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直线与平面,平面与平面平行的判定及其性质

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2.2.1 直线与平面平行的判定一：知识要点直线与平面平行的判断方法有两种1根据定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行. (一般用反证法．) 2.判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.（符号表示为：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒. 图形如图所示）. 二：例题判定定理证明：已知：a ⊄α，b ⊂α，且a ∥b 求证：a ∥α例1：求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面。

已知：如图空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点。

求证：EF ∥平面BCD证明：例2: 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点，试判断BD 1与平面AEC 的位置关系，说明理由。

B A DC EF l ab αC1D1A1B1CBADE三练习：1.判断下列说法是否正确，并说明理由．○1平面α外的一条直线a 与平面α内的无数条直线平行则直线a 和平面α平行； ○2平面α外的两条平行直线,a b ，若//a α，则//b α； ○3直线a 和平面α平行，则直线a 平行于平面α内任意一条直线； ○4直线a 和平面α平行，则平面α中必定存在直线与直线a 平行． 2.已知直线1l 、2l , 平面α, 1l ∥2l , 1l ∥α, 那么2l 与平面α的关系是（ ）. A. 1l ∥α B. 2l ⊂α C. 2l ∥α或2l ⊂α D. 2l 与α相交 3．以下说法（其中a ，b 表示直线，α表示平面）①若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α ②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ③若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α ④若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b 其中正确说法的个数是（ ）.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个4.已知a ，b 是两条相交直线，a ∥α，则b 与α的位置关系是（ ）. A. b ∥α B. b 与α相交 C. b ⊂α D. b ∥α或b 与α相交5.如果平面α外有两点A 、B ，它们到平面α的距离都是a ，则直线AB 和平面α的位置关系一定是（ ）.A. 平行B. 相交C. 平行或相交D. AB ⊂α6．平面α与△ABC 的两边AB 、AC 分别交于D 、E ，且AD ∶DB =AE ∶EC ，求证：BC ∥平面α.7．P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 为PB 的中点，O 为AC ，BD 的交点. （1）求证：EO ‖平面PCD ； （2）图中EO 还与哪个平面平行？8.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱BC 、C 1D 1的中点. 求证：EF ∥平面BB 1D 1DC1D1B1A1CDABFEE D C B A α2.2 平面与平面平行的判定 一：知识要点平面与平面平行的判断方法有三种1. 定义：两平面没有公共点，则两平面平行.2.判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为：,,////,//a b ab P a b βββααα⊂⊂=⎫⇒⎬⎭图形如图所示图形如图所示 3.推论：①如果一个平面内有两条相交直线分别平行于 另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行 ②垂直于同一条直线的两个平面平行. ③平行与同一平面的两个平面平行. 二：例题判定定理证明:已知：如图，α⊂m ，α⊂n ，O n m =⋂，β//m ，β//n 求证：βα//(思考1：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行吗?为什么？)（思考2：.在判断一个平面是否水平时，把水准器在这个平面内交叉地放两次，如果水准器的气泡都是居中的，就可以判定这个平面和水平面平行，你能说出理由吗？） 例2：已知正方体ABCD-1111A B C D ,求证：平面11AB D //平面1C BD 。

拓展：已知正方体ABCD-1111A B C D ，M 、N 分别为A 1A 、CC 1的中点 . 求证：平面NBD ∥平面MB 1D 1.βmna Oα三：练习1．下列说法正确的是（ ）.A. 一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任一条直线平行B. 平行于同一平面的两条直线平行C. 如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行D. 如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行 2．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ ）.A. α、β都平行于直线l.B. α内存在不共线的三点到β的距离相等C. l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD. l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β 3．下列说法正确的是（ ）.A. 垂直于同一条直线的两条直线平行B. 平行于同一个平面的两条直线平行C. 平行于同一条直线的两个平面平行D. 平行于同一个平面的两个平面平行 4．经过平面外的两点作该平面的平行平面可以作（ ）. A. 0个 B. 1个 C. 0个或1个 D. 1个或2个5．不在同一直线上的三点A ，B ，C 到平面α的距离相等，且A ∉α，则（ ）. A. α∥平面ABC B. △ABC 中至少有一边平行于α C. △ABC 中至多有两边平行于α D. △ABC 中只可能有一条边与α平行 6．已知直线a 、b ，平面α、β, 且a // b ，a //α，α//β，则直线b 与平面β的位置关系为 .7．已知a 、b 、c 是三条不重合直线，α、β、γ是三个不重合的平面.下列说法中： ⑴ a ∥c ，b ∥c ⇒a ∥b ； ⑵ a ∥γ，b ∥γ⇒a ∥b ； ⑶ c ∥α，c ∥β⇒α∥β； ⑷ γ∥α，β∥α⇒α∥β； ⑸ a ∥c ，α∥c ⇒a ∥α； ⑹ a ∥γ，α∥γ⇒a ∥α. 其中正确的说法依次是 .8.已知正方体ABCD-1111A B C D ,P,Q, R,分别为A 1A,AB,AD 的中点 。

求证：平面PQR ∥平面CB 1D 19.如图所示平面ABCD ∩平面EFCD = CD ， M 、N 、H 分别是 DC 、CF 、CB 的中点， 求证: 平面 MNH // 平面 DBFPQRNM FED CBA A A H2.2.3 直线与平面平行的性质马永春一：知识要点线面平行的性质：①线面平行，则线面没有公共点②线面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 即：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭.③线面平行则夹在线面间的平行线段长相等。

二：例题性质定理的证明：已知：a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b 。

求证：a ∥b 。

例2：有一块木料如图所示：已知棱BC 平行于面''C A 。

（1）要经过面''C A 内一点P 和棱BC 将木料锯开，应怎样画线？（2）所画的线与平面AC 是什么位置关系？(在例题的图中，如果AD ∥BC ，BC ∥面A ′C ′，那么，AD 和面BC ′、面BF 、面A ′C ′都有怎样的位置关系．为什么？)例3：已知平面外的两条平行直线中的一条平行这个平面，求证：另一条也平行于这个平面αββ cab三：练习1．已知直线l //平面α，m 为平面α内任一直线，则直线l 与直线m 的位置关系是（ ）.A. 平行B. 异面C. 相交D. 平行或异面2．直线a ，b 是异面直线，直线a 和平面α平行，则直线b 和平面α的位置关系是（ ） A ．b ⊂α B .b ∥α C .b 与α相交 D .以上都有可能 3．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（ ）.A. 异面B. 相交C. 平行D. 不能确定 4．若直线a 、b 均平行于平面α，则a 与b 的关系是（ ）.A. 平行B. 相交C. 异面D. 平行或相交或异面5.直线a ∥平面α.平面α内有n 条互相平行的直线。

那么这n 条直线和直线a ( )A.全平行.B.全异面；C.全平行或全异面；D.不全平行或不全异面。

6．直线a ∥平面α，平面α内有n 条交于一点的直线，那么这n 条直线和直线 a 平行的 ( )A.至少有一条；B.至多有一条；C.有且只有一条.D.不可能有。

7．设不同的直线a ,b 和不同的平面α，β，γ，给出下列四个说法：① a ∥α，b ∥α，则a ∥b ； ② a ∥α, a ∥β, 则α∥β； ③α∥γ，β∥γ，则α∥β；④ a ∥b ,b ⊂α,则a ∥α. 其中说法正确的序号依次是 . 8.P 是长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中AC 面上的一点 （1）画出经过P 、B 1、C 1的平面与长方体各侧面的交线； （2）画出经过P 、B 1、D 1的平面截长方体所得的截面；（3）以上各条与面的交线与平面A 1C 1是什么关系9.如图四面体ABCD 被平面所截，截面与四条棱AD ，AB ，CB ，CD 相交与点E ，F ，G ，H 四点，且截面EFGH 是平行四边形，求证：AC//平面EFGH 。

112.2.4平面与平面平行的性质 马永春 一：知识要点1. 面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行. 用符号语言表示为：//,,//a b a b αβγαγβ==⇒.即：面面平行 线线平行（指交线）2. 其它性质：①//,//l l αβαβ⊂⇒；即：面面平行 ②//αβ，//βγ，则//αγ．③夹在平行平面间的平行线段相等.二：例题例5：如图，已知平面α，β，γ满足//,,a b αβαγβγ⋂=⋂=，求证：a //b.例6：求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等。

已知：//αβ，AB CD ∥，,,,A D B C ααββ∈∈∈∈， 求证：AB CD =例3：如图，设平面α∥平面β，AB 、CD 是两异面直线，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且A 、C ∈α，B 、D ∈β. 求证：MN ∥α.DCBAβαβαE N MDB CA三：练习1．下列说法正确的是（ ）.A. 如果两个平面有三个公共点，那么它们重合B. 过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行C. 在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行D. 如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行2．已知α∥β，,,a B αβ⊂∈ 则在β内过点B 的所有直线中（ ）. A ．不一定存在与a 平行的直线 B ．只有两条与a 平行的直线 C ．存在无数条与a 平行的直线 D ．存在唯一一条与a 平行的直线 3．下列说法正确的是（ ）A. 直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行B. 经过两条平行线中一条有且只有一个平面与另一条直线平行C. 经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行D. 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行 4．下列命题中，假命题的是（ ）A .如果平面α内有两相交直线与平面β内的两条相交直线对应平行，则βα//；B .平行于同一平面的两个平面平行；C .如果平面α内有无数条直线都与平面β平行，则βα//；D .如果平面α内任意一条直线都与平面β平行，则βα//.5.已知平面//α平面β，直线α⊂a ，直线β⊂b ，b a //，点P α∈，则下列命题中真命题是（ ）A .βα,间的距离等于a 与β的距离也等于P 到β的距离.B .P 到b 的距离等于b a ,间的距离；C .b a ,间的距离等于a 与β间的距离；D. b a ,间的距离等于βα,间的距离 6.过平行平面α、β外点P 的两条直线AB 与CD ，它们分别交α于A 、C 两点，交β于B 、D 两点，若PA ＝6，AC ＝9，PB ＝8，则ＢD 的长为__________． 7．设,P Q 是单位正方体1AC 的面11AA D D 、面1111A B C D 的中心，如下图， 求证：//PQ 平面11AA B B 。

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新课标理科数学第七章第四节直线、平面平行的判定及其性质

新课标理科数学第七章第四节直线、平面平行的判定及其性质


高难度练习题及答案
高难度练习题1答案
由于直线a与直线b平行，且直线a与直线c垂直相交于点A，根据垂直平面的性质和直线的性质，可以证明 直线b与直线c平行。
高难度练习题2答案
由于平面α与平面β平行，且平面α与平面γ垂直相交于直线a，根据垂直平面的性质和相交平面的性质，可 以证明平面β与平面γ平行。
06
本节总结与回顾
本节重点回顾
直线与平面平行的判定定理
如果一条直线与平面内的一条直线平 行，且这条直线不在这个平面内，那 么这条直线与这个平面平行。
平面与平面平行的判定定理
如果两个平面有一个公共点，且过这 个点的所有直线都分别在两个平面内， 那么这两个平面平行。
直线与平面平行的性质定理
如果一条直线与一个平面平行，那么 这条直线与平面内的任何习题3答案
由于平面α与平面β平行，根据平面的 性质，它们之间没有公共点。
中等难度练习题1答案
中等难度练习题2答案
由于平面α与平面β平行，且平面α与 平面γ相交于直线a，根据平面的性质 和相交平面的性质，平面β与平面γ平 行。
由于直线a与直线b平行，且直线a与 直线c相交于点A，根据平行直线的传 递性，直线b与直线c平行。
C.两直线平行的传递性
高难度题目解析
D.空间两平面平行的判定定理
题目2：已知直线$a/backslash$/平面$alpha ，b subset alpha ，$过直线$a$作 平面$beta $，使$beta/backslash$/$alpha $，这样的$beta $（）
高难度题目解析
A.只能作一个 B.至少可以作一个
新课标理科数学第七章第 四节直线、平面平行的判 定及其性质
• 引言 • 直线与平面平行的判定条件 • 直线与平面平行的性质 • 典型例题解析 • 练习题与答案 • 本节总结与回顾
第七章 第四节 直线、平面平行的判定及其性质

第七章 第四节 直线、平面平行的判定及其性质


图形语言
符号语言 ∵ l∥ α ，
l ⊂β ， α ∩β＝b， ____ _______
∴ l∥ b
主干知识 自主排查
2.平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 一个平面内的两条 图形语言 符号语言
相交直线 与另 ____________
判定定 一个平面平行，则这 理 两个平面平行(简记 为“线面平行⇒面 面平行”)
∥α，则 a 与 b 可能异面或相交， 排除 D；垂直于同一平面的两直 线平行，C 正确．故选 C.
核心考点 互动探究 考点一
目录
CONTENTS
1 高考导航 考纲下载
第四节 直线、平面平行
2 3 4 5
主干知识 自主排查 核心考点 互动探究
真题演练 明确考向
的判定及其性质
课时作业
高考导航 考纲下载
1．理解空间直线和平面位置关系的定义． 2．了解直线和平面的位置关系． 3．掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，两个平面平行的 判定定理和性质定理．
即时应用
若 a⊥c，b⊥c，则 a 与 b 可能异 面或相交，排除 B；若 a∥α，b
∥α，则 a 与 b 可能异面或相交， 排除 D；垂直于同一平面的两直 线平行，C 正确．故选 C.
核心考点 互动探究 考点一
1．(1)(2017· 成都诊断)已知三个不同 的平面 α、β、γ，三条不同的直线 a、
主干知识 自主排查
[知识梳理] 1．直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 判定 定理 平面外一条直线与 此平面内 的 一条直线平行， 则该直线与此平 面平行(线线平行⇒线面平行) 图形语言 符号语言
a⊂α ， ∵ l∥ a ， _____ l⊄α ，∴l∥α ____
直线、平面平行的判定与性质

直线、平面平行的判定与性质


[解析]
选项A，平行直线的平行投影可以依然是两条平行
直线；选项 B ，两个相交平面的交线与某一条直线平行，则这
条直线平行于这两个平面；选项 C，两个相交平面可以同时垂
直于同一个平面；选项D，正确． [答案] D
2．(2009·福建，10)设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，
l2是平面β内的两条相交直线．则α∥β的一个充分而不必要条件
∵AF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AF∥平面PDC.
∵AF∩EF＝F，∴平面AEF∥平面PCD.
∵AE⊂平面AEF，AE∥平面PCD.
∴线段PB的中点E是符合题意要求的点．
1．证明直线和平面平行的方法有：
(1)依定义采用反证法
(2) 判定定理( 线∥线 ⇒线∥面) ，即想方设法在平面内找出 一条与已知直线平行的直线． (3)面面平行性质定理(面∥面⇒线∥面) 2．证明平面与平面平行的方法有：
(1)[证明] ∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴PA⊥AB.
∵AB⊥AD，PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，
∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.
(2)[解]
解法一：取线段 PB 的中点 E，PC 的中点 F，连
接 AE，EF，DF，则 EF 是△PBC 的中位线． 1 1 ∴EF∥BC，EF＝ BC，∵AD∥BC，AD＝ BC， 2 2 ∴AD∥EF，AD＝EF. ∴四边形 EFDA 是平行四边形，∴AE∥DF. ∵AE⊄平面 PCD，DF⊂平面 PCD， ∴AE∥平面 PCD. ∴线段 PB 的中点 E 是符合题意要求的点．
(1)依定义采用反证法
(2) 判定定理( 线∥面 ⇒面∥面) ．即证一平面内两条相交直
线与另一平面垂直．
理科数学学霸笔记31 直线、平面平行的判定及其性质

理科数学学霸笔记31 直线、平面平行的判定及其性质

考点31直线、平面平行的判定及其性质一、直线与平面平行的判定与性质1．直线与平面平行的判定定理平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.简记为：线线平行⇒线面平行符号语言：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α作用：证明直线与平面平行2．直线与平面平行的性质定理一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简记为：线面平行⇒线线平行符号语言：因为l∥α，l⊂β，α∩β＝b，所以l∥b作用：①作为证明线线平行的依据．②作为画一条直线与已知直线平行的依据.二、平面与平面平行的判定与性质1．平面与平面平行的判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.简记为：线面平行⇒面面平行符号语言：因为a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，所以α∥β作用：证明两个平面平行2．平面与平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.简记为：面面平行⇒线线平行符号语言：因为α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，所以a∥b作用：证明线线平行三、常用结论（熟记）1．如果两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．2．如果两个平行平面中有一个平面垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线．3．夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．4．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．5．两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．6．如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行．7．如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．8．如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行．四、线面平行的判定与性质线面平行问题的常见类型及解题策略：(1)线面平行的基本问题①判定定理与性质定理中易忽视的条件．②结合题意构造图形作出判断．③举反例否定结论或反证法证明．(2)线面平行的证明问题判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义(无公共点)；②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a ∥α)；③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β).(3)线面平行的探索性问题①对命题条件的探索常采用以下三种方法：a.先猜后证，即先观察与尝试，给出条件再证明；b.先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；c.把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件．②对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设.例1：已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，给出下列命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若m⊥α，n⊥α，则m∥n.其中正确的有________．（填序号）答案：④解析：若m∥α，n∥α，m，n可以平行，可以相交，也可以异面，故①不正确；若α⊥γ，β⊥γ，α，β可以相交，故②不正确；若m∥α，m∥β，α，β可以相交，故③不正确；若m⊥α，n⊥α，则m∥n，故④正确．故填④.五、面面平行的判定与性质判定面面平行的常见策略：(1)面面平行的定义．(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化进行证明．。