上海交通大学数学专业考研真题(高等代数)

高等代数中两道习题的问题变式余波【摘要】通过对高等代数考研题中两组变式题组的变式分析以及问题解决的过程,可以看到:在进行考研复习的解题训练时,学生首先应立足于课本,熟练掌握课本习题提供的解题思想、方法和结论.其次应多关注题题之间的关系,从中抽取出问题表面特征以外的结构特征,建立起题目的数学结构.再次应学会对问题进行多层次变式分析(或构造),对问题解决过程及问题本身的结构有清晰的认识,从而积累问题解决的经验,提高解决问题的能力.【期刊名称】《玉溪师范学院学报》【年(卷),期】2016(032)012【总页数】5页(P50-54)【关键词】高等代数;考研复习;问题变式【作者】余波【作者单位】玉溪师范学院数学与信息技术学院数学系,云南玉溪653100【正文语种】中文【中图分类】O175.13将源问题加以变化得到的新问题，称为变式题；将源问题加以变化，称为问题变式[1].本文以问题变式的形式，例举出高等代数考研题中的习题为源问题的两组变式题[2]，并以此给出考研复习的一点建议.源题目设f1(x),f2(x)是复数域上的两个多项式，如果(x2+x+1)|f1(x3)+xf2(x3),那么(x-1)|f1(x),(x-1)|f2(x).(课本第46页第25题[1])证明因为x3-1=(x-1)(x2+x+1).设x3-1的3个根为1,ε,ε2,其中ε,且ε3=1.于是其中ε,ε2互不相同.由已知得:因为ε2-ε≠0,故方程组只有零解，所以f1(1)=0,f2(1)=0.即变式题1[3](上海交大)设fi(x)(i=1,2,3,4)是复数域上的多项式，若求证：证明因为x5-1=(x-1)(x4+x3+x2+x+1).设x4-1的5个根为1,ε,ε2,ε3,ε4,其中ε,且ε5=1.于是其中ε,ε2,ε3,ε4互不相同.为方便表述，令ε1=ε，ε2=ε2，ε3=ε3，ε4=ε4这样由已知得由范德蒙行列式可知方程组的系数行列式不等于零，所以fi(1)=0(i=1,2,3,4).变式题2[4](西安电子科学大学)设f1(x),f2(x),…,fn-1(x)是n-1个(n≥2)复数域上的多项式，证明：如果多项式f1(xn)+xf2(xn)+…+xn-2fn-1(xn)能被1+x+…+xn-1整除，则每个fi(x)(i=1,2,…,n-1)的所有系数之和为零.证明由xn-1(x-1)(xn-1+…+x+1),知多项式xn-1+…+x+1的n-1个互不相同的根为其中ε，且εn=1.由已知得方程组由于方程组的系数行列式是个范德蒙行列式，由ε1,ε2,…,εn-1互不相同知它不为零，故方程组只有零解，于是fi(1)=0(i=1,2,…,n-1).变式题3[4](上海大学)设f1(x),f2(x),…,fn-1(x)是n-1个(n≥2)复数域上的多项式，已知(xn-1)|(x-1)(f1(xn)+xf2(xn)+…+xn-2fn-1(xn)),求证：分析由已知条件可知f1(xn)+xf2(xn)+…+xn-2fn-1(xn)能被1+x+…+xn-1整除，这与上题一样.此处略证明.变式题4[4](中国科学院)设p(x),pi(x)(i=0,1,2,…,n-1)均是复数域上的多项式，已知∑,且(x-1)|p(x),证明：证明由(x-1)|p(x)，知(xn-1)|p(xn)，且p(1)=0.将xn-1的n个互不相同的根ε1=1,ε2=ε,ε3=ε2,…,εn=εn-1依次代入p(xn)，其中ε，且εn=1.可得方程组由于方程组的系数行列式是个范德蒙行列式，由ε1,ε2,…,εn互不相同知它不为零，故方程组只有零解，于是pi(1)=0(i=1,2,…,n-1).每个数学问题可分解为表面形式特征和深层数学结构特征：表面形式特征是指问题呈现的表述方式的浅层特征；数学结构特征是指涉及问题本质的概念、关系与原则等的深层特征[1].在变式题组一中，问题呈现的内容逐步由简单到复杂，由具体到一般化，问题的表面形式特征发生了较大变化.但是，通过问题解决的过程，我们看到每个问题的深层数学结构却没有发生“质”的改变，即不同的问题重复做着同一件事情(同一过程，同一方法).因此，解决此类问题时，只需通过源问题就可以提供问题解决的正确方法.源题目设V1,V2都是线性空间V的子空间，且V1⊂V2，证明：如果V1的维数与V2的维数相等，那么V1=V2.(课本第269页第10题[1])证明设V1的维数为r，α1,α2,…,αr是V1的一个基.因为V1⊂V2，故α1,α2,…,αr 可以扩充成为V2的一个基.又因V1的维数与V2的维数相等，故α1,α2,…,αr也是V2的一个基，因此V1=V2.变式题1[4](重庆大学)已知同维数的两个向量组有相同的秩，且其中之一可用另外一个线性表出，则这两个向量组等价.证明设同维数的两个向量组分别为α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βt，且它们有相同的秩，不妨设β1,β2,…,βt可由α1,α2,…,αs线性表出.令U=L(α1,α2,…,αs),V=L(β1,β2,β3),则V⊂U.又因α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βt有相同的秩，所以V的维数与U的维数相等，从而V=U，即可得α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βt等价.变式题2[4](北京邮电大学)设Ax=0与Bx=0均为n元齐次线性方程组，r(A)=r(B)，且方程组Ax=0的解为方程组Bx=0的解.则方程组Ax=0与Bx=0同解.证明设W1,W2分别是Ax=0与Bx=0的解空间，因方程组Ax=0的解为方程组Bx=0的解，故W1⊂W2.又r(A)=r(B)，故所以，W1=W2，此即方程组Ax=0与Bx=0同解.变式题3[3]设A,B都是n级方阵，若r(AB)=r(B)，则方程组(AB)x=0与Bx=0同解.证明设W1,W2分别是(AB)x=0与Bx=0的解空间.设β∈W2，则Bβ=0，从而(AB)β=A(Bβ)=A0=0，故β∈W1，所以W2⊂W1.又r(AB)=r(B)，故所以，W1=W2，此即方程组(AB)x=0与Bx=0同解.变式题4[4](上海交通大学)设A为数域P上的n级可逆矩阵.任意将A分为两个子块，证明线性空间Pn是齐次线性方程组A1x=0的解空间V1与A2x=0的解空间V2的直和.证明由于A是n级可逆矩阵，那么A的所有行向量线性无关，不妨设r(A1)=k，则r(A2)=n-k.对于任意的x0∈V1∩V2，有A1x0=0，A2x0=0，所以，由于A是可逆矩阵，故x0=0，所以V1∩V2={0}.又因V1+V2⊂Pn，且维(V1+V2)=维(V1)+维(V2)-维(V1∩V2) =n-r(A1)+n-r(A2)=n-k+k=n=维(Pn) 故Pn=V1⨁V2.变式题5[3](华中师范大学)设P是数域，m<n，A∈Pm×n，B∈P(n-m)×n，W1,W2分别是Ax=0与Bx=0的解空间，则Pn=W1⨁W2的充要条件是只有零解.证明充分性:由已知得∈Pn×n，如果只有零解，则，于是r(A)=m,r(B)=n-m.对于任意的x0∈W1∩W2，有Ax0=0，Bx0=0，即，所以x0=0，故W1∩W2={0}.又因W1+W2⊂Pn，且维(W1+W2)=维(W1)+维(W2)-维(W1∩W2) =n-r(A)+n-r(B)=n-m+m=n=维(Pn)故Pn=W1⨁W2.必要性:用反证法.若有非零解x1，则Ax1=0,Bx1=0，即x1∈W1∩W2，这与Pn=W1⨁W2矛盾，从而只有零解.问题变式分为水平变式和垂直变式.水平变式是指新问题相对源问题来说，学习者能区分问题表面形式特征变化背后的结构特征变化，不带来认知负荷的变化；垂直变式是指学习者不能区分问题表面形式特征变化背后的结构特征变化[1].在变式题组二中，问题的表面形式特征和深层数学结构特征都逐步发生了较大变化.在变式题1中我们令同维数的两个向量组生成两个子空间，根据已知条件进行相应变化就可得到与源题目相同的数学结构，这时认知负荷没有发生变化，它是源题目的水平变式.在变式题2中，涉及到齐次线性方程组的解空间，解空间的维数等知识，问题的表面形式特征已发生变化，增加了认知负荷，但问题的深层数学结构特征没有发生变化，它是源题目的低层次垂直变式.同时变式题3又是变式题2的水平变式题，将“方程组Ax=0的解为方程组Bx=0的解”这一条件，隐含在方程组(AB)x=0与Bx=0结构特点上，逐步增加认知负荷.在变式题4中，涉及到分块矩阵、齐次线性方程组的解空间、子空间的和、子空间的直和等概念，问题的表面形式特征发生了较大变化，已不能容易地区分对数学结构特征所带来的变化，随之加大了认知负荷，它是源题目的高层次垂直变式.这时我们应逐步区分题目中的数学结构元素，发现“变中的不变”，逐步区分表面形式特征，提取与源题目相同的数学结构元素.同时变式题5又是变式题4的水平变式题，将“A为数域上P的n级可逆矩阵”这一条件，隐含在“只有零解”这一条件中，并将这一条件增加为充分必要条件.通过对变式题组二的变式分析，我们看到每个问题解决所涉及到的知识和方法虽然不一样，但是源问题提供的结论却是每一个问题解决的关键.即同一结论运用到不同的问题解决中(一题多变).(1)课本是学习者获取知识资源的依据，课本中的习题是教学内容的补充和拓展.课本中的习题体现了某种解题思想和方法，具有基础性和示范性.文中的两个变式题组是以课本中的习题为源问题这一事实，就足以能说明课本习题的重要性.因此，学习者在进行解题训练时，首先应立足于课本，熟练掌握课本习题提供的解题思想、方法及其习题提供的结论.(2)学习者在进行解题训练时，应多关注题与题之间的关系，从题与题之间不变的关系中抽取出问题表面特征以外的结构特征，不受其表面特征的干扰，建立起题目的数学结构，进而把问题分类，使题目类型化.这样，学习者经过表面相似问题的解决，经过有变化的重复学习，可以形成一种心理定势，建立起此类问题的数学结构，进而找出解决问题的思路和方法.(3)在进行解题训练时，学习者应学会对问题进行多层次变式分析(或构造)，通过变式分析(或构造)，可以对问题解决过程及问题本身的结构有一个清晰的认识，是学习者积累问题解决经验、提高解决问题能力的一条有效途径[5].【相关文献】[1]孙旭花，黄毅英，林智中，等.问题变式：结构与功能的统一[J].课程·教材·教法，2006，26(5)：38—42.[2]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组．高等代数[M]．王萼芳，石生明，修订．北京：高等教育出版社，2003．[3]徐仲，陆全，张凯院，等.高等代数考研教案[M]．西安：西北工业大学出版社，2006.[4]研究生入学考试试题研究组.研究生入学考试考点解析与真题详解——高等代数[M]．北京：电子工业出版社，2008.[5]鲍建生，黄荣金，易凌峰，等.变式教学研究[J].数学教学，2003(1-3)：6-11.。

Dn = −a −a x · · · a ;
... ... ...
...
−a −a −a · · · x
1 3 3 ··· 3
3 2 3 ··· 3
Dn = 3 3 3 · · · 3 .
... ... ...
...
3 3 3 ··· n
A, B, C, D Ñ´ n ?¢Ý , … AC = CA. y²:
AB = |AD − CB|.
CD
o. ( 20 ©) y²: n ?Ý A •˜ Ý (A2 = A) ¿©7‡^‡´ r(A) + r(E − A) = n.
Ê. ( 13 ©) A ´ n ? Ý , ÙA Šþ•¢ê. y²: A ´é¡Ý .
8. ( 15 ©) A, B Ñ´ n ? ½Ý . y²: A−1, A + B ´ ½Ý .
(2) f (x) = (x − a1)(x − a2) · · · (x − an) − 1, Ù¥ a1, a2, · · · , an ´ n ‡üüØ knê•þØŒ .
ê. y²: f (x) 3
. ( 16 ©) OŽe 1 ª Š.
(1)
1 + x1 1 + x21 · · · 1 + xn1
20
13 =²ŒÆ 2011 cïÄ)\Æ•ÁÁKêÆ©Û
21
14 =²ŒÆ 2012 cïÄ)\Æ•ÁÁKêÆ©Û
23
15 =²ŒÆ 2013 cïÄ)\Æ•ÁÁKêÆ©Û
24
16 =²ŒÆ 2014 cïÄ)\Æ•ÁÁKêÆ©Û
25
17 =²ŒÆ 2015 cïÄ)\Æ•ÁÁKêÆ©Û
26
18 =²ŒÆ 2016 cïÄ)\Æ•ÁÁKêÆ©Û

2019年上交数学科学学院数学考研复试时间复试内容复试流程复试资料及经验随着考研大军不断壮大，每年毕业的研究生也越来越多，竞争也越来越大。

对于准备复试的同学来说，其实还有很多小问题并不了解，例如复试考什么？复试怎么考？复试考察的是什么？复试什么时间？复试如何准备等等。

今天启道小编给大家整理了复试相关内容，让大家了解复试，减少一点对于复试的未知感以及恐惧感。

准备复试的小伙伴们一定要认真阅读，对你的复试很有帮助啊！院系简介上海交通大学数学系成立于1928年, 对中国近代数学的发展作出过重要贡献，中国第一次数学会就在上海交大召开。

1952年院系调整，数学系大部分师生被调整到复旦大学和华东师范大学。

1956年，交大西迁，副校长张鸿教授首次将交大教学传统归纳为“门槛高，基础厚，要求严”。

1978年9月，重新组建应用数学系；2001年冬恢复为数学系。

百年来交大数学系桃李芬芳，知名校友中有获得国家最高科技奖的吴文俊院士、胡和生院士及龚升等著名数学家，也有神华集团总裁凌文、红杉中国基金创始人沈南鹏等杰出企业家。

专业介绍数学（mathematics或maths，来自希腊语，“máthēma”；经常被缩写为“math”），是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。

数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。

复试时间英语 3.18体检 3月16 8：00-10：30 闵行校区校医院资格审查 3月16下午 14：00-15：30 上院311专业综合笔试 3月17上午 9：00-11：00 上院303专业英语笔试 3月17下午 14：00-15：00 上院303英语听力 3月19 12：00进场见研招网面试 3月20 9：00-18：00（8：30集合）上院420复试内容（科目）复试分数线政治英语业务课一业务课二总分数学 50 55 70 85 310应用统计 50 60 100 100 378复试流程1.专业测试学院组织专业课测试，建议以笔试为主。

凯源教育凯源教育倾心打造上海交通大学2013年考研专业课复习交流平台，为了更好的让大家交流，每个群按照不同的专业分类，希望大家按照自己的专业课加入，以便大家能更好的交流，共同进步！2013上海交大考研1群：118303925包含专业课：831生物化学615细胞生物学616分子生物学包含专业：植物学、生态学、微生物学、生物化学与分子生物学、遗传学、发育生物学、生物物理学、生物学等2013上海交大考研2群: 198681607包含专业课：815 控制理论基础、809 机械原理与设计、811质量管理学2013上海交大考研3群:161500863包含专业：820 微型计算机原理与应用、816 自动控制理论2013上海交大考研4群:198684925包含专业：819 信号系统与信号处理2013上海交大考研5群: 25662751包含专业：822 电路基本理论2013上海交大考研6群:166044311专业课：845管理学840运筹学与概率统计843会计学包含专业：安泰管理科学与工程、会计学、企业管理、旅游管理、技术经济及管理、档案学、中美管理科学与工程等2013上海交大考研7群: 198677240专业课：经济学841(Ⅰ)、879经济学(Ⅱ)包含专业：西方经济学、应用经济学、金融学、产业经济学、国际贸易学、企业管理、旅游管理、技术经济及管理、农业经济管理、中美管理科学与工程等2013上海交大考研8群：198750610对于这些群中还没有包含的专业会在以后的新群中陆续推出，请及时关注本人QQ1261257228 空间动态！2012年凡是购买本教育机构的上海交大全套考研资料的，一律送辅导班优惠劵50元。

注：上海交通大学专业课资料包含：（1）上海交通大学考研真题，（2）上海交通大学本科期末试卷（3）上海交通大学专业课PPT（4）上海交通大学专业课内部习题集（5）上海交通大学专业课笔记等（6）上海交通大学复试资料等其他综合资料（7）可以介绍学姐学哥等认识，借鉴别人的路，走好自己的路有需要的联系QQ：1261257228上海交通大学考研专业课试卷上海交通大学考研内部资料上海交通大学考研最全资料上海交通大学考研最全资料（具体咨询QQ1261257228）（01）上海交通大学考研804材料力学全套资料（02）上海交通大学考研801船舶结构力学全套资料（03）上海交通大学考研802理论力学全套资料（04）上海交通大学考研809机械原理与设计全套资料（05）上海交通大学考研810传热学全套资料（06）上海交通大学考研、811质量管理学全套资料（07）上海交通大学考研813工程热力学全套资料（08）上海交通大学考研815控制理论基础全套资料（09）上海交通大学考研816自动控制理论全套资料（10）上海交通大学考研817自动控制原理全套资料（11）上海交通大学考研822电路基本理论全套资料（12）上海交通大学考研823计算机通信网全套资料（13）上海交通大学考研827材料科学基础全套资料（14）上海交通大学考研840运筹学与概率统计全套资料（15）上海交通大学考研857水污染控制工程全套资料632法理学《法理学》（21世纪法律教育互动教材——基础课系列）郑成良主编清华大学出版社，2008年801船舶结构力学《船舶结构力学》陈铁云、陈伯真主编上海交大出版社802理论力学《理论力学》刘延柱高教出版社，《理论力学》洪嘉振高教出版社804材料力学材料力学》（第一版）单辉祖编高等教育出版社1999 或高教出版社《材料力学》孙国钧、赵社戌编交大出版社，《材料力学》金忠谋等编机械工业出版社809机械原理与设计《机械原理》邹慧君、张春林、李杞仪主编（第二版）高教出版社2006;《机械设计及理论》李柱国、许敏主编科学出版社2003810传热学《传热学》第二版或第三版杨世铭编高等教育出版社811质量管理学《质量管理学》伍爱编暨南大学出版社813工程热力学《工程热力学》沈维道童钧耕第四版高教出版社；《工程热力学学习辅导与习题解答》童钧耕第1版或第2版高教出版社815控制理论基础《控制理论基础》王显正等编科学出版社2000816自动控制理论《自动控制理论与设计》(新世纪版) 徐薇莉、曹柱中、田作华编上海交通大学出版社2005 ；《现代控制理论基础》施颂椒、陈学中、杜秀华编著高等教育出版社2005；《自动控制原理》胡寿松编著科学出版社第四版817自动控制原理《工程控制基础》(第一版)田作华、陈学中、翁正新清华大学出版社2007819信号系统与信号处理《信号与系统》（第二版）奥本海姆著电子工业出版社2004；《离散时间信号处理》（第二版）奥本海姆著刘树棠译西安交通大学出版社2001820微型计算机原理与应用《微型计算机原理与接口技术》（第三版）吴秀清、周荷琴编中国科技大学出版社2005；《微机原理与接口技术》王玉良等编北京邮电大学出版社2000821传感器与检测技术《传感器技术》贾伯年、俞朴东南大学出版社2007年第三版；《检测技术》施文康、余晓芬机械工业出版社2005年822电路基本理论（含电路实验）《电路理论》陈洪亮、张峰、田社平主编，高等教育出版社2007，《电路实验教程》张峰、吴月梅、李丹主编，高等教育出版社2008823计算机通信网《计算机通信网基础》顾尚杰电子工业出版社2000，《计算机网络》（第四版）中译本Andrew S.Tanenbaum清华大学出版社824数据结构与操作系统《数据结构》严蔚敏清华大学出版社，《操作系统教程》陆松年、薛质等编电子工业出版社2000826材料加工基础《材料加工原理》（第三篇材料固态相变原理）徐洲、姚寿山主编，科学出版社2003827材料科学基础《材料科学基础》胡赓祥、蔡珣、戎咏华主编上海交通大学出版社2006828高等代数《高等代数》（第三版）北京大学数学系编高等教育出版社2003，《高等代数与解析几何》（第二版）上、下孟道骥编，科学出版社，2007年829电磁学和量子力学《电磁学》赵凯华等高等教育出版社；《量子力学导论》曾谨言高等教育出版社832化工原理《化工原理》（第三版上、下册2006）陈敏恒等编化学工业出版社837高分子化学与高分子物理《高分子化学》(第四版) 潘祖仁编化学工业出版社2007；《高分子物理》何曼君等编复旦大学出版社1990840运筹学与概率统计（线性规划、图论与网络、排队论、库存论、决策论）《运筹学》清华大学编写组编清华大学出版社1990《概率论与数理统计》（第二版）浙大编高等教育出版社1989841经济学(Ⅰ)《微观经济学：现代观点》（第六版或第七版）H.范里安著上海三联书店；《宏观经济学》曼昆著中国人民大学出版社第五版2006-5843会计学《现代公司理财》朱军生上海交大出版社；《中级财务会计》钱逢胜主编上海财经出版社2002844金融学《证券投资分析》杨朝军上海人民出版社2007年；《公司理财》罗斯机械工业出版社2002年；《现代公司金融学》杨朝军费一文上海交通大学出版社2007年845管理学《管理学—原理与方法》（第四版）周三多复旦大学出版社2003857水污染控制工程《排水工程》上孙慧修中国建筑工业出版社第四版；《排水工程》下张自杰中国建筑工业出版社第四版；《给水工程》（下册）严煦世中国建筑工业出版社第三版858宪法与行政法学（含宪法学、行政法学）《宪法学概论》肖蔚云等著北京大学出版社2005年第二版，《行政法与行政诉讼法》叶必丰高等教育出版社2007年版859经济法学《经济法学》（普通高等教育“十一五”国家级规划教材）漆多俊主编高等教育出版社2007860刑法学《刑法学》（面向21世纪课程教材）高铭暄、马克昌主编北京大学、高等教育出版社2007861诉讼法学（含刑事诉讼法学、民事诉讼法学）《刑事诉讼法学》周伟主编北京大学出版社2006，《民事诉讼法》（第三版）江伟主编，中国人民大学出版社2009年版862法学理论《法理学》（21世纪法律教育互动教材——基础课系列）郑成良主编清华大学出版社，2008年863民商法学（含民法学、商法学）《民法学》（面向21世纪课程教材）高等教育出版社最新版，《商法学》（面向21世纪课程教材）范健主编高等教育出版社最新版，《商法教程》（中国法学教科书·原理与应用系列）韩长印主编，高等教育出版社2007年版864环境与资源保护法学《环境保护法教程》（第5版），韩德培主编，法律出版社2007年；《环境法学》，吕忠梅著，法律出版社2004年；《国际环境法》（第2版），王曦编著，法律出版社2005年；《美国环境法概论》，王曦著，武汉大学出版社1992年，超星数字图书馆有电子版，可通过大学图书馆用超星阅览器阅读和865国际法学（含国际公法、国际私法、国际经济法）《国际法》王铁崖主编法律出版社最新版，《国际私法趋势论》徐冬根著北京大学出版社2005，《国际私法》徐冬根著北京大学出版社2009；《国际经济法论》徐冬根主编武汉大学出版社2004；《国际经济法》胡加祥主编高等教育出版社2008；《国际金融法》徐冬根著高等教育出版社2006866知识产权法学《知识产权法》（高等政法院校法学主干课程教材）吴汉东主编中国政法大学出版社2007年第四版871塑性成形原理《金属塑性成形原理》，俞汉清、陈金德编，机械工业出版社，1999874半导体物理与器件基础《半导体物理》刘恩科国防工业出版社；《微电子技术基础－双极、场效应晶体管原理》曹培栋电子工业出版社2001 年879经济学(Ⅱ)《微观经济学：现代观点》（第六版）H.范里安著上海三联书店；《概率论与数理统计》（第三版）中国统计出版社茆诗松，周纪芗编著陈伯真杨文华张世联杨平。