2014年青岛市一模数学文科试题(含答案)

文科数学 2013.12本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡—并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

山东中学联盟3．第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、 修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

参考公式：S 是锥体的底面积，，h 是锥体的高。

R 是球的半径。

第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． (1)，则A B =(A){}|12x x << (B){}|12x x -<< (D){}|11x x -<< (2)若函数21,1()ln ,1x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩则(())f e （e 为自然对数的底数）=(A)0 (B)1 (C)2 (D)2ln(1)e +(3)已知α为第二象限角，且，则tan()πα+的值是(A) (4)已知,,a b c R ∈，给出下列命题：①若a b >，则22ac bc >；②若ab ≠0，则22a b >；其中真命题的个数为(A)3 (C)1 (D)0（5(A) (B)(C) (D)(6)设数列{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和，已知2431,7a a S ==，则5S =(A)(7)（8，则(2013)f = (A)0 (B)2 (C)－2 (D)4(9)已知某几何体的三视图如右图所示，其中，主（正）视图， 左（侧）视图均是由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆 与内接直角三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )(A)(C)(10)设0a >，且1a ≠，则“函数()xf x a =”在R 上是增函数” 是“函数()ag x x =”在R 上是增函数”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件（11(A) (C)(12)已知ABC ∆外接圆的半径为1，圆心为O ，且20OA AB AC ++= ，则CA CB 等于(A)(B)(D)3 第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．(13)已知向量(1,2)a =，向量(,2)b x -，且()a a b ⊥-，则实数x 等于______________.(15)设实数,x y 满足约束条件220,840,0,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z abx y a b =+>> 的最大值为8，则a+b 的最小值为_____________．（16）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列五个命题①,//,//l l βαβα⊂若则 ②,//,l l βαβα⊥⊥若则 ③,,//l l βαβα⊥⊥若则 ④,//,//m l m l αβα= 若则 ⑤,//,//,//m l m l l m αββ=若则其中真命题的序号是__________________________（把所有真命题的序号都填上） 三、解答题：本大题共6小题，共74分． (17)（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且角A 、B 、C 成等差教列． ( I)c 的值； ( II)A 的最大值． (18)（本小题满分12分）已知函数()22,xxf x k k R -=+∈ . ( I)若函数()f x 为奇函数，求实数k 的值；( II)若对任意的[)0,x ∈+∞，都有()2xf x ->成立，求实数k 的取值范围．(19)（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，且AD= 2PA ，E 、F 、G 、H 分别是线段PA 、PD 、CD 、BC 的中点． (I)求证：BC ∥平面EFG ；(II)求证：DH ⊥平面AEG ．(20)（本小题满分12分）已知数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，数列{}n a 的前n 项和n n S nb =． (I)求数列{}n a 的通项公式；( II)求数列{}n c 的前n 项和n T ．(21)（本小题满分13分）某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O ，半径为100 m ，并与北京路一边所在直线l 相切于点M.A 为上半圆弧上一点，过点A 作l 的垂线，垂足为B ．市园林局计划在△ABM 内进行绿化．设△ABM 的面积为S(单 位：2m )，AON θ∠=(单位：弧度）．( I)将S 表示为θ的函数；( II)当绿化面积S 最大时，试确定点A 的位置，并求最大面积． (22)（本小题满分13分）已知函数()ln f x an x =+，其中实数a 为常数．(I)当a=-l 时，确定()f x 的单调区间：(II)若f(x)在区间(]0,e （e 为自然对数的底数）上的最大值为-3，求a 的值；(Ⅲ)当a=-1参考答案说明：本标准中的解答题只给出一种解法，考生若用其它方法解答，只要步骤合理，结果正确，准应参照本标准相应评分。

2014届山东省青岛二中高三12月月考文科数学试卷（带解析） 一、选择题1．已知全集R U =,{|A y y ==,则U C A =( )A ．[0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(0,)+∞D ．(,0]-∞2．已知直线m 、n 和平面α，在下列给定的四个结论中，m ∥n 的一个必要但不充分条件是( )A ．m ∥α，n ∥αB ．m ⊥α，n ⊥αC ．m ∥α，n ⊂αD ．m 、n 与α所成的角相等3．向量1(,tan )3a α= ，(cos ,1)b α= ，且a ∥b ，则cos()2πα+=( )A.13 B. 13-C. 3-D. 3-4．在正项等比数列}{n a 中，369lg lg lg 6a a a ++=，则111a a 的值是( ) A. 10000 B. 1000 C. 100 D. 105．已知0,a >且1a ≠，函数log ,,x a y x y a y x a ===+在同一坐标系中的图象可能是( )6．定义运算a b ad bc cd=-，若函数()123x f x xx -=-+在(,)m -∞上单调递减，则实数m 的取值范围是( )A ．(2,)-+∞B ．[2,)-+∞C ．(,2)-∞-D ．(,2]-∞-7．已知,x y 满足10202 x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则目标函数3z x y =-的最小值是( )A ．72B ．4-C ．7-D ．8- 8．已知函数()sin f x x ω=在304π［，］恰有4个零点，则正整数ω的值为( ) A ．2或3 B ．3或4 C ．4或5 D ．5或6 9．函数()4230y x x x=-->的最大值是( )A.2-2- C.2+ D.2+10．在ABC ∆中，若sin sin cos cos sin A A C A C -=，则ABC ∆的形状是( ) A.正三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角形11．设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使0||||a b a b +=成立的是（ ） A ．13a b =-B ．//a bC ．2a b =D ．a b ⊥12．已知329()6,,()()()02f x x x x abc a b c f a f b f c =-+-===＜＜且，现给出如下结论：①(0)(1)0f f ＞；②(0)(1)0f f ＜；③(0)(2)0f f ＞；④(0)(2)0f f ＜.其中正确结论的序号为（ ）A.①③B.①④C.②④D.②③二、填空题13．已知某个几何体的三视图如图(主视图的弧线是半圆)，根据图中标出的数据，这个几何体的体积是 .14．若直线l 与幂函数ny x =的图象相切于点A ，则直线l 的方程为 . 15．已知函数()f x 是∞∞(-,+)上的奇函数,且()f x 的图象关于直线1x =对称,当[1,0]x ∈-时,()f x x =-，则(2013)(2014)f f += .16．若对任意x A ∈，y B ∈，（A 、R B ⊆）有唯一确定的(,)f x y 与之对应，称(,)f x y 为关于x 、y 的二元函数. 现定义满足下列性质的二元函数(,)f x y 为关于实数x 、y 的广义“距离”:（1）非负性:(,)0f x y ≥，当且仅当0x y ==时取等号； （2）对称性:(,)(,)f x y f y x =；（3）三角形不等式:(,)(,)(,)f x y f x z f z y ≤+对任意的实数z 均成立.今给出四个二元函数:①22(,)f x y x y =+；②2(,)()f x y x y =-③(,)f x y =④(,)sin()f x y x y =-.能够成为关于的x 、y 的广义“距离”的函数的所有序号是 .三、解答题17．已知函数2()2sin cos f x x x x ωωω=+0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求函数)(x f 的单调增区间； （Ⅱ）将函数)(x f 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象．求()y g x =在区间[0,10]π上零点的个数．18．在ABC ∆中，角A B C 、、对边分别是a b c 、、，且满足222cos ()bc A a b c =-+．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =，ABC ∆的面积为,b c ．19．已知等比数列{}n a 为递增数列，且251021,2()5n n n a a a a a ++=+=，N n *∈.（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）令1(1)nn n c a =--，不等式2014(1100,N )k c k k *≥≤≤∈的解集为M ，求所有()k a k M ∈的和.20．在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DB ＝BC ，DB ⊥AC ，点M 是棱BB 1上一点．(1)求证：B 1D 1∥平面A 1BD ； (2)求证：MD ⊥AC ；(3)试确定点M 的位置，使得平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D.21．某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交(13)a a ≤≤元的管理费,预计当每件商品的售价为(79)x x ≤≤元时,一年的销售量为2(10)x -万件．（1）求该连锁分店一年的利润L （万元）与每件商品的售价x 的函数关系式()L x ;（2）当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润L 最大,并求出L 的最大值． 22．已知函数()()()221ln 1x a x x f +-+=在()1,2--上是增函数，()2,-∞-上是减函数．（1）求函数()x f 的解析式； （2）若]1,11[--∈e ex 时，()m x f <恒成立，求实数m 的取值范围； （3）是否存在实数b ，使得方程()b x x x f ++=2在区间]2,0[上恰有两个相异实数根，若存在，求出b 的范围，若不存在说明理由．2014届山东省青岛二中高三12月月考文科数学试卷（带解析）参考答案1．B 【解析】试题分析：因为，R U =，{|{|0}A y y y y ===≥，所以，U C A ={|0}y y <，故选B.考点：集合的运算 2．D 【解析】试题分析：A ：m ．n 可以都和平面垂直，不必要 ； B ：m ．n 可以都和平面平行，不必要 ； C ：n 没理由一定要在平面内，不必要 ；D ：平行所以成的角一定相等，但反之如果两直线相交成等边三角形之势则不平行，所以是必要非充分考点：充要条件，平行关系，垂直关系. 3．B 【解析】试题分析：因为，向量1(,tan )3a α= ，(cos ,1)b α= ，且a ∥b ，所以，11cos tan 03αα⨯-=，11sin ,cos()sin 323πααα=+=-=-，故选B.考点：共线向量，三角函数诱导公式.4．A 【解析】试题分析：因为，正项等比数列}{n a 中，369lg lg lg 6a a a ++=，由对数运算法则及等比数列的性质，有6363693696lg 6,10,10a a a a a a a ===，6100a =，22111610010000a a a ===，故选A. 考点：等比数列的性质，对数运算. 5．C 【解析】试题分析：a 是直线y x a =+的纵截距.根据指数函数、对数函数的性质，1a >时，函数log ,,x a y x y a y x a===+的图象同时上升；01a <<时 图象同时下降.对照选项可知，A,B,D 均矛盾，C中01a <<，选C.考点：一次函数、指数函数、对数函数的图象和性质 6．D 【解析】试题分析：由新定义，2()(1)(3)2()43f x x x x x x =-+--=+-，图象的对称轴为2x =-.为使其在(,)m -∞上单调递减，须2m ≤-，选D.考点：新定义，二次函数的性质. 7．C 【解析】试题分析：根据10202 x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩画出可行域及直线30x y -=（如图），平移直线30x y -=，当直线经过点A （2,3）时，3z x y =-的最小值为-7，故选C.考点：简单线性规划的应用 8．C 【解析】考点：正弦函数的图象和性质 9．B 【解析】试题分析：因为 0x >，所以，43x x +≥=43x x--≤-， 因此，函数()4230y x x x=-->的最大值是2-，故选B. 考点：基本不等式的应用 10．B 【解析】试题分析：由正弦定理、余弦定理，sin sin cos cos sin A A C A C -=可化为222222(1)22a b c b c a a c ab bc+-+--=⋅，整理得，a b =，所以，ABC ∆的形状是等腰三角形，选B.考点：正弦定理、余弦定理的应用 11．A 【解析】试题分析：因为，a 、b 都是非零向量,,||||a ba b分别是,a b 的单位向量，0||||a b a b += 意味着,a b 方向相反 .所以，一定能使0||||a b a b +=成立的是13a b =-，选A.考点：单位向量，共线向量，向量的线性运算.12．D 【解析】试题分析：由题意得，2f x 3x 9x 63x 1x 2'=-+=--（）（）（），∴当x 1＜或x 2＞时，f x 0'（）＞，当1x 2＜＜时，f x 0'（）＜， ∴函数f x （）的增区间是12-∞+∞（，），（，），减区间是12（，）， ∴函数的极大值是5f 12abc =-（），函数的极小值是f 22abc=-（）， ∵a b c ＜＜，且f a f b f c 0===（）（）（）， ∴a 1b 2c f 10＜＜＜＜，（）＞且f 20（）＜，解得2abc ＜＜∴f 0abc 0=-（）＜，则f 0f 10f 0f 20（）（）＜,（）（）＞， 故选D ．考点：应用导数研究函数的单调性，函数的零点. 13．28836π+ 【解析】试题分析：根据三视图可知，该几何体是组合体：一个长方体与一个半圆柱.根据图中数据得到其体积为2166838288362ππ⨯⨯+⨯⨯⨯=+，答案为28836π+. 考点：三视图，几何体的体积. 14．90x y --= 【解析】试题分析：由已知，A 在幂函数ny x =的图象上，即=，3n =，3y x =.由导数的几何意义，切线的斜率为12|39n x nx -⨯=，所以，由直线方程的点斜式得直线l 的方程为90x y --=.考点：幂函数，导数的几何意义. 15．-1 【解析】试题分析：∵()f x 的图象关于直线1x =对称,∴f x f 2x =-（）（）， 又()f x 是∞∞(-,+)上的奇函数，∴f x f x 2=--（）（）， ∴f x 4f x 2[f x ]f x +=-+=--=（）（）（）（），即4为()f x 的周期， ∴f 2013f 45031f 1f 2014f 45032f 2=⨯+==⨯+=（）（）（），（）（）（）. 由[1,0]x ∈-时，()f x x =-，得f 1f 11=--=-（）（）， 由f x f 2x =-（）（），得f 2f 00==（）（）， ∴f 2013f 2014101+=-+=-（）（）， 故答案为1-．考点：函数的奇偶性、周期性 16．① 【解析】试题分析：①对于函数22(,)f x y x y =+：满足非负性：(,)0f x y ≥，当且仅当0x y ==时取等号；满足对称性：(,)(,)f x y f y x =；∵222222f x z f z y x z z y x y f x y +=+++≥+=（，）（，）（，），对任意的实数z 均成立，因此满足三角形不等式：(,)(,)(,)f x y f x z f z y ≤+．可知(,)f x y 能够成为关于的x 、y 的广义“距离”的函数．②2(,)()f x y x y =-0≥，但是不仅x y 0==时取等号，x y 0=≠也成立，因此不满足新定义：关于的x 、y 的广义“距离”的函数；③(,)f x y =(,)f x y =y x -=（）即不满足对称性；④同理(,)sin()f x y x y =-不满足对称性．综上可知：只有①满足新定义，能够成为关于的x 、y 的广义“距离”的函数． 故答案为①．考点：新定义，函数的概念与表示. 17．（Ⅰ）)(x f 的单调增区间5[,],Z 1212k k k ππππ-+∈． （Ⅱ）()g x 在[]0,10π上有20个零点. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由题意得，首先化简函数.得到()2sin(2)3f x x π=-.根据复合函数的单调性及正弦函数的单调增区间得函数)(x f 的单调增区间5[,],Z 1212k k k ππππ-+∈．（Ⅱ）根据“左加右减，上加下减”，得到()2sin 21g x x =+，根据()0g x =得到712x k ππ=+或11(Z)12x k k ππ=+∈函数在每个周期上恰有两个零点, []0,10π恰为10个周期，故()g x 在[]0,10π上有20个零点.试题解析：（Ⅰ）由题意得()f x =22sin cos x x x ωωω+sin 222sin(2)3x x x πωωω=-=- 2分由周期为π，得1ω=.得()2sin(2)3f x x π=- 4分由正弦函数的单调增区间得222232k x k πππππ-≤-≤+，得5,Z 1212k x k k ππππ-≤≤+∈ 所以函数)(x f 的单调增区间5[,],Z 1212k k k ππππ-+∈． 6分 （Ⅱ）将函数)(x f 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到2sin 21y x =+的图象，所以()2sin 21g x x =+ 8分 令()0g x =，得：712x k ππ=+或11(Z)12x k k ππ=+∈ 10分 所以函数在每个周期上恰有两个零点,[]0,10π恰为10个周期，故()g x 在[]0,10π上有20个零点 12分考点：和差倍半的三角函数公式，三角函数的图象和性质. 18．（Ⅰ）23A π=；（Ⅱ）4b c ==. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由余弦定理确定得到1cos 2A =-， 根据角的范围0A π<<，即得23A π=.解题的关键是对余弦定理得熟练掌握及数学式子的变形能力.（Ⅱ）根据三角形面积、余弦定理，建立,b c 的方程组16,8bc b c =+=，求得4b c ==. 试题解析：（Ⅰ）由余弦定理得 2222cos a b c bc A =+- 2分代入222cos ()bc A a b c =-+得4cos 2bc A bc =-， 4分∴1cos 2A =-，∵0A π<<，∴23A π= 6分（Ⅱ）1sin 162S bc A bc ==⇔= 8分 222222cos 328a b c bc A b c b c =+-⇔+=⇔+= 10.解得：4b c == 12分考点：三角形面积公式，余弦定理的应用. 19．（Ⅰ）1222n nn a -=⨯=；（Ⅱ）所有()k a k M ∈的和11451012(14)22048143--=-.【解析】试题分析：（Ⅰ）设{}n a 的首项为1a ，公比为q ， 依题意可建立其方程组，不难求得.（Ⅱ）根据1(1)1(2)nnn n c a =--=--, 要注意分n 为偶数， n 为奇数，加以讨论，明确{}()k a k M ∈是首项为112，公比为4的等比数列,利用等比数列的求和公式，计算得到所有()k a k M ∈的和. 试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的首项为1a ，公比为q ， 所以42911()a q a q =，解得1a q = 2分 又因为212()5n n n a a a +++=，所以22()5n n n a a q a q += 则22(1)5q q +=，22520q q -+=，解得12q =（舍）或2q = 4分 所以1222n n n a -=⨯= 6分（Ⅱ）则1(1)1(2)nnn n c a =--=--,当n 为偶数，122014nn c =-≥，即22013n≤-，不成立 8分 当n 为奇数，1+22014n n c =≥，即22013n≥，因为10112=10242=2048，，所以21,549n m m =+≤≤ 10分 {}()k a k M ∈组成首项为112，公比为4的等比数列,则所有()k a k M ∈的和11451012(14)22048143--=- 12分考点：等比数列的通项公式、求和公式20．(1)见解析. (2)见解析.(3)当点M 为棱BB 1的中点时，平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D.【解析】试题分析：(1)由直四棱柱概念，得BB 1//DD 1，得到四边形BB 1D 1D 是平行四边形，从而B 1D 1∥BD ，由直线与平面平行的判定定理即得证.(2)注意到BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，推出BB 1⊥AC.又BD ⊥AC ，即得AC ⊥平面BB 1D 1D.而MD ⊂平面BB 1D 1D ，故得证.(3)分析预见当点M 为棱BB 1的中点时，符合题意.此时取DC 的中点N ，D 1C 1的中点N 1，连接NN 1交DC 1于O ，连接OM ，证得BN ⊥DC.又DC 是平面ABCD 与平面DCC 1D 1的交线，而平面ABCD ⊥平面DCC 1D 1，推出BN ⊥平面DCC 1D 1.又可证得，O 是NN 1的中点，由四边形BMON 是平行四边形，得出OM ⊥平面CC 1D 1D ，得证.试题解析：(1)由直四棱柱概念，得BB 1//DD 1，∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴B 1D 1∥BD.而BD ⊂平面A 1BD ，B 1D 1⊄平面A 1BD ，∴B 1D 1∥平面A 1BD.(2)∵BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴BB 1⊥AC.又∵BD ⊥AC ，且BD ∩BB 1＝B ，∴AC ⊥平面BB 1D 1D.而MD ⊂平面BB 1D 1D ，∴MD ⊥AC.(3)当点M 为棱BB 1的中点时，取DC 的中点N ，D 1C 1的中点N 1，连接NN 1交DC 1于O ，连接OM ，如图所示．∵N 是DC 的中点，BD ＝BC ，∴BN ⊥DC.又∵DC 是平面ABCD 与平面DCC 1D 1的交线，而平面ABCD ⊥平面DCC 1D 1，∴BN ⊥平面DCC 1D 1. 又可证得，O 是NN 1的中点，∴BM ∥ON 且BM=ON ，即四边形BMON 是平行四边形，∴BN ∥OM ，∴OM ⊥平面CC 1D 1D ，因为OM ⊂面DMC 1，所以平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D.考点：线面平行的判定定理，线面垂直的判定及性质，面面垂直的判定，四棱柱的几何特征.21．（I ）2()(4)(10),[7,9]L x x a x x =---∈.（II ）当312a ≤≤每件商品的售价为7元时,该连锁分店一年的利润L 最大,最大值为279a -万元；当332a <≤每件商品的售价为263a +元时,该连锁分店一年的利润L 最大,最大值为34(2)3a -万元.【解析】试题分析：（I ）由题意，该连锁分店一年的利润L (万元)与售价x 的函数关系式为2()(4)(10),[7,9]L x x a x x =---∈. （II ）通过确定2()(4)(10),[7,9]L x x a x x =---∈，求导数得到2'()3(482)1802(10)[3(182)]L x x a x a x x a =-+++=--+，令'()0L x =，求得驻点，根据13a ≤≤，2026833a ≤+≤.讨论 ①当2367,132a a +≤≤≤时，②当2673a +>，332a <≤时，导数值的正负，求得最大值.试题解析：（I ）由题意，该连锁分店一年的利润L (万元)与售价x 的函数关系式为2()(4)(10),[7,9]L x x a x x =---∈.（II ）2()(4)(10),[7,9]L x x a x x =---∈， 2'()3(482)1802(10)[3(182)]L x x a x a x x a =-+++=--+，令'()0L x =，得263x a =+或10x =， 因为，13a ≤≤，所以，2026833a ≤+≤. ①当2367,132a a +≤≤≤时，[7,9]x ∈，'()0L x ≤， 2()(4)(10),[7,9]L x x a x x =---∈是单调递减函数.故max ()(7)279L x L a ==- 10分 ②当2673a +>，即332a <≤时， 2[7,6]3x a ∴∈+时，'()0L x >；2[6,9]3x a ∈+时，()0L x '< ()L x ∴在2[7,6]3x a ∈+上单调递增；在2[6,9]3x a ∈+上单调递减， 故3max 2()(6)4(2)33a L x L a =+=- 答:当312a ≤≤每件商品的售价为7元时,该连锁分店一年的利润L 最大, 最大值为279a -万元；当332a <≤每件商品的售价为263a +元时,该连锁分店一年的利润L 最大,最大值为34(2)3a -万元. 考点：生活中的优化问题举例，应用导数研究函数的单调性、最值. 22．⑴()()()221ln 1+-+=x x x f ；⑵()212-=->e e f m ；⑶3ln 232ln 32-≤<-b 【解析】试题分析：⑴求导数，求驻点，根据驻点函数值为0，得到a 的方程，进一步得到函数解析式.⑵通过求导数、求驻点及驻点的唯一性，得到函数的最值，使()212-=->e e f m ⑶构造函数()()()b x x x x x F ---+-+=2221ln 1，即()()b x x x F -++-=11ln 2，]2,0[∈x ．利用导数法，研究函数的单调区间，得增区间(]2,1，减区间[)1,0．从而要使方程有两个相异实根，须有()()()⎪⎩⎪⎨⎧-≥--=<--=≥-=b b F b F b F 03ln 23202ln 221010，得解.试题解析：⑴()()()()1212112222+-+=++-+='x a x x a x x x f 依题意得()0222=+-='a f ，所以1=a ，从而()()()221ln 1+-+=x x x f 2分⑵ ()()()12212122++=+-+='x x x x x x f 令()0='x f ，得0=x 或2-=x （舍去），所以()212-=->e e f m 6分 ⑶设()()()b x x x x x F ---+-+=2221ln 1， 即()()b x x x F -++-=11ln 2，]2,0[∈x ． 7分 又()11121+-=+-='x x x x F ，令()0>'x F ，得21<<x ；令()0<'x F ，得10<<x ． 所以函数()x F 的增区间(]2,1，减区间[)1,0．要使方程有两个相异实根，则有()()()⎪⎩⎪⎨⎧-≥--=<--=≥-=b b F b F b F 03ln 23202ln 221010，解得3ln 232ln 32-≤<-b 考点：应用导数研究函数的单调性、极值，函数与方程.。

山东省青岛市高三3月统一质量检测考试（第二套）数学（理科）试卷第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数21ii+（i 是虚数单位）的虚部为( ) A ．1- B ．i C ．1 D ．22.已知全集R U =，集合{}2|0A x x x =->，{}|ln 0B x x =≤，则()U C A B =( )A ．(0,1]B ．(,0)(1,)-∞+∞C ．∅D ．(0,1)3.某中学高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，现从中抽取一个容量为200人的样本，则高中二年级被抽取的人数为( )A ．28B ．32C ．40D ．64 【答案】D 【解析】试题分析：由已知，样本容量为4003202801000++=，所以，高中二年级被抽取的人数为200320641000⨯=，选D . 考点：分层抽样4.曲线32y x x =-在(1,1)-处的切线方程为( )A ．20x y --=B ．20x y -+=C ．20x y +-=D ．20x y ++=5.设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( ) A ．若//,//,a b a α则//b α B ．若,//,a αβα⊥则a β⊥ C ．若,,a αββ⊥⊥则//a αD ．若,,,a b a b αβ⊥⊥⊥则αβ⊥6.设,z x y =+其中实数,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若z 的最大值为12，则z 的最小值为( )A ． 3-B ．6-C ．3D ．6【答案】B【解析】试题分析：画出可行域及直线0x y +=，如图所示. 平移直线0x y +=，当其经过点(,)A k k 时，max 212,z k ==当直线经过点(2,)B k k -时，min ,z k =所以，6k =，min 6z =-.考点：简单线性规划7.函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)2A πωϕ>><的部分图象如图所示，若12,(,)63x x ππ∈-，且12()()f x f x =，则12()f x x +=( )A ． 1B ．21 C ．22 D ．23考点：正弦型函数8.在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有( ) A ．34种 B ．48种C ．96种D ．144种9.函数2()ln(2)f x x =+的图象大致是( )10.如图，从点0(,4)M x 发出的光线，沿平行于抛物线28y x =的对称轴方向射向此抛物线上的点P ，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q ，再经抛物线反射后射向直线:100l x y --=上的点N ，经直线反射后又回到点M ，则0x 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.已知向量()2,1a =，()1,b k =-，若⊥，则实数k =______;12.圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线:3440l x y ++=的距离d = ;【答案】3 【解析】试题分析：由已知圆心为(1,2)，由点到直线的距离公式得，3.d ==考点：圆的方程，点到直线的距离公式.13.如图是某算法的程序框图，若任意输入[1,19]中的实数x ，则输出的x 大于49的概率为 ;14.已知,x y 均为正实数，且3xy x y =++，则xy 的最小值为__________； 【答案】9 【解析】试题分析：因为,x y 均为正实数，所以x y +≥3xy x y =++可化为3xy ≥，即1)0,+≥3,9,xy ≥故当且仅当x y =时，xy 取得最小值9. 考点：基本不等式的应用，一元二次不等式解法.15.如果对定义在R 上的函数()f x ，对任意两个不相等的实数12,x x ，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()f x 为“H 函数”.给出下列函数①31y x x =-++;②32(sin cos )y x x x =--;③1xy e =+;④ln 0()00x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩.以上函数是“H 函数”的所有序号为.三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）已知向量)sin ,)62(sin(x x π+=，)sin ,1(x n =，21)(-⋅=n m x f . （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）在ABC ∆中,c b a ,,分别是角C B A ,,的对边,a =1()22Af =, 若C C A cos 2)sin(3=+，求b 的大小.【答案】（Ⅰ）()f x 递减区间是3,,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（Ⅱ）. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用平面向量的坐标运算及三角函数公式，将)(x f 化简为x 2sin 23，确定得到()f x 递减区间.17.（本小题满分12分）袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为512．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X表示取球终止时取球的总次数．（Ⅰ）求袋中原有白球的个数；（Ⅱ）求随机变量X的概率分布及数学期望()E X．（Ⅱ）由题意，X 的可能取值为1,2,3,4. 由古典概型概率的计算公式，计算可得分布列为：进一步应用期望的计算公式，即得所求.试题解析：(Ⅰ)设袋中原有n 个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为229n C C …2分由题意知229512n C C =，化简得2300n n --=．解得6n =或5n =-（舍去）……………………5分 故袋中原有白球的个数为6……………………6分 （Ⅱ）由题意，X 的可能取值为1,2,3,4.2(1)3P X ==； 361(2)984P X ⨯===⨯； 3261(3)98714P X ⨯⨯===⨯⨯；32161(4)987684P X ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯.所以取球次数X 的概率分布列为：……………10分所求数学期望为211110()12343414847E X =⨯+⨯+⨯+⨯=…………………12分 考点：简单组合应用问题，古典概型概率的计算，随机变量的分布列及数学期望.18.（本题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中, PA ⊥面ABCD ，E 、F 分别为BD 、PD 的中点，=1EA EB AB ==，2PA =.（Ⅰ）证明：PB ∥面AEF ；（Ⅱ）求面PBD 与面AEF 所成锐角的余弦值.【答案】(Ⅰ)见解析；（Ⅱ）12121211cos ,19n n n n n n ⋅==. 【解析】试题分析：（Ⅰ）(Ⅰ) 利用三角形中位线定理，得出EF ∥PB .（Ⅱ）利用平几何知识，可得一些线段的长度及BA AD ⊥，进一步以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立坐标系， 得到133(1,0,2),(0,3,2),(,,0),(0,222PB PD AE AF =-=-==， 确定面PBD 与面AEF 的法向量1111(,,)n xy z =、2222(,,)n x y z =：由11112020x z z -=⎧⎪-=，可得令1(2,3n =； 由又222201022y z x y +=⎨⎪+=⎪⎩，可得令2(n =，进一步得到12121211cos ,19n n n n n n ⋅==.所以1(1,0,0),(0,0,2),(0,(,222B D P F E则133(1,0,2),(0,3,2),(,,0),(0,222PB PD AE AF=-=-==………8分设1111(,,)n x y z=、2222(,,)n x y z=分别是面PBD与面AEF的法向量则11112020x zz-=⎧⎪-=，令1(2,3n=又2222122y zx y+=⎨⎪+=⎪⎩，令2(n=……………11分所以12121211cos,19n nn nn n⋅==……………12分考点：直线与平面、平面与平面垂直，二面角的定义，空间向量的应用.19.（本小题满分12分）在数列{}n a )N (*∈n 中，其前n 项和为n S ，满足22n n S n -=.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式; （Ⅱ）设⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=k n nn k n n b n a n 2,2112,22（k 为正整数）,求数列{}n b 的前n 2项和n T 2. 【答案】(Ⅰ) n a n -=1.（Ⅱ）222024209924(1)n n n n T n +=-+⋅+. 【解析】试题分析：(Ⅰ)根据22n n S n -=,计算n S S a n n n -=-=-11 )2(≥n验证当1=n 时，011==S a ,明确数列{}n a 是01=a 为首项、公差为1-的等差数列即得所求. （Ⅱ）由(Ⅰ)知: ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=-k n n n k n n b n n 2,)2(112,21 利用“裂项相消法”、“错位相减法”求和.试题解析：(Ⅰ)由题设得:22n n S n -=,所以)2()1(1221≥---=-n n n S n所以n S S a n n n -=-=-11 )2(≥n ……………2分当1=n 时，011==S a ,数列{}n a 是01=a 为首项、公差为1-的等差数列故n a n -=1.……………5分20.（本小题满分13分）已知函数()1x f x e x =--．（Ⅰ）求()f x 的最小值；（Ⅱ）当函数自变量的取值区间与对应函数值的取值区间相同时，这样的区间称为函数的保值区间.设2()(()1)(1)g x f x x '=+-，试问函数()g x 在(1,)+∞上是否存在保值区间？若存在，请求出一个保值区间；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）()f x 在0x =处取得最小值(0)0f =．（Ⅱ）函数()g x 在()1,+∞上不存在保值区间,证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）求导数，解0()f x '<得函数的减区间()0-∞，； 解0()f x '>，得函数的增区间(0,)+∞．确定()f x 在0x =处取得最小值(0)0f =．也可以通过“求导数、求驻点、研究函数的单调区间、确定极值（最值）” .21.（本小题满分14分）设1F ,2F 分别是椭圆D ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，过2F 作倾斜角为3π的直线交椭圆D 于A ,B 两点, 1F 到直线AB 的距离为3,连接椭圆D 的四个顶点得到的菱形面积为4.（Ⅰ）求椭圆D 的方程；（Ⅱ）已知点），（01-M ，设E 是椭圆D 上的一点，过E 、M 两点的直线l 交y 轴于点C ,若CE EM λ=,求λ的取值范围；（Ⅲ）作直线1l 与椭圆D 交于不同的两点P ,Q ,其中P 点的坐标为(2,0)-,若点),0(t N 是线段PQ 垂直平分线上一点,且满足4=⋅NQ NP ,求实数t 的值.【答案】（Ⅰ）1422=+y x ；（Ⅱ）23λ≥-或2λ≤-； （Ⅲ）满足条件的实数t 的值为22±=t 或5142±=t . 【解析】试题分析：（Ⅰ）设1F ,2F 的坐标分别为)0,(),0,(c c -,其中0>c由题意得AB 的方程为:)(3c x y -=根据1F 到直线AB 的距离为3,可求得3=c ，将3222==-c b a 与42221=⨯⨯b a 联立即可得到1,2==b a . （Ⅱ）设11(,)E x y ,),0(m C ，由CE EM λ=可得λλλ+=+-=1,111m y x ，代人椭圆D 的方程得04)2)(23(2≥++=λλm ，即可解得23λ≥-或2λ≤-. （Ⅱ）由(Ⅰ)知椭圆D 的方程为1422=+y x 设11(,)E x y ,),0(m C ，由于CE EM λ=,所以有),1(),(1111y x m y x ---=-λ λλλ+=+-=∴1,111m y x ……………7分 又E 是椭圆D 上的一点,则1)1(4)1(22=+++-λλλm 所以04)2)(23(2≥++=λλm解得：23λ≥-或2λ≤- ……………9分 （Ⅲ）由)0,2(-P , 设),(11y x Q根据题意可知直线1l 的斜率存在，可设直线斜率为k ,则直线1l 的方程为)2(+=x k y 把它代入椭圆D 的方程,消去y ,整理得: 0)416(16)41(2222=-+++k x k x k 由韦达定理得22141162k k x +-=+-,则2214182k k x +-=,=+=)2(11x k y 2414k k + 所以线段PQ 的中点坐标为,418(22k k +-)4122k k +。

若２ 为双 曲线的一条渐近线 ， 则１ 的倾 斜角所在的区间可能是
Ａ ． （ ０ ， 子 ）
Ｂ ． （ 詈 ， 子 ）
ｃ ． （ 子 ， 手 ）
Ｄ ． （ 子 ， 号 ）
二． 填 空题 ： 本大题共 ７小题 ， 每小题 ４分 ， 共２ ８分．
１ １ ． 一个五面体 的三视 图如 图 １ 所示， 正视 图与侧 视 图是 等腰直 角三 角形 ， 俯视 图为直角梯形 ， 部分边 长如图 １ 所示， 则此五面体的体积 为— — ． ｚ １ ２ ． 已知过点 Ｐ （ ２ ， ２ ） 的直线与 圆（ 一１ ） ｙ ２ ＝５相切 ， 且与直 线 甜 一Ｙ １ ＝ ０垂直 ， 则 ａ＝ — — ．
）
Ａ ． （ １ ， ） ｕ （ １ ， ＋ ）Ｂ ． （ ， ＋ 。 。 ）
ｃ ． （ １ ， ）
Ｄ ． （ ｏ ， 告 ～ ）
（ ）
１ ０ ． 已 知 抛 物 线ｙ ２ ＝ ７ ｐ （ ｐ ＞ ０ ） 与双 曲 线 一 告＝ １ （ 。 ＞ ０ ． ６ ＞ ０ ） 有相 同 的 焦 点Ｆ ， 点Ｉ ４ 是 两曲 线的一 个 交 点， 且 Ｆ 上 轴 ．
列； ｐ ： 数列 ／ ｏ ＋ ３ ｒ ｕ ／ ｝ 是递增数列． 其 中的真命 题为
Ａ． Ｐｌ， Ｐ２ Ｂ． Ｐ３， Ｐ４ Ｃ． Ｐ２， Ｐ３ Ｄ． Ｐ ， Ｐ４

数
（ ）
（ ）
８ ． 若函数 Ｙ＝ ） 图像上任意一点 的坐标 （ ， ｙ ） 满足条件 ≥ ， 则称 函数 ） 具有性质 ｓ ， 那 么下列 函数 中具有性 质 Ｓ的
（
Ｄ ． ０ 个
４ ． 函数． 厂 （ ）＝ ２ 一Ｉ 一１ Ｉ 一１ 的零点 个数是