高中数学专题七、函数的奇偶性

高中数学专题7 函数的奇偶性

(一)函数奇偶性的概念

1、奇函数：①代数理解：)()(xfxf(或0)()(xfxf)

②几何理解：图像关于原点成中心对称图形；

③常见奇函数：12nxy，xysin，xytan，xbaxy等

2、偶函数：①代数理解：)()(xfxf(或0)()(xfxf)

②几何理解：图像关于y轴成轴对称图形

③常见偶函数：xyxyncos,2，Cy等

注意：奇偶函数的定义域必须关于原点对称（原点的左右两侧一模一样），否则非奇非偶函数。

(二)函数奇偶性的证明

步骤：1、求定义域：必须关于原点对称；否则非奇非偶；

2、验证)(xf与的关系：奇函数偶函数)()()()(xfxfxfxf

例1、判断函数24sin)(xxxf的奇偶性。

练习1.指出下列函数的奇偶性。

（1）2()[1,2]fxxx （2）32()1xxfxx

（3）1()fxxx （4）21()fxx

思考：区分函数单调性和奇偶性的证明

例2、判断函数3)(xxf的单调性和奇偶性，并分别用定义证明。

(三)判断函数奇偶性的方法

1、定义法：奇函数偶函数)()()()(xfxfxfxf

2、图像法：奇函数关于原点对称偶函数轴对称关于y

3、形象法：奇奇→奇，偶偶→偶，奇奇→偶，偶偶→偶，奇偶→奇；

4、常见奇函数：12nxy，xysin，xytan，xbaxy等 5、常见偶函数：xyxyncos,2，Cy等

例3、判断下列函数的奇偶性

(1)xxxxf11)1()(；

22)1lg()()2(22xxxf；

1,2101,2)()3(xxxxxxf

(4)xxxf2tan2log)(23

(四)函数奇偶性的性质及应用-----------所有性质，题目均须画图分析

1、若)(xfy为奇函数，则)()(xfxf(或0)()(xfxf)；

若)(xfy为偶函数，则)()(xfxf(或0)()(xfxf)；

2、若)(xfy为奇函数，则)(xfy图像关于原点成中心对称图形；；

若)(xfy为偶函数，则)(xfy图像关于y轴成轴对称图形；

3、若)(xfy为奇函数，则)(xfy在对称区间上单调性相同；

若)(xfy为偶函数，则)(xfy在对称区间上单调性相反；

4、若)(xfy为奇函数，且其的定义域为R，则有0)0(f。

5、若)(xfy为偶函数，则)()(xfxf。

应用1：利用奇偶性求解析式

例4、已知)(xf为偶函数，且0x时，)1(log)(2xxf，求)(xf在R上的解析式。

练习4、已知)(xf为奇函数，且0x时，xxxf2)(2，求

(1))(xf在R上的解析式，并画出该函数图像。

(2)求不等式0)(xf的解集。

规律总结：所有题目均须“画草图分析”。

应用2：利用函数奇偶性解不等式

例5.(1)已知偶函数)(xfy在R上为单调增函数，且)31()12(fxf，求x的取值范围。

(2)已知奇函数)(xfy在)1,0[上为减函数，且)12()1(afaf，求a的取值范围。

专题练习七 函数的奇偶性

1.已知2()3fxaxbxab是偶函数，定义域为[1,2]aa.则a ，b

2.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是

A. Rxxy,3 B. Rxxy,sin C. Rxxy, D. Rxxy,)21(

3.函数()yfx是R上的偶函数，且在(,0]上是增函数，若()(2)faf,则实数a的取值范围是 （ ）

A.2a B.2a C.22a D.2a或2a

4.设函数(1)()()xxafxx为奇函数，则a ．

5.已知函数()yfx为奇函数，若(3)(2)1ff，则(2)(3)ff ．

6.下列函数为偶函数的是 （ ）

A．y=3x B．y=x C．y=312x D．y=x3

7.已知定义域为(－1，1)的奇函数y=f(x)又是减函数，且f(a－3)+f(9－a2则a的取值范围是( )

A.(22，3) B.(3，10) C.(22，4) D.(－2，3)

8.若f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f(－3)=0,则xf(x)<0的解集为_________.

9．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)

( )

A.13，23 B.13，23

C.12，23 D.12，23

10.定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有f(x2)－f(x1)x2－x1<0，则( )

A．f(3)

11．(2010·温州一模)设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0，5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，

则使函数值y<0的x的取值集合为________．

12. 函数()yfx是R上的偶函数，且在(,0]上是增函数，若()(2)faf,则实数a的取值范围是 （ ）

A.2a B.2a C.22a D.2a或2a

13.函数1()fxxx的图像关于（ ）

A．y轴对称 B． 直线xy对称 C． 坐标原点对称 D． 直线xy对称

14.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0,+∞)时，f(x)＝lg x，则满足f(x)＞0的x的取值范围是

函数奇偶性的高考题

1.(2012陕西理)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 （ ）

A．1yx B．2yx C．1yx D．||yxx

2.(2012山东理)定义在R上的函数()fx满足(6)()fxfx.当31x时,2()(2)fxx,当13x

时,()fxx.则(1)(2)(3)(2012)ffff （ ）

A． 335 B．338 C．1678 D．2012

3.(2012广东文)下列函数为偶函数的是

A. sinyx B. 3yx C. xye D. 2ln1yx

4.(2012浙江文)设函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x＋1，则3f2（）=___________。

5.(2012上海文)已知()yfx是奇函数，若()()2gxfx且(1)1g，则(1)g

6.（2010山东文）设()fx为定义在R上的奇函数，当0x时，()22xfxxb（b为常数），则(1)f

（A）-3 （B）-1 （C）1 (D)3

7.（2010广东文）若函数xxxf33)(与xxxg33)(的定义域均为R，则

A. )(xf与)(xg与均为偶函数 B.)(xf为奇函数，)(xg为偶函数

C. )(xf与)(xg与均为奇函数 D.)(xf为偶函数，)(xg为奇函数

8.(2012辽宁)若函数))(12()(axxxxf为奇函数，则a=

A．21 B．32 C．43 D．

9.（2012安徽）设()fx是定义在R上的奇函数，当x≤0时，()fx=22xx，则(1)f .

10.（2012广东）设函数3()cos1fxxx,若()11fa,则)(af=_______

11.(2009山东文)已知定义在R上的奇函数)(xf，满足(4)()fxfx,且在区间[0,2]上是增函数,则( ).

A.(25)(11)(80)fff B. (80)(11)(25)fff

C. (11)(80)(25)fff D. (25)(80)(11)fff

12.(2009重庆理）若1()21xfxa是奇函数，则a ．

参考答案： 1.D；2. ；3.D；4.3；5.23；6.A；7.D；8.A；9.-3；10.-9；11.D；12.21；