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第1部分 重点强化专题 专题5 突破点12 圆锥曲线的定义、方程、几何性质 Word版含答案

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突破点12

圆锥曲线的定义、方程、几何性质

(对应学生用书第44页)

[核心知识提炼]

提炼1圆锥曲线的定义

(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)．

(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a＜|F1F2|)．

(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M(l为抛物线的准线).

提炼2 圆锥曲线的重要性质

(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系

①在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为e＝ca＝1－b2a2；

②在双曲线中：c2＝a2＋b2；离心率为e＝ca＝1＋b2a2.

(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标

①双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±bax；焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)；

②双曲线y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±abx，焦点坐标F1(0，－c)，F2(0，c)．

(3)抛物线的焦点坐标与准线方程

①抛物线y2＝±2px(p＞0)的焦点坐标为±p2，0，准线方程为x＝∓p2；

②抛物线x2＝±2py(p＞0)的焦点坐标为0，±p2，准线方程为y＝∓p2.

提炼3弦长问题

(1)直线与圆锥曲线相交时的弦长

斜率为k的直线与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2或|AB|＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2y1＋y22－4y1y2.

(2)抛物线焦点弦的几个常用结论

设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①x1x2＝p24，y1y2＝－p2；②弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)；③1|FA|＋1|FB|＝2p；④以弦AB为直径的圆与准线相切．

[高考真题回访]

回访1 椭圆及其性质

1．(2017·浙江高考)椭圆x29＋y24＝1的离心率是( )

A.133 B.53

C.23 D.59

B [∵椭圆方程为x29＋y24＝1，

∴a＝3，c＝a2－b2＝9－4＝5.

∴e＝ca＝53.

故选B.]

2．(2016·浙江高考)已知椭圆C1：x2m2＋y2＝1(m>1)与双曲线C2：x2n2－y2＝1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则( )

A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<1

C．m1 D．m

A [C1的焦点为(±m2－1，0)，C2的焦点为

(±n2＋1，0)，

∵C1与C2的焦点重合，

∴m2－1＝n2＋1，∴m2＝n2＋2，∴m2>n2.

∵m>1，n>0，∴m>n.

∵C1的离心率e1＝m2－1m，C2的离心率e2＝n2＋1n，

∴e1e2＝m2－1m·n2＋1n

＝m2－n2＋mn＝m2－n2＋m2n2

＝n2＋2n2＋n2＝n4＋2n2＋1n4＋2n2>1＝1.]

3．(2015·浙江高考)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y＝bcx的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________． 22 [设椭圆的另一个焦点为F1(－c,0)，如图，连接QF1，QF，设QF与直线y＝bcx交于点M.

由题意知M为线段QF的中点，且OM⊥FQ.

又O为线段F1F的中点，

∴F1Q∥OM，

∴F1Q⊥QF，|F1Q|＝2|OM|.

在Rt△MOF中，tan∠MOF＝|MF||OM|＝bc，|OF|＝c，

可解得|OM|＝c2a，|MF|＝bca，

故|QF|＝2|MF|＝2bca，|QF1|＝2|OM|＝2c2a.

由椭圆的定义得|QF|＋|QF1|＝2bca＋2c2a＝2a，

整理得b＝c，∴a＝b2＋c2＝2c，

故e＝ca＝22.]

4．(2014·浙江高考)如图12­1，设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．

图12­1

(1)已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；

(2)若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a－b.

[解] (1)设直线l的方程为y＝kx＋m(k<0)，由 y＝kx＋m，x2a2＋y2b2＝1，消去y，得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0. 2分 由于l与椭圆C只有一个公共点，故Δ＝0，即b2－m2＋a2k2＝0，解得点P的坐标为－a2kmb2＋a2k2，b2mb2＋a2k2. 4分

又点P在第一象限，

故点P的坐标为－a2kb2＋a2k2，b2b2＋a2k2. 6分

(2)证明：由于直线l1过原点O且与l垂直，故直线l1的方程为x＋ky＝0，所以点P到直线l1的距离

d＝－a2kb2＋a2k2＋b2kb2＋a2k21＋k2， 8分

整理，得d＝a2－b2b2＋a2＋a2k2＋b2k2. 10分

因为a2k2＋b2k2≥2ab，

所以a2－b2b2＋a2＋a2k2＋b2k2≤a2－b2b2＋a2＋2ab＝a－b， 12分

当且仅当k2＝ba时等号成立．

所以，点P到直线l1的距离的最大值为a－b. 15分

回访2 双曲线及其性质

5．(2016·浙江高考)设双曲线x2－y23＝1的左、右焦点分别为F1，F2.若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．

(27，8) [∵双曲线x2－y23＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，∴|F1F2|＝4，||PF1|－|PF2||＝2.若△F1PF2为锐角三角形，则由余弦定理知|PF1|2＋|PF2|2－16>0，可化为(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|>16①.由||PF1|－|PF2||＝2，得(|PF1|＋|PF2|)2－4|PF1||PF2|＝4.故2|PF1||PF2|＝PF1|＋|PF22－42，代入不等式①可得(|PF1|＋|PF2|)2>28，解得|PF1|＋|PF2|>27.不妨设P在左支上，∵|PF1|2＋16－|PF2|2>0，即(|PF1|＋|PF2|)·(|PF1|－|PF2|)>－16，又|PF1|－|PF2|＝－2，

∴|PF1|＋|PF2|<8.故27<|PF1|＋|PF2|<8.]

6．(2015·浙江高考)双曲线x22－y2＝1的焦距是________，渐近线方程是________． 23 y＝±22x [由双曲线标准方程，知双曲线焦点在x轴上，且a2＝2，b2＝1，∴c2＝a2＋b2＝3，即c＝3，∴焦距2c＝23，渐近线方程为y＝±bax，即y＝±22x.]

7．(2014·浙江高考)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m,0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．

52 [双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±bax.

由 y＝bax，x－3y＋m＝0，得Aam3b－a，bm3b－a，

由 y＝－bax，x－3y＋m＝0，得B－ama＋3b，bma＋3b，

所以AB的中点C坐标为a2m9b2－a2，3b2m9b2－a2.

设直线l：x－3y＋m＝0(m≠0)，

因为|PA|＝|PB|，所以PC⊥l，

所以kPC＝－3，化简得a2＝4b2.

在双曲线中，c2＝a2＋b2＝5b2，所以e＝ca＝52.]

回访3 抛物线及其性质

8．(2015·浙江高考)如图12­2，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是( )

图12­2

A.|BF|－1|AF|－1 B.|BF|2－1|AF|2－1

C.|BF|＋1|AF|＋1 D.|BF|2＋1|AF|2＋1 A [由图形可知，△BCF与△ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，易知△BCF与△ACF的面积之比就等于|BC||AC|.由抛物线方程知焦点F(1,0)，作准线l，则l的方程为x＝－1.∵点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y轴分别交于点N，M.由抛物线定义，得|BM|＝|BF|－1，|AN|＝|AF|－1.在△CAN中，BM∥AN，∴|BC||AC|＝|BM||AN|＝|BF|－1|AF|－1.]

9．(2016·浙江高考)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M点到y轴的距离是________．

9 [设点M的横坐标为x，则点M到准线x＝－1的距离为x＋1，由抛物线的定义知x＋1＝10，∴x＝9，

∴点M到y轴的距离为9.]

10．(2016·浙江高考)如图12­3，设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1.

(1)求p的值；

(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．

[解] (1)由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x＝－1的距离，

由抛物线的定义得p2＝1，即p＝2. 4分

(2)由(1)得，抛物线方程为y2＝4x，F(1,0)，可设A(t2,2t)，t≠0，t≠±1.

因为AF不垂直于y轴，可设直线AF：x＝sy＋1(s≠0)，

由 y2＝4x，x＝sy＋1消去x得y2－4sy－4＝0， 6分

故y1y2＝－4，所以B1t2，－2t. 7分

又直线AB的斜率为2tt2－1，故直线FN的斜率为－t2－12t，从而得直线FN：y＝－t2－12t(x－1)，直线BN：y＝－2t，所以Nt2＋3t2－1，－2t. 8分

设M(m,0)，由A，M，N三点共线得2tt2－m＝2t＋2tt2－t2＋3t2－1，

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圆锥曲线基础知识梳理

圆锥曲线基础知识梳理

高考学习网－中国最大高考学习网站 | 我们负责传递知识！ 圆锥曲线

知识要点梳理

知识点一：圆锥曲线的统一定义

椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线。

平面内，到一定点的距离与它到一条定直线（不经过定点）的距离之比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线。定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率。

①e∈（0，1）时轨迹是椭圆；

②e=1时轨迹是抛物线；

③e∈（1，+∞）时轨迹是双曲线。

知识点二：圆锥曲线的标准方程和几何性质

1．椭圆：

(1)定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫焦点．

(2)标准方程

当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；

当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；

(3)椭圆的的简单几何性质:

范围：，，

焦点，顶点、，长轴长=，短轴长=，焦距＝，

2．双曲线

(1)定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫双曲线的焦点．

(2)标准方程

当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；

当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.

(3)双曲线的简单几何性质 高考学习网－中国最大高考学习网站 | 我们负责传递知识！ 范围：，；

焦点，顶点，实轴长=，虚轴长=，焦距＝；

离心率是，准线方程是；

渐近线：.

3．抛物线

(1)定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．

(2)标准方程

四种形式：，，，。

(3)抛物线标准方程的几何性质

范围：，，

对称性：关于x轴对称

顶点：坐标原点

离心率：.

知识点三：直线和圆锥曲线的位置关系

圆锥曲线知识点总结

圆锥曲线知识点总结

圆锥曲线知识点总结

第一篇：圆锥曲线基础知识

圆锥曲线是一类重要的几何图形，它由一固定点（焦点）和一条直线（直母线）确定。圆锥曲线包括椭圆、双曲线、抛物线和圆。

1. 椭圆

椭圆是所有圆锥曲线中最简单的一种。当一个圆锥截面与其直母线平行时，得到的图形就是一个椭圆。椭圆具有如下性质：

(1) 椭圆中心：椭圆的中心是其两个焦点的中垂线的交点。

(2) 焦点：椭圆上有两个焦点，它们在椭圆的长轴上，且到椭圆中心的距离相等。

(3) 长轴和短轴：椭圆上的两个焦点和中心共线，中心到焦点的距离称为焦距，长轴是椭圆上离焦点最远的两个点之间的距离，短轴是椭圆上离焦点最近的两个点之间的距离，长轴和短轴的长度之间的比值称为离心率。

(4) 方程：椭圆的标准方程为(x/a)^2+(y/b)^2=1, 其中a和b分别为长轴和短轴的一半。

(5) 旋转：如果椭圆不是以坐标轴为轴旋转的，则称其为斜椭圆，斜椭圆可以通过平移和旋转把它转变为标准方程的椭圆。

2. 双曲线

双曲线是圆锥曲线中另一个重要的图形，当一个圆锥截面与其直母线的夹角小于圆锥的母线夹角时，得到的图形就是双曲线。双曲线具有如下性质：

(1) 中心：双曲线的中心是对称轴与渐近线的交点。

(2) 焦点：双曲线有两个焦点，它们位于对称轴上，且到中心的距离相等。

(3) 渐近线：一条直线是双曲线的渐近线，当直线与双曲线的距离接近于零时，该直线就称为双曲线的渐近线。

(4) 方程：双曲线的标准方程为(x/a)^2-(y/b)^2=1，其中a和b分别为双曲线上的两个焦点之间的距离的一半和中心到直线y=0的距离。

(5) 分类：双曲线可以分为右开口和左开口的两种，短轴在x轴的正半轴上的为右开口，反之为左开口。

3. 抛物线

抛物线是圆锥曲线中另一种重要的图形，当一个圆锥截面与其直母线垂直时，得到的图形就是抛物线。抛物线具有如下性质：

(1) 焦点和直线：抛物线有一个焦点F和一条直线L，直线L称为准线。对于抛物线上的任意一点P，它到焦点F的距离等于它到准线L的距离。

圆锥曲线的分类及基本方程

圆锥曲线的分类及基本方程

圆锥曲线的分类及基本方程

圆锥曲线是解析几何中最为重要的一类曲线，不仅在数学领域有广泛应用，在物理、化学、工程等多个领域中也有着重要的作用。本文将围绕圆锥曲线的分类及基本方程展开讨论。

一、圆锥曲线的定义

圆锥曲线是指由一个固定点F（焦点）和一个固定直线L（直角母线）所确定的点P（动点）的轨迹。如果点P在直线L同侧与焦点F的距离大于点P到直线L的距离，则称此为椭圆；如果点P在直线L同侧与焦点F的距离等于点P到直线L的距离，则称此为双曲线；如果点P在直线L的另一侧，且距离相等，则称此为圆。

二、圆锥曲线的分类

根据圆锥曲线的定义，可以将它们分为三类：椭圆、双曲线和圆。下面分别进行讲解。

1. 椭圆

椭圆是指在平面直角坐标系中，到空间内两个定点F1、F2距离之和为定值2a、固定数e小于1的点P所形成的轨迹。其中，a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴，c为椭圆的焦距，e为椭圆的离心率，有以下基本方程：

(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1

其中，如果椭圆的中心在坐标系原点上，则方程为：

x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1

2. 双曲线

双曲线是指在平面直角坐标系中，到空间内两个定点F1、F2距离之差为定值2a、固定数e大于1的点P所形成的轨迹。其中，a为双曲线的半轴，b为双曲线的次轴，c为双曲线的焦距，e为双曲线的离心率，有以下基本方程：

(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1

其中，如果双曲线的中心在坐标系原点上，则方程为：

x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1

3. 圆

圆是指在平面直角坐标系中离空间内一个固定点O距离相等的点P所组成的轨迹，该固定点称为圆心，离圆心最远的点称为圆的周围。圆的方程为：

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

其中，（a，b）为圆心坐标，r为圆的半径。

三、圆锥曲线的性质

1. 椭圆的离心率小于1，且对称轴平行于 y 轴，故对称于 x 轴的部分也是椭圆。

数学圆锥曲线知识点

数学圆锥曲线知识点

数学圆锥曲线知识点

数学圆锥曲线是数学中的重要分支，也是历史悠久的数学类型之一。具有很多特殊性质和应用。本文将深入探讨数学圆锥曲线的各个知识点。

一、圆锥曲线的定义

数学圆锥曲线是指由平面上的一段任意长度的虚线与平面内心点固定的某一时间点所构成的平面几何图形，常见圆、椭圆、双曲线和抛物线四种。

二、圆锥曲线的分类

1、圆

圆是圆锥曲线的基础，是用一个固定的点和轨迹上的任意一点的距离相等的所有点的集合。其方程式可表示为：

（x-a）² +（y-b）² = r²

其中（a，b）为圆心的坐标， r 为圆半径。

2、椭圆

椭圆是另一种比较常见的圆锥曲线。椭圆的形状是一个类似于卵形的曲线，其方程式可表示为：

(x/a)² + (y/b)² = 1

其中 a 和 b 分别为椭圆在 x 和 y 方向上的半轴长度。 3、双曲线

双曲线是由两支曲线组成，其方程式可表示为：

(x/a)² - (y/b)² = 1

其中 a 和 b 的长度不同，双曲线的两支分别在 a 和 -a

点处相切。

4、抛物线

抛物线是圆锥曲线中的一种特殊曲线，其形状类似于一个倒置的杯子。其方程式为：

y = ax² + bx + c

其中 a、b、c 为常数。

三、圆锥曲线的性质

1、对称性

圆锥曲线具有很多对称性。其中，关于坐标轴的对称性和对称中心的性质是最常见的。例如，椭圆和双曲线在横轴和纵轴对称；抛物线在纵轴对称。

2、焦点和准线

圆锥曲线的焦点和准线是一些重要性质的基础之一。对于椭圆和双曲线，其焦点是指使得该曲线上所有点到其虚轴和实轴的距离之和为定值的一对点。而对于抛物线，其焦点在无限远处；准线则是代表方程式中的对称轴。

3、离心率 离心率是指圆锥曲线上每个点的距离到其焦点和准线的距离比。对于椭圆，其离心率小于1；对于双曲线，其离心率大于1；而抛物线则恰好为1。

4、直径

圆锥曲线的直径是指其上的最长线段，连接其上两个点，并穿过其中心点。对于圆，直径的长度等于其半径的两倍；而对于椭圆和双曲线，则取决于其所旋转的圆锥的状态。