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2016-2017学年广西南宁市马山县金伦中学高二下学期期末考试数学(理)试题(解析版)

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2016-2017学年广西南宁市马山县金伦中学高二下学期期末考试数学（理）试题一、选择题1．{|11}P x x =-<<， {|02}Q x x =<<，则P Q ⋃= ( ) A. ()1,2- B. ()0,1 C. ()1,0- D. ()1,2【答案】A【解析】集合P ={x |−1<x <1},Q ={x |0<x <2}，那么P ∪Q ={x |−1<x <2}=(−1,2). 本题选择A 选项. 2．复数3ii-在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B【解析】试题分析：()()()223131333331010i i i i i i i i i +-+===-+--+-，所以此复数在复平面内对应的点为13,1010⎛⎫-⎪⎝⎭，位于第二象限．故B 正确． 【考点】1复数的运算；2复数与复平面内的点一一对应．3．已知向量()()1,,3,2a m b ==-，且()a b b +⊥ ，则m =A. 8-B. 6-C. 6D. 8 【答案】D【解析】试题分析： ()4,2a b m +=-,()()0a b b a b b +⊥⇔+⋅= ，即()()43220m ⨯+-⨯-=，解之得8m =，故选D.【考点】1.向量的坐标运算；2.向量垂直与向量的数量积. 4．要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin4y x =的图象（ ） A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移12π个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3π个单位【答案】B【解析】因为函数sin 4sin 4312y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，要得到函数43y sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数4y sin x =的图象向右平移12π个单位。

本题选择B选项.点睛：三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的ω倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同．5．设,x y满足约束条件2+330,{2330,30,x yx yy-≤-+≥+≥则2z x y=+的最小值是A. 15- B. 9- C. 1 D. 9【答案】A【解析】x、y满足约束条件2+330{233030x yx yy-≤-+≥+≥的可行域如图：z=2x+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值，由3{2330yx y=--+=解得A(−6,−3)，则z=2x+y的最小值是：−15.故选：A.点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.6．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（）A. 0B. 2C. 4D. 14【答案】B【解析】由于更相减损术是求最大公约数的，所以14,18的最大公约数是2.7．函数331x x y =-的图象大致是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】331x x y =-的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)排除A ，当x >0时, 30,310x x >->，故y >0， 当x <0时, 30,310x x <-<，故y >0，排除B ，当x 趋向于无穷大时,x 3增长速度不如3x −1增长的快，故所对应的y 的值趋向于0，排除D .只有C 符合， 本题选择C 选项.8．设曲线()ln 1y ax x =-+在点()0,0处的切线方程为2y x =，则a 等于（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D【解析】D 试题分析：根据导数的几何意义，即f′（x 0）表示曲线f （x ）在x=x 0处的切线斜率，再代入计算．解：， ∴y′（0）=a ﹣1=2， ∴a=3．故答案选D ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．9．在空间给出下面四个命题（其中,m n 为不同的两条直线， ,αβ为不同的两个平面）： ①,//m n m n αα⊥⇒⊥； ②//,////m n n m αα⇒； ③//,,//m n n m βααβ⊥⇒⊥；④,//,//,//,////m n A m m n n αβαβαβ⋂=⇒.其中正确的命题个数有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 【答案】C【解析】试题分析：①n // α时在α内存在直线l // n ， m ⊥ α，所以m l ⊥,所以m n ⊥.故①正确.②当m // n ， n // α时m // α或m α⊂,故②不正确. ③m //α时在α内存在直线l // m ,因为m // n 所以l // n ,因为n β⊥，所以l β⊥,因为l α⊂,所以αβ⊥. 故③正确.④m n A ⋂=, ,m n 确定的平面为γ因为m // α, n // α, m n A ⋂=,,所以α// γ.同理γ// β,所以α// β.故④正确.综上可得正确的是①③④共3个,故C 正确.【考点】1线面平行、面面平行;2线面垂直、面面垂直;3线面位置关系. 10．若3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin2α=（ ） A.725 B. 15 C. 15- D. 725- 【答案】D 【解析】3cos 45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭ ， 297sin2cos 2cos22cos 1212442525πππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-=--=⨯-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 本题选择D 选项.11．下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. 20πB. 24πC. 28πD. 32π 【答案】C【解析】试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和。

，，所以几何体的表面积为。

【考点】三视图与表面积。

12．已知1F ， 2F 分别是椭圆的左、右焦点，现以2F 为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ， N ，若过1F 的直线1MF 是圆2F 的切线，则椭圆的离心率为（ ）A.1 B.2 C.2 D. 2【答案】A【解析】试题分析：由题意12F M F M ⊥， 2MF c =，则12MF a c =-，所以()()22222c a c c +-=，解得1ce a==．故选A ． 【考点】椭圆的几何性质．二、填空题13．()10x a +的展开式中， 7x 的系数为15，则a=________.(用数字填写答案) 【答案】12【解析】因为10110r r r r T C x a -+=，所以令107r -=，解得3r =，所以373410T C x a ==157x ，解得12a =. 【考点】本小题主要考查二项式定理的通项公式，求特定项的系数，题目难度不大，属于中低档.14．在ABC ∆中， 0120B =， AB =， A 的角平分线AD =，则AC =________.【解析】试题分析：由正弦定理可得s i n s i n A DA BB A D B=∠，所以sin sin2AB B ADB AD ∠===．在A D B ∆中45ADB ∠=︒，所以180120451BAD ∠=︒-︒-︒=︒，所以在ABC ∆中30A =︒．又因为120B =︒，所以30A C ==︒．所以AB BC =，所以2222cos AC AB BC AC BC B =+-⋅⋅＝122262⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，所以AC =．【考点】正余弦定理． 【技巧点睛】（1）在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围．15．若函数()(lnf x x x=为偶函数，则a=．【答案】1【解析】试题分析：由函数()(lnf x x x=+为偶函数⇒函数()(lng x x=为奇函数，()0ln01g a a==⇒=．【考点】函数的奇偶性．【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型．首先利用转化思想，将函数()(lnf x x x=为偶函数转化为函数()(lng x x=为奇函数，然后再利用特殊与一般思想，取()0ln01g a a==⇒=．16．已知直线l：30mx y m++=与圆2212x y+=交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与y轴交于C，D两点，若AB=CD=__________．【答案】4【解析】试题分析：因为AB=，且圆的半径为，所以圆心()0,0到直线30mx y m++=的距离为3=，则由3=，解得m=，代入直线l的方程，得y x=+l的倾斜角为30︒，由平面几何知识知在梯形ABDC中，4cos30ABCD==︒．【考点】直线与圆的位置关系．三、解答题17．nS为数列{}n a的前n项和.已知20,243n n n na a a S>+=+.（1）求{}n a的通项公式；（2）设11nn nba a+=，求数列{}n b的前n项和.【答案】（1）21na n=+；（2）()323nn+.【解析】试题分析：(1)由题意整理数列的递推公式可得{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为21n a n =+.(2)对数列的通项公式裂项求和可得数列{}n b 的前n 项和是()323nn +.试题解析： （1）由2243n n n a a S +=+，可知2111243n n n a a S ++++=+，可得()2211124n n n n n a a a a a +++-+-=，即()()()2211112n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-，由于0n a >，可得12n n a a +-=，又2111243a a a +=+，解得11a =-（舍去），13a =，所以{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为21n a n =+. （2）由21n a n =+可知()()111111212322123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭，设数列{}n b 的前n项和为nT ，则()121111111235572123323n n n T b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ . 点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．18．设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ， T 只与道路畅通状况有关，对其100（1）求T 的分布列与数学期望ET ；（2）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率． 【答案】（Ⅰ）分布列见解析， 32；（Ⅱ）0.91． 【解析】试题分析：（1）先算出T 的频率分布，进而可得T 的分布列，再利用数学期望公式可得数学期望ET ；（2）先设事件A 表示“刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过分钟”，再算出A 的概率．试题解析：（1）由统计结果可得T 的频率分步为以频率估计概率得T 的分布列为从而250.2300.3350.4400.132ET =⨯+⨯+⨯+⨯=（分钟）．（2）设12,T T 分别表示往、返所需时间， 12,T T 的取值相互独立，且与T 的分布列相同．设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”．解法一： ()()()()1212127025,4530,40P A P T T P T T P T T =+≤==≤+=≤()()121235,3540,30P T T P T T +=≤+=≤10.210.30.90.40.50.10.91=⨯+⨯+⨯+⨯=．解法二：()()()121212(70)35,4040,35P A P T T P T T P T T =+>===+==()1240,40P T T +==0.40.10.10.40.10.10.09=⨯+⨯+⨯=故()()10.91P A P A =-=．【考点】1．离散型随机变量的分布列与数学期望；2．独立事件的概率． 19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形， 60DAB ∠=︒， 2AB =， 1AD =， PD ⊥底面ABCD .（1）证明： PA BD ⊥；（2）若PD AD =，求二面角A PB C --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由余弦定理得，由勾股定理得，由线线面垂直得，从而平面，由此能证明；（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面的法向量和平面的法向量，由此能求出二面角的余弦值．试题解析：（1）证明：因为，,由余弦定理得.从而，故.∵面,面，∴又, 所以平面.故. （2）如图，以为坐标原点，射线分别为的正半轴建立空间直角坐标系，则()()()()1,0,0,,,0,0,1A B C P -,()AB =-,()1PB =-,()1,0,0BC =-,设平面的法向量为(),,n x y z =，则0{0n AB n PB ⋅=⋅=即0{x z -=-=因此可取．设平面PBC 的法向量为m，则0{0m PB m BC ⋅=⋅=可取(0.1,m =-则cos ,m n 〈〉==故钝二面角的余弦值为.【考点】（1）直线与平面垂直的性质；（2）二面角的平面角及其求法；（3）用空间向量求平面间的夹角.【方法点晴】本题考查异面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意余弦定理、勾股定理、向量法的合理运用，注意空间思维能力的培养．在证明垂直的过程中，要注意线线垂直和线面垂直的相互转化，利用向量法求空间中二面角的大小，先求出面的法向量，把二面角转化为两个面所在法向量的夹角，应先判断角是钝角还是锐角，根据向量夹角公式得解.20．已知抛物线24x y =的焦点为F ， P 为该抛物线上的一个动点. （1）当2PF =时，求点P 的坐标；（2）过F 且斜率为1的直线与抛物线交于两点,A B ，若P 在弧AB 上，求PAB ∆面积的最大值.【答案】（1）()2,1±；（2）()maxPAB S ∆=【解析】试题分析：(1)设出点P 的坐标，结合抛物线的定义可得点P 的坐标为()2,1±.(2)联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理可得PAB ∆面积的最大值是 试题解析：（1）由抛物线24x y =的焦点为F ， P 为该抛物线上的一个动点，故设2,4a P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵2PF =，结合抛物线的定义得2124a +=，∴2a =±，∴点P 的坐标为()2,1±.（2）过F 的直线方程为1y x =+，由21{4y x x y=+=有2610y y -+=，设()()1122,,,A x y B x y ， 则126,8y y AB +==， P 在弧AB 上，要使PAB ∆面积最大时，则过P 点的直线l 平行于直线AB 且与抛物线相切，设直线l 方程为y x m =+，由2{4y x m x y=+=有2440x y m --=，直线l 与抛物线相切时， 0∆=有1m =-，此时，两直线的距离为d =， ()PAB max S ∆=21．已知函数()2xf x e ax =+.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间[)1,+∞上的最小值为0，求a 的值.【答案】（Ⅰ）当0a ≥时， ()f x 在R 上单调递增；当0a <时， ()f x 在()(),ln 2x a ∈-∞-上单调递减，在()()ln 2,x a ∈-+∞上单调递增；（Ⅱ）2e a =-． 【解析】试题分析：（Ⅰ）分0a ≥与0a <利用()0f x '<与()0f x '>求得()f x 的单调区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当0a ≥不符合题意，当0a <时，利用函数的单调性求出最值，从而求得a 的值．试题解析：（Ⅰ）当0a ≥时，函数()20xf x e a ='+>， ()f x 在R 上单调递增；当0a <时， ()2x f x e a '=+，令20x e a +=，得()l n 2x a =-，所以当()(),ln 2x a ∈-∞-时， ()0f x '<，函数()f x 单调递减；当()()ln 2,x a ∈-+∞时， ()0f x '>，函数()f x 单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当0a ≥时，函数()20xf x e a =+>，不符合题意， 当0a <时， ()2x f x e a '=+，因为，当()(),ln 2x a ∈-∞-时， ()0f x '<，函数()f x 单调递减；当()()ln 2,x a ∈-+∞时， ()0f x '>，函数()f x 单调递增． ①当()ln 21a -≤，即02e a -≤<时， ()f x 最小值为()12f a e =+， 解20a e +=，得2e a =-， ②当()ln 21a ->，即2e a <-时， ()f x 最小值为()()()ln 222ln 2f a a a a -=-+-． 解()22ln 20a a a -+-=，得2e a =-，不符合题意，综上， 2e a =-． 【考点】1、利用导数研究函数的单调性；2、导数与函数最值的关系．【方法点睛】①利用导数法求函数最值的三个步骤：第一，求函数在(),a b 内的极值；第二，求函数在端点的函数值()f a ， ()f b ；第三，比较上述极值与端点函数值的大小，即得函数的最值；②函数的最大值及最小值点必在以下各点中取得：导数为零的点、导数不存在的点及其端点．22．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l ：5{ 12x y t =+=（t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为(，直线l 与曲线C 的交点为,A B ，求MA MB ⋅的值.【答案】（1）；（2）18. 【解析】试题分析：（1）在方程=2cos ρθ两边同乘以极径ρ可得2=2cos ρρθ，再根据222=,cos x y x ρρθ+=，代入整理即得曲线C 的直角坐标方程；（2）把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程整理，根据韦达定理即可得到MA MB ⋅的值.试题解析：（1）=2cos ρθ等价于2=2cos ρρθ①将222=,cos x y x ρρθ+=代入①既得曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，②（2）将5{12x y t ==代入②得2180t +=， 设这个方程的两个实根分别为12,,t t则由参数t 的几何意义既知， 1218MA MB t t ⋅==.【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化及直线参数方程的应用.23．选修4-5：不等式选讲设函数()f x x a =-（1）当2a =时，解不等式()41f x x ≥--；（2）若()1f x ≤解集为[]0,2，11(0,0)2a m n m n +=>>，求证： 24m n +≥. 【答案】（1）][17,,22⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；（2）见解析. 【解析】试题分析：(1)由题意整理所给的不等式，然后零点分段可得不等式的解集为][17,,22⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭. (2)由题意可得111(0,0)2m n m n +=>>，结合均值不等式的结论可得24m n +≥. 试题解析：解：（1）当2a =时，不等式214x x -+-≥，不等式的解集为][17,,22⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.（2）()1f x ≤即1x a -≤，解得11a x a -≤≤+，而()1f x ≤解集是[]0,2， ∴10{ 12a a -=+=，解得1a =，所以111(0,0)2m n m n+=>>，所以()112242m n m n m n ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭.。

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2016-2017学年广西南宁二中高一下学期期末考试数学试题(理)

2016-2017学年广西南宁二中高一下学期期末考试数学试题(理)

广西南宁二中2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线013=+-y x 的倾斜角为（） A ．π3 B ．π6 C ．2π3 D ．5π62.在等差数列}{n a 中，95=a ，且6223+=a a ，则1a 等于（） A ．－3 B ．－2 C ．0 D ．13.已知c b a >>且0=++c b a ，则下列不等式恒成立的是（）A ．222c b a >>B ．b c b a >C ．bc ac >D ．ac ab > 4.设n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，给出下列四个命题中错误的是（） A ．若αα//,n m ⊥，则n m ⊥ B ．若α//,//n n m ，则α//m C. 若β⊥n n m ,//，则βα⊥D ．若βαβα//,//,//,//,n n m m A n m = ，则βα//5.在ABC ∆中，角C B ,所对的边分边为c b ,，已知︒===60,20,40C c b ，则此三角形的解的情况是（）A ．有一解B ．有两解 C.无解 D ．有解但解的个数不确定 6.若直线kx y =与圆1)2(22=+-y x 的两个交点关于直线02=++b y x 对称，则b k ,的值分别为（）A ．4,21-==b k B ．4,21=-=b k C.4,21==b k D ．4,21-=-=b k7.已知向量与的夹角为︒12032==，若+=λ，且0)(=-⋅AB AC AP ，则实数λ的值为（）A ．73 B ．712C. 6 D ．13 8.已知某个几何体的三视图如下图所示（单位：cm ）可得这个几何体的表面积是（）A ．34000cm 3 B ．38000cm 3C. 38000cm D ．34000cm 9.从原点O 引圆1)2()(222+=-+-m y m x 的切线为kx y =，当m 变化时切点P 的轨迹方程是（） A ．222=+y xB ．3)1(22=+-y xC.1)1()1(22=-+-y x D ．322=+y x 10.已知正实数y x ,满足3=+y x ，则yx 14+的最小值（） A ．2 B ．3 C.4 D ．310 11.已知点R t t t P ∈),,(，点M 是圆41)1(22=-+y x 上的动点，点N 是圆41)2(22=+-y x 上的动点，则PM PN -的最大值是（）A ．15-B ．2 C.3 D ．512.如图是棱长为4的正方体，点B 为棱的中点，若三棱锥ABC D -的四个顶点都在球O 表面上，则球O 的表面积是（）A ．36πB ．48π C.56π D ．64π第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分）13.若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-0001x y x y x ，则y x z 23+=的最小值为．14.设γβα,,为两两不重合的平面，n m l ,,为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①若βγβα//,//，则γα//；②若ββαα//,//,,n m n m ⊂⊂，则βα//； ③若αβα⊂l ,//，则β//l ④若,//,,,γαγγββαl n m l === ，则.//n m 其中正确结论的编号为．（请写出所有正确的编号） 15.已知向量),4cos ,4(cos ),1,4sin3(2x x n x m ==若n m ⊥，则πcos()3x +的值为．16.如图，正四面体ABC P -中，E D ,分别是AB 及PC 的中点，则直线AE 与PD 所成的角的余弦值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本题满分10分）在锐角ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,所对的边，且A c a sin 23= （1）求角C 的大小； （2）若7=c ，且ABC ∆的面积为233，求b a +的值.18. （本题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为111,,21(2,).2n n n S a S S n n -==+≥∈N*（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）记12log ()n n b a n =∈N*，求⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和.n T19.（本题满分12分）如图所示，四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 是直角梯形，⊥PA AB DC ,//底面ABCD ，M AB DC AD PA ,21===为PC 的中点，N 点在AB 上，且NB AN 31=.（1）证明：//MN 平面PAD ； （2）求直线MN 与平面PBC 所成的角.20. （本题满分12分）已知曲线042:22=+--+m y x y x C（1）若1=m ，过点)3,2(-的直线l 交曲线C 于N M ,两点，且32=MN ，求直线l 的方程；（2）若曲线C 表示圆，且直线01=--y x 与圆C 交于B A ,两点，是否存在实数m ，使得以AB 为直径的圆过原点，若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由.21. （本题满分12分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，平面⊥11ACC A 平面ABC ，,3,30,21=︒=∠==AA ACB BC AB E C A BC ,11⊥为AC 的中点.(1)求证：⊥C A 1平面EB C 1； (2)求二面角C AB A --1的余弦值.22.（本题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和224()n n S n +=-∈N*，函数)(x f 对一切实数x 总有1)1()(=-+x f x f ，数列}{n b 满足).1()1()2()1()0(f nn f n f n f f b n +-++++=（1）分别求数列}{n a 、}{n b 的通项公式；（2）若数列}{n c 满足n n n b a c ⋅=，n T 数列}{n c 的前n 项和，若存在正实数k ，使不等式n n a n T n n k 226)369(>+-对于一切的n ∈N*恒成立，求k 的取值范围.【参考答案】一、选择题1-5:B A D B C 6-10:A B B D B 11-12：B C 二、填空题13. 1 14.①③④ 15.21 16.32 三、解答题17.解：(1)由3a ＝2c sin A 及正弦定理得，3sin A ＝2sin C sin A ． ∵sin A ≠0，∴sin C ＝32. ∵△ABC 是锐角三角形，∴C ＝π3.(2)∵C ＝π3，△ABC 面积为332，∴12ab sin π3＝332，即ab ＝6.① ∵c ＝7，∴由余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos π3＝7，即a 2＋b 2－ab ＝7.②由②变形得(a ＋b )2＝3ab ＋7.③③得(a ＋b )2＝25，故a ＋b ＝5. 18.解：（1）当2n =时，由121n n S S -=+及112a =，得2121S S =+，即121221a a a +=+，解得214a =. 又由121n n S S -=+，① 可知121+=+n n S S ，② ②-①得12n n a a +=，即)2(211≥=+n a a n n .且1n =时，2112a a =适合上式，因此数列{}n a 是以12为首项，公比为12的等比数列，故12n n a =()n ∈*N . （2）由（1）及12log n n b a =()n ∈*N ，可知121log 2nn b n ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()1111111n n b b n n n n +==-++， 故2231111n n n n T b b b b b b +=+++=1111112231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1=111nn n -=++. 19.解：（I ）过点M 作CD ME //交PD 于E 点，连结AE ，EM DC AB AN NB AN ===∴=2141,31 , 又AN EM AB DC EM //////∴AEMN ∴为平行四边形,//,//MN AE MN ∴平面PAD .（II ）过N 点作AP NQ //交BP 于点Q ，CB NF ⊥于点F , 连结QF ,过N 点作QF NH ⊥于H ，连结MH易知⊥QN 面,,BC QN ABCD ⊥∴而⊥∴⊥BC BC NF ,面QNF ,,NH BC ⊥∴ 而⊥∴⊥NH QF NH ,面PBC ,NMH ∠∴为直线MN 与平面PCB 所成角，通过计算可得243,43,22====NF QN AE MN ， 4622=+⋅=⋅=∴NFQN NF QN QF NF QN NH ，60,23sin =∠∴==∠∴NMH MN NH NMH ， ∴直线MN 与平面PCB 所成角为 60.20.解：(1) 当1=m 时, 曲线C 是以)2,1(C 为圆心,2为半径的圆, 若直线l 的斜率不存在,显然不符，故可直线l 为:)2(3+=-x k y ，即032=++-k y kx ． 由题意知，圆心)2,1(C 到直线l 的距离等于1)3(222=-， 即:113222=+++-k k k解得0=k 或43-=k .故的方程3=y 或2343+-=x y (即0643=-+y x ) (2)由曲线C 表示圆22240x y x y m +--+=，即22(1)(2)5x y m -+-=-， 所以圆心C （1,2），半径r =，则必有5<m.假设存在实数m 使得以AB 为直径的圆过原点，则OA OB ⊥，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12120x x y y +=，由2224010x y x y m x y ⎧+--+=⎨--=⎩得22850x x m -++=648(5)2480m m ∴∆=-+=->，即3m <，又5m <，故3m <,从而121254,2m x x x x ++==1212121251(1)(1)()1322m m y y x x x x x x +-∴=--=-++=-=1212512022m m x x y y m +-∴+=+=+= 23m ∴=-<, 故存在实数m 使得以AB 为直径的圆过原点，2m =-．21.（1）证明：∵BA BC =，E 为AC 的中点，∴BE AC ⊥，又平面11A ACC ⊥平面ABC ，平面11A ACC ⋂平面ABC AC =，BE ⊂平面ABC ，∴BE ⊥平面11A ACC ，又1AC ⊂平面11A ACC ，∴1BE A C ⊥．又11BC AC ⊥,1BE BC B ⋂=，∴1A C ⊥面1C EB ． （2）解：设H E C C A =11 ,由1A C ⊥1C E ，则2221111A H C H A C +=,21212CC H C CH =+从而求得:1=CH ,故311==A A C A ,故1A E AC ⊥， 由面11A ACC ⊥面ABC ，则1A E ⊥面ABC ，过E 作EF AB ⊥于F ，连1A F ，则1A FE ∠为二面角1A AB C --的平面角，由平面几何知识易得EF =1A F =111cos 3AE A FE A F ∠===．22.解：（1）12111,244n a S +===-=()()21112,24242n n n n n n n a S S +++-≥=-=---=1n =时满足上式，故()12n n a n +=∈*N∵()(1)f x f x +-=1∴ ∵12(0)()()n b f f f n n=+++1()(1)n f f n -++①∴12(1)()()n n n b f f f n n--=+++(1)(0)f f ++②∴①+②，得1212n n n b n b +=+∴=（2）n n n c a b =⋅(1)2n n c n ∴=+⋅123223242(1)2n n T n ∴=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅++⋅①2n T =2341223242(1)2n n +⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅++⋅②①-②得231422(1)2n n T n +-=+++⋅⋅⋅-+⋅ 即12n n T n +=⋅由n n a n T n n k 226)369(>+-恒成立,26936n k n n ∴>-+对于一切的n ∈*N 恒成立, 即6369k n n >+- 令6()369g n n n =+-,则6()2369g n n n=≤=+- 当且仅当6n =时等号成立,故max ()2g n = 所以2k >为所求.11()()1n f f nn-+=。

广西南宁市马山县金伦中学2017-2018学年高一下学期“4+ N”高中联合体期末联考数学试题(解析版)

广西南宁市马山县金伦中学2017-2018学年高一下学期“4+ N”高中联合体期末联考数学试题(解析版)

2017～2018学年度下学期“4+N”联合体期末联考试卷高一数学一、选择题1.1.已知全集为，集合,则集合等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据补集和交集的定义进行运算，即可求出答案.【详解】集合,，=.故选B【点睛】点睛：本题考查描述法表示集合的概念，以及集合补集和交集的运算，属于基础题.2.2.的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的诱导公式，化为锐角的三角函数，即可求出答案.【详解】；故选D.【点睛】本题考查利用三角函数的诱导公式求三角函数值，关键是熟练掌握诱导公式和特殊角的三角函数值. 利用诱导公式解决“给角求值”问题的步骤：（1）“负化正”，负角化为正角；（2）“大化小”，大角化为之间的角；（3）“小化锐”，将大于的角转化为锐角；（4）“锐求值”，化成锐角的三角函数后求值.3.3.为了解某高校高中学生的数学运算能力，从编号为0001，0002，…，2000的2000名学生中采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，并把样本编号从小到大排列，已知抽取的第一个样本编号为0003，则第三个样本编号是（）A. 0083B. 0043C. 0123D. 0163【答案】A【解析】【分析】根据系统抽样方法，求出抽样间隔，再写出抽样编号，即可求出对应的样本编号.【详解】根据系统抽样方法可知，抽样间隔为，则抽样的编号为；令，则第三个样本编号是.故选A.【点睛】本题考查了系统抽样方法的应用问题，系统抽样的关键是确定抽样间隔和抽样编号规律，属于基础题. 4.4.下列函数中，既是偶函数又在区间内单调递减的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】和为非奇非偶函数，而在内递增，故选.5.5.角的终边经过点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据任意角三角函数的定义，可直接求出，再利用正切的两角和公式，即可求得的值.【详解】角的终边经过点，由三角函数的定义，可知，.故选D.【点睛】本题主要考查任意角三角函数的定义和正切的两角和公式，考查运用基本知识解决问题的能力.6.6.若从2个海滨城市和2个内陆城市中随机选2个去旅游，至少选一个海滨城市的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】从2个海滨城市和2个内陆城市中随机选2个去旅游，基本事件总数，1个海滨城市也不选包含的基本事件个数，至少选一个海滨城市的概率是.故选：C.7.7.某几何体的三视图如图一所示，其中俯视图中的圆的半径为2，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个正方体挖去一个圆柱所得的组合体，其中正方体的棱长为8，圆柱的底面半径为2，高为6，则该几何体的体积为：.本题选择C选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．8.8.设向量，满足，，则（）A. B. C. D.【答案】D【分析】根据，利用数量积运算公式，即可求得答案.【详解】，，，.故选D.【点睛】本题考查利用向量的数量积计算向量的模的方法，考查基础知识和基本运算能力.9.9.点在边长为2的正方形内运动，则动点到顶点的距离的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先根据题意得出PA等于2 的临界值情况，再根据几何概型求解即可.详解：由题可知当PA=2时是以A为圆心2为半径的四分之一圆，所以概率为P=，故选C点睛：考查几何概型，根据条件先找出问题的临界条件是解题关键，属于基础题.10.10.图二的程序框图所示的算法来自于《九章算术》.若输入的值为16，的值为24，则执行该程序框图输出的结果为（）A. 6B. 7C. 8D. 9【解析】由程序框图，得当输入，则，，输出的值为8；故选C.11.11.已知两点,若曲线上存在点，使得,则正实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】把圆的方程化为，以为直径的圆的方程为，若曲线上存在点，使得，则两圆有交点，所以，解得，选B. 12.12.如图，在平面四边形ABCD中，若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意可得为等腰三角形，为等边三角形，把数量积分拆，设，数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。

2018-2019学年广西南宁市马山县金伦中学“4 N”高中联合体高二上学期期末数学(理)试题(解析版)

2018-2019学年广西南宁市马山县金伦中学“4 N”高中联合体高二上学期期末数学(理)试题(解析版)

2018-2019学年广西南宁市马山县金伦中学“4+ N ”高中联合体高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1．已知集合()(){}210M x x x ＜=+-，{}10N x x =+＜，则M N ⋂=（ ） A ．(1,1)- B ．(2,1)-C ．(2,1)--D ．(1,2)【答案】C【解析】求出集合M 和集合N,取交集即可得答案. 【详解】()(){}210M x x x =+-＜={}21x x -<＜, {}{}101N x x x x =+=-＜＜,则M N ⋂={}21x x ＜-<-, 故选：C. 【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2．函数cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数【答案】A【解析】因为cos24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭cos(2)sin 22x x π=+=-所以函数cos24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭是周期为π的奇函数，选A. 3．已知两变量x 和y 的一组观测值如下表所示：如果两变量线性相关，且线性回归方程为7ˆ2ˆybx =+，则^b ＝( ) A ．－110B ．－12C ．110D ．12【答案】D 【解析】先计算＝＝3，＝＝5，代入方程即可．【详解】 ＝＝3，＝＝5，代入线性回归方程可得5＝3＋，解之得＝.故选D 【点睛】线性回归直线必过样本中心．4．已知向量a,b v v 满足a 1=v ，a b 1⋅=-v v ，则a (2a b)⋅-=v v vA ．4B ．3C ．2D ．0【答案】B【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为22(2)22||(1)213,a a b a a b a ⋅-=-⋅=--=+=v v v v v v v所以选B.点睛：向量加减乘： 221212(,),||,cos ,a b x x y y a a a b a b a b ±=±±=⋅=⋅vv v vv v v v v v 5．某学校的老师配置及比例如图所示，为了调查各类老师的薪资状况，现采用分层抽样的方法抽取部分老师进行调查，在抽取的样本中，青年老师有30人，则该样本中的老年教师人数为（ ）A ．10B ．12C ．18D ．20【答案】B【解析】由分层抽样的特点，运用比例关系求出结果 【详解】设样本中的老年教师人数为x人，由分层抽样的特点得：3050%20%x=，所以12x=，故选B【点睛】本题考查了分层抽样的计算，由分层抽样的特点结合比例关系求出结果，较为基础6．执行如图的程序框图，那么输出的S的值是（）A．﹣1 B．12C．2 D．1【答案】B【解析】由题意可得：初如值S=2,k=2015, S=-1,k=2016<2018S=12,k=2017<2018 2,2018S k==输出2,选C.7．某几何体的三视图（均为直角三角形）及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为( ).A．16B．13C．12D．1【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是一个直三棱锥，其中高为1，底面是直角边为1,2的直角三角形，则该几何体的体积为111(12)1323V =⨯⨯⨯⨯=；故选B. 8．已知等比数列{}n a 中，37a =，前三项之和321S =，则公比q 的值为（ ） A ．1 B ．12-C ．1或12-D ．112-或【答案】C【解析】先验证1q =合题意，1q ≠时，利用等比数列的通项公式与求和公式列方程求解即可. 【详解】等比数列{}n a 中，37a =，前三项之和321S =， 若1q =，37a =，33721S =⨯=，符合题意；若1q ≠，则()213171211a q a q q ⎧=⎪-⎨=⎪-⎩，解得12q =-，即公比q 的值为1或12-，故选C.【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程. 9．下列叙述中错误的个数是( )①“a b >”是“22ac bc >”的必要不充分条件；②命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的否命题为真命题； ③若命题“p ⌝”与命题“p q ∨”都是真命题,那么命题q 一定是真命题；④对于命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:p x R ⌝∀∉，均有210x x ++≥； A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】对每一命题逐一分析判断得解. 【详解】①“a b >”不可以推出“22ac bc >”，“22ac bc >”可以推出是“a b >”，所以“a b >”是“22ac bc >”的必要不充分条件，所以该命题是真命题；②命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的否命题为“若m≤0，则方程20x x m +-=没有实根”，14m ∆=+不一定小于零，所以该命题是假命题；③若命题“p ⌝”与命题“p q ∨”都是真命题,那么命题q 一定是真命题，所以该命题是真命题；④对于命题p ：x R ∃∈，使得210x x ++<，则p ⌝：x R ∀∈，均有210x x ++≥，所以该命题是假命题. 故答案为B 【点睛】本题主要考查充要条件的判断和四种命题及其真假，考查命题的否定和复合命题的真假的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点与抛物线28y x =的焦点重合，且其离心率32e =，则该双曲线的方程为（ ） A ．22145x y -=B ．22154x y -=C ．22145y x -=D ．22154y x -=【答案】A【解析】分析：求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的实半轴长，利用双曲线的离心率得到c 与b 的值，从而得到双曲线方程．详解：抛物线y 2=8x 焦点（2，0），可得双曲线的实半轴的长a=2，双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的离心率e=32，可得c=3，则所以双曲线方程为：22145x y -=．故选：A ．点睛：本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．11．点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周，O ，P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图所示，则点P 所走的图形可能是A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】认真观察函数图像，根据运动特点，采用排除法解决. 【详解】由函数关系式可知当点P 运动到图形周长一半时O,P 两点连线的距离最大，可以排除选项A,D,对选项B 正方形的图像关于对角线对称，所以距离y 与点P 走过的路程x 的函数图像应该关于2l对称，由图可知不满足题意故排除选项B ， 故选C ． 【点睛】本题考查函数图象的识别和判断，考查对于运动问题的深刻理解，解题关键是认真分析函数图象的特点．考查学生分析问题的能力．12．已知点F 1、F 2分别是双曲线22221x y a b-=(a>0，b>0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1，3B ．32) C ．(1＋2，＋∞) D ．(1,12)【答案】D【解析】A2,bca⎛⎫- ⎪⎝⎭，B2,bca⎛⎫--⎪⎝⎭，2F Au u u u r＝22,bca⎛⎫- ⎪⎝⎭，2F Bu u u u r＝22,bca⎛⎫--⎪⎝⎭.2F Au u u u r·2F Bu u u u r＝4c2－22ba⎛⎫⎪⎝⎭>0，e2－2e－1<0,1<e<1＋2.二、填空题13．已知4sin5α=，且α是第二象限角，则cosα=___________．【答案】35-【解析】∵α是第二象限角，∴cos0α<．又4sin5α=，∴2243cos1sin1()55αα=--=--=-．答案：35-14．若,x y满足条件2122x yx yy x-≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，目标函数32z x y=-+的最小值为__________．【答案】1-【解析】不等式组表示的平面区域如下图的阴影部分，根据上图易知，目标函数在点B （1，1）处取得最小值，min 1z =-.15．已知函数,0()ln ,0x e x f x x x ⎧<=⎨>⎩，则1[()]f f e =__________．【答案】1e【解析】1111(())(ln )(1)f f f f eeee-==-== 点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现(())f f a 的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围. 16．圆心在抛物线212y x =上,并且和该抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为_____.【答案】221(1)12x y ⎛⎫±+-= ⎪⎝⎭ 【解析】由题意设出圆心坐标,由相切列出方程求出圆心坐标和半径,代入圆的标准方程,即可求得答案.. 【详解】Q 圆心在抛物线212y x =∴设21,2P t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心,且准线方程为12y =-，Q 与抛物线的准线及y 轴相切，∴211||22t t =+ ∴1t =±.∴圆的标准方程为221(1)12x y ⎛⎫±+-= ⎪⎝⎭故答案为:221(1)12x y ⎛⎫±+-= ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了求圆的标准方程,解题关键是掌握抛物线的基础知识和求圆的标准方程的解法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.三、解答题17．等差数列{}n a 中,344a a +=,576a a +=． （1）求{}n a 的通项公式．（2）记n S 为{}n a 的前项和,若12m S =,求m . 【答案】（1）235n n a+=（2）6m = 【解析】（1）根据等差数列通项公式,结合已知,即可求得答案; （2）根据等差数列前n 项和公式,即可求得答案. 【详解】（1）设数列{}n a 的公差为dQ 344a a +=,576a a +=可得:1125453a d a d +=⎧⎨+=⎩ ∴121,5a d ==∴{}n a 的通项公式为235n n a +=（2）由（1）知1(1)(4)25n n n n n S na d -+=+=由12m S =得:(4)125m m += 解得6m =或10m =-(舍) 故6m =. 【点睛】本题的解题关键是掌握等差数列的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 18．某赛季甲、乙两位运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示.（1）从甲、乙两人的这5次成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙的成绩高的概率； （2）试用统计学中的平均数、方差知识对甲、乙两位运动员的测试成绩进行分析.【答案】(1)1125;(2) 甲、乙两位运动员平均水平相当，甲运动员比乙运动员发挥稳定. 【解析】试题分析：(1)列出所有可能的事件，结合古典概型计算公式可得甲的成绩比乙的成绩高的概率是1125; (2)甲乙两人平均数相等，甲的方差较小，则甲、乙两位运动员平均水平相当，甲运动员比乙运动员发挥稳定. 试题解析：（1）记甲被抽到的成绩为x ，乙被抽到成绩为y ，用数对(x ，y )表示基本事件， 则从甲、乙两人的这5次成绩中各随机抽取一个，共包含以下基本事件： (79，75)，(79，83)，(79，84)，(79，91)，(79，92)， (82，75)，(82，83)，(82，84)，(82，91)，(82，92)， (85，75)，(85，83)，(85，84)，(85，91)，(85，92)， (88，75)，(88，83)，(88，84)，(88，91)，(88，92)， (91，75)，(91，83)，(91，84)，(91，91)，(91，92)， 基本事件总数n ＝25，设“甲的成绩比乙的成绩高”为事件A ，则事件A 包含以下基本事件： (79，75)，(82，75)，(85，75)，(85，83)，(85，84)，(88，75)，(88，83)，(88，84)，(91，75)，(91，83)，(91，84)， 事件A 包含的基本事件数m ＝11， 所以P (A )＝＝． （2）甲＝ (79＋82＋85＋88＋91)＝85；乙＝ (75＋83＋84＋91＋92)＝85甲得分的方差s ＝ [(79－85)2＋(82－85)2＋(85－85)2＋(88－85)2＋(91－85)2)]＝18； 乙得分的方差s ＝ [(75－85)2＋(83－85)2＋(84－85)2＋(91－85)2＋(92－85)2)]＝38． 从计算结果看，甲＝乙，s ＜s ，所以甲、乙两位运动员平均水平相当，甲运动员比乙运动员发挥稳定．19．在锐角ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 32sin a c A =.（1）求角C 的大小；（2）若c =ABC ∆+a b 的值. 【答案】（1）60o ；(2) 5.【解析】（12sin c A =，利用正弦定理可得sin 2C =，结合C 是锐角可得结果；(2)由1sin 2ab C =，可得6ab =，再利用余弦定理可得结果. 【详解】（12sin c A =2sin sin A C A =,因为sin A 0≠，所以sin C =, 因为C 是锐角，所以60C =o .(2)由于1sin 2ab C =6ab ∴=， 又由于2222cos60c a b ab =+-o()()227318a b ab a b =+-=+-， ()225a b +=，所以5a b +=.【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．20．已知抛物线2:4C y x ＝与直线24y x =-交于,A B 两点．（1）求弦AB 的长度;（2）若点P 在抛物线C 上,且ABP △的面积为12,求点P 的坐标．【答案】（1）（2）(9,6)或(4,4)-.【解析】（1）联立抛物线2:4C y x ＝与直线24y x =-方程,根据弦长公式,即可求得答案;（2）设点200(,)4y P y ,求得P 到AB的距离d =结合已知,即可求得答案. 【详解】（1）设11(,)A x y ,22(,)B x y ,由2244y x y x=-⎧⎨=⎩消掉y , 可得2540x x -+=,Q >0∆,∴由韦达定理可得125x x +=,124x x =,∴AB ===∴弦AB的长度为.（2）设点200(,)4y P y , 设点P 到AB 的距离为d ,∴d =, 1122PAB S ∆∴=⨯=, 即200482y y --=, ∴200482y y --=±, 解得06y =或04y =-,∴P 点为(9,6)或(4,4)-.【点睛】本题主要考查了抛物线的弦长和抛物线中三角形面积问题,解题关键是掌握抛物线的基础知识和在求圆锥曲线与直线交点问题时,通常用直线和圆锥曲线联立方程组,通过韦达定理建立起直线的斜率与交点坐标的关系式,考查了分析能力和计算能力,属于难题. 21．如图的空间几何体中，四边形ABCD 为边长为2的正方形，AE ⊥平面ABCD ，//GE AB ，//EF AD ，且1GE EF ==，3AE =.（1）求证：平面CGF ⊥平面ACE ；（2）求平面CGF 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）3 【解析】（1）分别取,AB AD 的中点M ，N ，连接GM ，FN ，MN ，首先证明出四边形GMNF 为平行四边形得到//GF MN ，接着通过证明MN ⊥面EAC 来得到GF ⊥面EAC ，通过面面垂直判定定理即可得结果；（2）如图所示：取GF 中点H ，记MN AC O ⋂=，连接OH ，HC ，利用线面平行性质定理证出两面的交线与GF 平行，然后再证出GC FC =，可得HCO ∠为平面CGF 与平面ABCD 所成二面角的平面角，在HCO V 中即可求得答案.【详解】（1）如图所示：分别取,AB AD 的中点M ，N ，连接GM ，FN ，MN ，∵//GE AB ，//EF AD ，1GE EF ==，2AB AD ==，∴//GM AE ，GM AE =且//FN AE ，FN AE =,∴四边形GMNF 为平行四边形，∴//GF MN ，由于M ，N 为,AB AD 的中点，四边形ABCD 为边长为2的正方形∴MN AC ⊥，又∵AE ⊥平面ABCD ，∴AE MN ⊥,又∵AE AC A =I ，∴MN ⊥面EAC ，∴GF ⊥面EAC ，∴平面CGF ⊥平面ACE .（2）如图所示：取GF 中点H ，记MN AC O ⋂=，连接OH ，HC ，由（1）知，//GF MN ，∴//GF 面ABCD ，记面GFC ⋂面ABCD m =，则////GF m MN易得OC MN ⊥，即OC m ⊥，又∵AE ⊥平面ABCD ，∴AE BC ⊥，又∵BC AB ⊥，AB AE A =I ，∴BC ⊥面ABGE ，∴BC BG ⊥，即V GBC 为直角三角形，同理FDC △为直角三角形，由于BC CD =，FD GB =，由//EF AD ，则//EF BC ，∴GC FC =，∴HC GF ⊥，即HC m ⊥，∴则HCO ∠为平面CGF 与平面ABCD 所成二面角的平面角，由四边形ABCD 为边长为2的正方形得322OC =3OH = ∴362HC =，∴3cos 3HCO ∠=， 即平面CGF 与平面ABCD 3【点睛】本题考查直线与平面垂直的证明，考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，属于中档题.22．如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点()01A ，﹣，且离心率为22．（1）求椭圆E 的方程；（2）经过点11（，），且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P Q ，（均异于点A ），证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值．【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）证明见解析． 【解析】（1）根据A 点坐标得到b 的值，根据离心率得到c a的值，结合222a b c =+，可求得,a c 的值，从而求得椭圆方程.（2）写出直线,P Q 的方程，代入椭圆方程，写出韦达定理，然后计算直线AP 和直线AQ 点的斜率之和，化简后可得定值为2.【详解】 解：（1）由题设知：2c a =，1b =，结合222a b c =+，解得2a = 所以椭圆E 的方程为2212x y +=. （2）由题设知：直线PQ 的方程为()()112y k x k =-+≠，代入2212x y +=， 得：()()()221241220k x k k x k k +--+-=， 由已知0∆>，设()()1122,,,P x y Q x y ，120x x ≠，则()1224112k k x x k -+=+，()1222212k k x x k -=+，从而直线,AP AQ 的斜率之和为121212121122AP AQ y y kx k kx k k k x x x x +++-+-+=+=+ ()121122k k x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭ ()121222x x k k x x +=+- ()()()412222k k k k k k -=+-- ()2212k k =--=. 【点睛】 本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系.椭圆方程有两个参数,a b ，故需要两个条件就可以求解出来.求解时要注意题目是否给定椭圆焦点在哪个坐标轴上.直线和椭圆的位置关系，要熟练掌握将直线方程代入椭圆方程，化简后写出韦达定理这一个步骤.。

广西南宁市2018_2019学年高二数学下学期期末考试试题理(含解析)

广西南宁市2018_2019学年高二数学下学期期末考试试题理(含解析)

广西南宁市“4 N ”高中联合体2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，务 必将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，{|2}Q x x =<，则P Q =（ ）A. {}0B. {0,1}C. {}1,2D. {0,2}【答案】B 【解析】 【分析】根据集合交集的概念，可直接得出结果.【详解】因为集合{0,1,2}P =，{|2}Q x x =<，所以{0,1}P Q =.故选B【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记概念即可，属于基础题型.2.已知i 是虚数单位，则(2)i i +=（ ） A. 12i + B. 12i -+C. 12i --D. 12i -【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算法则，直接计算，即可得出结果. 【详解】() 22112i i i i +=-=-+. 故选B【点睛】本题主要考查复数的乘法，熟记运算法则即可，属于基础题型.3.空气质量指数AQI是一种反映和评价空气质量的方法，AQI指数与空气质量对应如下表所示：如图是某城市2018年12月全月的指AQI数变化统计图．根据统计图判断，下列结论正确的是（）A. 整体上看，这个月的空气质量越来越差B. 整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量C. 从AQI数据看，前半月的方差大于后半月的方差D. 从AQI数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值【答案】C【解析】【分析】根据题意可得，AQI指数越高，空气质量越差；数据波动越大，方差就越大，由此逐项判断，即可得出结果.【详解】从整体上看，这个月AQI数据越来越低，故空气质量越来越好；故A，B不正确；从AQI数据来看，前半个月数据波动较大，后半个月数据波动小，比较稳定，因此前半个月的方差大于后半个月的方差，所以C正确；从AQI数据来看，前半个月数据大于后半个月数据，因此前半个月平均值大于后半个月平均值，故D 不正确． 故选：C ．【点睛】本题主要考查样本的均值与方差，熟记方差与均值的意义即可，属于基础题型. 4.在101()2x x-的展开式中，4x 的系数为( ) A. -120 B. 120C. -15D. 15【答案】C 【解析】 【分析】 写出101()2x x -展开式的通项公式1021101()2r r r r T C x -+=-，令1024r -=，即3r =，则可求系数。

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