 k 表示y 轴方向上的伸缩变换；类似地，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤s 001可以用来表示水平伸缩变换． (4)旋转变换：把点A(x ，y)绕着坐标原点逆时针旋转α角的变换，对应的矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α. (5)切变变换：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 s 01⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋sy y 表示的是沿x 轴的切变变换．沿y 轴的切变变换对应的矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0t1.(6)投影变换：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0，该变换把所有横坐标为x 的点都映射到了点(x,0)上，因此矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0表示的是x 轴上的投影变换．类似地，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 1表示的是y 轴上的投影变换．1．二阶矩阵的乘法运算律中，易忽视AB≠BA，AB ＝AC ⇒/ B ＝C ，但满足(AB)C ＝A(BC)． 2．易混淆绕原点逆时针旋转90°的变换与绕原点顺时针旋转90°的变换． [试一试]1．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－4 6，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤8455，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 －23 1.求AB 和AC. 解：AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－4 6⎣⎢⎡⎦⎥⎤8455＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －7－2 14， AC ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－4 6⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 －23 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －7－2 14.2．(2014·福建龙岩模拟)已知点A 在变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y y 作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点B ，若点B 的坐标为(－3,4)，求点A 的坐标．解：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 2.设A(a ，b)，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，得⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝－3，a ＋2b ＝4.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝3，即A(－2,3)．待定系数法在平面变换中的应用通过二阶矩阵与平面向量的乘法求出变换前与变换后坐标之间的变换公式，进而得到所求曲线(或点)，求解时应注意待定系数法的应用． [练一练]1．(2014·扬州模拟)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 120 1，若矩阵AB 对应的变换把直线l ：x ＋y －2＝0变为直线l ′，求直线l′的方程．解：易得AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 120 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 120 2，在直线l 上任取一点P(x′，y′)，经矩阵AB 变换为点Q(x ，y)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 120 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x′＋12y′ 2y′， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x′＋12y′，y ＝2y′，即⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x －14y ，y′＝y2，代入x′＋y′－2＝0中得x －14y ＋y2－2＝0，∴直线l′的方程为4x ＋y －8＝0. 对应学生用书P177二阶矩阵的性质与运算[典例] 求使等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤2435＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1成立的矩阵M. [解] 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n pq ， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 43 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m －2n p －q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＝2，－2n ＝4，p ＝3，－q ＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－2，p ＝3，q ＝－5，即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －5.[备课札记] [类题通法]1．矩阵相等实质上是矩阵对应元素相等，体现了方程思想，要注意矩阵对应元素相等． 2．矩阵的乘法只满足结合律，不满足交换律和消去律． [针对训练]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.求向量α，使得A2α＝β. 解：A2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3. 设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .由A2α＝β，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12， 从而⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2.解得x ＝－1，y ＝2，所以α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2.[典例] 在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标为A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)，求△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得到的图形△A′B′C′的面积，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2002，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0. 解：因为△ABC 在MN 作用下变换为 △A′B′C′，且MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤200 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －22 0，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －22 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －22 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤04， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －22 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－24. 即A′(0,0)，B′(0,4)，C′(－2,4)． 可得S △A′B′C′＝4.所以△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得的图形的面积为4.[备课札记] [类题通法]1．对于平面图形的变换要分清是伸缩、反射、还是切变变换．2．伸缩、反射、切变变换这三种几何变换称为初等变换，对应的变换矩阵为初等变换矩阵，由矩阵的乘法可以看出，矩阵的乘法对应于变换的复合，一一对应的平面变换都可以看作这三种初等变换的一次或多次的复合． [针对训练]在直角坐标系中，已知椭圆x2＋4y2＝1，矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤110，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 210，求椭圆x2＋4y2＝1，在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积． 解：MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 21 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2. 设(x0，y0)为椭圆x2＋4y2＝1上任一点，它在MN 的作用下所对应的点为(x ，y)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x0y0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x02y0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x0，y ＝2y0，即⎩⎪⎨⎪⎧x0＝x ，y0＝y2.代入x20＋4y20＝1，得x2＋y2＝1，∴在矩阵MN[典例] (2013·福建高考)已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201对应的变换作用下变为直线l′：x ＋by ＝1. (1)求实数a ，b 的值；(2)若点P(x0，y0)在直线l 上，且A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x0y0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x0y0，求点P 的坐标．[解] (1)设直线l ：ax ＋y ＝1上任意点M(x ，y)在矩阵A 对应的变换作用下的像是M′(x′，y′)．由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x ＋2y ，y′＝y.又点M′(x′，y′)在l′上，所以x′＋by′＝1，即x ＋(b ＋2)y ＝1，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.(2)由A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x0y0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x0y0，得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝x0＋2y0，y0＝y0，解得y0＝0.又点P(x0，y0)在直线l 上，所以x0＝1.故点P 的坐标为(1,0)．[备课札记] [类题通法]1．在解决通过矩阵进行平面曲线的变换时，变换矩阵可以通过待定系数法解决，在变换时一定要把变换前后的变量区别清楚，防止混淆． 2．曲线(或点)经过二阶矩阵变换后的曲线(或点)的求法，类似于平面解析几何中的代入法求轨迹，此类问题的关键是求对坐标之间的变换公式． [针对训练](2014·江苏横山桥中学模拟)已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1，设曲线y ＝sin x 在矩阵MN 对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．解：由题设得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 2 设所求曲线F 上任意一点的坐标为(x ，y)，y ＝sin x 上任意一点的坐标为(x′，y′)， 则MN ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ，y′＝12y.把⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x y′＝12y 代入y′＝s in x′，化简得y ＝2sin 2x.所以，曲线F 的方程为y ＝2sin 2x. 对应学生用书P178[课堂练通考点]1．(2014·福州模拟)将曲线xy ＝1绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，求所得曲线的方程． 解：由题意，得旋转变换矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 45° －sin 45°sin 45° cos 45°＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22－222222， 设xy ＝1上的任意点P′(x′，y′)在变换矩阵M 作用下为P(x ，y)，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22 －2222 22 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22x′－22y′，y ＝22x′＋22y′.得y22－x22＝1. 故将曲线xy ＝1绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，所得曲线的方程为y22－x22＝1.2．已知a ，b 为实数，如果A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a10b 所对应的变换T 把直线x －y ＝1变换为自身，试求a ，b 的值．解：设点(x ，y)是直线x －y ＝1上任意一点．在变换T 作用下的对应点为(x′，y′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 10 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，∴⎩⎪⎨⎪⎧x′＝ax ＋y ，y′＝by.由题意x′－y′＝1，∴ax ＋y －by ＝1，即ax ＋(1－b)y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，1－b ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.3．已知△ABC 的三个顶点A(0,0)，B(4,0)，C(0,3)，△ABC 在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002对应的变换作用下变为△A′B′C′，求△A′B′C′的面积． 解：由题意⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤40＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤40， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002⎣⎢⎡⎦⎥⎤03＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤06， ∴A′(0,0)，B′(4,0)，C′(0,6)， ∴S △A′B′C′＝12×4×6＝12.[课下提升考能]1．设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 6 p －q p ＋q 5，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy －11 x ＋y ，若M ＝N ，求x ，y ，p ，q.解析：∵M ＝N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝6，x ＋y ＝5，p －q ＝－1，p ＋q ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝3，p ＝0，q ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，p ＝0，q ＝1.2．曲线C1：x2＋2y2＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201的作用下变换为曲线C2，求C2的方程．解：设P(x ，y)为曲线C2上任意一点，P′(x′，y′)为曲线C1上与P 对应的点，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x′＋2y′y ＝y′⇒⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x －2y ，y′＝y.∵P′是曲线C1上的点，∴C2的方程为(x －2y)2＋2y2＝1. 3．求出曲线y2＝4x 依次经过矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤t 00 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0作用下变换得到的曲线方程x2＝2y ，求实数t.解：由已知得BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤t00 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1t 0. 任取曲线y2＝4x 上一点P(x0，y0)，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为P′(x′，y′)，即有⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1t 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x0y0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，则有⎩⎪⎨⎪⎧－y0＝x′，tx0＝y′⇒⎩⎪⎨⎪⎧y20＝－，2tx0＝2y′.∵P′在曲线x2＝2y 上，∴x′2＝2y′.即y20＝2tx0，① y20＝4x0，②比较①②得2t ＝4⇒t ＝2.4．已知曲线C ：x2＋y2＝1在矩阵M 对应的变换作用下得到曲线C′：x24＋y2＝1，求矩阵M.解：在曲线C 上任取一点P(x ，y)，点P 在矩阵M 作用下得点P′(x′，y′)， 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x′＝ax ＋by ，y′＝cx ＋dy.由题意⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x′，y ＝y′，即⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ，y′＝y ，∴a ＝2，b ＝0，c ＝0，d ＝1，∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001.5．如果曲线x2＋4xy ＋3y2＝1在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b1的作用下变换得到曲线x2－y2＝1，求a ＋b 的值．解：在曲线x2＋4xy ＋3y2＝1上任取一点P(x ，y)，设点P(x ，y)在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b1的作用下变换得到点P′(x′，y′)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′. 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋ay bx ＋y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，即⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x ＋ay ，y′＝bx ＋y.则(x ＋ay)2－(bx ＋y)2＝1.化简，得(1－b2)x2＋2(a －b)xy ＋(a2－1)y2＝1. 从而⎩⎪⎨⎪⎧1－b2＝1，－＝4，a2－1＝3.解得a ＝2，b ＝0，所以a ＋b ＝2.6．若一个变换所对应的矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 2，求抛物线y2＝－4x 在这个变换下所得到的曲线的方程．解：设P(x ，y)为y2＝－4x 上任意一点，P′(x′，y′)为变换后所得曲线上对应P 的点，由题意⎩⎪⎨⎪⎧x′＝－x ，y′＝2y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－x′，y ＝y′2.∴⎝⎛⎭⎪⎫y′22＝－4(－x′)，即y′2＝16x′.∴抛物线y2＝－4x 经变换后的曲线方程为y2＝16x.7．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a 0，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b0，直线l1：x －y ＋4＝0经矩阵A 所对应的变换得到直线l2，直线l2又经矩阵B 所对应的变换得到直线l3：x ＋y ＋4＝0，求直线l2的方程． 解：BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤02b0⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1a 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 00 b ， 设P(x ，y)是l1上的任意一点，其在BA 所对应的变换作用下的像为(x′，y′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 00 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2ax ，y′＝by.由题意可得，点(x′，y′)在直线l3上，所以2ax ＋by ＋4＝0即为直线l1：x －y ＋4＝0，故a ＝12，b ＝－1.此时B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－1 0，同理可设Q(x0，y0)为l2上的任意一点，其在B 所对应的变换作用下的像为(x′0，y′0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 02－10⎣⎢⎡⎦⎥⎤x0y0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′0y′0，得⎩⎪⎨⎪⎧x′0＝2y0，y′0＝－x0.，又(x′0，y′0)在直线l3上，所以2y0－x0＋4＝0，故直线l2的方程为2y －x ＋4＝0，即x －2y －4＝0.8．二阶矩阵M 对应变换将点(1,2)和(2,1)分别变换成(5,1)和(4，－1)． (1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 将圆x2＋y2＝1变换后的方程． 解：(1)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ， 则由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤51和M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝5，c ＋2d ＝1，2a ＋b ＝4，2c ＋d ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝－1，d ＝1，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－1 1. (2)设点P(x ，y)是圆x2＋y2＝1上的任意一点，变换后的点为P′(x′，y′)，则M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x ＋2y ，y′＝－x ＋y ，从而⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13－，y ＝13＋，代入x2＋y2＝1并化简得(x′－2y′)2＋(x′＋y′)2＝9，即(x －2y)2＋(x ＋y)2＝9.第二节特征值与特征向量对应学生用书P1781．逆变换与逆矩阵(1)逆变换：设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝1，则称变换ρ可逆，并且称σ是ρ的逆变换． (2)逆矩阵：设A 是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B ，使得BA ＝AB ＝E2，则称矩阵A 可逆，或称矩阵A 是可逆矩阵，并且称B 是A 的逆矩阵． (3)逆矩阵的性质性质①：设A 是一个二阶矩阵，如果A 是可逆的，则A 的逆矩阵是唯一的．性质②：设A ，B 是二阶矩阵，如果A ，B 都可逆，则AB 也可逆，且(AB)－1＝B －1A －1.(4)定理：二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 可逆，当且仅当det A ＝ad －bc≠0.2．逆矩阵与二元一次方程组(1)定理：如果关于变量x ，y 的二元一次方程组(线性方程组)⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝e ，cx ＋dy ＝f的系数矩阵A＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 可逆，那么该方程组有唯一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤e f . (2)推论：关于变量x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝0，cx ＋dy ＝0.其中a ，b ，c ，d 是不全为零的常数，有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝0.3．特征值和特征向量 设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，如果存在数λ以及非零向量ξ，使得A ξ＝λξ，则称λ是矩阵A 的一个特征值，ξ是矩阵A 的属于特征值λ的一个特征向量． 4．特征向量的性质 设λ1，λ2是二阶矩阵A 的两个不同特征值，ξ1，ξ2是矩阵A 的分别属于特征值λ1，λ2的特征向量，对于任意的非零平面向量α，设α＝t1ξ1＋t2ξ2(t1，t2为实数)，则对任意的正整数n ，有An α＝t1λn 1ξ1＋t2λn 2ξ2.1．并不是每一个二阶矩阵都是可逆的：矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 可逆的充分必要条件是它对应的行列式|A|满足|A|＝ad －bc≠0，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d |A| －b |A|－c |A| a |A|. 2．不是每个矩阵都有特征值与特征向量，矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 有特征值λ的充分必要条件是方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0有解．3．属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线． [试一试]1．若矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 00 2，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 00 12，求矩阵MN 的逆矩阵．解：法一 ∵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 002为一伸缩变换对应的矩阵，∴M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 00 12.又∵N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 00 12也为一伸缩变换对应的矩阵，∴N －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32002.由矩阵的性质知(MN)－1＝N －1M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 00 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 00 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1. 法二：由已知，得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001∴MN 的逆矩阵是(MN)－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 1 2．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤122x 的一个特征值为3，求其另一个特征值． 解：矩阵M 的特征矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ－1 －2－2 λ－x ，其特征多项式为(λ－1)(λ－x)－(－2)×(－2)． 由题意：(3－1)(3－x)－4＝0， ∴x ＝1， ∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 221.由(λ－1)(λ－1)－(－2)×(－2)＝0，解得λ＝3或λ＝－1. 矩阵M 的另一个特征值为－1.1．求逆矩阵的常见方法 (1)待定系数法：设A 是一个二阶可逆矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，AB ＝BA ＝E2；(2)公式法：|A|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，有A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d |A| －b |A|－c |A| a |A|，当且仅当|A|≠0；(3)从几何变换的角度求解二阶矩阵的逆矩阵； (4)利用逆矩阵的性质(AB)－1＝B －1A －1. 2．求特征值和特征向量的方法(1)矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 的特征值λ满足(λ－a)(λ－d)－bc ＝0，属于λ的特征向量a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 满足M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .(2)求特征向量和特征值的步骤：①解f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0得特征值；②解⎩⎪⎨⎪⎧λ－－by ＝0，－cx ＋λ－＝0⇔(λ－a)x －by ＝0，取x ＝1或y ＝1，写出相应的向量．[练一练]1．给定矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，求A4B. 解：设A 的一个特征值为λ，由题知⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －21 λ－4＝0，得(λ－2)(λ－3)＝0，λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得A 的属于特征值2的特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21. 当λ1＝3时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－14⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得A 的属于特征值3的特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 由于B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤53＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝2α1＋α2，故A4B ＝A4(2α1＋α2)＝2(24α1)＋(34α2)＝32α1＋81α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6432＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤8181＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤145113.2．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，若矩阵A 属于特征值3的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值－1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，求矩阵A.解：由矩阵A 属于特征值3的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3；由矩阵A 属于特征值－1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝(－1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1， 即⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝2，d ＝1，即矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 1. 对应学生用书P180[典例] (2013·江苏高考)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6，求矩阵A －1B.[解] 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12， 从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12，所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤120 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －20 3. [备课札记][类题通法]1．逆矩阵的求法常用待定系数法．2．若A ，B 两个矩阵均存在可逆矩阵，则有(AB)－1＝B －1A －1，若A ，B ，C 为二阶矩阵且A 可逆，则当AB ＝AC 时，有B ＝C ，即此时矩阵乘法的消去律成立． [针对训练](2014·宿迁模拟)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21－1 3将直线l ：x ＋y －1＝0变换成直线l′. (1)求直线l′的方程；(2)判断矩阵A 是否可逆？若可逆，求出矩阵A 的逆矩阵A －1；若不可逆，请说明理由． 解：(1)在直线l 上任取一点P(x0，y0)， 设它在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 1－1 3对应的变换作用下变为Q(x ，y)．∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x0y0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x0＋y0，y ＝－x0＋3y0，即⎩⎪⎨⎪⎧x0＝3x －y 7y0＝x ＋2y7，又∵点P(x0，y0)在直线l ：x ＋y －1＝0上， ∴3x －y 7＋x ＋2y7－1＝0， 即直线l′的方程为4x ＋y －7＝0.(2)∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 2 1－13≠0，∴矩阵A 可逆．设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，∴AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋c ＝1，2b ＋d ＝0，－a ＋3c ＝0，－b ＋3d ＝1，解之得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝37，b ＝－17，c ＝17，d ＝27，∴A －1＝⎣⎢⎢⎡⎥⎥⎤37 －1717 27.二元一次方程组的矩阵解法[典例] 用矩阵方法求二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －5y ＝4，3x ＋y ＝6的解．[解] 已知方程组可以写为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －53 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤46，令M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －53 1，其系数行列式为⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 －53 1＝2×1－3×(－5)＝17≠0，所以M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤117 517－317 217，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝M －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤46＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20，即方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.[备课札记][类题通法]1．用矩阵方法求解二元一次方程组的关键是求解系数所对应的矩阵的逆矩阵．2．若系数矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则方程组的解可以表达成⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤e f . [针对训练]利用矩阵解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝2，4x ＋2y ＝3.解：方程组可写为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3142⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，因为系数行列式为3×2－4×1＝2≠0，所以方程组有唯一解．利用矩阵求逆公式得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 14 2－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －12－2 32， 因此原方程组的解为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －12－2 32⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1212，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝12.二阶矩阵的特征值及特征向量[典例] (2014·福州质检)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －32 －1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤75.(1)求矩阵M 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量；(2)求M3α.[解] (1)矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－4 3－2 λ＋1＝λ2－3λ＋2，令f(λ)＝0，得λ1＝1，λ2＝2.当λ1＝1时，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋3y ＝0，－2x ＋2y ＝0，得一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.因此，矩阵M 属于特征值λ1＝1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11；当λ2＝2时，同理可得矩阵M 属于特征值λ2＝2的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.(2)设α＝m α1＋n α2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3n ＝7，m ＋2n ＝5，解得m ＝1，n ＝2.所以M3α＝M3(α1＋2α2)＝M3α1＋2M3α2＝λ31α1＋2λ32α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋2×23⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4933.[备课札记][类题通法]1．关于特征值问题的一般解法如下：给定矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，若有特征值λ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ－a －b －c λ－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0，即λ2－(a ＋d)λ＋(ad －bc)＝0.2．求Mn α，一般都是先求出矩阵M 的特征值与特征向量，将α写成t1α1＋t2α2.利用性质Mn α＝t1λn 1α1＋t2λn 2α2求解． [针对训练](2014·扬州模拟)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2101，向量b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤102.求向量a ，使得A2a ＝b. 解：A2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2101⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 10 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 301，设a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，由A2a ＝b 得⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 301⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤102， 即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝10，y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.对应学生用书P181[课堂练通考点]1．(2014·厦门质检)已知向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1m 01变换下得到的向量是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－1. (1)求m 的值；(2)求曲线y2－x ＋y ＝0在矩阵M －1所对应的线性变换作用下得到的曲线方程．解：(1)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1m 01⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－m －1，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－m －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－1，得m ＝1. (2)由(1)得M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 101，det M ＝1≠0，所以M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1.设曲线y2－x ＋y ＝0上任意一点(x ，y)在矩阵M －1所对应的线性变换作用下的像是(x′，y′)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －y y ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝x′，y ＝y′，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x′＋y′，y ＝y′，代入曲线y2－x ＋y ＝0得y′2＝x′.由(x ，y)的任意性可知，曲线y2－x ＋y ＝0在矩阵M －1所对应的线性变换作用下的曲线方程为y2＝x.2．(2014·龙岩质检)已知向量e1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是二阶矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a10b 的属于特征值λ1＝2的一个特征向量．(1)求矩阵M ；(2)若a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，求M10a.解：(1)依题意，Me1＝λ1e1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 10b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝2，b ＝2，∴a ＝1，b ＝2.∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1102.(2)由(1)知，矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝(λ－1)(λ－2)， ∴矩阵M 的另一个特征值为λ2＝1.设e2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 是矩阵M 属于特征值λ2＝1的一个特征向量，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤110 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝x ，2y ＝y ，取x ＝1，得e2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，∴a ＝e1＋e2，∴M10a ＝M10e1＋M10e2＝λ101e1＋λ102e2＝210⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋110⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0251 024.3．设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m00n ，若矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，属于特征值2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，求实数m ，n 的值．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 00 n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝1⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 00 n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，化简得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，0·n＝0，0·m＝0，n ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2.4．(2014·常州模拟)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2.求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵． 解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11可得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， 即c ＋d ＝6；由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤33cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，即3c －2d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，d ＝4.即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 32 4，A 的逆矩阵是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 －12－13 12. [课下提升考能]1．求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112的特征值及属于每个特征值的一个特征向量．解：特征多项式f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1－1 λ－2＝(λ－2)2－1＝λ2－4λ＋3，由f(λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝3，将λ1＝1代入特征方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＝0，－x －y ＝0，即x ＋y ＝0，可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1为属于特征值λ1＝1的一个特征向量， 同理，λ2＝3时，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，－x ＋y ＝0，即x －y ＝0，所以可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤11为属于特征值λ2＝3的一个特征向量． 综上所述，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 112有两个特征值λ1＝1，λ2＝3；属于λ1＝1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，属于λ2＝3的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.2．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－2 －3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2312，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110，求满足AXB ＝C 的矩阵X.解：AXB ＝C ，所以(A －1A)XB·B－1＝A －1CB －1而A －1AXB·B－1＝EXBB －1＝X(BB －1)＝X ， 所以X ＝A －1CB －1因为A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 －22 1，B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －3－1 2，所以X ＝A －1CB －1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 －2 2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －3－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 －3 1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －3－1 2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 001.3．已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －2－2 1，a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，试计算M20α.解：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝(λ－1)2－4，令f(λ)＝0解得λ1＝3，λ2＝－1，对应的特征向量分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1和⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，而α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，所以M20α＝320⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＋2(－1)20⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤320＋2－320＋2.4．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1a －1b ，A 的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21. (1)求矩阵A ；(2)设向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，试计算A5β的值．解：(1)由题设条件可得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1a －1b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤21， 即⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝4，－2＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4，∴矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－14.(2)矩阵A 的特征多项式方程为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －21 λ－4＝λ2－5λ＋6＝0，解得λ1＝2，λ2＝3.当λ2＝3时，可得特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.设β＝m α1＋n α2，则⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝7m ＋n ＝4解得m ＝3，n ＝1，∴A5β＝A5(3α1＋α2)＝3(A5α1)＋A5α2＝3(λ51α1)＋λ52α2＝3×25⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤435339.5．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7 －64 －3，向量ξ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤65.(1)求矩阵M 的特征值λ1，λ2和特征向量ξ1和ξ2；(2)求M6ξ的值．解：(1)M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7 －64 －3的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－7 6－4 λ＋3＝λ2－4λ＋3，令f(λ)＝0，得λ1＝1，λ2＝3.当λ1＝1时，得ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11；当λ2＝3时 ，得ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.(2)由ξ＝m ξ1＋n ξ2得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3n ＝6，m ＋2n ＝5，得m ＝3，n ＝1.M6ξ＝M6(3ξ1＋ξ2)＝3(λ61ξ1)＋λ62ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 1901 461.6．(2014·苏北四市调研)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 13，其中a ∈R ，若点P(1,2)在矩阵A 对应的变换作用下得到点P′(6,7)． (1)求实数a 的值与矩阵A ；(2)求矩阵A 的特征值及相应的特征向量．解：(1)由题意知，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋2a 7＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤67， ∴2＋2a ＝6，∴a ＝2，∴A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 213.(2)由(1)知，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2213，其特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －2－1 λ－3＝(λ－2)(λ－3)－2，令f(λ)＝0，即λ2－5λ＋4＝0，解得λ1＝1，λ2＝4.当λ1＝1时，设对应的特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 213⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋2n ＝m ，m ＋3n ＝n ，取n ＝1，则m ＝－2，故α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－21；当λ2＝4时，设对应的特征向量为β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 213⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝4x ，x ＋3y ＝4y ，取x ＝1，则y ＝1，故β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.∴矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1，属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.7．设M 是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿y 轴方向伸长为原来5倍的伸缩变换．(1)求直线4x －10y ＝1在M 作用下的方程； (2)求M 的特征值与相应的特征向量．解：(1)由题意得M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1005.设(x′，y′)是所求曲线上的任一点，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1005⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x ，y′＝5y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x′，y ＝15y′，代入4x －10y ＝1得，4x′－2y′＝1，所以所求曲线的方程为4x －2y ＝1. (2)矩阵M 的特征多项式f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 00 λ－5＝(λ－1)(λ－5)，令f(λ)＝0，所以M 的特征值为λ1＝1，λ2＝5.当λ1＝1时，由M α1＝λ1α1，得特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10；当λ2＝5时，由M α2＝λ2α2，得特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.8．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 244.(1)求矩阵A 的特征值及对应的特征向量； (2)计算矩阵An.解：(1)矩阵A 的特征方程为⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 －2－4 λ－4＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16＝0. 得矩阵A 的特征值为λ1＝8，λ2＝2. 当λ1＝8时，A 属于λ1的特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11；当λ2＝2时，A 属于λ2的特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2.(2)设An ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cdAn α1＝8n α1，An α2＝2n α2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤8n 8n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2n －2·2n ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8n ，c ＋d ＝8n ，a －2b ＝2n ，c －2d ＝－2·2n.解得a ＝2×8n＋2n 3，b ＝8n －2n 3，c ＝2×8n－2n ＋13，d ＝8n ＋2n ＋13.故An ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2×8n＋2n 3 8n －2n32×8n－2n ＋13 8n ＋2n ＋13.。

反射变换与旋转变换一、【知识回顾】1.反射变换的有关概念2.常用的几种反射变换矩阵3．旋转变换的概念二、【自学检测】1.关于x 轴的反射变换的坐标公式为T ：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y →⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝ ，对应的二阶矩阵为 ；2. 关于y 轴的反射变换的坐标公式为T ：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y →⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝ ，对应的二阶矩阵为 ；3.旋转变换的坐标变换公式为T ：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y →⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝ ，对应的二阶矩阵为 .4.已知直线ＡＢ过（２,１），（－２，－２）两点,求:(1) 直线AB 在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1010对应变换下的方程；(2) 直线AB 在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1010对应变换下的方程.（3）已知A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),求矩形ABCD绕原点逆时针旋转900后所得到的图形，并求出其顶点坐标.三、【应用举例】探究1求直线y=4x在矩阵1⎡⎢⎣1⎤⎥⎦作用下变换所得的图形.探究2求曲线(x≥0)在矩阵1⎡⎢⎣1⎤⎥-⎦作用下变换所得的图形.探究3若点A (2,2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos αsin α －sin αcos α对应变换作用下得到的点为B (－2,2)，求矩阵M ． .四、【检测反思】1. 将图形变换为关于x 轴对称的图形的变换矩阵为 . 将图形变换为关于y 轴对称的图形的变换矩阵为 . 将图形变换为关于原点对称的图形的变换矩阵为 .2.求△ABC 在矩阵M=10-⎡⎢⎣ 01⎤⎥⎦作用下变换得到的图形, 其中A(1 , 1) , B(4 , 2) , C(3 , 0) .3.求出曲线y=1x (x>0)在矩阵M=10-⎡⎢⎣ 01⎤⎥-⎦作用下变换得到的曲线.4.求曲线y=lgx(x>0), 在矩阵M=1⎡⎢⎣1⎤⎥⎦作用下变换得到的曲线.5.求曲线经M1=1⎡⎢⎣1⎤⎥-⎦和M2=1⎡⎢⎣1⎤⎥⎦作用下变换得到的曲线.。

第十二章系列4选讲考试内容等级要求矩阵的概念 A二阶矩阵与平面向量 B常见的平面变换 A变换的复合与矩阵的乘法 B二阶逆矩阵 B二阶矩阵的特征值与特征向量 B二阶矩阵的简单应用 B坐标系的有关概念 A简单图形的极坐标方程 B极坐标方程与直角坐标方程的互化 B参数方程 B直线、圆及椭圆的参数方程 B参数方程与普通方程的互化 B参数方程的简单应用 B不等式的基本性质 B含有绝对值的不等式的求解 B不等式的证明(比较法、综合法、分析法) B算术—几何平均不等式与柯西不等式 A利用不等式求最大(小)值 B运用数学归纳法证明不等式 B§12.1矩阵与变换考情考向分析矩阵命题出自三个方向：一是变换的复合与矩阵的乘法，通过研究曲线上任意一点的变换可以得出曲线的变换．二是逆变换与逆矩阵，主要由点或曲线的变换用待定系数法求矩阵或逆矩阵．三是特征值与特征向量．属于低档题．1．乘法规则 (1)行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21的乘法规则：[a 11a 12]⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]．(2)二阶矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 12a 21a 22与列向量⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0的乘法规则： ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11 a 12a 21a 22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. (3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11 a 12a 21a 22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11×b 11＋a 12×b 21 a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 11＋a 22×b 21 a 21×b 12＋a 22×b 22. (4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律． 即(AB )C ＝A (BC )，AB ≠BA ，由AB ＝AC 不一定能推出B ＝C .一般地，两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算． 2．常见的平面变换(1)恒等变换：如⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 001； (2)伸压变换：如⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12；(3)反射变换：如⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100－1； (4)旋转变换：如⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos θ－sin θsin θcos θ，其中θ为旋转角度；(5)投影变换：如⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1000，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 010； (6)切变变换：如⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1k 01(k ∈R ，且k ≠0)． 3．逆变换与逆矩阵(1)对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵；(2)若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1.4．特征值与特征向量设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量． 5．特征多项式 设A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd 是一个二阶矩阵，λ∈R ，我们把行列式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc ，称为A 的特征多项式．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)已知A ，B ，C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则B ＝C .( √ )(2)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －12 1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 02 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 021＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3－1 61.( √ )(3)若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则(AB )－1＝B －1A －1.( × )(4)矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3652的特征值为8和－3.( √ ) 题组二 教材改编 2．[P52例3]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 345，则A 的逆矩阵A －1＝________. 答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 32 2 －1解析 因为det(A )＝2×5－3×4＝－2，所以A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 3242－22＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 32 2 －1.3．[P11习题T7]已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 a 21，其中a ∈R .若点P (1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P ′(－4,0)，实数a 的值为________． 答案 3 解析由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 a 2 1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－4 0，得2－2a ＝－4，解得a ＝3.4．[P39例1(1)]已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －12－1212，求AB . 解AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 121212 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －12－1212 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12×1212×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12×12 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 00 0. 题组三 易错自纠5．A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 01，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0－110，则AB 的逆矩阵为________．答案⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0 解析 ∵A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 1，B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0 1－1 0， ∴(AB )－1＝B －1A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0 1－1 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 110. 6．设椭圆的方程为x 2＋y 2a ＝1，若它在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0012对应的伸压变换下变为一个圆，则实数a ＝________. 答案 4解析 设P (x ，y )为椭圆上任意一点，变换后为P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 12y，所以x ＝x ′，y ＝2y ′，代入椭圆的方程，得x ′2＋4y ′2a＝1.因为它表示圆，所以a ＝4.7．已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 02，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120 6，求矩阵A －1B . 解 设矩阵A的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ， 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 1， 故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12，所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －2 0 3. 题型一 矩阵与变换1．已知a ，b 是实数，如果矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a b1所对应的变换将直线x－y ＝1变换成x ＋2y ＝1，求a ，b 的值．解 设点(x ，y )是直线x －y ＝1上任意一点，在矩阵M 的作用下变成点(x ′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a b1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ＋ay ，y ′＝bx ＋y .因为点(x ′，y ′)在直线x ＋2y ＝1上，所以(2＋2b )x ＋(a ＋2)y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2＋2b ＝1，a ＋2＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－12.2．二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)． (1)求矩阵M ；(2)设直线l 在矩阵M 变换作用下得到了直线m ：x －y ＝4，求直线l 的方程．解(1)设M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ，则有⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－1， ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4，所以M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1234. (2)设直线l 上任意一点P (x ，y )，在矩阵M 的变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)．因为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1234 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y ， 且m ：x ′－y ′＝4，所以(x ＋2y )－(3x ＋4y )＝4， 整理得x ＋y ＋2＝0，所以直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0.思维升华已知变换前后的坐标，求变换对应的矩阵时，通常用待定系数法求解． 题型二 求逆矩阵例1已知矩阵det(A )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 14 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 －1. (1)求A 的逆矩阵A －1； (2)求矩阵C ，使得AC ＝B .解 (1)因为|A |＝2×3－1×4＝2，所以A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 32 －12－4222＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 －12－2 1.(2)由AC ＝B 得(A －1A )C ＝A －1B ，故C ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 32 －12－2 1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 10 －1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 2－2 －3.思维升华求逆矩阵的方法 (1)待定系数法 设A是一个二阶可逆矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ，AB ＝BA ＝E ；(2)公式法|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ≠0，有A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d |A | －b |A |－c |A | a |A |. 跟踪训练1已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10 2－2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 2，求矩阵AB .解 B ＝(B －1)－1＝⎣⎢⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎥⎤22 1220212＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤114012.∴AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20－2 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 140 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 540－1.题型三 特征值与特征向量例2已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 11 2. (1)求矩阵A ；(2)求矩阵A －1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量． 解 (1)因为矩阵A 是矩阵A －1的逆矩阵，且|A －1|＝2×2－1×1＝3≠0，所以A ＝13⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －1－1 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 －13－1323. (2)矩阵A －1的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1 －1 λ－2＝λ2－4λ＋3＝(λ－1)(λ－3)，令f (λ)＝0，得矩阵A －1的特征值为λ1＝1或λ2＝3，所以ξ1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －1是矩阵A －1的属于特征值λ1＝1的一个特征向量，ξ2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11是矩阵A －1的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．思维升华已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ，求特征值和特征向量的步骤 (1)令f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝(λ－a )(λ－d )－bc ＝0，求出特征值λ；(2)列方程组⎩⎪⎨⎪⎧λ－ax －by ＝0，－cx ＋λ－d y ＝0；(3)赋值法求特征向量，一般取x ＝1或者y ＝1，写出相应特征的向量．跟踪训练2(2018·无锡期末)已知变换T 将平面内的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，(0,1)分别变换成点⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－2，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，4.设变换T 对应的矩阵为M .(1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的特征值．解(1)设M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 94－2，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤01＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－324， 得a ＝3，b ＝－32，c ＝－4，d ＝4，∴M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 －32－4 4. (2)设矩阵M 的特征多项式为f (λ)，∴f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 32 4 λ－4＝(λ－3)(λ－4)－6 ＝λ2－7λ＋6.令f (λ)＝0，则λ1＝1，λ2＝6.1．已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1562，求A 的特征值． 解 A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －5 －6 λ－2＝(λ－1)(λ－2)－30＝λ2－3λ－28＝(λ－7)(λ＋4)， ∴A 的特征值为λ1＝7，λ2＝－4. 故A 的特征值为7和－4.2．(2018·南通、泰州模拟)设矩阵A 满足：A ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1206＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－2 03，求矩阵A 的逆矩阵A －1.解 方法一 设矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b cd ， 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －2 0 3， 所以a ＝－1,2a ＋6b ＝－2，c ＝0,2c ＋6d ＝3. 解得b ＝0，d ＝12，所以A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 012. 根据逆矩阵公式得A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 2. 方法二在A ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 206＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －2 0 3两边同时左乘逆矩阵A －1， 得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 6＝A －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －2 0 3. 设A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －2 0 3， 所以－a ＝1，－2a ＋3b ＝2，－c ＝0，－2c ＋3d ＝6. 解得a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝2，从而A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 2. 3．(2019·徐州模拟)已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2101，向量b ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 2.求向量a ，使得A 2a ＝b . 解 A2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤210 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤210 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4 30 1， 设a ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，由A2a ＝b ，得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4301 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝10，y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以a ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12.4．(2018·宿迁期中)已知变换T 把直角坐标平面上的点A (3，－4)，B (0,5)分别变换成点A ′(2，－1)，B ′(－1,2)，求变换T 对应的二阶矩阵M . 解设矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3－4＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2－1， 且⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤05＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2. 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －4b ＝2，3c －4d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧5b ＝－1，5d ＝2.解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝25，b ＝－15，c ＝15，d ＝25，所以矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 －151525. 5．曲线C 1：x 2＋2y 2＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1201的作用下变换为曲线C 2，求C 2的方程．解 设P (x ，y )为曲线C 2上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线x 2＋2y 2＝1上与P 对应的点，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋2y ′，y ＝y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y .因为P ′是曲线C 1上的点，所以C 2的方程为(x －2y )2＋2y 2＝1. 6．(2015·江苏)已知x ，y ∈R ，向量α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1是矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x1y0的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值． 解 由已知，得Aα＝－2α，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 1y 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x －1 y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－2，y ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－11 20. 从而矩阵A 的特征多项式f (λ)＝(λ＋2)(λ－1)， 所以矩阵A 的另一个特征值为1.7．求曲线|x |＋|y |＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 13对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积．解 设点(x 0，y 0)为曲线|x |＋|y |＝1上的任一点，在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 13对应的变换作用下得到的点为(x ′，y ′)， 则由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 13⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 0，y ′＝13y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ′，y 0＝3y ′，所以曲线|x |＋|y |＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 13对应的变换作用下得到的曲线为|x |＋3|y |＝1，所以围成的图形为菱形，其面积为12×2×23＝23.8．(2018·江苏省丰县中学质检)在平面直角坐标系xOy 中，A (0,0)，B (－2,0)，C (－2,1)，设k ≠0，k ∈R ，M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k001，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0，点A ，B ，C 在矩阵MN 对应的变换下得到点A 1，B 1，C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求实数k 的值． 解由题设得MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k001⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 k 10， 由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 k 1 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －2 －20 0 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 0 k 0 －2 －2， 可知A 1(0,0)，B 1(0，－2)，C 1(k ，－2)．计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是|k |，则由题设知|k |＝2×1＝2，即k ＝±2.9．(2018·高邮考试)已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1a1，其中a ∈R ，若点P (1,1)在矩阵A 对应的变换作用下得到点P ′(0，－3)． (1)求实数a 的值；(2)求矩阵A 的特征值及特征向量． 解(1)∵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －1a1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0－3， ∴⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0a ＋1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0－3，∴a ＝－4. (2)∵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 －1－41，∴f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 1 4 λ－1＝λ2－2λ－3. 令f (λ)＝0，得λ1＝－1，λ2＝3， 对于特征值λ1＝－1，解相应的线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＝0，4x －2y ＝0，得一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，因此α1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12是矩阵A 的属于特征值λ1＝－1的一个特征向量．对于特征值λ2＝3，解相应的线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，4x ＋2y ＝0得一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，因此α2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－2是矩阵A 的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．∴矩阵A 的特征值为λ1＝－1，λ2＝3， 属于特征值λ1＝－1，λ2＝3的特征向量分别为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－2.10．设a >0，b >0，若矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a00b 把圆C ：x 2＋y 2＝1变换为椭圆E ：x 24＋y 23＝1.(1)求a ，b 的值；(2)求矩阵A 的逆矩阵A －1.解 (1)设点P (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2＝1上任意一点， 经过矩阵A 变换后对应点为P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 00 b ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ax by ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝by ，因为点P ′(x ′，y ′)在椭圆E ：x 24＋y 23＝1上，所以a 2x 24＋b 2y 23＝1，这个方程即为圆C 方程，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3，又因为a >0，b >0，所以a ＝2，b ＝ 3.(2)由(1)得A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 003，所以A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1200 33. 11．(2017·江苏)已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0110，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 2. (1)求AB ；(2)若曲线C 1：x 28＋y 22＝1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程． 解(1)因为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0110，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 2， 所以AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0110 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤021 0.(2)设Q (x 0，y 0)为曲线C 1上任意一点，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为点P (x ，y )，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 21 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ， 即⎩⎪⎨⎪⎧2y 0＝x ，x 0＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ，y 0＝x2.因为点Q (x 0，y 0)在曲线C 1上，所以x 208＋y 202＝1，从而y 28＋x 28＝1，即x 2＋y 2＝8.因此曲线C 1在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线C 2：x 2＋y 2＝8.12．(2018·江苏省镇江中学质检)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)． (1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的另一个特征值及对应的一个特征向量e 2的坐标之间的关系；(3)求直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 的作用下的直线l ′的方程． 解(1)设M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝8⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤88， 故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 4，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4.联立以上两个方程组，解得a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，故M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6 244. (2)由(1)知，矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 －2 －4 λ－4＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，故其另一个特征值为λ＝2. 设矩阵M 的特征值λ＝2对应的一个特征向量是e 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，则Me 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6x ＋2y 4x ＋4y ＝2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ， 解得2x ＋y ＝0.(3)设点(x ，y )是直线l 上的任一点，其在矩阵M 的变换作用下对应的点的坐标为(x ′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤624 4⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋2y ＝x ′，4x ＋4y ＝y ′，即x ＝14x ′－18y ′，y ＝－14x ′＋38y ′，代入直线l 的方程化简，得x ′－y ′＋2＝0， 即x －y ＋2＝0.。