数列的求和方法发表时间：2009-07-07T11:03:52.577Z 来源：《中学课程辅导·教学研究》2009年第11期供稿作者：吕二动[导读] 数列是高中数学中很重要的内容之一。
本文例举了数列求和的十种方法。
摘要：数列是高中数学中很重要的内容之一。
本文例举了数列求和的十种方法。
关键词：数列；求和；方法作者简介：吕二动，任教于陕西省咸阳师范学院附属中学。
数列是高中数学中很重要的内容之一，是高考的热点和重点。
数列中蕴含着丰富的数学思想，而对于等差数列和等比数列而言，我们采用倒序相加法和错位相减法来求他们的前项和，由此对于一般的数列，我们可以从求等差数列和等比数列的前项和的方法受到启发，得到下面的几种方法，这些方法是我们求一般数列的通法，只要大家能够理解这些方法的适应范围，并且根据这些方法对新出现的数列都可化为下面的形式，那么数列的求和问题就不会太难。
现将这些方法总结如下：一、公式法求和对这些比较简单常见的数列，我们可以记下他们的前项和，在题目里可以直接利用它们求某些数列的和。
二、分组结合法求和若数列的通项公式为，其中、中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般利用分组结合法。
三、倒序相加法求和如等差数列的前项和的求法就是采用这种办法，即一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把原数列和倒写后的数列对应项相加可以求得原数列的前项和，这一求和方法称为倒序相加法。
四、错位相减法求和若数列的通项公式，其中、中一个是等差数列，一个是等比数列求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。
这种方法叫错位相减法。
五、裂项相消法若一个数列的每一项都可以化为两项之差，并且前一项的减数恰与后一项的被减数相同，求和时中间项互相抵消，这种数列求和的方法就是裂项相消法。
一般地，当数列的通项往往可以将变成两项的差，采用裂项相消法求和六、转化法求和转化法就是把非特殊数列的求和问题转化为等差（比）数列求和问题，是一种行之有效的方法。
巧用导数求一类数列的和
屈惠鹏;张红旗
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2009(000)003
【摘要】含有二项式系数的数列求和问题，是数列求和的一个难点，利用导数法求这类数列的和，可以化繁为简，化难为易，开辟新的解题途径．
【总页数】1页(P1)
【作者】屈惠鹏;张红旗
【作者单位】陕西省商洛中学,726000
【正文语种】中文
【中图分类】G633.603
【相关文献】
1.用导数求一类数列的和 [J], 李玉群;孙秀亭
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3.构造常数列求一类递推数列的通项公式 [J], 彭世金
4.用导数求一类数列的和 [J], 张启奎;
5.构造新数列，求一类递推数列{an}通项 [J], 刘洪文
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例析数列求和的常用方法作者：李东月来源：《中学教学参考·理科版》2011年第10期数列求和是近年高考命题的一个热点问题，掌握一些数列求和的方法和技巧可以提高解决此问题的能力.本文例析了一些常用的数列求和方法，供大家参考一、公式法利用已知的求和公式来求和，如等差数列与等比数列求和公式【例1】（2010，重庆）已知｛｝是首项为19，公差为-2的等差数列，为｛｝的前n项和.（）求通项及；（Ⅱ）设｛-｝是首项为1，公比为3的等比数列，求数列｛｝的通项公式及其前n项和解：（）因为｛｝是首项为，公差d=-2的等差数列，所以-2(n-1)=-2n+21；-1)2•(-2)=-；（Ⅱ）由题意--，所以-----二、倒序相加法将一个数列倒过来排序（倒序），当它与原数列相加时，若有因式可提，并且剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和【例2】已知f(x)满足∈R，当时，，若-1n)+f(1),n∈N，求解：∵）+…+f(n-∈N,①∴-∈N,②①+②整理后可得三、错位相减法这种方法主要适用于求数列｛｝的前n项和，其中｛｝、｛｝分别是等差数列和等比数列.（这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法）【例3】（2010，全国）设数列｛｝满足--.（1）求数列｛｝的通项公式；（2）令，求数列｛｝的前n项和解：（1）略；（2）由-知-①，从而②，①-②得(1---,即［(3n-］四、分组求和法所谓分组求和法，即将一个数列中的项拆成几项，转化成特殊数列求和【例4】（2009,全国Ⅰ）在数列｛｝中，.（）设，求数列｛｝的通项公式；（Ⅱ）求数列｛｝的前n项和解：（Ⅱ）由（）知----1--，而又-是一个典型的错位相减法模型，易得---，∴--4.五、恒等式法利用恒等式，如1+2+3+…+n=n(n+1)2，等公式【例5】求数列1•n,2(n-1),3(n-2),…,n•1的和解：-1)+3(n-2)+…+(n-2)×3+(n-1)×2+n×1=n(1+2+3+…+n)-［-1)］-n(n-1)(n+1)3=n(n+1)(n+2)6.六、拆项（裂项）、并项相消法若数列｛｝能裂项成-f(n)，即所裂两项具有传递性（即关于n的相邻项，使展开后中间项能全部消去）【例6】（2010，山东）已知等差数列｛｝满足：，｛｝的前n项和为．（）求及；（Ⅱ）令-1(n∈，求数列｛｝的前n项和．解：（Ⅱ）由（）知，所以--1=14•1n(n+1)=14•(1n-1n+1)，所以-12+12-13+…+1n-1n+1)=14•(1-1n+1)=n4(n+1)，即数列｛｝的前n 项和七、通项化归法该法是把数列的通项公式先求出来，再利用数列的特点求和【例7】求数列1,11+2,11+2+3,…,11+2+3+…+n的前n项和解：∵，所以-12)+2(12-13)+2(13-14)+…+2(1n-1n+1)=2［1+(-12+12)+(-13+13)+…+(-1n+1n)-1n+1］=2(1-1n+1)=2-2n+1.八、利用周期性求和若数列｛｝都有（其中n∈为给定的自然数，T≠0），则称数列｛｝为周期数列，其中T为其周期【例8】（2009，江西）数列｛｝的通项-，其前n项和为，则为（）．470B．490C．495D．解：由于｛-｝以3为周期,故---［-(3k--］（9k-52）=9×10×112-25=470.故选以上是数列求和的常用方法，另外还有导数法、待定系数法、组合数法、极限法求和、归纳猜想证明法、有限差分法、递推法、阶差法、有理化法等方法.当解决某一具体问题时，选用恰当的方法可以提高解决此问题的效率(责任编辑金铃）。
导数在高中数学课程中的应用新乡市一中数学组 李凤德[摘 要]导数是联系高等数学与初等数学的纽带，高中阶段引进导数的学习有利于学生更好地理解函数的性态，掌握函数思想，搞清曲线的切线问题，学好其他学科并发展学生的思维能力．因而在中学数学教学及解题过程中，可以利用导数思想解决诸如函数（解析式、值域、最（极）值、单调区间等）问题、切线问题、不等式问题、数列问题以及实际应用等问题．[关键词]导数 新课程 应用一、 知识地位分析导数是高中数学新教材中新增的知识之一,体现了现代数学思想，在研究函数性质时，有独到之处。
纵观2010年各地的新课程高考试卷，大多数以一个大题的形式考察这部分内容。
内容主要是与单调性、最值、切线这三方面有关。
今年是我省新教材实施的第一届高考，虽然去年已然考察这方面的内容，但作为新教材的新增内容，仍应引起我们足够的重视。
复习中注重导数在解决科技、经济、社会中的某些实际问题中的应用。
二、 导数在解题中的应用导数作为高中新教材的新增内容之一，它给高中数学增添了新的活力，特别是导数广泛的应用性，为解决函数、切线、不等式、数列、实际等问题带来了新思路、新方法，为我们展现出了一道亮丽的风景线，也使它成为新教材高考试题的热点和命题新的增长点．这几年的高考命题趋势表明：导数已经由以往的“配角”地位上升到“主角”，成为分析问题和解决问题的重要工具．将导数与传统内容结合，不仅能加强能力的考查力度，而且也使试题具有更广泛的实践意义．下面举例探讨导数的应用．（一）利用导数解决函数问题⒈利用导数求函数的解析式用解析式表示函数关系，便于研究函数的性质，而利用导数求函数的解析式，函数的一些基本性质就会显得更加的明了．例1 设函数d cx bx ax y +++=23的图像与y 轴交点为P 点，且曲线在P 点处的切线方程为0412=--y x ，若函数在2=x 处取得极值0，试确定函数的解析式．解 因为函数d cx bx ax y +++=23的图像与y 轴交点为P 点，所以P 点的坐标为()d ,0，又曲线在P 点处的切线方程为412-=x y ，P 点坐标适合方程，从而4-=d ，又切线斜率12=k ，故在0=x 处的导数120='=x y ，而c bx ax y ++='232，c y x ='=0，从而12=c ，又函数在2=x 处取得极值0，所以⎩⎨⎧=++=++．，020********b a b a 解得2=a ，9-=b ，所以所求函数解析式为4129223-+-=x x x y ． ⒉利用导数求函数的值域求函数的值域是中学数学中的重点，也是难点，方法因题而异，不易掌握．但是，如果采用导数来求解，则较为容易，且一般问题都可行．例2 求函数212)(+-+=x x x f 的值域．分析 先确定函数的定义域，然后根据定义域判断)(x f '的正负，进而求出函数)(x f 的值域．解 显然，)(x f 定义域为[)∞+-，21，由于 12221222221121)(+++-+=+-+='x x x x x x x f ， 又 1222721222++++=+-+x x x x x ， 可见当21->x 时，0)(>'x f ．所以212)(+-+=x x x f 在[)∞+-，21上是增函数．而26)21(-=-f ，所以函数212)(+-+=x x x f 的值域是)⎡+∞⎣，． ⒊利用导数求函数的最（极）值求函数的最（极）值是高中数学的重点，也是难点，是高考经常要考查的内容之一，它涉及到了函数知识的很多方面，用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，也容易掌握，从而进一步明确了函数的性态．一般地，函数)(x f 在闭区间[]b a ,上可导，则)(x f 在[]b a ,上的最值求法：(1) 求函数)(x f 在()b a ,上的极值点；(2) 计算)(x f 在极值点和端点的函数值；(3) 比较)(x f 在极值点和端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值．例3 求函数x x x f 3)(3-=在[]233，-上的最大值和最小值． 分析 先求出)(x f 的极值点，然后比较极值点与区间端点的函数值，即可得该函数在区间[]233，-上的最大值和最小值． 解 由于)1)(1(3)1(333)(22-+=-=-='x x x x x f ，则当[)1,3--∈x 或(]23,1∈x 时，0)(>'x f ，所以[]13--，，[]231，为函数)(x f 的单调增区间；当()1,1-∈x 时，0)(<'x f ，所以[]11，-为函数)(x f 的单调减区间． 又因为18)3(-=-f ，2)1(=-f ，2)1(-=f ，9)23(-=f ，所以，当3-=x 时，)(x f 取得最小值18-；当1-=x 时，)(x f 取得最大值2．⒋利用导数求函数的单调区间函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质．函数的单调性与函数的导数密切相关，运用导数知识来讨论函数单调性时，结合导数的几何意义，只需考虑)(x f '的正负即可，当0)(>'x f 时，)(x f 单调递增；当0)(<'x f 时，)(x f 单调递减．此方法简单快捷而且适用面广．例4 求x x x f 3)(3+=的单调区间．分析 应先确定函数)(x f 的定义域，再利用导数讨论其单调区间．解 显然，)(x f 定义域为()()+∞⋃∞-,00,，又2222)1)(1)(1(333)(x x x x x x x f -++=-='， 由0)(>'x f ，得1-<x 或1>x ；又由0)(<'x f ，得01<<-x 或10<<x ，所以)(x f的增区间为()1-∞-，和()∞+，1，减区间为()01，-和()10，． （二）利用导数解决切线问题⒈求过某一点的切线方程此种题型分为点在曲线上和点在曲线外两种情况，)(0x f '的几何意义就是曲线在点))(,(00x f x P 处切线的斜率，过P 点的切线方程为))(()(000x x x f x f y -'=-，但应注意点))(,(00x f x P 在曲线)(x f y =上，否则易错． 例5(2009·衡阳模拟)求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程．解 f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.设切线的斜率为k .分析 此类题型为点不在曲线上求切线方程，应先设出切点坐标，表示出切线方程，把已知点代入方程，求出切点坐标后，再求切线方程．(2009·衡阳模拟)求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程．解 f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.设切线的斜率为k .(1)当切点是原点时k ＝f ′(0)＝2，所以所求曲线的切线方程为y ＝2x .(2)当切点不是原点时，设切点是(x 0，y 0)，则有y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，② 由①②得x 0＝32，k ＝y 0x 0＝－14. ∴所求曲线的切线方程为y ＝－14x .⒉求两曲线切线方程例6 已知抛物线x x y C 221+=：和a x y C +-=22：，如果直线l 同时是1C 和2C 的切线，称l 是1C 和2C 的公切线，求公切线l 的方程．分析 本题也可用常规方法求解，但运算量大，过程烦琐，而利用导数知识无疑为解决这类问题提供了新的，简捷的方法，即先分别求出两曲线的切线，利用它们是同一直线来建立关系求解．解 由x x y C 221+=：，得22+='x y ，所以曲线1C 在点)2,(1211x x x P +的切线方程是))(22()2(11121x x x x x y -+=+-， 即211)22(x x x y -+=．(1)由a x y +-=2，得x y 2-='，所以曲线2C 在点),(222a x x Q +-的切线方程是)(2)(2222x x x a x y --=+--， 即a x x x y ++-=2222．(2)若l 是过P 与Q 的公切线，则(1)(2)表示的是同一直线，所以⎩⎨⎧+=--=+．，a x x x x 222121222 消去2x ，得0122121=+++a x x ， 由题意知0)1(244=+⨯-=∆a ，所以21-=a ，则2121-==x x ，即点P 与Q 重合，此时曲线1C 和2C 有且仅有一条公切线，且公切线方程为014=+-y x ．（三）利用导数解决不等式问题纵观这几年的高考，凡涉及到不等式证明的问题，其综合性强、思维量大，因此历来是高考的难点．利用导数证明不等式，就是利用不等式与函数之间的联系，直接或间接等价变形后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数．通过导数运算判断出函数的单调性，将不等式的证明转化为函数问题．例7 求证：不等式)1(2)1ln(222x x x x x x +-<+<-在()+∞∈,0x 上成立． 分析 通过作差，构造函数)2()1ln()(21x x x x f --+=， 和)1ln()1(2)(22x x x x x f +-+-=， 再通过对)(1x f 和)(2x f 求导来判断．证明 构造函数)2()1ln()(21x x x x f --+=，则01111)(21>+=+-+='x x x x x f ． 得知)(1x f y =在[)∞+，0上单调递增，又因为0>x ，所以0)0()(11=>f x f ，即2)1ln(2x x x ->+成立． 又构造函数)1ln()1(2)(22x x x x x f +-+-=，则 0)1(4211)1(42441)(222222>+=+-+-+-='x x x x x x x x f ． 得知)(2x f y =在[)∞+，0上单调递增，又因为0>x ，所以0)0()(22=>f x f ，即)1ln()1(22x x x x +>+-成立． 综上所述，原命题成立．（四）利用导数解决数列问题数列是高中数学中的一个重要部分，而数列求和是中学阶段数列部分的重要内容之一，有许多初等解决方法．事实上数列可看作是自变量为正整数的特殊的函数，所以可以利用数列和函数的关系，再运用导数来解决数列求和的有关问题．例8 求和：12321-++++n nx x x (其中0≠x ，1≠x )．解 注意到1-n nx 是n x 的导数，即1)(-='n n nx x ，可先求数列{}n x 的前n 和x x x x x x x x x n n n--=--=+++11)1(12 ， 然后等式两边同时对x 求导，有12321-++++n nx x x2121)1(1)1()1()1]()1(1[x x n nx x x x x x n n n n n -++-=--+-+-=++．例9 求和：n n n n n n nC C C C )1(32321---+- ．解 因为n n n n n n nn x C x C x C x C x )1(1)1(33221--+-+-=- ． 上式两边对x 求导，有123211)1(2)1(---++-+-=--n n n n n n n n x nC x C x C C x n ，再令1=x ，可以得到0)1(32321=---+-n n n n n n nC C C C ．（五）利用导数解决实际问题利用导数，不仅可以解决函数、切线、不等式、数列问题，而且还可以解决一些实际应用问题．学习的最终目的，是要求学生具有运用导数知识解决实际问题的意识、思想方法以及能力．近几年，高考越来越注重对实际问题的考查，比如最优化问题、最低成本问题等，而利用导数解决这些问题非常方便．例10 甲乙两个村子在一条河的同侧，甲村位于河岸的岸边A 处，乙村位于离河岸km 40的B 处，乙村到河岸的垂足D 与A 相距km 50．两村要在岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲村、乙村的水管费用分别为千米元/3a 、千米元/5a ，问供水站C 建在何处才能使水管费用最省？(图1)分析 本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式．技巧与方法主要有：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化，构造相应的函数关系，随后用导数的知识来解决问题．解 如图1，设点C 距点D xkm ，则 x AC -=50，40=BD ，2240+=x BC ．总的水管费用为22405)50(3)(++-=x a x a x f (500<<x )． 又224053)(++-='x axa x f ，令0)(='x f ，则30=x ．在()500，上，)(x f 只有一个极值点，根据实际问题的意义，知30=x 处取得最小值，此时2050=-=x AC ．所以供水站C 建在距甲村km 20处才能使水管费用最省．三、 结束语 A B C Dx 图1导数及其应用是微积分学的重要组成部分，是解决许多问题的有力工具，它全面体现了数学的价值：既给学生提供了一种新的方法，又给学生提供了一种重要的思想．总之，开设导数不仅促进学生全面认识了数学的价值，而且发展了学生的辩证思维能力，也为今后进一步学好微积分打下基础．因此，在高中阶段为学生开设导数及其应用具有深刻的意义．。
