人教版初三数学上册初三正多边形和圆的有关计算拓展延伸

24.3 正多边形和圆

一、学习目标：

1 知识与技术：

（ 1）认识正多边形的中心、半径、边心距、中心角等看法。

（ 2）能运用正多边形的知识解决圆的相关计算问题。

2 过程与方法：

（ 1）学生在商讨正多边形相关计算过程中，领悟到要擅长发现问题，解决问题，发展学生的观察、比较、解析、概括及概括的逻辑思想能力和逻辑推理能力。

（2） 在研究正多边形相关过程中， 学生领悟化归思想在解决问题中的重要性， 能综合运用

所学的知识和技术解决问题。

3 感情、态度与价值观：

（ 1）学生经历观察、发现、研究等数学活动，感觉到数学本源于生活，又服务于生活，领悟到事物之间是互相联系，互相作用的。

（ 2） 运用已有的正多边形的知识解决问题的活动中获取成功的体验，建立学习自信心。

二、教课重难点：

教课要点：理解正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系，并能进行相关计算。

教课难点： 理解正多边形和圆中心正多边形半径、 中心角、边心距、边长之间的关系以及把正多边形的计算问题转变成解直角三角形的问题。

三、教课方法：

指引学生采纳自主合作研究的方式进行学习

四、教课准备：

PPT 课件、圆规、直尺

五、教课过程：

导入：

前方我们学习了好多图形与圆的关系，如：点和圆、直线和圆、四边形和圆以及圆与圆的关系，还有什么图形我们没有与圆联系上呢？（多边形）那么今日我就和同学们一起来商讨正多边形与圆。看看它们之间有如何的联系，又给我们带来什么样的知识。 （一）自习交流：

1.带着以下问题自主预习教材 105 页至 106 页的内容，勾画你以为重要的地方和有 疑问的地方。 ①什么是多边形？多边形的内角和与外角怎么计算的？

②正多边形和圆有什么关系？

③结合图形谈谈正多边形的中心、中心角、边心距、半径，并结合以前的知

识谈谈它们的特色？ ④结合图形说一说如何计算正多边形的中心角、 边心距、半径、周长和面积？

初中数学中考复习正多边形与圆的有关的证明和计算

正多边形与圆的关系是初中数学中重要的内容。在中考复习中，我们需要掌握正多边形与圆的有关知识，并能够进行证明和计算。

一、正多边形的性质与计算：

1.正多边形的定义：

正多边形是指所有边相等，所有角也相等的多边形。

2.正多边形的计算：

正n边形的内角和为180°(n-2)，每个内角为(180°(n-2))/n。

正n边形的外角和为360°，每个外角为360°/n。

正n边形的中心角为360°/n。

例题1：求正六边形的内角和。

解：内角和为180°(6-2)=720°。

例题2：求正五边形的每个内角大小。

解：每个内角为(180°(5-2))/5=108°。

二、正多边形与圆的关系：

1.圆的定义：

圆是平面上一组到一个固定点(圆心)距离相等的点的集合。

2.正多边形与圆的关系： 正多边形的顶点均在圆上，且正多边形的外接圆和内切圆都满足以下性质：

①外接圆：正多边形的外接圆的圆心与正多边形的中心重合。

②内切圆：正多边形的内切圆的圆心与正多边形的中心重合，且内接圆的半径等于正多边形的边长的一半。

3.正多边形与圆的证明：

①外接圆的证明：

由正多边形的定义可知，正多边形的每个顶点到圆心的距离都相等，即正多边形的顶点在圆上。而圆心与正多边形的中心重合，所以正多边形的外接圆的圆心与正多边形的中心重合。

②内切圆的证明：

首先，通过正多边形的定义，可以证明正多边形的每个顶点到圆心的距离都相等，即正多边形的顶点在圆上。

其次，由于正多边形的边长相等，所以正多边形的中心到各个顶点的距离也相等。而内切圆的半径等于正多边形中心到任意一个顶点的距离，所以正多边形的内切圆的圆心与正多边形的中心重合，且内切圆的半径等于正多边形的边长的一半。

例题3：如图，正六边形ABCD中，O为外接圆的圆心，求AB的长。

解：由于正六边形的外接圆的圆心与正多边形的中心重合，所以O即为正六边形的中心。设AB的长为x，则正六边形的边长等于x。由于正六边形的内角和为720°，所以每个内角为(180°(6-2))/6=120°，即三个内角之和为360°。而一个内角对应一个扇形和一个半径，所以扇形的弧度为2π/6=π/3、由于扇形的周长等于扇形圆心角的弧度乘以半径，所以2πx/6=π/3*x，解方程得x=2/3π，即AB的长等于2/3π。

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1 / 16 第17讲 正多边形和圆、弧长和扇形面积

第一部分

知识梳理

知识点一：圆与内正多边形的计算

1、正三角形 在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在RtBOD中进行：::1:3:2ODBDOB；

2、正四边形 同理，四边形的有关计算在RtOAE中进行，::1:1:2OEAEOA

3、正六边形 同理，六边形的有关计算在RtOAB中进行，::1:3:2ABOBOA

知识点二、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式

1、扇形：（1）弧长公式：180nRl；

（2）扇形面积公式： 213602nRSlR

n：圆心角 R：扇形多对应的圆的半径 l：扇形弧长 S：扇形面积

2、圆柱侧面展开图：

3、圆锥侧面展开图

第二部分 考点精讲精练

考点1、正多边形和圆的求解

例1、六边形的边长为10cm，那么它的边心距等于（ ）

A．10cm B．5cm C．cm D．cm

例2、已知正多边形的边心距与边长的比为21，则此正多边形为（ ）

A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正十二边形

例3、如图，在⊙O内，AB是内接正六边形的一边，AC是内接正十边形的一边，BC是内接正n边形的一边，那么n= ．

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2 / 16 例4、圆的内接正六边形边长为a，这个圆的周长为

．

例5、如图，已知边长为2cm的正六边形ABCDEF，点A1，B1，C1，D1，E1，F1分别为所在各边的中点，求图中阴影部分的总面积S．

1

正多边形与圆的有关的证明和计算知识讲解及典型例题解析

【考纲要求】

1．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；

2．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、正多边形和圆

1、正多边形的有关概念：

(1) 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.

(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.

(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.

(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径）

(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.

2、正多边形与圆的关系：

(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.

(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.

（3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.

（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.

3、正多边形性质：

(1)任何正多边形都有一个外接圆.

(2) 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 2

(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．

（4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.

要点诠释：

（1）正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n边形每个外角的度数是360n；所以正n边形的中心角等于它的外角.