上海交通大学2018高等代数试题(1)

数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页）绝密★启用前上海市2018年普通高等学校招生全国统一考试数 学本试卷满分150分,考试时间120分钟.一、填空题(本大题共有12题，满分54分第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)1.行列式4125的值为 。

2.双曲线2214x y -=的渐近线方程为 。

3.在71x +（）的二项展开式中，2x 项的系数为 。

(结果用数值表示) 4.设常数a R ∈，函数()2()f x log x a =+，若()f x 的反函数的图像经过点(3,1)，则a = 。

5.已知复数z 满足(1)17i z i +=-(i 是虚数单位)，则z = 。

6.记等差数列{}n a 的前几项和为Sn ，若3870,14a a a =+= ，则7S = 。

7.已知112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()n f x x =为奇函数，且在()0,+∞上递减，则α= 。

8.在平面直角坐标系中，已知点(1,0),(2,0),,A B E F -是y 轴上的两个动点，且2EF =，则AE BF ⋅的最小值为 。

9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______(结果用最简分数表示)10.设等比数列{}n a 的通项公式为n 1N*n a q n =+∈（），前n 项和为n S 。

若1Sn 1lim 2n n a →∞+=，则q = 。

11.已知常数0a >，函数()222()|2f x ax =+的图像经过点6,5p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭、1,5Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，若236p q pq +=，则a = 。

12.已知实数x x y y ₁、₂、₁、₂满足：22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，则的最大值为 。

二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项.13.设P 是椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）A.B.C.D.14.已知a R ∈，则“1a ＞”是“11a＜”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件15.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA ₁是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA ₁为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）A.4B.8C.12D.1616.设D 是含数1的有限实数集，()f x 是定义在D 上的函数，若()f x 的图像绕原点逆时针旋转6π后与原图像重合，则在以下各项中，1f （）的可能取值只能是 （ ）D.0三、解答题(本大题共5小题,满分76分)17.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2 (1)设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；(2)设4PO =，OA ，OB 是底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为线段AB 的中点，如图，求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共18页） 数学试卷 第4页（共18页）18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 设常数a R ∈，函数2()sin 22cos f x a x x =+ (1)若()f x 为偶函数，求a 的值；(2)若14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，求方程()1f x =-[]ππ-上的解。

2018年普通高等学校招生全国统一考试上海 数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.行列式4125的值为。

2.双曲线2214x y -=的渐近线方程为。

3.在（1+x ）7的二项展开式中，x ²项的系数为。

（结果用数值表示）4.设常数a R ∈，函数f x x a =+（）㏒₂（），若f x （）的反函数的图像经过点31（，），则a=。

5.已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣=。

6.记等差数列{} n a 的前几项和为S n ，若87014a a a =+=₃，，则S 7=。

7.已知21123α∈---｛，，，，，，｝，若幂函数()n f x x =为奇函数，且在0+∞（，）上速减，则α=_____8.在平面直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0），E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF |=2，则AE ·BF 的最小值为______ 9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______（结果用最简分数表示）10.设等比数列{a n }的通项公式为a n =q ⁿ+1（n ∈N *），前n 项和为S n 。

若1Sn 1lim 2n n a →∞+=，则q=____________11.已知常数a >0，函数222()(2)f x ax =+的图像经过点65p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，、15Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，若236p q pq +=，则a =__________12.已知实数x ₁、x ₂、y ₁、y ₂满足：²²1x y +=₁₁，²²1x y +=₂₂，212x x y y +=₁₂₁，则的最大值为__________二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.设P 是椭圆 ²5x + ²3y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）（A ）2 2（B ）2 3（C ）2 5（D ）4 214.已知a R ∈，则“1a ﹥”是“1a1﹤”的（ ） （A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件15.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA₁是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA₁为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）（A）4（B）8（C）12（D）1616.设D是含数1的有限实数集，f x（）是定义在D上的函数，若f x（）的图像绕原点逆时针旋转π6后与原图像重合，则在以下各项中，1f（）的可能取值只能是（）（A（B）2（C）3（D）0三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO =4，OA ，OB 是底面半径，且∠AOB =90°，M 为线段AB 的中点，如图，求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设常数a R ∈，函数f x （）22?asin x cos x =+ （1）若f x （）为偶函数，求a 的值； （2）若4f π〔〕1=，求方程1f x =（）ππ-［，］上的解。

目录线性代数试卷（A）2004-06-16 (2)线性代数03－04学年第2学期期末考试参考答案 (8)线性代数试卷(A) 2003-12-31 (11)线性代数2003－2004学年度第1学期期末考试参考答案 (17)线性代数试卷(A) 2005-06-22 (20)线性代数（04－05－2）期末试卷（A）参考答案 (26)线性代数试卷(A) 2004-12-29 (30)线性代数（04－05－1）期末试卷（A）参考答案 (36)线性代数试卷（A卷）2006－06－21 (39)线性代数参考答案 (45)线性代数(B)试卷----A卷2006-1-4 (48)线性代数（B）（05－06－1）期末试卷（A）参考答案 (54)线性代数(C) 试卷----A卷2006-1-4 (57)线性代数（C）（05－06－1）期末试卷（A）参考答案 (63)上海交通大学线 性 代 数 试 卷（A ） 2004-06-16姓名____________班级___ _______学号______________得分一、选择题（每题3分，共15分） 1. 设n 阶行列式D =nija ，j i A 是D 中元素j i a 的代数余子式，则下列各式中正确的是 (A) 01=∑=ni ij ij A a ；(B) 01=∑=nj ij ij A a ；(C) D A a nj ij ij =∑=1；(D) D A a ni i i =∑=1212. n 阶实对称矩阵A 和B 相似的充分必要条件是(A) A 与B 都有n 个线性无关的特征向量； (B) )()(B r A r =；(C) A 和B 的主对角线上的元素的和相等； (D) A 与B 的n 个特征值都相等3. 设1α,2α,3α,4α是齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系，则下列向量组 中不再是0=Ax 的基础解系的为________________ (A) 1α,1α+2α,1α+2α+3α,1α+2α+3α+4α； (B) 1α+2α,2α+3α,3α+4α,4α-1α； (C) 1α+2α,2α-3α,3α+4α,4α+1α； (D) 1α+2α,2α+3α,3α+4α,4α+1α4. 设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=--=++222513321321321x x x b x x x x x x 有无穷多组解，则必有_______________(A) b ＝1 (B) b ＝－1 (C) b ＝2 (D) b ＝－2 5. 设向量组[Ⅰ]是向量组[Ⅱ]的线性无关的部分向量组，则____ ___(A) 向量组[Ⅰ]是[Ⅱ]的极大线性无关组 (B) 向量组[Ⅰ]与[Ⅱ]的秩相等(C) 当[Ⅰ]中向量均可由[Ⅱ]线性表出时，向量组[Ⅰ]，[Ⅱ]等价 (D) 当[Ⅱ]中向量均可由[Ⅰ]线性表出时，向量组[Ⅰ]，[Ⅱ]等价 二、填空题（每题3分，共15分）1．设 1-，5，λ 是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=120222023A 的特征值，则λ= ，A 对应三个特征值的特征向量是 ,且（选填；线性无关，线性相关，相互正交，相互不正交）2．设A 为n 阶可对角化矩阵,且n E A r <-)(,则A 必有特征值λ＝ ； 且其重数为 ，其对应的线性无关的特征向量有 个 3．已知实二次型),,(321x x x f = 31212322212232x x x x x x x ++++λ是正定二次型， 则参数λ的取值范围为4．设23A ⨯为矩阵，已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0211ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1032ξ都是齐次线性方程组0=AX 的解，则矩阵A ＝ （答案不唯一） 5．设A 为n 阶可逆阵，且E A A ||2=，则*A =三、计算题（每题9分，共54分）1. 试求行列式 ||A ，||B ，||C ，其中，A ，B 为 n 阶方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=x x xA 111111111 ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n B00020001，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00B A C2. 已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-=+bx ax x x x x x 321312111，（1）常数b a ，取何值时，方程组有无穷多解、唯一解、无解？（2）当方程组有无穷多解时，求出其通解．3．设4阶方阵C B A ，，满足方程 11)2(--=-C A B C E T ，试求矩阵A ，其中1232120101230120,0012001200010001B C --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4．求正交变换y Q x =，用此正交变换将以下实二次型化为标准形),,(321x x x f =121323222x x x x x x ++5．设34()2,A r A ⨯=为矩阵，且已知非齐次线性方程组 Ax b = 的三个解为1η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2011， 2η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4112， 3η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11354，求：(1) 齐次线性方程组0Ax =的通解；(2) 非齐次线性方程组Ax b =的通解6．设线性空间3R 中的向量组为1α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--221，2α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-031，3α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-601，4α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-283，1β=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210，2β=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--652（1）求由1α,2α,3α,4α生成的子空间L(1α,2α,3α,4α)的维数与一个基； （2）从1β,2β中选出属于L(1α,2α,3α,4α)的向量，并求出它们在（1）中所选的基下的坐标。

母题三 行列式【母题原题1】【2018上海卷，1】行列式4125的值为 。

【答案】18【解析】41||45121825=⨯-⨯=.【母题原题2】【2017上海卷，13】关于、的二元一次方程组的系数行列式为（ ）A.B.C.D.【命题意图】（1）二阶矩阵了解二阶矩阵的概念．（2）二阶矩阵与平面向量（列向量）的乘法、平面图形的变换.（3）变换的复合——二阶方阵的乘法.（4）理解与应用逆矩阵与二阶行列式.（5）二阶矩阵与二元一次方程组.（6）变换的不变量.（7）矩阵的应用.【命题规律】《矩阵与变换》主要包括二阶矩阵、逆矩阵、二阶方阵的特征值和特征向量等，着重考查矩阵的乘法、二阶矩阵（对应行列式不为零）的逆矩阵，考查二阶方阵的特征值和特征向量的求法(只要求特征值是两个不同实数的情形)，考查矩阵变换的性质及其几何意义，考查平面图形的变换等【方法总结】在初中代数中，利用加减消元法我们知道二元线性方程组（Ⅰ）111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩，当12210a b a b -≠时，三个二元线性方程组有唯一解：1221122112211221c b c b x a b a b a c a c y a b a b -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩．观察这组公式，我们发现其分子、分母都是两数乘积的差为了便于记忆，数学家引入了二阶行列式的概念，定义a c ad bcb d=-，把a cb d叫做二阶行列式，其中横排叫做行，纵排叫做列，四个数A B C D、、、叫做这个二阶行列式的元素，算式ad bc -叫做这个二阶行列式的展开式，其计算结果叫做行列式的值． 研究一下二阶行列式的构造，如图所示：dcba用实线表示的对角线我们称之为主对角线；用虚线表示的对角线我们称之为副对角线；不难发现，二阶行列式展开的规则：二阶行列式的值等于主对角线上的元素的乘积减去副对角线上的元素乘积．这种展开二阶行列式的方法叫作对角线法．不妨记1122a b D a b =，1122x c b D c b =，1122y a c D a c =，则（Ⅰ）的唯一解可以写成()0x y D x DD y D D⎧=⎪⎪⎨⎪=≠⎪⎩．运里行列式D 是有方程组（Ⅰ）中的未知数,x y 的系数组成，我们通常称之为系数行列式；行列式x y D D 、分别是用方程组（I ）的常数项12c c ，替代x 的系数12a a ，或y 的系数12b b ，后得到． 注意到0D ≠是非零向量12a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与12b b ⎛⎫⎪⎝⎭不平行的充要条件，我们不妨再从矩阵（或向量）角度考察二元方程组解的情形．根据矩阵运算法则和矩阵相等的定义，方程组（I ）可以表示为111222a b c x y a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（Ⅱ）由平面向量分解定理，当向量12a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与12b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭不平行时，存在唯一一对实数x y 、使（Ⅱ）成立当向量12a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与12b b ⎛⎫⎪⎝⎭平行时，对任意实数x y 、，方程（Ⅱ）的左边是一个与向量12a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与12b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭平行的向量，因此当方程（Ⅱ）的右边12c c ⎛⎫⎪⎝⎭与12a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭或12b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭平行时，方程有无数多组解；当方程（Ⅱ）的右边12c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭与12a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭或12b b ⎛⎫⎪⎝⎭不平行时，方程无解，而12c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭与12a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭平行的充要条件是0x D =，12c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭与12b b ⎛⎫⎪⎝⎭平行的充要条件是0y D =． 因此，二元线性方程组（I ）的解可以判定如下：①0D ≠，方程组有唯一解；②若0x y D D D ===，方程组有无穷多组解；③220,0x y D D D =+≠，则方程组无解，0D ≠是二元线性方程组（I ）有唯一解的充要条件，因此常把D 叫做方程组解的判别式．类似地，可以应用三阶行列式来简便地写出三元线性方程组的解对于方程组（Ⅱ）111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，运用加减消元法，在方程中消去y z 、，就可以得到()123231312132213321a b c a b c a b c a b c a b c a b c x ++---()123231312132213321*d b c d b c d b c d b c d b c d b c =++---．现在有111222333a b c D a b c a b c =来表示方程（*）中R 的系数，也就是记 111222123231312132213321333a b c D a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c ==++---，我们把D 叫做三阶行列式，111222333A B C A B C A B C 、、、、、、、、叫做三阶行列式的元素，123231312132213321a b c a b c a b c a b c a b c a b c ++---叫做这个三阶行列式的展开式．容易看出，方程（*）右边刚好是行列式D 中的123a a a 、、分别换成123d d d 、、而得到的结果，记则方程（*）可以写也x D x D ⋅=． 同理，y D y D ⋅=，z D z D ⋅=其中y D 是D 中的123b b b 、、分别换成123d d d 、、所得的行列式，z D 是D 中的123c c c 、、分别换成123d d d 、、所得的行列式若0D ≠，则方程组（Ⅱ）有唯一解为x y z D x D D y D D z D ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩．若0D =，则方程组（Ⅱ）可能无解，可能有无穷组解．类似二阶行列式的对角线法展开，我们观察三阶行列式的构造，可以发现三阶行列式展开的规则：先在行列式D 的第三列的旁边顺次另写第一列和第二列，如图所示：b 1b 2b 3a 1a 2a 3c 1c 2c 3b 1b 2b 3a 3a 2a 1然后把每一条实线经过的三个元素的积的和。

2018年高考数学真题试卷（上海卷） 一、填空题1.（2018•上海）行列式4125的值为 。

【答案】18【解析】【解答】4125=45-21=18 【分析】a cb d=ad-bc 交叉相乘再相减。

【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）2.（2018•上海）双曲线2214x y -=的渐近线方程为 。

【答案】12y x =±【解析】【解答】2214x y -=，a=2，b=1。

故渐近线方程为12y x =± 【分析】渐近线方程公式。

注意易错点焦点在x轴上，渐近线直线方程为22221x y ba -=时，by x a=±。

【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三【试题地区】上海【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）3.（2018•上海）在（1+x ）7的二项展开式中，x ²项的系数为 。

（结果用数值表示） 【答案】21【解析】【解答】（1+x ）7中有T r+1=7r r C x ，故当r=2时，27C =762⨯=21 【分析】注意二项式系数，与各项系数之间差别。

考点公式()na b +第r+1项为T r+1=r n r rn C a b-。

【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）4.（2018•上海）设常数a R ∈，函数2()log ()f x x a =+，若f x （）的反函数的图像经过点31（，），则a= 。

【答案】7【解析】【解答】f x （）的反函数的图像经过点31（，），故()f x 过点3（1，），则()13f =，()2log 1a +=3，1+a=23所以a=23-1，故a=7.【分析】原函数()f x 与反函数图像关于y=x 对称，如：原函数上任意点()00,x y ，则反函数上点为()00,y x【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）5.（2018•上海）已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣= 。

上海交通大学研究生入学试题（高等代数）JDy97-1方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x 1+4x 2-5x 3+7x 4=02x 1-3x 2+3x 3-2x 4=04x 1+11x 2-13x 3+16x 4=07x 1-2x 2+ x 3+3x 4=0是否有非零解？ 若有，求其通解，并写出解空间维数。

（14分）JDy97-2用正交线性变换把二次型 x 12+2x 22+3x 32 -4x 1x 2 - 4x 2x 3化为标准形，并写出该变换。

（14分）JDy97-3证明：矩阵A 是正定或半正定实对称的充要条件是：存在实矩阵S ，使得A=S T S ，其中S T 表示S 的转置矩阵。

（14分）JDy97-4设A, B 为n 阶方阵，AB=BA ，且A k =0，对某一个k ≥1整数，证明 |A+B|=|B|。

（14分） JDy97-5设R n [x]为次数<n 的多项式线性空间，δ 为求导变换（即δf(x)=f ’(x)），求证 ι-δ 为非退化线性变换（其中 ι 为恒等变换），并求出 δ 的所有不变子空间。

（14分）JDy97-6已知线性无关向量组e 1,e 2,…,e s 和两个非零向量的正交组f 1,f 2,…,f s 与g 1,g 2,…,g s 使得f k 和g k (k=1,2,…,s)可由e 1,e 2,…,e k 线性表示，求证f k =a k g k (k=1,2,…,s)，其中a k ≠0。

（14分） JDy97-7(1) 设J(x)为方阵X 的若当标准形，证明J(A+aE)=J(A)+aE ，其中A 是任一方矩阵，a 是一个数。

（8分）(2) 求幂等方阵A （即满足条件A 2=A ）的若当标准形。

（8分）JDy98-1叙述下列概念：1）数域；2）对称多项式；3）向量的线性相关；4）矩阵的秩；5）欧氏空间。

（每小题4分，共20分）JDy98-2求线性方程组的解：⎩⎪⎨⎪⎧(α+β)x 1+αβx 2 =0x 1 +(α+β)x 2+αβx 3 =0x 2 +(α+β)x 3+αβx 4 =0 … …. … x n-1+(α+β)x n =0JDy98-3求出一切仅与自己相似的n 阶复方阵。

上海市2018年普通高等学校招生全国统一考试数学答案解析一、填空题1．【答案】18 【解析】直接利用行列式的定义，计算求解即可．解：行列式4145211825=⨯⨯=-． 故答案为：18．【考点】二阶行列式的定义．2．【答案】12x ± 【考点】双曲线的性质【解析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．解：∵双曲线的2a =，1b =，焦点在x 轴上而双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a =± ∴双曲线2214x y -=的渐近线方程为12y x =± 故答案为：12x ± 【考点】双曲线的性质3．【答案】21【解析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中2x 的系数．解：二项式71x +（）展开式的通项公式为 17•r r r T C x +=，令2r =，得展开式中2x 的系数为27C 21=． 故答案为：21．【考点】二项式定理4．【答案】7【解析】由反函数的性质得函数21f x og x a=+（）（）的图象经过点（1,3），由此能求出a ． 解：∵常数a R ∈，函数21f x og x a=+（）（）． f x （）的反函数的图象经过点（3,1），∴函数21f x og x a=+（）（）的图象经过点（1,3）， ∴213log a+=（）， 解得7a =．故答案为：7．【考点】反函数5．【答案】5【解析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案． 解：由(1)17i z i +=-， 得17(17)(1)68341(1)(1)2i i i i z i i i i -----====--++-，则||5z ==．故答案为：5．【考点】复数的模6．【答案】14【解析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出14a =-，2d =，由此能求出7S ．解：∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，367014a a a =+=,∴111205614a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得14a =-，2d =， ∴717672842142S a d ⨯=+=-+=． 故答案为：14．【考点】等差数列的前n 项和7．【答案】1-【解析】由幂函数f x x α=（）为奇函数，且在(0,)+∞上递减，得到a 是奇数，且0a ＜，由此能求出a 的值． 【解答】解：∵112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭， 幂函数()f x x α=为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a 是奇数，且0a ＜，∴1a =-．故答案为：1-．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域8．【答案】3-【解析】据题意可设0,E a （），0,F b （），从而得出2a b -=，即2a b =+，或2b a =+，并可求得2AE BF ab ⋅=-+uuu r uuu r ，将2a b =+带入上式即可求出AE BF ⋅uu u r uu u r 的最小值，同理将2b a =+带入，也可求出的最小值．【解答】解：根据题意，设0,0,E a F b (),()；|EF||a b |2∴=-=u u r∴2a b =+或a 2b =+且(1,)AE a =u u u r ，(2,)BF b =-u u u r∴2AE BF ab ⋅=-+uu u r uu u r当2a b =+时，22(2)22AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-u u u r u u u r ；∵222b b +-的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅uu u r uu u r 的最小值为3-，同理求出2b a =+时，AE BF ⋅uu u r uu u r 的最小值为3-．故答案为：3-．【考点】平面向量数量积的性质及其运算9．【答案】15【解析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可． 解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，所有的事件总数为：3510C =，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：21=105， 故答案为：15． 【考点】古典概型及其概率计算公式10．【答案】3【解析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可．解：等比数列{}n a 的通项公式为()1*n n ma q n N -=∈，可得1a 1=， 因为11lim 2n n n S a →∞+=，所以数列的公比不是1， ，1n n a q +=．可得，11111111lim lim lim (1)12n n nn n n n n q q q q q q q q q -→∞→∞→∞----====-- 可得3q =．故答案为：3．【考点】数列的极限11．【答案】6【解析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a 值． 【解答】解：函数2()2x x f x ax =+的图象经过点61,,,55P p Q q ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 则： p q P q 226112ap 2aq 55+==++， 整理得：222221222p q p q p qp q p q aq ap aq ap a pq++++++=+++， 解得：，22p q a pq += 由于：236p q pq +=，所以：236a =，由于0a ＞，故：6a =．故答案为：6【考点】函数的图象与图象的变换12．【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()11,OA x y =uu r ，()22,OB x y =uu u r ，由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB 为等边三角形，1AB =的几何意义为点A ，B 两点到直线10x y +-=的距离1d 与2d 之和，由两平行线的距离可得所求最大值．【解答】解：设()11,A x y ，()22,B x y ，()11,OA x y =uu r ，()22,OB x y =uu u r ，由222211221,1x y x y +=+=，121212x x y y +=， 可得A ，B 两点在圆221x y +=上， 且111cos 2OA OB AOB ⋅=⨯⨯∠=uu r uu u r ， 即有60AOB ∠=，即三角形OAB 为等边三角形，1AB =，的几何意义为点A ，B 两点到直线10x y +-=的距离1d 与2d 之和，显然A ，B 在第三象限，AB 所在直线与直线1x y +=平行，可设AB ：0x y t ++=，（0t ＞），由圆心O 到直线AB的距离d =可得1=，解得t =1+=【考点】基本不等式及其应用，点到直线的距离公式二、选择题13【答案】C【解析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a ，接利用椭圆的定义，转化求解即可．【考点】椭圆的性质．14．【答案】A【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O ：定义法；5L ：简易逻辑．【解析】“1a ＞”⇒“11a <”，“11a<”⇒“1a ＞或0a ＜”，由此能求出结果． 【考点】充分条件，必要条件，充要条件15．【答案】D【解析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．【考点】排列、组合的实际应用16．【答案】B【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用；56 ：三角函数的求值．【解析】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转6π个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当(1)f =，3，0时，此时得到的圆心角为3π，6π，0，然而此时0x =或者1x =时，都有2个y 与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x 只能对应一个y ，因此只有当2x =，此时旋转6π，此时满足一个x 只会对应一个y ，因此答案就选：B ． 故选：B ．【考点】函数的图象与图象的变换三、解答题17．【答案】（1）∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积22112333V r hππ=⨯⨯⨯=⨯⨯=．（2）∵4PO=，OA，OB是底面半径，且90AOB∠=︒，M为线段AB的中点，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，(004)P，，，200A(，，)，(0,2,0)B，(1,1,0)M，(0,0,0),O(1,1,4),(0,2,0)PM OB=-=u u u r u u u r设异面直线PM与OB所成的角为θ，则||cos||||PM OBPM OBθ⋅===⋅uuu r uu u ruuu r uu u r∴arccos6θ=∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos6．【解析】（1）由圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积．（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM 与OB 所成的角．【考点】异面直线及其所成的角，旋转体（圆柱、圆锥、圆台），棱柱、棱锥、棱台的体积18．【答案】（1）2()sin 22cos f x a x x =+Q ，2()sin 22cos f x a x x ∴-=-+，f x Q （）为偶函数，()()f x f x ∴-=，22sin 22cos sin 22cos a x x a x x ∴-+=+，2sin 20a x ∴=，0a ∴=（2）|14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭Q ，2asin 2cos 1124a ππ⎛⎫∴+=+= ⎪⎝⎭，a ∴=2()22cos 2cos 212sin 216f x x x x x x π⎛⎫∴=+=++=++ ⎪⎝⎭，()1f x =Q2sin 2116x π⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭sin 26x π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭， 2264x k πππ∴+=-+或522,64x k k Z πππ+=+∈5x k 24πππ∴=-+或 13x k ,k Z 24ππ=+∈ [,]x ππ∈-Q13x 24π∴=或19x 24π=或5x 24π=-或11x 24π=- 【解析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出.（2）先求出a 的值，再根据三角形函数的性质即可求出．【考点】两角和与差的三角函数，二倍角的三角函数19．【答案】（1）由题意知，当30100x ＜＜时，1800()29040f x x x =+->， 即2659000x x -+＞，解得20x ＜或45x ＞，∴45100x ∈（，）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； （2）当030x ＜≤时，()30%40(1%)4010x g x x x =⋅+-=-； 当30100x ＜＜时， 218013()290%40(1%)585010x g x x x x x x ⎛⎫=+-⋅+-=-+ ⎪⎝⎭； ∴24010()13585010x g x x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩， 当032.5x ＜＜时，g x （）单调递减；当32.5100x ＜＜时，gx （）单调递增； 说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．【解析】（1）由题意知求出()40f x >时x 的取值范围即可；（2）分段求出g x （）的解析式，判断g x （）的单调性，再说明其实际意义．【考点】分段函数的应用20．【答案】（1）由题意可知：设(,)B t ，则2BF t ==+， ∴2BF t =+；（2）(2,0)F ，2FQ =，3t =，则1FA =，AQ ∴=Q ∴，设OQ 的中点D ，3D ,22⎛ ⎝⎭，2K a 322-⋅==-PF方程：2)y x =-，联立22)8y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，整理得：2320120x x -+=， 解得：23x =，6x =（舍去）， ∴AQP △的面积1723S == （3）存在，设2,8y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,8m E m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2281628PF y y k y y ==--，2168FQ y k y -=，直线QF 方程为216(2)8y y x y-=-， ∴2216483(82)84Q y y y y y --=-=，24838,4y Q y ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 根据FP FQ FE +=u u r u u u r u u r ，则22486,84y y E y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， ∴222488648y y y ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：2165y =，∴存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在τ上，且2lP 5⎛ ⎝⎭．【解析】（1）设B 点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得BF ；（2）根据抛物线的性质，求得Q 点坐标，即可求得OD 的中点坐标，即可求得直线PF 的方程，代入抛物线方程，即可求得P 点坐标，即可求得AQP △的面积；（3）设P 及E 点坐标，根据直线1PF FQk k ⋅=﹣，求得直线QF 的方程，求得Q 点坐标，根据FP FQ FE +=u u r u u u r u u r ，求得E 点坐标，则222488648y y y ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求得P 点坐标．【考点】直线与抛物线的位置关系21．【答案】（1）数列{}n b 与{}n a 接近．理由：{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列， 可得112n n a -=，11112n n nb a +=+=+， 则011111111222n n n n b a ---=+-=-<，*n N ∈， 可得数列{}n b 与{}n a 接近；（2）{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，可得11n n n a b a +-≤≤，数列{}n a 的前四项为：11a =，22a =，34a =，48a =， 可得1[0,2]b ∈，2[1,3]b ∈，3[3,5]b ∈，4[7,9]b ∈，可能1b 与2b 相等，2b 与3b 相等，但1b 与3b 不相等，4b 与3b 不相等，集合1234{|,}i M x x b i ===，，，， M 中元素的个数3m =或4；（3）{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，可得11n a a n d =+-（）， ①若0d ＞，取n n b a =，可得110n n n n b b a a d ++-=-=>， 则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中有200个正数，符合题意； ②若0d =，取11n b a n=-，则11111n n b a a a n n -=--=<，*n N ∈， 可得11101n n b b n n +-=->+， 则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中有200个正数，符合题意； ③若20d ﹣＜＜，可令21211n n b a --=-，221n n b a =+，则()2212211120n n n n b b a a d ---=+--=+＞，则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中恰有100个正数，符合题意； ④若2d -…，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，即为11n n n a b a -+剟，11111n n n a b a +++-+剟， 可得()111120n n n n b b a a d ++-+--=+剟，21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中无正数，不符合题意． 综上可得，d 的范围是(2,)-+∞．【解析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断；（2）由新定义可得11n n n a b a +-≤≤，求得i b ，1,2,3,4i =的范围，即可得到所求个数；（3）运用等差数列的通项公式可得n a ，讨论公差0d ＞，0d =，20d -＜＜，2d ≤-，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围．【考点】等差数列与等比数列的综合。