【K12教育学习资料】2019年高考数学一轮复习课时分层训练23平面向量的概念及线性运算文北师大版
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教育是最好的老师，小学初中高中资料汇集
专注专业学习坚持不懈勇攀高峰1 课时分层训练(二十三) 平面向量的概念及线性运算
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．在△ABC中，已知M是BC中点，设CB→＝a，CA→＝b，则AM→＝( )
A．12a－b B．12a＋b
C．a－12b D．a＋12b
A [AM→＝AC→＋CM→＝－CA→＋12CB→＝－b＋12a，故选A．]
2．已知AB→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－2b，则下列一定共线的三点是( ) 【导学号：00090126】
A．A，B，C B．A，B，D
C．B，C，D D．A，C，D
B [因为AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3AB→，又AB→，AD→有公共点A，所以A，B，D三点共线．]
3．在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ等于( )
A．23 B．13
C．－13 D．－23
A [∵AD→＝2DB→，即CD→－CA→＝2(CB→－CD→)，
∴CD→＝13CA→＋23CB→，∴λ＝23.]
4．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是( )
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
C [a|a|＝b|b|⇔a＝|a|b|b|⇔a与b共线且同向⇔a＝λb且λ>0.B，D选项中a和b可能反向．A选项中λ<0，不符合λ>0.]
5．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且DC→＝2BD→，CE→＝2EA→，AF→＝2FB→，教育是最好的老师，小学初中高中资料汇集
专注专业学习坚持不懈勇攀高峰2 则AD→＋BE→＋CF→与BC→( ) 【导学号：00090127】
A．反向平行 B．同向平行
C．互相垂直 D．既不平行也不垂直
A [由题意得AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋13BC→，
BE→＝BA→＋AE→＝BA→＋13AC→，
CF→＝CB→＋BF→＝CB→＋13BA→，
因此AD→＋BE→＋CF→＝CB→＋13(BC→＋AC→－AB→)
＝CB→＋23BC→＝－13BC→，
故AD→＋BE→＋CF→与BC→反向平行．]
二、填空题
6．已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量OA→，OB→，OC→，OD→满足等式OA→＋OC→＝OB→＋OD→，则四边形ABCD的形状为________．
平行四边形 [由OA→＋OC→＝OB→＋OD→得OA→－OB→＝OD→－OC→，
所以BA→＝CD→，所以四边形ABCD为平行四边形．]
7．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若BC→＝5e1，DC→＝3e2，则OC→＝________.(用e1，e2表示)
52e1＋32e2 [在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点，所以OC→＝12AC→＝12(AB→＋AD→)＝12(DC→＋BC→)＝12(5e1＋3e2)．]
8．(2018·郑州模拟)在△ABC中，CM→＝3MB→，AM→＝xAB→＋yAC→，则xy＝________.
3 [由CM→＝3MB→得CM→＝34CB→，
所以AM→＝AC→＋CM→＝AC→＋34CB→＝AC→＋34(AB→－AC→)＝34AB→＋14AC→，
所以x＝34，y＝14，因此xy＝3.]
三、解答题
9．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设AB→＝a，AC→教育是最好的老师，小学初中高中资料汇集
专注专业学习坚持不懈勇攀高峰3 ＝b，试用a，b表示AD→，AG→.
图411
[解] AD→＝12(AB→＋AC→)＝12a＋12B．
AG→＝AB→＋BG→＝AB→＋23BE→＝AB→＋13(BA→＋BC→)
＝23AB→＋13(AC→－AB→)＝13AB→＋13AC→＝13a＋13B．
10．设两个非零向量e1和e2不共线．
(1)如果AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2，CD→＝－8e1－2e2，
求证：A，C，D三点共线；
(2)如果AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1－3e2，CD→＝2e1－ke2，且A，C，D三点共线，求k的值.
【导学号：00090128】
[解] (1)证明：∵AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2，CD→＝－8e1－2e2，
∴AC→＝AB→＋BC→＝4e1＋e2＝－12(－8e1－2e2)＝－12CD→，
∴AC→与CD→共线. 3分
又∵AC→与CD→有公共点C，∴A，C，D三点共线. 5分
(2)AC→＝AB→＋BC→＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2. 7分
∵A，C，D三点共线，
∴AC→与CD→共线，从而存在实数λ使得AC→＝λCD→， 9分
即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)，
得 3＝2λ，－2＝－λk，解得λ＝32，k＝43. 12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：OP→＝OA→＋λAB→|AB→|＋AC→|AC→|，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心 B．内心 教育是最好的老师，小学初中高中资料汇集
专注专业学习坚持不懈勇攀高峰4 C．重心 D．垂心
B [作∠BAC的平分线AD(图略)．
∵OP→＝OA→＋λAB→|AB→|＋AC→|AC→|，
∴AP→＝λAB→|AB→|＋AC→|AC→|
＝λ′·AD→|AD→|(λ′∈[0，＋∞))，
∴AP→＝λ′|AD→|·AD→，
∴AP→∥AD→.∴P的轨迹一定通过△ABC的内心．]
2．(2017·辽宁大连高三双基测试)如图412，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若AM→＝λAB→＋μBC→，则λ＋μ＝________.
图412
23 [因为AB＝2，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1.
因为点M为AH的中点，所以AM→＝12AH→＝12(AB→＋BH→)＝12AB→＋13BC→＝12AB→＋16BC→，又AM→＝λAB→＋μBC→，所以λ＝12，μ＝16，所以λ＋μ＝23.]
3．已知a，b不共线，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，OD→＝d，OE→＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由. 【导学号：00090129】
[解] 由题设知，CD→＝d－c＝2b－3a，CE→＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得CE→＝kCD→，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，
整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)B．
因为a，b不共线，所以有 t－3＋3k＝0，t－2k＝0， 教育是最好的老师，小学初中高中资料汇集
专注专业学习坚持不懈勇攀高峰5 解之得t＝65.故存在实数t＝65使C，D，E三点在一条直线上．
