专题5.5 三角恒等变换
（一）两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1．C
(α
－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；
C
(α
＋β)：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sin_αsinβ；
S
(α
＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；
S
(α
－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cosαsinβ；
T
(α
＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan
β；
T
(α
－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β
1＋tan αtan
β.
2．变形公式：
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；
.
sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ，
cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ，
3．辅助角公式：
函数f(α)＝acos α＋bsin α(a，b为常数)，可以化为f(α)
＝a2＋b2sin(α＋φ)或f(α)＝
a2＋b2cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．
（二）二倍角的正弦、余弦、正切公式
1.S
2α：sin 2α＝2sinαcosα；
C
2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
T
2α：tan 2α＝2tan α
1－tan2
α.
2.变形公式：
（1）降幂公式：cos2α＝1＋cos 2α
2，sin2α＝1－cos 2α
2，sin αcos α＝1
2sin 2α.
（2）升幂公式
1＋cos α＝2cos2α
2；
1－cos α＝2sin2α
2；
1＋sin α＝(
sin α
2＋cos α
2)
2
；
1－sin α＝(
sin α
2－cos α
2)
2
.)
4sin(2cossin
（3）配方变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2
1±sinα＝(
sinα
2±cosα
2)
2,1＋cosα＝2cos2α
1
两角和与差的三角函数
【知识要点】
1．两角差的余弦公式：sinsincoscos)cos(
两角和的余弦公式：sinsincoscos)cos(
2．两角差的正弦公式：sincoscossin)sin(
两角和的正弦公式：sin()sincoscossin
3．两角差的正切公式：tantan1tantan)tan(
两角和的正切公式：tantantan()1tantan
任意成立条件：2,2,2。
【典型例题】
例1．化简：
（1）sin)sin(cos)cos(
（2）67cos113sin23cos113cos
（3）75cot115tan1
（4）已知4，那么)tan1)(tan1(
例2．求值
（1）8sin15sin7cos8sin15cos7sin
2
（2）40tan20tan340tan20tan
例3．已知21coscos,31sinsin，求)cos(的值．
例4.（1）已知),,0(,且,71tan,21)tan(求2的值．
（2）已知1tan，)2sin(sin3，求)tan(的值．
例6．（1）已知13sin5cos9,13cos5sin15，求sin()的值
3
（2）若02且0sinsinsin，0coscoscos，求的值.
知识要点：
1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：
sinsincoscossinsin22sincos令
2222222coscoscossinsincos2cossin2cos112sintantan1+cos2tancos1tantan21cos2sin22tantan21tan令 ＝ ＝
2. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:
①巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()，2()()，2()()，22，222等）.
如（1）已知2tan()5，1tan()44，那么tan()4的值是_____（答：322）；（2）已知02，且129cos()，223sin()，
求 cos()的值（答：490729）；
（3）已知35sin()coscos()sin，那么2cos的值为___（答：725）；
②三角函数名互化(切割化弦)，
如求值sin50(13tan10)（答：1）；
③公式变形使用（tantantan1tantan。 如已知A、B为锐角，且满足tantantantan1ABAB，则cos()AB＝__ （答：22）；
高一数学 三角恒等变换的技巧
三角恒等变换以三角函数基本关系、诱导公式、两角和与差的三角函数公式，倍角公式、半角公式等三角公式为基础，常见策略是：(1)发现差异；(2)寻找联系；(3)合理转换．基础思想是根据试题特点，灵活运用三角公式，使用配凑角、切化弦、降次或升幂等技巧，达到解决问题的目的．三角函数公式众多，方法灵活多变，同学们若能熟练掌握三角函数变换的技巧和化简的方法，可达到事半功倍的效果．下面就三角函数恒等变换的部分方法予以简单介绍，供大家参考．
一、直接利用公式
【方法点拨】根据式子特征，直接用公式展开是三角函数化简常用的方法，基本思路是异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．化简的标准是三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．在化简时要注意角的取值范围． 二、公式的逆用
【方法点拨】直接运用两角和与差的正弦或余弦公式常能将某些三角函数式化简，但深入观察三角函数式的结构特征，有时能巧妙地逆用公式，不仅丰富了解题技巧，而且过程简捷，不易出错．
逆用公式的一些常见变形：
三、切化弦 【方法点拨】切化弦一般适用于不知切值或式子不能构成有关正、余弦函数的齐次分式．不能整体化切时，一般考虑切化弦，其目的是将正切、余切函数用正弦、余弦函数表示，这是一种常用的解题方法．当涉及多种三角函数时，常用此法减少函数的种类．这里除用化切为弦外，也常用到化异角函数为同角函数的技巧．
四、弦化切 五、用已知角表未知角
【方法点拨】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦公式的应用，转化过程中要特别注意符号的选取．
观察式子特征，若已知角与所求角之间存在和、差、倍角、互余、互补等关系，即可用已知角表未知角的方法来求解． 六、拆分角
七、配凑
【方法点拨】配凑法与方法五的基本思路一致，也是三角恒等变换中十分经典的一种方法．在解答时通过对目标式子中的角进行配凑，再利用三角公式和已知条件求得目标函数的值．在转换过程中同样要注意角的取值范围．
