专题04 数列求和及综合应用(原卷版)
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专题04 数列求和及综合应用
【要点提炼】
1.常用公式:12+22+32+42+…+n 2=n (n +1)(2n +1)
6.
2.(1)数列通项a n 与前n 项和S n 的关系为a n =⎩⎨⎧S 1 (n =1),
S n -S n -1 (n ≥2).
(2)应用a n 与S n 的关系式f (a n ,S n )=0时,应特别注意n =1时的情况,防止产生错误. 3.数列求和
(1)分组转化法:一个数列既不是等差数列,也不是等比数列,若将这个数列适当拆开,重新组合,就会变成几个可以求和的部分,分别求和,然后再合并. (2)错位相减法:主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和,其中{a n },{b n }分别是等差数列和等比数列.
(3)裂项相消法:即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式,然后通过累加
抵消中间若干项的方法,裂项相消法适用于形如⎩
⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪
⎫c a n a n +1(其中{a n }是各项均不为
零的等差数列,c 为常数)的数列.
温馨提醒 裂项求和时,易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误. 4.数列与函数、不等式的交汇
数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景,给出数列所满足的条件,通常利用点在曲线上给出S n 的表达式,还有以曲线上的切点为背景的问题,解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系,将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体,考查不等关系或恒成立问题.
考点一 数列求和及综合应用
考向一 a n 与S n 的关系问题
【典例1】 设数列{a n }的前n 项和为S n ,对任意的正整数n ,都有a n =5S n +1成立,b n =-1-log 2|a n |,数列{b n }的前n 项和为T n ,c n =b n +1
T n T n +1
. (1)求数列{a n }的通项公式;
(2)求数列{c n }的前n 项和A n ,并求出A n 的最值.
解 (1)因为a n =5S n +1,n ∈N *, 所以a n +1=5S n +1+1, 两式相减,得a n +1=-1
4a n ,
又当n =1时,a 1=5a 1+1,知a 1=-1
4, 所以数列{a n }是公比、首项均为-1
4的等比数列. 所以数列{a n }的通项公式a n =⎝ ⎛⎭⎪⎫
-14n
.
(2)由(1)知b n =-1-log 2|a n |=2n -1, 数列{b n }的前n 项和T n =n 2, c n =
b n +1T n T n +1=2n +1n 2(n +1)2=1n 2
-1
(n +1)2
, 所以A n =1-1
(n +1)2.
因此{A n }是单调递增数列,
∴当n =1时,A n 有最小值A 1=1-14=3
4;A n 没有最大值.
探究提高 1.给出S n 与a n 的递推关系求a n ,常用思路是:一是利用S n -S n -1=a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系,再求其通项公式;二是转化为S n 的递推关系,先求出S n 与n 之间的关系,再求a n .
2.由S n 求a n 时,一定注意分n =1和n ≥2两种情况,最后验证两者是否能合为一个式子,若不能,则用分段形式来表示.
【拓展练习1】 (2020·合肥检测)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ,满足a 2n =S n +S n -1(n ≥2),a 1=1. (1)求数列{a n }的通项公式;
(2)设b n =(1-a n )2-a (1-a n ),若{b n }是递增数列,求实数a 的取值范围. 解 (1)a 2n =S n +S n -1(n ≥2), a 2n -1=S n -1+S n -2(n ≥3).
相减可得a 2n -a 2n -1=a n +a n -1,
∵a n >0,a n -1>0,∴a n -a n -1=1(n ≥3). 当n =2时,a 22=a 1+a 2+a 1,
∴a 22=2+a 2,a 2>0,∴a 2=2. 因此n =2时,a n -a n -1=1成立. ∴数列{a n }是等差数列,公差为1. ∴a n =1+n -1=n .
(2)b n =(1-a n )2-a (1-a n )=(n -1)2+a (n -1), ∵{b n }是递增数列,
∴b n +1-b n =n 2+an -(n -1)2-a (n -1) =2n +a -1>0,
即a >1-2n 恒成立,∴a >-1. ∴实数a 的取值范围是(-1,+∞). 考向二 数列求和 方法1 分组转化求和
【典例2】 (2020·山东五地联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足关于x 的不等式a 1x 2-S 2x +2<0的解集为(1,2). (1)求数列{a n }的通项公式;
(2)若数列{b n }满足b n =a 2n +2a n -1,求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ,
因为关于x 的不等式a 1x 2-S 2x +2<0的解集为(1,2), 所以S 2
a 1=1+2=3,得a 1=d ,
又易知2
a 1=2,所以a 1=1,d =1.
所以数列{a n }的通项公式为a n =n . (2)由(1)可得,a 2n =2n ,2a n =2n .
因为b n =a 2n +2a n -1,所以b n =2n -1+2n ,
所以数列{b n }的前n 项和T n =(1+3+5+…+2n -1)+(2+22+23+…+2n ) =n (1+2n -1)2+2(1-2n )1-2
=n 2
+2n +1
-2.
探究提高 1.求解本题要过四关:(1)“转化”关,把不等式的解转化为方程根的问题;(2)“方程”关,利用方程思想求出基本量a 1及d ;(3)“分组求和”关,观察数列的通项公式,把数列分成几个可直接求和的数列;(4)“公式”关,会利用等差、等