七年级数学 校本教材

1 七年级上数学思维拓展训练

第一章 兴趣数学

七桥问题（一笔画问题）

18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。如图1所示：河中的小岛A与河的左岸B、右岸C各有两座桥相连结，河中两支流间的陆地D与A、B、C各有一座桥相连结。当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题。

七桥问题引起了著名数学家欧拉（1707—1783）的关注。他把具体七桥布局化归为图所示的简单图形，于是，七桥问题就变成一个一笔画问题：怎样才能从A、B、C、D中的某一点出发，一笔画出这个简单图形（即笔不离开纸，而且a、b、c、d、e、f、g各条线

只画一次不准重复），并且最后返回起点？

欧拉经过研究得出的结论是：图是不能一笔画出的图形。这就是说，七桥问题是无解的。这个结论是如何产生呢？

如果我们从某点出发，一笔画出了某个图形，到某一点终止，那么除起点和终点外，画笔每经过一个点一次，总有画进该点的一条线和画出该点的一条线，因此就有两条线与该点相连结。如果画笔经过一个n次，那么就有2n条线与该点相连结。因此，这个图形中除起点与终点外的各点，都与偶数条线相连。

如果起点和终点重合，那么这个点也与偶数条线相连；如果起点和终点是不同的两个点，那么这两个点部是与奇数条线相连的点。

综上所述，一笔画出的图形中的各点或者都是与偶数条线相连的点，或者其中只有两个点与奇数条线相连。

图2中的A点与5条线相连结，B、C、D各点各与3条线相连结，图中有4个与奇数条线相连的点，所以不论是否要求起点与终点重合，都不能一笔画出这个图形。

欧拉定理 ： 如果一个图是连通的并且奇顶点的个数等于0或2，

那么它可以一笔画出；否则它不可以一笔画出。

一笔画：

■⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。

■⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。

■⒊其他情况的图都不能一笔画出。(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。)

2

练习：你能笔尖不离纸，一笔画出下面的每个图形吗？试试看。（不走重复线路）

图例1

图例2

图例3

图例4

3 第二章 绝对值

知识回顾：

绝对值的意义

（1） 代数意义:一个正数的绝对只是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.

（2） 几何意义：一个数的绝对值是表示这个数的点在数轴上离开原点的距离。

1、绝对值的常用性质：

⑴非负性：任何一个数的绝对值都是非负数，即|a|≥0.

⑵双解性：绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数（0除外），即若|x|＝a﹙a＞0﹚则x＝±a.

⑶|－a|＝|a| ⑷|a|≥a ⑸(|a|)²＝|a²|﹦a²

⑹|ab|﹦|a|•|b| ⑺|baba﹙b≠0﹚

解题技巧： 解答绝对值问题，常用的思维方法有：

1、分类讨论思想：去掉含字母的绝对值时，需要对字母取值加以讨论。

2、数形结合思想：绝对值问题通常会和数轴联系在一起。

3、 零点分段法：多个绝对值化简时常用。

☆教学过程：

【基础知识检测：】

1、有理数的绝对值一定是 （ ）A、正数 B、整数 C、正数或零 D、自然数

2、绝对值等于它本身的数有 （ ） A、0个 B、1个 C、2个 D、无数个

3、3等于 （ ） A、3 B、－3 C、31 D、31

4、若a与2互为相反数，则|a＋2|等于( )

A、0 B、－2 C、2 D、4

5、|x|=2,则这个数是（ ）

A.2 B.2和－2 C.－2 D.以上都错

6、| a|=－ a，则a一定是（ ）

7、A.负数 B.正数 C.非正数 D.非负数

7、一个数在数轴上对应点到原点的距离为m，则这个数为（ ）

A.－m B.m C.±m D.2m

8、如果一个数的绝对值等于这个数的相反数，那么这个数是（ ）

A.正数 B.负数 C.正数、零 D.负数、零

9、-4的的相反数是___,-4的倒数是___,-4的绝对值是___,-4倒数的相反数是___,-4倒数的绝对值是___,-4倒数的相反数的绝对值是___

10、当0a时，a＝_________，当0a时，a＝_________，、如果3a，则3a＝__________，3a＝___________.

【典例解析：】

★ 一.求未知数 4 例1：若5a，则a 。若0a，则a

思考提示：根据绝对值定义：数轴到原点距离是5和0的点有几个？是多少？

变式1:若9x，则x ；

若2.8x，则x ；

若2x，则x ；

变式2：25x若，则x

若213.5x，则x 。

★ 二.非负数的性质应用

例2：若320ab，则ab 。思考提示：两个最小是0的数加在一起等于0说明什么呢？

变式：1：非负数类型玩花样：若2120ab，则2009ab 。

变式：2：变量个数不断增加：若3150xyz，则xyz 。

总结：若干非负数之和为0， 。

★ 三.数轴上两点间的距离公式：若数轴上两点,AB所表示的数为,ab，则,AB两点间的距离为ab

例3．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2，3与5，2与6，4与3.

并回答下列各题：

（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___ .

（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离

可以表示为 ________________.

（3）结合数轴求得23xx的最小值为 ，取得最小值时x的取值范围为 ___.

（4） 满足341xx的x的取值范围为 ______ .

（5）若1232008xxxx的值为常数，试求x的取值范围．

★ 四.绝对值的最值问题 5 例4.（1）当x取何值时，3x有最小值？这个最小值是多少？（2）当x取何值时，25x有最大值？这个最大值是多少？（3）求54xx的最小值。（4）求987xxx的最小值。

（2）当b为______时，5-12b有最大值，最大值是_______

当a为_____时，1＋|a +3 |有最小值是_________.

（3） 已知1,1yx，设421xyyyxM，求M 的最大值与最小值．

（4） 利用数轴分析23xx，可以看出，这个式子表示的是x到2的距离与x到3的距离之和，它表示两条线段相加：⑴当x 时，发现，这两条线段的和随x的增大而越来越大；⑵当x 时，发现，这两条线段的和随x的减小而越来越大；⑶当 x 时，发现，无论x在这个范围取何值，这两条线段的和是一个定值

，且比⑴、⑵情况下的值都小。因此，总结，23xx有最小值 ，即等于 到 的距离

（5） 利用数轴分析71xx，这个式子表示的是x到7的距离与x到1的距离之差它表示两条线段相减：⑴当x 时，发现，无论x取何值，这个差值是一个定值 ；⑵当x 时，发现，无论x取何值，这个差值是一个定值 ；

⑶当 x 时，随着x增大，这个差值渐渐由负变正，在中点处是零。

因此，总结，式子71xx当x 时，有最大值 ；当x

时，有最小值 ；

★ 五.含未知数的绝对值的化简（学习去绝对值符号法则）

例5：阅读下列材料并解决有关问题：

我们知道0000xxxxxx，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式21xx时，可令01x和02x，分别求得2,1xx（称2,1分别为1x与2x的零点值）。在有理数范围内，零点值1x和2x可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：

（1）当1x时，原式=1221xxx;

（2）当21x时，原式=321xx； 6 （3）当2x时，原式=1221xxx。

综上讨论，原式=221112312xxxxx

通过以上阅读，请你解决以下问题：

（1） 先分别求出2x和4x的零点值，再化简42xx

（2） 已知23xx的最小值是a，23xx的最大值为b，求ba的值。

（3） 如果2x＋| 4－5x|＋ |1－3x |＋4恒为常数，求x的取值范围。

【课后练习】

1、若4x，则x＝__________；若30x，则x＝__________；若31x，则x＝__________.

2、若|m－1|=m－1,则m_______1;若|m－1|>m－1,则m_______1;

3．若实数x、y满足2002(x一1)2 1122013yx，则22yx ．

4. 若1ba与2)1(ba互为相反数，则a与b的大小关系是( )．

A．ba B．ba C．ba D．ba

5.若|1|ab与2(1)ab互为相反数，求321ab的值。

6.先求零点值，再化简｜3x+1｜+｜2x-1｜．