当前位置：文档之家 › [配套K12]2019版高考数学一轮复习 第一部分 基础与考点过关 矩阵与变换学案 选修4-2

[配套K12]2019版高考数学一轮复习 第一部分 基础与考点过关 矩阵与变换学案 选修4-2

  • 格式：doc
  • 大小：142.50 KB
  • 文档页数：18

选修4­2 矩阵与变换1. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 2，MX ＝Y 且Y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，求矩阵X .解：设X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x ＋y －x ＋2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，所以由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，－x ＋2y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，故X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01. 2. 点（－1，k ）在伸压变换矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 001之下的对应点的坐标为（－2，－4），求m ，k 的值.解：⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 001⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 k ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－4，⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝－2，k ＝－4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，k ＝－4. 3. 已知在一个二阶矩阵M 对应的变换作用下，将点（1，1），（－1，2）分别变换成（1，1），（－2，4），求矩阵M .解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，c ＋d ＝1. 由题意可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4， 联立两个方程组，解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝43，b ＝－13，c ＝－23，d ＝53.即矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 43－13－23 53. 4. 已知曲线C ：x 2＋2xy ＋2y 2＝1，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 21 0所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1，求曲线C 1的方程.解：设曲线C 上的任意一点P （x ，y ）在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1210对应的变换作用下得到点Q（x′，y ′），则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 210⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，即x ＋2y ＝x′，x ＝y′， 所以x ＝y′，y ＝x′－y′2.代入x 2＋2xy ＋2y 2＝1，得y′2＋2y′·x′－y′2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x′－y′22＝1，即x′2＋y′2＝2，所以曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝2.5. 求使等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1成立的矩阵M .解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 2c 2d ，∴ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 2c 2d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －b 2c －2d . ∴ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －b 2c －2d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝a ，2＝－b ，3＝2c ，4＝－2d ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝32，d ＝－2，∴ M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－232－2.1. 二阶矩阵与平面向量 （1） 矩阵的概念在数学中，把形如⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 5，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 3 42 0 －1这样的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵，其中，同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数（或字母）叫做矩阵的列，而组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的元素.（2） 行矩阵与列矩阵的乘法规则[a 11 a 12]⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21].（3） 二阶矩阵与列向量的乘法规则 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. 2. 几种常见的平面变换（1） 当M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001时，对应的变换是恒等变换.（2） 由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 001或M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100k （k>0，且k≠1）确定的变换T M 称为（垂直）伸压变换.（3） 反射变换是轴反射变换、中心反射变换的总称.（4） 当M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ－sin θsin θ cos θ时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形（或点）绕某个定点逆时针旋转角度θ.（5） 将一个平面图形投影到某条直线（或某个点）的变换称为投影变换.（6） 由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k 01或M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10k 1（k∈R ，k ≠0）确定的变换称为切变变换.3. 线性变换的基本性质（1） 设向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则λα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤λx λy .（2） 设向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2，则α＋β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1＋x 2y 1＋y 2.（3） A 是一个二阶矩阵，α，β是平面上任意两个向量，λ是任一实数，则A （λα）＝λA α，A （α＋β）＝A α＋A β.（4） 二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成直线（或一点）. 4. 二阶矩阵的乘法（1） A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1 b 1c 1 d 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2b 2c 2d 2，则AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1a 2＋b 1c 2 a 1b 2＋b 1d 2c 1a 2＋d 1c 2 c 1b 2＋d 1d 2.（2） 矩阵乘法满足结合律：（AB ）C ＝A （BC ）. [备课札记]1 二阶矩阵的运算1 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12 1 x ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y .若A α＝B α，求实数x ，y 的值.解：A α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y －22＋xy ，B α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋y 4－y ，由A α＝B α，得⎩⎪⎨⎪⎧2y －2＝2＋y ，2＋xy ＝4－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝4.变式训练已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －2－2 －1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－15，满足AX ＝B ，求矩阵X .解：设X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －2－2 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－15，得⎩⎪⎨⎪⎧a －2b ＝5，－2a －b ＝－15， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，b ＝1，此时X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤71. , 2 求变换前后的点的坐标与曲线方程), 2) （1） （2017·苏北四市期中）求椭圆C ：x 29＋y24＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤130012对应的变换作用下所得的曲线的方程. （2） 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001，试求曲线y ＝sin x 在矩阵MN 对应的变换作用下的曲线方程.解：（1） 设椭圆C 上的点（x 1，y 1）在矩阵A 对应的变换作用下得到点（x ，y ），则⎣⎢⎡⎦⎥⎤13012⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13x 112y 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x ，y 1＝2y ，代入椭圆方程x 29＋y 24＝1，得x 2＋y 2＝1，所以所求曲线的方程为x 2＋y 2＝1. （2） MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002， 设（x ，y ）是曲线y ＝sin x 上的任意一点，在矩阵MN 对应的变换作用下对应的点为（x′，y ′）.则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝12x ，y ′＝2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x′，y ＝12y′，代入y ＝sin x ，得12y ′＝sin 2x ′，即y′＝2sin 2x ′.即曲线y ＝sin x 在矩阵MN 对应的变换作用下的曲线方程为y ＝2sin 2x. 变式训练在平面直角坐标系xOy 中，设点A （－1，2）在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1对应的变换作用下得到点A′，将点B （3，4）绕点A′逆时针旋转90°得到点B′，求点B′的坐标.解：设B′（x ，y ），依题意，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，得A′（1，2）.则A′B →＝（2，2），A′B′→＝（x －1，y －2）.记旋转矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1y －2， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1y －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4， 所以点B′的坐标为（－1，4）., 3 根据变换前后的曲线方程求矩阵), 3) 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a11a ，直线l ：x －y ＋4＝0在矩阵A 对应的变换作用下变为直线l′：x －y ＋2a ＝0.（1） 求实数a 的值；（2） 求A 2. 解：（1） 设直线l 上任一点M 0（x 0，y 0）在矩阵A 对应的变换作用下变为l′上的点M （x ，y ），则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax 0＋y 0x 0＋ay 0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ax 0＋y 0，y ＝x 0＋ay 0.代入l′方程得（ax 0＋y 0）－（x 0＋ay 0）＋2a ＝0， 即（a －1）x 0－（a －1）y 0＋2a ＝0. 因为（x 0，y 0）满足x 0－y 0＋4＝0，所以2a a －1＝4，解得a ＝2.（2） 由A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2，得A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 44 5.变式训练（2017·镇江期末）已知实数a ，b ，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a b 3对应的变换将直线x －y －1＝0变换为自身，求a ，b 的值.解：设直线x －y －1＝0上任意一点P （x ，y ）在矩阵A 对应的变换作用下得到点P′（x′，y ′），由⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a b 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y′，得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝－x ＋ay ，y ′＝bx ＋3y. 因为P′（x′，y ′）在直线x －y －1＝0上，所以x′－y′－1＝0，即（－1－b ）x ＋（a －3）y －1＝0. 因为P （x ，y ）在直线x －y －1＝0上，所以x －y －1＝0.因此⎩⎪⎨⎪⎧－1－b ＝1，a －3＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.备选变式（教师专享）已知直线l ：x ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n 0 1对应的变换作用下变为直线l′：x －y ＝1，求矩阵A .解：设直线l ：x ＋y ＝1上任意一点M （x ，y ）在矩阵A 对应的变换作用下，变换为点M′（x′，y ′）.由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤mx ＋ny y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝mx ＋ny ，y ′＝y. 又点M′（x′，y ′）在l′上，所以x′－y′＝1， 即（mx ＋ny ）－y ＝1.依题意⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n －1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1., 4 平面变换的综合应用), 4) 已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34.求证：（1） （MN ）α＝M （N α）；（2） 这两个矩阵不满足MN ＝NM .证明：（1） 因为MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112012， 所以（MN ）α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112012⎣⎢⎡⎦⎥⎤34＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤52. 因为N α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012⎣⎢⎡⎦⎥⎤34＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，所以M （N α）＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，所以（MN ）α＝M （N α）.（2） 由（1）知MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112012， NM ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11012， 所以这两个矩阵不满足MN ＝NM .备选变式（教师专享）在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标为A （0，0），B （－1，2），C （0，3）.求△ABC 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0对应的变换作用下所得到的图形的面积.解：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤03＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 0，所以A （0，0），B （－1，2），C （0，3）在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0对应的变换作用下所得到的三个顶点坐标分别为A ′（0，0），B ′（－2，－1），C ′（－3，0）.故S △A ′B ′C ′＝12A ′C ′·|y B ′|＝32.1. （2017·南京、盐城模拟）设a ，b ∈R ，若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤30－1b 对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x ＋y －91＝0.求实数a ，b 的值.解：（解法1）取直线l ：ax ＋y －7＝0上点A （0，7），B （1，7－a ）.因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 30－1b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤07＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤07b ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 30－1b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤17－a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3b （7－a ）－1，所以A （0，7），B （1，7－a ）在矩阵A 对应的变换作用下分别得到点A′（0，7b ），B ′（3，b （7－a ）－1）.由题意，知A′，B ′在直线l′：9x ＋y －91＝0上，所以⎩⎪⎨⎪⎧7b －91＝0，27＋b （7－a ）－1－91＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝13.（解法2）设直线l 上任意一点P （x ，y ），点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点Q （x′，y ′）.因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 30－1b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝3x ，y ′＝－x ＋by. 因为点Q （x′，y ′）在直线l′上，所以9x′＋y′－91＝0. 即27x ＋（－x ＋by ）－91＝0，也即26x ＋by －91＝0. 又点P （x ，y ）在直线l 上，所以有ax ＋y －7＝0.所以26a ＝b 1＝－91－7，解得a ＝2，b ＝13.2. 已知在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 10b 对应的变换作用下把点（1，1）变换成点（2，2）.（1） 求a ，b 的值，（2） 求曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵A 的变换作用下对应的曲线方程.解：（1） 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 10b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝2，b ＝2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.（2） 设曲线C 上任一点M′（x 0，y 0）在矩阵A 对应的变换作用下得到点M （x ，y ），∵ A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1102，∴ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1102⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋y 0，y ＝2y 0，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －12y ，y 0＝12y.∵ 点M′在曲线C 上，∴ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 2＝1. 故所求曲线方程为x 2－xy ＋12y 2＝1.3. 已知a ，b ∈R ，若在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 a b 3所对应的变换作用下把直线2x －y ＝3变换成自身，试求实数a ，b.解：设直线2x －y ＝3上任意一点A （x ，y ）在矩阵M 对应的变换作用下得到点A 0（x 0，y 0），则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 a b 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x ＋ay ，y 0＝bx ＋3y. ∵ 2x 0－y 0＝3，∴ 2（－x ＋ay ）－（bx ＋3y ）＝3. 即（－2－b ）x ＋（2a －3）y ＝3. 此直线即为2x －y ＝3， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－2－b ＝2，2a －3＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4. 4. 二阶矩阵M 对应的变换将点（1，－1）与（－2，1）分别变换成点（－1，－1）与（0，－2）.设直线l 在矩阵M 对应的变换作用下得到了直线m ：x －y ＝4，求l 的方程.解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝－1，－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234. 设直线l 上任一点P （x ，y ）在矩阵M 对应的变换作用下得到点P ′（x′，y ′）.因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x ＋2y ，y ′＝3x ＋4y.又m ：x′－y′＝4，所以直线l 的方程为（x ＋2y ）－（3x ＋4y ）＝4， 即x ＋y ＋2＝0.1. 求曲线|x|＋|y|＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10013对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积.解：设点（x 0，y 0）为曲线|x|＋|y|＝1上的任意一点，在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10013对应的变换作用下得到的点为（x′，y ′），则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10013⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x′，y 0＝3y′. 所以曲线|x|＋|y|＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10013对应的变换作用下得到的曲线为|x|＋3|y|＝1，所围成的图形为菱形，其面积为12×2×23＝23.2. 已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2301对应的变换作用下变为直线l′：x ＋by＝1.（1） 求实数a ，b 的值；（2） 若点P （x 0，y 0）在直线l 上，且A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，求点P 的坐标.解： （1） 设直线l 上一点（x ，y ）在矩阵A 对应的变换作用下得点（x′，y ′），则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2301⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ＋3y ，y ′＝y.代入直线l′，得2x ＋（b ＋3）y ＝1，∴ a ＝2，b ＝－2.（2） ∵ 点P （x 0，y 0）在直线l 上，∴ 2x 0＋y 0＝1.由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2301⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x 0＋3y 0，y 0＝y 0，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝35，y 0＝－15，∴ P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15.3. 设数列{a n }，{b n }满足a n ＋1＝2a n ＋3b n ，b n ＋1＝2b n ，且满足⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ＋4b n ＋4＝M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a nb n ，求二阶矩阵M .解： 依题设有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ＋1b n ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a nb n ，令A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2302，则M ＝A 4，A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 120 4.M ＝A 4＝（A 2）2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 120 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 120 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16 96 0 16.4. 已知直线l ：ax －y ＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0112对应的变换作用下得到直线l′，若直线l′过点（1，1），求实数a 的值.解：设P （x ，y ）为直线l 上任意一点，在矩阵A 对应的变换作用下变为直线l′上的点P′（x′，y ′），则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0112⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x′＝y ，y ′＝x ＋2y ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2x′＋y′，y ＝x′. 代入ax －y ＝0，整理，得－（2a ＋1）x′＋ay′＝0. 将点（1，1）代入上述方程，解得a ＝－1.几种特殊的变换 反射变换：M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－1：点的变换为（x ，y ）→（x ，－y ），变换前后关于x 轴对称； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 01：点的变换为（x ，y ）→（－x ，y ），变换前后关于y 轴对称； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0－1：点的变换为（x ，y ）→（－x ，－y ），变换前后关于原点对称； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110：点的变换为（x ，y ）→（y ，x ），变换前后关于直线y ＝x 对称. 投影变换：M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000：将坐标平面上的点垂直投影到x 轴上，点的变换为（x ，y ）→（x ，0）； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0001：将坐标平面上的点垂直投影到y 轴上，点的变换为（x ，y ）→（0，y ）； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1010：将坐标平面上的点垂直于x 轴方向投影到y ＝x 上，点的变换为（x ，y ）→（x ，x ）；M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0101：将坐标平面上的点平行于x 轴方向投影到y ＝x 上，点的变换为（x ，y ）→（y ，y ）；M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12121212：将坐标平面上的点垂直于y ＝x 方向投影到y ＝x 上，点的变换为（x ，y ）→⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2，x ＋y 2.第2课时 逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与 特征向量（对应学生用书（理）194～197页）1. 设二阶矩阵A ，B 满足A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，求B －1.解：∵ B ＝BAA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234， 设B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋2c b ＋2d 3a ＋4c 3b ＋4d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，b ＋2d ＝0，3a ＋4c ＝0，3b ＋4d ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，c ＝32，d ＝－12.∴ B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32－12. 2. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206，求矩阵A －1B .解：设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1002⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 所以a ＝－1，b ＝c ＝0，d ＝12，从而矩阵A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10012，所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10012⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－20 3.3. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12 52x 的一个特征值为－2，求M 2. 解：将λ＝－2代入⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋1－2－52λ－x ＝λ2－（x －1）λ－（x ＋5）＝0，得x ＝3. ∴ 矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12 523，∴ M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤64514.4. 设⎣⎢⎡⎦⎥⎤23是矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 232的一个特征向量，求实数a 的值.解：设⎣⎢⎡⎦⎥⎤23是矩阵M 属于特征值λ的一个特征向量，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 232⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋6＝2λ，12＝3λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，a ＝1. 5. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 24b 的属于特征值8的一个特征向量是e ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，点P （－1，2）在M 对应的变换作用下得到点Q ，求点Q 的坐标.解：由题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 24b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝8，4＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝4. ∴ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4， ∴ 点Q 的坐标为（－2，4）.1. 逆变换与逆矩阵（1） 对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵.（2） 若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且（AB ）－1＝B －1A －1. （3） 利用行列式解二元一次方程组. 2. 特征值与特征向量（1） 设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使A α＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量.（2） 从几何上看，特征向量经过矩阵A 对应的变换作用后，与原向量保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变（λ>0），或者方向相反（λ<0）.特别地，当λ＝0时，特征向量就被变换成了零向量., 1 求逆矩阵与逆变换), 1) 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2113，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10－1.求矩阵C ，使得AC ＝B .解： 因为det （A ）＝2×3－1×1＝5，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤35－15－1525＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 35－15－1525.由AC ＝B ，得（A －1A ）C ＝A －1B ，所以C ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 35－15－15 25⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 35 45－15－35. 变式训练（2017·常州期末）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2132，列向量X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤47.若AX ＝B ，直接写出A －1，并求出X.解：由A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2132，得A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1－3 2.由AX ＝B ，得X ＝A －1B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1－3 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤47＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12., 2 求特征值与特征向量), 2) 求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤3113的特征值及对应的特征向量.解：特征多项式f （λ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3－1－1λ－3＝（λ－3）2－1＝λ2－6λ＋8.由f （λ）＝0，解得λ1＝2，λ2＝4.将λ1＝2代入特征方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＝0，－x －y ＝0⇒x ＋y ＝0，可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1为属于特征值λ1＝2的一个特征向量.同理，当λ2＝4时，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，－x ＋y ＝0⇒x －y ＝0，所以可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤11为属于特征值λ2＝4的一个特征向量.综上所述，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤3113有两个特征值λ1＝2，λ2＝4；属于λ1＝2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于λ2＝4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.变式训练（2017·苏北三市模拟）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 32d ，若A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤84，求矩阵A 的特征值.解： 因为A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 32d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋62＋2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤84，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋6＝8，2＋2d ＝4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，d ＝1. 所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2321. 所以矩阵A 的特征多项式为f （λ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝（λ－2）（λ－1）－6＝λ2－3λ－4.令f （λ）＝0，解得矩阵A 的特征值为λ1＝－1，λ2＝4. , 3 根据特征值或特征向量求矩阵), 3) 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33c d .若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵. 解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤33c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即c＋d ＝6 ①.由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤33c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，即3c －2d ＝－2 ②.联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，d ＝4，即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 32 4， 所以A 的逆矩阵是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23－12－13 12.备选变式（教师专享）已知二阶矩阵M 有特征值λ＝3及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且在矩阵M 对应的变换作用下将点（－1，2）变换成（9，15），求矩阵M .解： 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤915，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝9，－c ＋2d ＝15. 联立以上两个方程组解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4，c ＝－3，d ＝6，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14－36., 4 特征值与特征向量的综合应用), 4) 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，计算A 5α.解：因为f （λ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－21λ－4＝λ2－5λ＋6.由f （λ）＝0，得λ＝2或λ＝3.当λ＝2时，对应的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21；当λ＝3时，对应的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 设⎣⎢⎡⎦⎥⎤53＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.所以A 5α＝2×25⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋1×35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤371307. 变式训练已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m n1的两个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.若β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，求M 2β. 解：设矩阵M 的特征向量α1对应的特征值为λ1，特征向量α2对应的特征值为λ2，则由⎩⎪⎨⎪⎧M α1＝λ1α1，M α2＝λ2α2，可解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝0，λ1＝2，λ2＝1.又β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝α1＋2α2，所以M 2β＝M 2（α1＋2α2）＝λ21α1＋2λ22α2＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤42.1. （2017·苏州期初）已知α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a －14属于λ的一个特征向量，求实数a ，λ的值及A 2.解：由条件可知，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1a －14⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝2λ，－2＋4＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，λ＝2. 因此A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－14，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－14⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－14＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－110－514.2. （2017·苏州期中）已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 将点（－1，3）变换为（0，8）.（1） 求矩阵M ；（2） 求曲线x ＋3y －2＝0在矩阵M 对应的变换作用下的新曲线方程.解：（1） 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11及⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤08，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8，－a ＋3b ＝0，－c ＋3d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，∴ M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244. （2） 设原曲线上任一点P （x ，y ）在矩阵M 对应的变换作用下的对应点为P ′（x′，y ′），则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x′＝6x ＋2y ，y ′＝4x ＋4y ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x′－y′8，y ＝－2x′＋3y′8，代入x ＋3y －2＝0并整理得x′－2y′＋4＝0，即曲线x ＋3y －2＝0在矩阵M 对应的变换作用下得到的新曲线方程为x －2y ＋4＝0.3. （2017·南京、盐城期末）设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 22－3的一个特征值λ对应的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2，求实数m 与λ的值.解：由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 22－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2，则⎩⎪⎨⎪⎧m －4＝λ，2＋6＝－2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，λ＝－4. 4. （2017·无锡期末）已知变换T 将平面内的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，（0，1）分别变换成点⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－2，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，4.设变换T 对应的矩阵为M. （1） 求矩阵M ；（2） 求矩阵M 的特征值.解：（1） 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 94－2， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32 4， 得a ＝3，b ＝－32，c ＝－4，d ＝4，∴ M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3－32－4 4. （2） 设矩阵M 的特征多项式为f （λ），∴ f （λ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3324λ－4＝（λ－3）（λ－4）－6＝λ2－7λ＋6.令f （λ）＝0，则λ1＝1，λ2＝6.1. 已知a ，b 是实数，如果矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2所对应的变换T 把点（2，3）变成点（3，4）.（1） 求a ，b 的值；（2） 若矩阵A 的逆矩阵为B ，求B 2.解：（1） 由题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，故⎩⎪⎨⎪⎧6＋3a ＝3，2b －6＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝5. （2） 由（1），得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －15 －2.由矩阵的逆矩阵公式得B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －15 －3.所以B 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1－5 4.2. （2017·南通、泰州模拟）设矩阵A 满足：A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－2 0 3，求矩阵A 的逆矩阵A －1.解：（解法1）设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－2 0 3，所以a ＝－1，2a ＋6b ＝－2，c ＝0，2c ＋6d ＝3.解得b ＝0，d ＝12，所以A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 012.根据逆矩阵公式得A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 02.（解法2）在A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－2 0 3两边同时左乘逆矩阵A －1，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206＝A－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－2 0 3. 设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－2 0 3，所以－a ＝1，－2a ＋3b ＝2，－c ＝0，－2c ＋3d ＝6.解得a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝2，从而A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 02.3. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 2，求逆矩阵M －1的特征值.解：设M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 2a ＋2c 2b ＋2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，2a ＋2c ＝0，2b ＋2d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝－1，d ＝12.所以M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 10－112. M －1的特征多项式为f （λ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－101λ－12＝（λ－1）⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－12，令f （λ）＝0，解得λ＝1或λ＝12.所以矩阵M 的逆矩阵M －1的特征值为1和12.4. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 1，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，计算M 6β.解：矩阵M 的特征多项式为f （λ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝λ2－2λ－3.令f （λ）＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，对应的一个特征向量分别为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.令β＝m α1＋n α2，得m ＝4，n ＝－3.M 6β＝M 6（4α1－3α2）＝4（M 6α1）－3（M 6α2）＝4×36⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－3×（－1）6⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 9132 919. 错误![备课札记]。

合集下载

江苏省2019届高三数学一轮复习典型题专题训练：矩阵与变换

江苏省2019届高三数学一轮复习典型题专题训练：矩阵与变换

江苏省2019届高三数学一轮复习典型题专题训练矩阵与变换1、（2018江苏高考）已知矩阵（1）求的逆矩阵；．（2）若点P在矩阵对应的变换作用下得到点，求点P的坐标．2、（2017江苏高考）已知矩阵A=（1）求AB；0110，B=．1002（2）若曲线C：1x2y2182在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C，求C的方程．223、（2016江苏高考）已知矩阵A1202,矩阵B的逆矩阵B 1=111，求矩阵AB.4、（南京市2018高三9 月学情调研）设二阶矩阵A＝1234．（1）求A－1；（2）若曲线C在矩阵A对应的变换作用下得到曲线C：6x－y＝1，求曲线C的方程．12205、（南京市2018 高三第三次（5月）模拟）已知矩阵A ＝，B ＝0101＝0在矩阵AB 对应的变换作用下得到直线l，求直线l的方程．1 1，若直线l: x－y＋26、（苏锡常镇2018高三3 月教学情况调研（一）已知矩阵401 20222A ，B0105，列向量Xa.（1）求矩阵AB；（2）若B 1A 1X5，求 a ， b的值.7、（苏锡常镇 2018 高三 5 月调研（二模） 已知矩阵 M =轾2 1犏 的一个特征值为 3，求 M 犏臌4 x 1.8、（苏州市 2018 高三上期初调研）在平面直角坐标系x Oy 中，设点 Px1.变换下得到点 Q y 2, y ，求Myx ,5在矩阵 M 对应的1 09、（徐州市 2018 高三上期中考试）已知矩阵 A ，若直线 y kx +1 在矩阵 A 对应的变换作用下得到的直线过点 P (2,6) ，求实数 k 的值．1 a10、（徐州市 2018 届高三考前模拟检测）已知矩阵 A 的一个特征值为 2 ，其对应的1特征向量为，求矩阵 A 的逆矩阵．2a 211、（徐州市铜山区 2018 届高考模拟（三） 已知 a , b R ，向量为 是矩阵 A 的属于特征值 3的一个特征向量．（1）求矩阵 A 的另一个特征值； （2）求矩阵 A 的逆矩阵 A 1．b 1 123 41 2b221b 112、（扬州、泰州、淮安、南通、徐州、宿迁、连云港市2018高三第三次调研）已知矩阵12B ，C AB．A10，（1）求矩阵C；（2）若直线l :x y 01在矩阵C对应的变换作用下得到另一直线l，求l的方程．2213、（镇江市2018届高三第一次模拟（期末）考试）已知矩阵M＝2a，其中a，b均为实数，若点A（3，－1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3,5），求矩阵M的特征值。

配套K122019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练第1章集合与常用逻辑用语1-2a

配套K122019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练第1章集合与常用逻辑用语1-2a

[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．下列命题中是真命题的是()①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若x－312是有理数，则x是无理数”的逆否命题．A．①②B．①③C．②③D．①②③答案 B解析对于①，其否命题是“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”，这显然是正确的，故①为真命题；对于②，其逆命题是“若两多边形相似，则它们一定是正多边形”，这显然是错误的，故②为假命题；对于③，原命题为真，故逆否命题也为真．因此是真命题的是①③.故选B.2．(2018·河南八市联考)命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是()A．若a≤b，则a＋c≤b＋c B．若a＋c≤b＋c，则a≤bC．若a＋c>b＋c，则a>b D．若a>b，则a＋c≤b＋c答案 A解析否命题是将原命题的条件和结论都否定，故命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是“若a≤b，则a＋c≤b＋c”．故选A.3．(2018·曲阜模拟)已知p：函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，q：函数g(x)＝log a(x＋1)(a>0且a≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则綈p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析 易知p 成立⇔a ≤1，q 成立⇔a >1，所以綈p 成立⇔a >1，则綈p 是q 的充要条件．故选C.4．下列命题正确的是( )A ．若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题B ．“a >0，b >0”是“b a ＋a b ≥2”的充分必要条件C ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1或x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”D ．命题p ：∃x ∈R ，x 2＋x －1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x －1≥0 答案 D解析 若p ∨q 为真命题，则p ，q 中至少有一个为真，那么p ∧q 可能为真，也可能为假，故A 错误；若a >0，b >0，则b a ＋a b ≥2，又当a <0，b <0时，也有b a ＋a b ≥2，所以“a >0，b >0”是“b a ＋a b ≥2”的充分不必要条件，故B 错误；命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1且x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”，故C 错误，易知D 正确．故选D.5．“a <－1”是“∃x 0∈R ，a sin x 0＋1<0”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由题意知“∃x 0∈R ，a sin x 0＋1<0”等价于“(a sin x ＋1)min <0”，即“当a >0时，－a ＋1<0，即a >1；当a <0时，a ＋1<0，即a <－1”，所以“a <－1”是“∃x 0∈R ，a sin x 0＋1<0”的充分不必要条件，故选B.6．(2018·合肥模拟)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 设命题a ：“若p ，则q ”，可知命题a 是祖暅原理的逆否命题，则a 是真命题．故p 是q 的充分条件．设命题b ：“若q ，则p ”，若A 比B 在某些等高处的截面积小一些，在另一些等高处的截面积大一些，且大的总量与小的总量相抵，则它们的体积还是一样的．所以命题b 是假命题， 即p 不是q 的必要条件．综上所述，p 是q 的充分不必要条件．故选A.7．(2017·衡水联考)“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x ＋a 为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，当a ＝0时，f (x )＝sin x －1x ，f (－x )＝sin(－x )－1－x＝－sin x ＋1x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －1x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数；反之，当f (x )＝sin x －1x ＋a 为奇函数时，f (－x )＋f (x )＝0，又f (－x )＋f (x )＝sin(－x )－1－x＋a ＋sin x －1x ＋a ＝2a ，故a ＝0， 所以“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x ＋a 为奇函数”的充要条件．故选C.8．(2018·天津模拟)已知f (x )＝2x ＋3(x ∈R )，若|f (x )－1|<a 的必要条件是|x ＋1|<b (a ，b >0)，则a ，b 之间的关系是( )A ．b ≥a 2B ．b <a 2C ．a ≤b 2D ．a >b 2答案 A解析 ∵f (x )＝2x ＋3，且|f (x )－1|<a ，∴|2x ＋2|<a .∴－a <2x ＋2<a ，∴－2－a 2<x <－2＋a 2.∵|x ＋1|<b ，∴－b <x ＋1<b ，∴－b －1<x <b －1.∵|f (x )－1|<a 的必要条件是|x ＋1|<b (a ，b >0)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－a 2，－2＋a 2⊆(－b －1，b －1)， ∴⎩⎨⎧－b －1≤－2－a 2，b －1≥－2＋a 2，解得b ≥a 2.故选A. 9．(2018·江西一联)已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a >0”是“点M 在第四象限”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 复数z ＝(1－2i)(a ＋i)＝a ＋2－2a i ＋i ＝a ＋2＋(1－2a )i 在复平面内对应的点为M (a ＋2,1－2a )．若a >0，则a ＋2>0，但1－2a 的正负不确定，所以点M 是否在第四象限也是不确定的；若点M 在第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2>0，1－2a <0，解得a >12，此时可推出a >0.所以“a >0”是“点M 在第四象限”的必要不充分条件．故选B.10．(2017·湖北七市联考)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)．设p ：0<r<3，q：圆C上至多有2个点到直线x－3y＋3＝0的距离为1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析圆C：(x－1)2＋y2＝r2的圆心(1,0)到直线x－3y＋3＝0的距离d＝|1－3×0＋3|2＝2.当r∈(0,1)时，直线与圆相离，圆上没有到直线的距离为1的点；当r＝1时，直线与圆相离，圆上只有一个点到直线的距离为1；当r∈(1,2)时，直线与圆相离，圆上有两个点到直线的距离为1；当r＝2时，直线与圆相切，圆上有两个点到直线的距离为1；当r∈(2,3)时，直线与圆相交，圆上有两个点到直线的距离为1.综上，当r∈(0,3)时，圆上至多有2个点到直线的距离为1，又由圆上至多有两个点到直线的距离为1可得0<r<3，故p是q的充分必要条件．故选C.二、填空题是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是________．答案(－1，＋∞)解析12．已知条件p：x∈A，且A＝{x|a－1<x<a＋1}，条件q：x∈B，且B ＝{x |y ＝x 2－3x ＋2}．若p 是q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，0]∪[3，＋∞)解析 易得B ＝{x |x ≤1或x ≥2}，且A ＝{x |a －1<x <a ＋1}，由p 是q 的充分条件，可知A ⊆B ，故a ＋1≤1或a －1≥2，即a ≤0或a ≥3.即所求实数a 的取值范围是(－∞，0]∪[3，＋∞)．13．(2018·泰安模拟)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a ≠0，q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．答案 (1,2]解析 ∵p 是q 的必要不充分条件，∴q ⇒p ，且p ⇒/ q .设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则B A .又B ＝{x |2<x ≤3}，当a >0时，A ＝{x |a <x <3a }；当a <0时，A ＝{x |3a <x <a }．故当a >0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3<3a ，解得1<a ≤2； 当a <0时，显然A ∩B ＝∅，不合题意．综上所述，实数a 的取值范围是(1,2]．14．(2017·长沙模拟)r (x )：已知r (x )＝sin x ＋cos x >m ；s (x )：x 2＋mx ＋1>0.如果∀x ∈R ，r (x )与s (x )有且仅有一个是真命题，则实数m 的取值范围是________．答案 (－∞，－2]∪[－2，2)解析 由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4， 得sin x ＋cos x 的最小值为－ 2.若∀x ∈R 时，命题r (x )为真命题，则m <－ 2.若命题s (x )为真命题，即∀x ∈R ，不等式x 2＋mx ＋1>0恒成立，则Δ＝m 2－4<0，解得－2<m<2.若命题r(x)为真命题，命题s(x)为假命题，则m≤－2；若命题r(x)为假命题，命题s(x)为真命题，则－2≤m<2.综上所述，实数m的取值范围是(－∞，－2]∪[－2，2)．三、解答题15．(2017·沂水模拟)已知f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b ∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．解(1)逆命题：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.是真命题．(用反证法证明)假设a＋b<0，则有a<－b，b<－a.∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，这与题设中f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)矛盾，故假设不成立．从而a＋b≥0成立．逆命题为真．(2)逆否命题：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，则a＋b<0.是真命题．原命题为真，证明如下：∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．∴原命题为真命题，∴其逆否命题也为真命题．16．(2017·江苏兴化月考)已知命题：“∃x∈{x|－1<x<1}，使等式x2－x－m＝0成立”是真命题．(1)求实数m的取值集合M；(2)设不等式(x －a )(x ＋a －2)<0的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，求实数a 的取值范围．解 (1)由题意知，方程x 2－x －m ＝0在(－1,1)上有解，即m 的取值范围就为函数y ＝x 2－x 在(－1,1)上的值域，易知M ＝{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－14≤m <2. (2)因为x ∈N 是x ∈M 的必要条件，所以M ⊆N .当a ＝1时，解集N 为空集，不满足题意；当a >1时，a >2－a ，此时集合N ＝{x |2－a <x <a }，则⎩⎨⎧ 2－a <－14，a ≥2，解得a >94； 当a <1时，a <2－a ，此时集合N ＝{x |a <x <2－a }， 则⎩⎨⎧ a <－14，2－a ≥2，解得a <－14.综上，a >94或a <－14.。

[配套K12]2019版高考数学一轮复习 第一部分 基础与考点过关 第四章 平面向量与复数学案

[配套K12]2019版高考数学一轮复习 第一部分 基础与考点过关 第四章 平面向量与复数学案

第四章 平面向量与复数第1课时 平面向量的概念与线性运算1. (必修4P 62习题5改编)下列命题：① 零向量的长度为零，方向是任意的；② 若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③ 向量AB →与BA →相等．则所有正确的命题是________．(填序号)答案：①解析：根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →互为相反向量，故③错误．2. 在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 的形状是__________． 答案：平行四边形解析：依题意知AC 是以AB ，AD 为相邻两边的平行四边形的对角线，所以四边形ABCD 是平行四边形．3. 在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝____________．答案：23b ＋13c解析：如图，因为在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，且点D 满足BD →＝2DC →，所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c .4. 设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．答案：12解析：因为向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，设λa ＋b ＝k(a ＋2b )，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，1＝2k ，所以λ＝12.5. (必修4P 73习题15改编)已知向量i 与j 不共线，且AB →＝i ＋m j ，AD →＝n i ＋j .若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 应该满足的条件是________．(填序号)① m ＋n ＝1；② m＋n ＝－1；③ mn＝1；④ mn＝－1. 答案：③解析：由A ，B ，D 共线可设AB →＝λAD →，于是有i ＋m j ＝λ(n i ＋j )＝λn i ＋λj.又i ，j不共线，因此⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝1，λ＝m ，即有mn ＝1.1. 向量的有关概念(1) 向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量AB →的大小叫做向量的长度(或模)，记作|AB →|.(2) 零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的． (3) 单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．(4) 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量平行．(5) 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量． (6) 相反向量：与向量a 长度相等且方向相反的向量叫做a 的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．2. 向量加法与减法运算 (1) 向量的加法① 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． ② 法则：三角形法则；平行四边形法则．③ 运算律：a ＋b ＝b ＋a ；(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． (2) 向量的减法① 定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法． ② 法则：三角形法则．3. 向量的数乘运算及其几何意义(1) 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下：① |λa |＝|λ||a |；② 当λ>0时，λa 与a 的方向相同；当λ<0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0.(2) 运算律：设λ，μ∈R ，则： ① λ(μa )＝(λμ)a ； ② (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； ③ λ(a ＋b )＝λa ＋λb ． 4. 向量共线定理向量b 与a (a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa ．, 1 平面向量的基本概念), 1) (1) 给出下列六个命题： ① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ② 若|a |＝|b |，则a ＝b ；③ 若AB →＝DC →，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形；④ 在▱ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ⑤ 若m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ⑥ 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中错误的命题是________．(填序号) (2) 给出以下命题：① 对于实数p 和向量a ，b ，恒有p(a －b )＝p a －p b ； ② 对于实数p ，q 和向量a ，恒有(p －q)a ＝p a －q a ； ③ 若p a ＝p b (p∈R )，则a ＝b ；④ 若p a ＝q a (p ，q ∈R ，a ≠0)，则p ＝q. 其中正确的命题是__________．(填序号) 答案：(1) ①②③⑥ (2) ①②④解析：(1) 两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a |＝|b |，由于a 与b 方向不确定，所以a ，b 不一定相等，故②不正确；AB →＝DC →，可能有A ，B ，C ，D 在一条直线上的情况，所以③不正确；零向量与任一向量平行，故a ∥b ，b ∥c 时，若b ＝0，则a 与c 不一定平行，故⑥不正确．(2) 根据实数与向量乘积的定义及其运算律，可知①②④正确；③不一定正确，因为当p ＝0时，p a ＝p b ＝0，而不一定有a ＝b .备选变式（教师专享）设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题个数是________．答案：3解析：向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②、③也是假命题．, 2 平面向量的线性表示), 2) 如图，在△ABC 中，CD DA ＝AE EB ＝12.若DE →＝λCA →＋μCB →，则λ＋μ＝__________．答案：23解析：由题意，DA →＝23CA →，AE →＝13AB →，∴ DE →＝DA →＋AE →＝23CA →＋13AB →＝23CA →＋13(CB →－CA →)＝13CA→＋13CB →.又DE →＝λCA →＋μCB →，∴ λ＝μ＝13，λ＋μ＝23.变式训练已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则向量EM →＝__________．(用AB →，AC →表示)答案：12AB →＋16AC →解析：∵ EC →＝2AE →，∴ EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →., 3 共线向量), 3) (1) (2017·镇江期末)设向量a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为________．(2) 已知D 为△ABC 边BC 的中点，点P 满足PA →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为__________．答案：(1) －1 (2) －2解析：(1) ∵ BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，∴ BD →＝BC →＋CD →＝2a －b .∵ A，B ，D 三点共线，∴ AB →，BD →共线．设AB →＝λBD →，∴ 2a ＋p b ＝λ(2a －b )，∴ 2＝2λ，p ＝－λ，∴ λ＝1，p ＝－1.(2) 如图所示，由AP →＝λPD →且PA →＋BP →＋CP →＝0，可知P 为以AB ，AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AP →＝－2PD →，则λ＝－2.变式训练已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b .若c 与d 同向，则实数λ的值为__________．答案：1解析：由于c 与d 同向，设c ＝k d (k ＞0)，于是λa ＋b ＝k[a ＋(2λ－1)b ]，整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k)b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝1或λ＝－12.因为k ＞0，所以λ＞0，故λ＝1., 4 向量共线的应用), 4) 已知D 为△ABC 的边AB 的中点．点M 在DC 上且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为__________．答案：3∶5解析：由5AM →＝AB →＋3AC →，得2AM →＝2AD →＋3AC →－3AM →，即2(AM →－AD →)＝3(AC →－AM →)，即2DM →＝3MC →，故DM →＝35DC →，故△ABM 与△ABC 同底且高的比为3∶5，故S △ABM ∶S △ABC ＝3∶5.备选变式（教师专享）如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使AN ＝13AC ；在AB 上取一点M ，使AM ＝13AB ；在BN的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ；在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．解：∵ AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋NC →)＝12BC →，QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又AP →＝QA →， ∴ 12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →， ∴ λ＝12.1. 下列各式不能化简为AD →的是________．(填序号)① (AB →＋CD →)＋BC →；② (AD →＋MB →)＋(BC →＋CM →)；③ MB →＋AD →－BM →；④ OC →－OA →＋CD →. 答案：③解析：对于①，(AB →＋CD →)＋BC →＝(AB →＋BC →)＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →；对于②，(AD →＋MB →)＋(BC →＋CM →)＝AD →＋(MB →＋BC →＋CM →)＝AD →；对于③，MB →＋AD →－BM →＝AD →＋2MB →；对于④，OC →－OA →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.2. (2017·南京模拟)在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC.用AB →，AC →表示PQ →，则PQ →＝________． 答案：13AB →＋13AC →解析：PQ →＝PB →＋BQ →＝23AB →＋13BC →＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →.3. 如图，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →，则OP →＝________．答案：－13OA →＋43OB →解析：∵ AP →＝43AB →，∴ OP →－OA →＝43(OB →－OA →)，∴ OP →＝－13OA →＋43OB →.4. 如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D.若OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的取值范围是__________．答案：(－∞，－1)解析：由于A ，B ，D 三点共线，设AD →＝αAB →，则OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋αAB →＝OA →＋α(OB →－OA →)＝(1－α)OA →＋αOB →.由于O ，C ，D 三点共线，且点D 在圆内，点C 在圆上，OC →与OD →方向相反，则存在λ＜－1，使得OC →＝λOD →＝λ[(1－α)·OA →＋αOB →]＝λ(1－α)OA →＋λαOB →＝xOA →＋yOB →，因此x ＝λ(1－α)，y ＝λα，所以x ＋y ＝λ＜－1.1. 已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列命题：① AD →＝12a －b ；② BE →＝a ＋12b ；③ CF →＝－12a ＋12b ；④ AD →＋BE →＋CF →＝0.其中正确的命题为________．(填序号) 答案：②③④解析：BC →＝a ，CA →＝b ，AD →＝12CB →＋AC →＝－12a －b ，BE →＝BC →＋12CA →＝a ＋12b ，CF →＝12(CB →＋CA →)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，∴ AD →＋BE →＋CF →＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0.∴ 正确的命题为②③④.2. 已知m ，n 满足|m|＝2，|n|＝3，|m －n|＝17，则|m ＋n|＝________． 答案：3解析：由平行四边形的对角线与边的关系，得|m －n|与|m ＋n|为以m ，n 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，得|m －n|2＋|m ＋n|2＝2|m|2＋2|n|2＝26.又|m －n|＝17，故|m＋n|2＝26－17＝9，故|m ＋n|＝3.3. 如图，半径为3的扇形AOB 的圆心角为120°，点C 在弧AB 上，且∠COB＝30°.若OC →＝λOA →＋μOB →，求λ＋μ的值．解：如图，作CD∥OB，交OA 于点D ，作CE∥OA，交OB 的延长线于点E ，则OC →＝OD →＋OE →.由题意知，∠COD ＝90°，∴ 在△OCE 中，∠OCE ＝90°，∠COB ＝30°.∵ |OC →|＝3，∴ |OD →|＝|CE →|＝1，|OE →|＝2，∴ |OD →||OA →|＝13＝33，|OE →||OB →|＝23＝233，即λ＝33，μ＝233，故λ＋μ＝ 3.4. (2017·盐城模拟)如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m的值为________．答案：3解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG →＝OG →－OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b .由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ使得PQ →＝λPG →，即n b －m a＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13λb ，从而⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1n ＋1m ＝3.1. 解决与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题，其关键在于透彻理解平面向量的概念，还应注意零向量的特殊性，以及两个向量相等必须满足：①模相等；②方向相同．2. 在进行向量线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线，相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．3. 平行向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数．利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点．[备课札记]第2课时 平面向量的基本定理及坐标表示(对应学生用书(文)、(理)75～76页)① 了解平面向量的基本定理及其意义.② 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；理解用坐标表示的平面向量共线的条件．能正确用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算，以及熟练掌握用坐标表示的平面向量共线的条件．1. (2017·苏州期末)已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则2a ＋b ＝________． 答案：(3，9)解析：2a ＋b ＝2(2，4)＋(－1，1)＝(3，9)．2. (必修4P 79练习9改编)已知M(3，－2)，N(－5，2)，且MP →＝12MN →，则P 点的坐标为____________．答案：(－1，0)解析：设P(x ，y)，则MP →＝(x －3，y ＋2)，而12MN →＝12(－8，4)＝(－4，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－4，y ＋2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0.3. (必修4P 82练习8改编)已知向量a ＝(m ，4)，b ＝(3，－2)，且a∥b ，则m ＝__________． 答案：－6解析：因为a∥b ，所以－2m －4×3＝0，解得m ＝－6. 4. (必修4P 79练习4改编)已知▱ABCD 的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D 的坐标为________．答案：(1，5)解析：设D(x ，y)，则由AB →＝DC →，得(4，1)＝(5－x ，6－y)，即⎩⎪⎨⎪⎧4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.5. 设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .答案：23 －13解析：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b .因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m(e 1＋2e 2)＋n(－e 1＋e 2)＝(m －n)e 1＋(2m ＋n)e 2.由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝－13.1. 平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2．我们把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这个平面内所有向量的一组基底．如果作为基底的两个基向量互相垂直，则称其为正交基底，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．2. 平面向量的直角坐标运算(1) 已知点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(2) 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)．a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.[备课札记], 1 平面向量的坐标表示与坐标运算), 1) 已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b .(1) 求3a ＋b －3c ；(2) 求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(3) 求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8)．(1) 3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2) ∵ m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n)＝(5，－5)， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1. (3) 设O 为坐标原点，∵ CM →＝OM →－OC →＝3c ， ∴ OM →＝3c ＋OC →＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)， ∴ M 的坐标为(0，20)． 又CN →＝ON →－OC →＝－2b ， ∴ ON →＝－2b ＋OC →＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)， ∴ N 的坐标为(9，2)， ∴ MN →＝(9－0，2－20)＝(9，－18)． 变式训练如图，已知点A(1，0)，B(0，2)，C(－1，－2)，求以A ，B ，C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标．解：如图，以A ，B ，C 为顶点的平行四边形可以有三种情况：① ▱ABCD ；② ▱ADBC ；③ ▱ABDC.设D 的坐标为(x ，y)，① 若是▱ABCD ，则由AB →＝DC →，得(0，2)－(1，0)＝(－1，－2)－(x ，y)， 即(－1，2)＝(－1－x ，－2－y)， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－1－x ＝－1，－2－y ＝2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－4.∴ D 点的坐标为(0，－4)(如图中所示的D 1点)．② 若是▱ADBC ，则由CB →＝AD →，得(0，2)－(－1，－2)＝(x ，y)－(1，0)， 即(1，4)＝(x －1，y)， 解得x ＝2，y ＝4.∴ D 点的坐标为(2，4)(如图中所示的D 2点)．③ 若是▱ABDC ，则由AB →＝CD →，得(0，2)－(1，0)＝(x ，y)－(－1，－2)， 即(－1，2)＝(x ＋1，y ＋2)． 解得x ＝－2，y ＝0.∴ D 点的坐标为(－2，0)(如图中所示的D 3点)．∴ 以A ，B ，C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标为(0，－4)或(2，4)或(－2，0)．, 2 向量共线充要条件的坐标表示及应用), 2) 已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(5，－3)，OC →＝(4－m ，m ＋2)．(1) 若D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32m ，求证：对任意实数m ，都有AB →∥DC →；(2) 若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 应满足什么条件？(1) 证明：由题意，AB →＝OB →－OA →＝(2，1)，CD →＝OD →－OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －4，12m －2. 因为2⎝ ⎛⎭⎪⎫12m －2－1·(m－4)＝0，所以AB →∥DC →.(2) 解：AB →＝OB →－OA →＝(2，1)，AC →＝OC →－OA →＝(1－m ，m ＋6)． 若点A ，B ，C 能构成三角形，则A ，B ，C 三点不共线．当A ，B ，C 三点共线时，存在λ使AB →＝λAC →，即(2，1)＝λ(1－m ，m ＋6)，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ（1－m ），1＝λ（m ＋6），解得m ＝－113.所以当m≠－113时，点A ，B ，C 能构成三角形．变式训练已知OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 的取值集合为__________．答案：{1}解析：若点A ，B ，C 不能构成三角形，则向量AB →与AC →共线．因为AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)．所以1×(k＋1)－2k ＝0，解得k ＝1., 3 平面向量基本定理及应用), 3) 如图所示，在△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于点F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则x ，y 分别为__________．答案：13，13解析：令BF →＝λBE →，由题意，可知AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋λBE →＝AB →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC →－AB →＝(1－λ)a＋12λb ；同理，令CF →＝μCD →，则AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋μCD →＝AC →＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →－AC →＝12μa ＋(1－μ)b . 因为a ，b 不共线，所以由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝12μ，12λ＝1－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23，所以AF →＝13a ＋13b .故x ＝13，y ＝13. 备选变式（教师专享）(2017·南通调研)如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．答案：311解析：设BP →＝kBN →，k ∈R .因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k(AN →－AB →)＝AB →＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫14AC →－AB →＝(1－k)AB →＋k 4AC →，且AP →＝mAB →＋211AC →，所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311.1. 已知向量a ＝(5，2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y)．若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝__________． 答案：(－23，－12)解析：3a －2b ＋c ＝(23＋x ，12＋y)＝0，故x ＝－23，y ＝－12，则c ＝(－23，－12)．2. 如图，向量a ，b ，c 在正方形网格中，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________．答案：4解析：以向量a ，b 的交点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，∴ a ＝(－1，1)，b ＝(6，2)，c ＝(－1，－3)．∵ c ＝λa ＋μb ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－12，∴ λμ＝－2－12＝4.3. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且c>b>a ，若向量m ＝(a －b ，1)和n ＝(b －c ，1)平行，且sin B ＝45，则当△ABC 的面积为32时，b ＝________．答案：2解析：由向量m 和n 平行知a ＋c ＝2b ①， 由12acsin B ＝32⇒ac ＝154②， 由c>b>a 知B 为锐角，则cos B ＝35，即a 2＋c 2－b 22ac ＝35③，由①②③可得b ＝2.4. 在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O.若AO →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的值为__________．答案：58解析：∵ AO 为△ABC 的角平分线，∴ 存在实数λ(λ≠0)使AO →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB→|＋AC →|AC →|，即AO →＝12λAB →＋13λAC →，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧12λ＝x ，13λ＝y. ①设AB 边上的中线与AB 交于点D ，则AO →＝2xAD →＋yAC →. ∵ C ，O ，D 三点共线，∴ 2x ＋y ＝1 ②.由①②得x ＝38，y ＝14，∴ x ＋y ＝58.1. 已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12x ，b ＝(x ，1)，其中x>0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x 的值为__________．答案：4解析：a －2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，12x －2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)， 由已知(a －2b )∥(2a ＋b )，显然2a ＋b ≠0，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，12x －2＝λ(16＋x ，x ＋1)，λ∈R ， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧8－2x ＝λ（16＋x ），12x －2＝λ（x ＋1）⇒x ＝4(x ＝－4舍去)．2. (2017·南京、盐城模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE →＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________．答案：34解析：由题意可得BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋14BD →，由平面向量基本定理可得λ＝12，μ＝14，所以λ＋μ＝34.3. 在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为________．答案：12解析：∵ M 为边BC 上任意一点，∴ 可设AM →＝xAB →＋yAC →(x ＋y ＝1)．∵ N 为AM 的中点，∴ AN →＝12AM →＝12xAB →＋12yAC →＝λAB →＋μAC →.∴ λ＋μ＝12(x ＋y)＝12.4. 如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD →(m ，n 均为正实数)，则1m ＋1n的最小值为________．答案：7＋434解析：(解法1)设AB →＝a ，AD →＝b ，则BC →＝－34a ＋b ；设BP →＝λBC →，则AP →＝AB →＋BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34λa ＋λb .因为AP →＝m a ＋n b ，所以有 1－34λ＝m ，λ＝n ，消去λ得m ＋34n ＝1，1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋34n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝1＋3n 4m ＋m n ＋34≥74＋23n 4m ·m n ＝7＋434. (解法2)以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，0)，C(1，4)，设BP →＝λBC →＝(－3λ，4λ)，则AP →＝AB →＋BP →＝(4－3λ，4λ)．因为AP →＝mAB →＋nAD →＝(4m ，4n), 所以有 4－3λ＝4m ，4λ＝4n ，消去λ得m ＋34n ＝1(下同解法1)．1. 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是惟一的．2. 利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标．3. 向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值．[备课札记]第3课时 平面向量的数量积及平面向量的 应用举例(对应学生用书(文)、(理)77～79页)1. (必修4P 90习题19(2)改编)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，－2)，且a ⊥(a －b )，则实数x ＝____________．答案：9解析：由a⊥(a －b )知，a 2＝a·b ，即5＝x －4，则x ＝9.2. 已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为__________．答案：π6解析：设a 与b 夹角为θ，由已知，a·b ＝23，|a|＝|b|＝2，cos θ＝232×2＝32.因为θ∈[0，π]，所以θ＝π6.3. (2017·苏北四市调研)已知平面向量a 与b 的夹角等于π3，若|a|＝2，|b|＝3，则|2a －3b|＝________．答案：61解析：由题意可得a·b ＝|a|·|b|cos π3＝3，所以|2a －3b|＝（2a －3b ）2＝4|a|2＋9|b|2－12a·b ＝16＋81－36＝61.4. (必修4P 89习题第8(1)题改编)已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3.若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝________．答案：－6解析：b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝(e 1－2e 2)·(3e 1＋4e 2)＝3e 21－2e 1·e 2－8e 22.因为e 1，e 2为单位向量，〈e 1，e 2〉＝π3，所以b 1·b 2＝3－2×12－8＝3－1－8＝－6.5. (必修4P 90习题21改编)已知D 是△ABC 所在平面内一点，且满足(BC →－CA →)·(BD →－AD →)＝0，则△ABC 的形状是__________．答案：等腰三角形解析： (BC →－CA →)·(BD →－AD →)＝(BC →－CA →)·BA →＝0，所以BC →·BA →＝CA →·BA →，所以acos B＝bcos A ，利用余弦定理化简得a 2＝b 2，即a ＝b ，所以△ABC 是等腰三角形．1. 向量数量积的定义(1) 向量a与b的夹角．(2) 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos_θ叫做向量a 与b的数量积(或内积)，记作a·b，并规定零向量与任一向量的数量积为0.2. 向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ是a与b的夹角，则(1) e·a＝a·e.(2) a⊥b⇔a·b＝0．(3) 当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b特殊的，a·a＝|a|2或|(4) cos θ＝a·b|a||b|.(5) |a·b|≤|a|·|b|.3. 向量数量积的运算律(1) 交换律：a·b＝b·a.(2) 分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.(3) 数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．4. 平面向量数量积的坐标表示(1) 若非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.故a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(2) 设a＝(x，y)，则|a|(3) 若向量a＝(x1，y1)与向量b＝(x2，y2)的夹角为θ，则有cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.[备课札记], 1 平面向量数量积的运算), 1) (1) (2017·第三次全国大联考江苏卷)在四边形ABCD 中，O 为对角线AC ，BD 的交点，若|AC|＝4，BA →·BC →＝12，AO →＝OC →，BO →＝2OD →，则DA →·DC →＝________．(2) 已知边长为6的正三角形ABC ，BD →＝12BC →，AE →＝13AC →，AD 与BE 交于点P ，则PB →·PD →的值为__________．答案：(1) 0 (2) 274解析：(1) 因为BA →·BC →＝BO →2－AO →2＝BO →2－4＝12，BO →2＝16，OD →2＝4，所以DA →·DC →＝DO →2－AO →2＝4－4＝0.(2) 以D 点为坐标原点，直线BC 为x 轴，建立平面直角坐标系，则B(－3，0)，C(3，0)，A(0，33)，E(1，23)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 3，则PB →·PD →的值为274. 变式训练(2017·南通、扬州、泰州调研)如图，已知△ABC 的边BC 的垂直平分线交AC 于点P ，交BC 于点Q.若|AB →|＝3，|AC →|＝5，则(AP →＋AQ →)·(AB →－AC →)的值为__________．答案：－16解析：由AP →＝AQ →－PQ →，PQ →·CB →＝0，则(AP →＋AQ →)·(AB →－AC →)＝(2AQ →－PQ →)·CB →＝2AQ →·CB →＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB → 2－AC → 2＝32－52＝－16., 2 平面向量的平行与垂直问题), 2) (2017·镇江一模)已知向量m ＝(cos α，－1)，n ＝(2，sin α)，其中α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且m⊥n .(1) 求cos 2α的值；(2) 若sin(α－β)＝1010，且β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求角β的值．解：(解法一)(1) 由m⊥n 得，2cos α－sin α＝0，sin α＝2cos α，代入cos 2α＋sin 2α＝1，得5cos 2α＝1，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos α＝55，sin α＝255，则cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35.(2) 由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2得，α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.因为sin(α－β)＝1010，则cos(α－β)＝31010. 则sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝255×31010－55×1010＝22. 因为β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则β＝π4.(解法2)(1) 由m⊥n 得，2cos α－sin α＝0，tan α＝2，故cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－41＋4＝－35. 且cos 2α＋sin 2α＝1，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin α＝255，cos α＝55，则cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35.(2) 由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2得，α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.因为sin(α－β)＝1010，则cos(α－β)＝31010. 则sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝255×31010－55×1010＝22.因为β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则β＝π4.变式训练平面直角坐标系xOy 中，已知向量AB →＝(6，1)，BC →＝(x ，y)，CD →＝(－2，－3)，且AD →∥BC →.(1) 求x 与y 之间的关系式；(2) 若AC →⊥BD →，求四边形ABCD 的面积．解：(1) 由题意得AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(x ＋4，y －2)，BC →＝(x ，y)．因为AD →∥BC →，所以(x ＋4)y －(y －2)x ＝0， 即x ＋2y ＝0.(2) 由题意AC →＝AB →＋BC →＝(x ＋6，y ＋1)，BD →＝BC →＋CD →＝(x －2，y －3)．因为AC →⊥BD →，所以(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0，即x 2＋y 2＋4x －2y －15＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，x 2＋y 2＋4x －2y －15＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝3， 当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1时，AC →＝(8，0)，BD →＝(0，－4)， S 四边形ABCD ＝12×AC ×BD ＝16；当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝3时，AC →＝(0，4)，BD →＝(－8，0)，S 四边形ABCD ＝12×AC ×BD ＝16.所以四边形ABCD 的面积为16., 3 平面向量的模与夹角问题), 3) (1) 已知平面向量α，β满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则α的模的取值范围是____________；(2) (2017·盐城模拟)已知|OA →|＝|OB →|＝2，且OA →·OB →＝1.若点C 满足|OA →＋CB →|＝1，则|OC →|的取值范围是____________．答案：(1) (0，233] (2) [6－1，6＋1]解析：(1) 设△ABC 中，a ＝|β|＝1，A ＝60°，|α|＝c ，由正弦定理得a sin A ＝csin C ，则asin C sin A ＝c ，即c ＝233sin C ．又0<sin C ≤1，即c 的取值范围是(0，233]，则α的模的取值范围是(0，233]．(2) ∵ OA →·OB →＝1，∴ ∠AOB ＝π3.建系可设A(2，0)，B(22，62)，C(x ，y)，∴OA →＋CB →＝(322－x ，62－y)，∴ (x －322)2＋(y －62)2＝1，∴ C 的轨迹是以点M(322，62)为圆心，1为半径的圆，∴ OM ＝（322）2＋（62）2＝6，∴ |OC →|∈[6－1，6＋1]． 变式训练(1) 已知向量a ，b 满足a ＝(4，－3)，|b|＝1，|a －b|＝21，则向量a ，b 的夹角为__________．(2) (2017·江阴检测)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →| 的最小值为__________．答案：(1) π3 (2) 5解析：(1) |b|＝1，|a|＝5，对|a －b|＝21两边平方，得2a ·b ＝5，2|a||b|cos θ＝5，cos θ＝12，则向量a ，b 的夹角为π3.(2) (解法1)以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x ，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．设DC ＝a ，DP ＝x ，∴ D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，PA →＝(2，－x)，PB →＝(1，a －x)，∴ PA →＋3PB →＝(5，3a －4x)，|PA →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x)2≥25，∴|PA →＋3PB →|的最小值为5.(解法2)设DP →＝xDC →(0<x<1)，∴ PC →＝(1－x)DC →，PA →＝DA →－DP →＝DA →－xDC →，PB →＝PC →＋CB →＝(1－x)DC →＋12DA →，∴ PA →＋3PB →＝52DA →＋(3－4x)DC →，|PA →＋3PB →|2＝254DA →2＋2×52×(3－4x)·DA →·DC →＋(3－4x)2·DC → 2＝25＋(3－4x)2DC →2≥25，∴ |PA →＋3PB →|的最小值为5., 4 平面向量与三角函数的综合问题)●典型示例, 4) 已知m ＝(cos α，sin α)，n ＝(3，－1)，α∈(0，π)． (1) 若m⊥n ，求角α的值； (2) 求|m ＋n|的最小值． 【思维导图】【规范解答】 解：(1) 因为m ＝(cos α，sin α)，n ＝(3，－1)，且m ⊥n ，所以3cos α－sin α＝0，即tan α＝ 3.又α∈(0，π)，所以α＝π3.(2) 因为m ＋n ＝(cos α＋3，sin α－1)，所以|m ＋n|＝（cos α＋3）2＋（sin α－1）2＝5＋23cos α－2sin α＝5＋4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6. 因为α∈(0，π)，所以α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，7π6，故当α＋π6＝π时，|m ＋n|取到最小值1.●总结归纳解决向量与三角函数综合问题的关键是根据向量间的条件，利用数量积的性质，将问题转化为三角函数的条件求解，然后利用三角恒等变换或三角函数的图象和性质解决问题．●题组练透1. 已知m ＝(cos α，sin α)，n ＝(2，1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，若m·n ＝1，则sin(2α＋3π2)＝____________． 答案：－725解析：由m·n ＝2cos α＋sin α＝1，cos 2α＋sin 2α＝1，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，得cosα＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋3π2＝－cos 2α＝1－2cos 2α＝－725.2. 若向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(3，－1)，则|2a －b|的最大值为____________．答案：4解析：因为向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(3，－1)，所以|a|＝1，|b|＝2，a ·b＝3cos θ－sin θ，所以|2a －b|2＝4a 2＋b 2－4a·b ＝8－4(3cos θ－sin θ)＝8－8cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6，所以|2a －b|2的最大值为16，因此|2a －b |的最大值为4.3. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B)，sin(A－B))，n ＝(cos B ，－sin B)，且m ·n ＝35.(1) 求sin A 的值；(2) 若a ＝42，b ＝5，AD ⊥BC 于D ，求BA →·AD →的值．解：(1) 由m·n ＝35，得cos(A －B)cos B －sin(A －B)sin B ＝35，所以cos A ＝35.因为0<A<π2，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45. (2) 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，则sin B ＝bsin A a ＝5×4542＝22.因为0<B<π2，所以B ＝π4，所以sin C ＝sin(A ＋B)＝22(sin A ＋cos A)＝7210. 又|AD →|＝|AC →|sin C ＝5×7210＝722，所以BA →·AD →＝(BD →＋DA →)·AD →＝－AD → 2＝－|AD →|2＝－492.4. (2017·苏锡常镇调研(二))已知向量m ＝(3cos x ，－1)，n ＝(sin x ，cos 2x)．(1) 当x ＝π3时，求m·n 的值；(2) 若x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，且m·n ＝33－12，求cos 2x 的值．解：(1) 当x ＝π3时，m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，14，所以m·n ＝34－14＝12.(2) m·n ＝3cos xsin x －cos 2x＝32sin 2x －12cos 2x －12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－12. 若m·n ＝33－12，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝33－12，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝33. 因为x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，所以－π6≤2x －π6≤π3，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝63，则cos 2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6×32－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6×12＝63×32－33×12＝32－36.1. 在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，则AB →·AC →＝________． 答案：－2解析：由余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝22＋22－（23）22×2×2＝－12，所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2.2. (2017·南通调研)已知平面向量a ＝(2m ＋1，3)，b ＝(2，m)，且a 与b 反向，则|b|＝________．答案：2 2 解析：∵ a 与b 反向，∴ a 与b 共线，∴ m(2m ＋1)－2×3＝0⇒2m 2＋m －6＝0⇒m ＝－2或m ＝32.当m ＝－2时，a ＝(－3，3)，b ＝(2，－2)，a 与b 反向，此时|b|＝22；当m＝32时，a ＝(4，3)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，a 与b 同向，不合题意． 3. (2017·第一次全国大联考江苏卷)已知四边形ABCD ，若AC →·BD →＝AB →·CD →＝2，则AD →·BC →的值为________．答案：0解析：因为AC →·BD →＝(AB →＋BC →)·(BC →＋CD →)＝AB →·CD →＋(AB →＋BC →＋CD →)·BC →＝AB →·CD →＋AD →·BC →，所以AD →·BC →＝AC →·BD →－AB →·CD →＝0.4. (2016·江苏卷)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是__________．答案：78解析：因为BA →·CA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC →－AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12BC →－AD →＝4AD → 2－BC → 24＝36FD → 2－BC →24＝4，BF →·CF→＝(12BC →－13AD →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12BC →－13AD →＝4FD → 2－BC →24＝－1，因此FD → 2＝58，BC → 2＝132，BE →·CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC →－ED →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12BC →－ED →＝4ED → 2－BC → 24＝16FD → 2－BC →24＝78.1. 在△ABC 中，∠ABC ＝120°，BA ＝2，BC ＝3，D ，E 是线段AC 的三等分点，则BD →·BE →的值为________．答案：119解析：设BA →＝a ，BC →＝b ，BD →·BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＋13b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋23b ＝29(a 2＋b 2)＋59a ·b ＝269－159＝119. 2. (2017·镇江期末)已知向量a ，b 满足a·b ＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|a －b|＝________．答案： 5解析：|a －b|＝（a －b ）2＝a 2－2a·b ＋b 2＝1＋4＝ 5.3. (2017·苏锡常镇调研(二))在△ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝1t，AC ＝t ，P 是△ABC 所在平面内一点，若AP →＝4AB→|AB →|＋AC →|AC →|，则△PBC 面积的最小值为________．答案：32解析：以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则P(1，4)，C(t ，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1t ，BC ：x t ＋ty ＝1，x ＋t 2y －t ＝0.S △PBC ＝12×|1＋4t 2－t|1＋t 4×t 2＋1t 2＝12|4t ＋1t －1|≥12|24t·1t －1|＝32，△PBC 面积的最小值为32.4. 已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x ，34，b ＝(cos x ，－1)． (1) 当a∥b 时，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的值；(2) 设函数f(x)＝2(a ＋b )·b ，当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f(x)的值域．解：(1) ∵ a∥b ，∴ 34cos x ＋sin x ＝0，∴ tan x ＝－34，∴ tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝－34－11－34＝－7. (2) f(x)＝2(a ＋b )·b ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋32. ∵ x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴ π4≤2x ＋π4≤5π4，∴ －22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤1，∴12≤f (x)≤32＋2，即函数f(x)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32＋2.1. 在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|＝a·a 要引起足够重视，是求距离常用的公式．2. 已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出方程，通过解方程求出其中的参数值．在计算数量积时要注意方法的选择：一种方法是把互相垂直的两个向量的坐标求出来，再计算数量积；另一种方法是根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算化归为基本的向量数量积的计算．3. 应用向量运算将问题转化为与代数函数有关的问题，其中转化是关键．4. 向量与三角函数的交汇是高考最常见的题型之一，其中用向量运算进行转化，化归三角函数问题或三角恒等变形等问题是常规的解题思路和基本方法．第4课时 复 数(对应学生用书(文)、(理)80～81页)1. 设i 是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝__________． 答案：3＋i解析：(1－i)(1＋2i)＝1＋2i －i －2i 2＝1＋i ＋2＝3＋i.2. (2017·苏北三市(连云港、徐州、宿迁)第三次调研)设a ，b ∈R ，1＋i1－i＝a ＋bi(i 为虚数单位)，则b 的值为________．答案：1解析：1＋i 1－i ＝i （－i ＋1）1－i＝i ，故a ＋bi ＝i ，b ＝1.3. 在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是__________．答案：2＋4i解析：∵ A(6，5)，B(－2，3)，∴ 线段AB 的中点C(2，4)，则点C 对应的复数为z ＝2＋4i.4. 已知i 为虚数单位，复数z 满足zi＋4＝3i ，则复数z 的模为__________．答案：5解析：z ＝－3－4i ，则复数z 的模为5.5. 已知▱ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别对应复数3＋3i ，－2＋i ，－5i ，则第四个顶点D 对应的复数为________．答案：5－3i解析：BC →对应复数为(－5i)－(－2＋i)＝2－6i ，AD →对应复数为z D －(3＋3i)．在▱ABCD 中，AD →＝BC →，则z D －(3＋3i)＝2－6i ，即z D ＝5－3i.1. 复数的概念(1) 虚数单位i ：i 2＝－1；i 和实数在一起，服从实数的运算律． (2) 代数形式：a ＋bi(a ，b ∈R )，其中a 叫实部，b 叫虚部． 2. 复数的分类复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R )中，z 是实数⇔b ＝0，z 是虚数⇔b ≠0， z 是纯虚数⇔a ＝0，b ≠0．3. a ＋bi 与a －bi(a ，b ∈R )互为共轭复数．4. 复数相等的条件a ＋bi ＝c ＋di(a ，b ，c ，d ∈R )⇔a ＝c ，且b ＝d. 特殊的，a ＋bi ＝0(a ，b ∈R )⇔a ＝0，且b ＝0.5. 设复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R )，z 在复平面内对应点为Z ，则OZ →的长度叫做复数z 的模(或绝对值)，即|z|＝|OZ →|＝a 2＋b 2.6. 运算法则z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di(a ，b ，c ，d ∈R )． (1) z 1±z 2＝(a±c)＋(b±d)i ； (2) z 1·z 2＝(ac －bd)＋(ad ＋bc)i ；(3) z 1z 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫bc －ad c 2＋d 2i.[备课札记], 1 复数的运算), 1) (1) 已知复数z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为__________；(2) 若复数z 满足(z ＋i)(2＋i)＝5(i 为虚数单位)，则z ＝__________； 答案：(1) 3＋4i (2) 2－2i解析：(1) z ＝3－4i ，则z 的共轭复数为3＋4i.(2) z ＝52＋i －i ＝2－2i.变式训练(1) (2017·苏锡常镇调研(二))已知i 为虚数单位，复数z 1＝3＋yi (y∈R )，z 2＝2－i ，且z 1z 2＝1＋i ，则y ＝________． (2) (2017·南京、盐城一模)设复数z 满足z(1＋i)＝2，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为________．答案：(1) 1 (2) －1解析：(1) 3＋yi2－i＝1＋i ⇒3＋yi ＝(2－i)(1＋i)⇒3＋yi ＝3＋i ，y ∈R ⇒y ＝1.(2) z(1＋i)＝2⇒z ＝1－i ，所以虚部为－1., 2 复数的有关概念), 2) (1) 若(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a＝__________；(2) (2017·第一次全国大联考江苏卷)已知复数(1＋2i)z ＝2－i ，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数的模为________．答案：(1) －3 (2) 1解析：(1) ∵ (1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(2a ＋1)i ， ∴ a －2＝2a ＋1，解得a ＝－3.(2) ∵ z＝2－i1＋2i ＝－i ，z ＝i ，则|z|＝|i|＝1.本题若用模的性质，则能简化运算：|z|＝|z|＝|2－i 1＋2i |＝|2－i||1＋2i|＝55＝1.变式训练(1) 若复数z 满足(1＋2i )·z＝3(i 为虚数单位)，则复数z 的实部为__________；(2) (2017·苏锡常镇调研(一))若复数z 满足z ＋i ＝2＋ii(i 为虚数单位)，则|z|＝________．答案：(1) 35(2) 10解析：(1) 由z ＝31＋2i ＝35－65i ，则复数z 的实部为35.(2) ∵ z＝2＋i i－i ＝1－3i ，∴ |z|＝12＋（－3）2＝10., 3 复数的相等), 3) (1) 若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝__________；(2) 若复数z 满足z(1－i)＝2i(i 是虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z·z ＝________． 答案：(1) 1－2i (2) 2解析：(1) 设z ＝a ＋bi ，(a ，b ∈R )，则由已知得2(a ＋bi)＋(a －bi)＝3－2i ，即3a＋bi ＝3－2i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝3，b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2.故z ＝1－2i.(2) 因为z ＝2i 1－i ＝2i （1＋i ）2＝－1＋i ，所以z ＝－1－i ，所以z·z ＝(－1＋i)(－1－i)＝2.变式训练(1) 若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝__________；(2) 已知复数z 满足z 2＝－4.若z 的虚部大于0，则z ＝__________． 答案：(1) 1－i (2) 2i解析：(1) 设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R )．∵ z 1－i ＝i ，∴ a ＋bi1－i＝i ，∴ a ＋bi ＝i(1－i)＝1＋i ，∴ z ＝1＋i ，∴ z ＝1－i.(2) 设复数z ＝x ＋yi ，则z 2＝x 2－y 2＋2xyi ＝－4, 得x 2－y 2＝－4，xy ＝0，则x ＝0，y ＝±2.又∵ z 的虚部大于0，∴ y ＝2，∴ z ＝2i., 4 复数的几何意义), 4) (1) 如图，在复平面内，点A 对应的复数为z 1.若z 2z 1＝i(i 为虚数单位)，则z 2＝__________；(2) 已知复数z ＝x ＋yi ，且|z －2|＝3，则yx 的最大值为__________．答案：(1) －2－i (2) 3解析：(1) z 2＝z 1i ＝(－1＋2i)i ＝－2－i.(2) ∵ |z－2|＝（x －2）2＋y 2＝3，∴ (x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3.备选变式（教师专享）(1) 若复数z 1，z 2在复平面内的对应点分别为(1，1)，(0，－2)，则复数z ＝z 1·z 2在复平面内的对应点位于第______象限；(2) 满足条件|z －i|＝|3＋4i|的复数z 在复平面内对应的点的轨迹是________． 答案：(1) 三 (2) 以(0，1)为圆心，5为半径的圆解析：(1) 由题意，z 1＝1＋i ，z 2＝－2i ，则z 1＝1－i ，z 1·z 2＝(1－i )·(－2i)＝－2i ＋2i 2＝－2－2i ，即z ＝－2－2i ，因而对应点位于第三象限．(2) 因为|3＋4i|＝5，根据复数的几何意义可得．。

人教版2019版高考数学大一轮复习：选考1 第1讲 基础过关课

人教版2019版高考数学大一轮复习：选考1 第1讲 基础过关课


(3)冯太后和孝文帝深受汉族先进文化的影响。
主干知识整合
核心考点突破
2.概况 措施 具体内容 意义
国家把控制的土地分 无地和少地农民得到土地，抑制 均田 配给农民，农民向政 了土地兼并，有利于国家征收赋
制 府交租，并承担一定 税和徭役，有利于北方经济的恢
的徭役和兵役 复与发展 健全了县以下地方基层政权，使 三长 设邻、里、党三长， 国家从中央到基层的行政体制得 制 直属州郡 以完善，取代了宗主督护制，保 证了国家对人民有效的控制
行的。孝文帝改革实行了一系列汉化措施，如实行均
田制、迁都洛阳、移风易俗等，推动了鲜卑族的封建 化进程，有利于汉族、鲜卑族以及其他民族之间的融 合。孝文帝改革实质上是一场少数民族封建化的改革。
主干知识整合
核心考点突破
考点三
1.背景
王安石变法
(1)社会危机
①社会矛盾日益激化。
②积贫积弱局面形成：北宋统治者集中军权、财政和 行政权，导致冗官、冗兵、冗费现象，造成并加剧了 积贫积弱局面。 ③封建统治危机：农民反抗斗争不断，财政入不敷出。 (2)有利条件 ①庆历新政为王安石变法奠定了基础。 ②宋神宗坚持变法，重用王安石。
(5)社会习俗：推行一夫一妻小家庭政策。
主干知识整合
核心考点突破
3.评价
①政治上：打击并瓦解了旧的血缘宗法制度，健全了 封建国家机制，开始建立中央集权制度。 ②经济上：从根本上改变了旧有的生产关系，确立了 (1)积极性 土地私有制，促进了秦国的农业生产。 ③军事上：奖励军功，提高了秦国军队的战斗力， 为秦国的战略发展创造了有利条件。
①轻视教化，刑法严苛，鼓吹轻罪重罚。 (2)局限性②在一定程度上加重了广大人民所受的剥削与压迫。 ③未与旧制度、文化、习俗彻底划清界限。

文档推荐

最新文档