2018年高考冲刺模拟试卷 理科数学

2018 年高考数学 ( 理科 ) 模拟试卷 ( 一) (本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150 分，考试时间120 分钟 )第Ⅰ卷 (选择题满分60分)一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，满分 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1． (2016 年四川)设会合A＝ { x|1≤ x≤ 5} ， Z 为整数集，则会合A∩Z 中元素的个数是( )A ． 6 B. 5 C． 4 D． 31.B分析：由题意，A∩ Z＝{1,2,3,4,5}，故此中的元素的个数为5.应选 B.2． (2016 年山东 )若复数 z 知足 2z＋ z ＝ 3－ 2i, 此中 i 为虚数单位，则z＝ ( )A ． 1＋ 2i B． 1－ 2iC．－ 1＋ 2i D．－ 1－2i2． B分析：设z＝a＋bi(a，b∈ R)，则2z＋z＝3a＋bi＝3－2i，故a＝ 1， b＝－ 2，则 z＝ 1－ 2i.应选 B.3． (2015 年北京 )某四棱锥的三视图如图M1- 1，该四棱锥最长棱的棱长为()图 M1-1A ． 1 B. 2 C. 3 D．23．C 分析：四棱锥的直观图如图D188 ：由三视图可知， SC⊥平面 ABCD ，SA 是四棱锥最长的棱， SA＝SC2＋AC 2＝SC2＋AB 2＋ BC2＝ 3.应选 C.图 D1884．曲线 y＝ x3－ 2x＋ 4 在点 (1,3)处的切线的倾斜角为()π π π πA. 6B.3C.4D. 24． C 分析： f ′( x)＝ 3x 2－ 2， f ′(1) ＝1，所以切线的斜率是π 1，倾斜角为 .45．设 x ∈ R ，[ x] 表示不超出 x 的最大整数 . 若存在实数 t ，使得 [t] ＝1， [t 2] ＝2， ， [t n ] ＝n 同时成立，则正整数n 的最大值是 ()A ．3B ．4C ．5D ． 65．B 分析：由于 [x]表示不超出 x 的最大整数．由 [t] ＝ 1，得 1≤ t<2 ，由 [t 2 ]＝ 2，得 2≤ t 2<3. 由[ t 3]＝ 3，得 3≤t 3<4.由 [t 4] ＝4，得 4≤ t 4<5. 所以 2≤ t 2 < 5.所以 6≤ t 5<4 5.由 [t 5] ＝ 5，得5≤ t 5<6，与 6≤ t 5<4 5矛盾，故正整数n 的最大值是 4.6．(2016 年北京 )履行如图 M1- 2 所示的程序框图，若输入的a 值为 1，则输出的 k 值为()图 M1-2A ．1B ．2C ．3D ． 46． B 分析： 输入 a ＝1，则 k ＝0， b ＝ 1；进入循环体， a ＝－12，否， k ＝ 1， a ＝－ 2，否， k ＝ 2，a ＝1，此时 a ＝ b ＝ 1，输出 k ，则 k ＝ 2.应选 B.7．某市要点中学奥数培训班共有14 人，分为两个小组， 在一次阶段考试中两个小构成绩的茎叶图如图 M1- 3，此中甲组学生成绩的均匀数是 88，乙组学生成绩的中位数是 89，则m ＋ n 的值是 ()图 M1-3A．10 B．11 C．12 D．1378＋ 88＋ 84＋ 86＋ 92＋ 90＋ m＋ 957．C分析：由题意，得＝88，n＝9.所以m＋n＝12.应选 C.8． (2015 年陕西 )某公司生产甲、乙两种产品均需用A， B 两种原料．已知分别生产1 吨甲、乙产品需原料及每日原料的可用限额如表所示，假如生产 1 吨甲、乙产品可获收益分别为 3万元、4 万元，则该公司每日可获取最大收益为( )项目甲乙原料限额A/吨 3 2 12B/吨 1 2 8A.12 万元B． 16 万元C．17 万元 D ．18 万元8．D 分析：设该公司每日生产甲、乙两种产品分别为x 吨、 y 吨，则收益 z＝ 3x＋ 4y.3x＋ 2y≤ 12，由题意可得x＋ 2y≤ 8，其表示如图 D189 暗影部分地区：x≥ 0，y≥ 0.图 D189当直线 3x＋ 4y－ z＝ 0 过点A(2,3)时， z 获得最大值，所以z max＝ 3× 2＋ 4× 3＝ 18.应选D.9．(2016 年新课标Ⅲ )定义“规范01 数列” { a } 以下： { a } 共有 2m 项，此中 m 项为 0，n nm 项为 1，且对随意 k≤ 2m， a1，a2，， a k中 0 的个数许多于 1 的个数．若 m＝ 4，则不一样的“规范 01 数列”共有 ( )A．18 个 B．16 个 C．14 个 D． 12 个9． C 分析：由题意，必有 a ＝ 0， a ＝ 1，则详细的排法列表以下：1 8ωx 1 sin ωx－ 1(ω>0) ， x ∈ R.若 f(x) 在区间 ( π， 2π) 10． (2016 年天津 )已知函数 f(x)＝sin 2 ＋22 2内没有零点，则 ω的取值范围是 ()A. 0， 1B.1∪ 5，1 8 0， 485D.1∪ 1，5C. 0，80， 8 4 81－ cos ωx sin ωx 12ππ10.D 分析： f(x)＝ 2 ＋2 －2＝ 2 sin ωx－ 4 ， f( x)＝ 0? sin ωx－ 4 ＝ 0，πk π＋ 4( π， 2π)，(k ∈ Z)．所以 x ＝ ω所以 ω 1， 15， 59， 9 ∪ ＝ 1， 15，＋ ∞11， 58 4 ∪8 4∪ 8 4 8 4∪8? ω∈ 0， 8 ∪4 8.应选D.11．四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为正方形， PA ⊥底面 ABCD ，AB ＝ 2，若该四棱锥的243 π全部极点都在体积为16 的同一球面上，则 PA ＝ ()7A ． 3 B.29C ．2 3 D.211．B 分析： 如图 D190，连结 AC ，BD 交于点 E ，取 PC 的中点 O ，连结 OE ，则 OE ∥PA ，所以 OE ⊥底面 ABCD ，则 O 到四棱锥的全部极点的距离相等，即O 为球心， 1PC ＝4 1 243 π2 11272 PA 2＋ AC 2＝ 2 PA 2＋ 8，所以由球的体积可得 3π2 PA ＋8 3＝ 16 ，解得PA ＝ 2.应选 B.图 D190→ →12．已知 F 为抛物线 y 2＝ x 的焦点，点 A 、B 在该抛物线上且位于 x 轴双侧，若 OA ·OB ＝ 6(O 为坐标原点 )，则△ ABO 与△ AOF 面积之和的最小值为()A ． 4B.3 13C.172 D.102412． B 分析： 设直线 AB 的方程为 x ＝ ty ＋ m ，点 A(x 1， y 1)， B( x 2，y 2 )，直线 AB 与 x轴的交点为 M( m,0)， 将直线方程与抛物线方程联立，可得 y 2－ ty － m ＝ 0，依据韦达定理有 y 1·y 2＝－ m ，由于 → →＝ 6，所以 x 1·x 2＋ y 1·y 2＝ 6，进而 (y 1·y 2)2＋ y 1·y 2－6＝ 0，由于点 A ，B 位于 x 轴的双侧， OA ·OB 所以 y 1211， 0 ，所以 S △ ABO ＋ S △1 ·y ＝－ 3，故 m ＝ 3，不如令点 A 在 x 轴上方，则 y >0 ，又F 4 13y 91 113913 9 1 3 13AFO ＝ ×3× (y 1 －y 2 )＋ × y 1＝ y 1 ＋ ≥ 2 ·y 1·· ＝ ，当且仅当 1 ＝，即 y 1888 2y 1 2 2 4 2y 12 y 1 2 ＝6 13时取等号，故其最小值为3 2 13.应选 B. 13第Ⅱ卷 (非选择题 满分 90 分)本卷包含必考题和选考题两部分．第13～ 21 题为必考题，每个试题考生一定作答．第22～ 23 题为选考题，考生依据要求作答．二、填空题：本大题共4 小题，每题5 分．13．平面向量 a ＝ (1,2)， b ＝ (4,2) ，c ＝ ma ＋ b(m ∈R )，且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，则 m ＝ ________.13． 2 分析： a ＝ (1,2)， b ＝ (4,2)，则 c ＝ ma ＋ b ＝ (m ＋ 4,2m ＋ 2)， |a|＝ a ·c ＝ 5m ＋8， b ·c ＝ 8m ＋ 20.∵c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，∴ c ·a ＝ |c| |a|·5， |b|＝2 5， c ·b .∴ 5m ＋8＝|c| |b|· 58m ＋ 202 .解得 m ＝ 2.5x 2 y 214．设 F 是双曲线 C ： a 2－ b 2＝ 1 的一个焦点，若 C 上存在点 P ，使线段 PF 的中点恰 为其虚轴的一个端点，则 C 的离心率为 __________ ．14. 5 分析：依据双曲线的对称性， 不如设 F(c,0)，虚轴端点为 (0，b)，进而可知点 (－2 2 c,2b) 在双曲线上，有 c 2－ 4b2 ＝1，则 e 2＝ 5， e ＝ 5.a b15． (2016 年北京 )在 (1－2x)6 的睁开式中， x 2 的系数为 ________． (用数字作答 ) 15． 60 分析： 依据二项睁开的通项公式r r r 可知， x 2 的系数为 C 62(－ 2)2T r ＋ 1＝ C 6·(－ 2) x ＝60，故填 60.16．在区间 [0， π]上随机地取一个数 x ，则事件“ sin x ≤ 1”发生的概率为 ________．2 1π 5π 1 16.3 分析： 由正弦函数的图象与性质知，当x ∈ 0，6∪ 6 ， π时， sin x ≤ 2.π 5π 所以所求概率为 6 －0 ＋ π－ 61π ＝ .3三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17． (本小题满分 12 分 )已知 { a n } 是各项均为正数的等比数列， { b n } 是等差数列，且 a 1＝ b 1＝ 1， b 2＋ b 3＝ 2a 3，a 5－ 3b 2＝ 7.(1)求 { a n } 和 { b n } 的通项公式；(2)设 c n ＝ a n b n ， n ∈ N * ，求数列 { c n } 的前 n 项和．17．解：(1) 设 { a n } 的公比为 q ，{ b n } 的公差为 d ，由题意知 q>0.由已知，有消去 d ，得 q 4－2q 2－ 8＝ 0.解得 q ＝ 2， d ＝ 2. 所以 { a n } 的通项公式为 a n ＝ 2n －1， n ∈ N * ， { b n } 的通项公式为 b n ＝ 2n － 1， n ∈N * .(2)由 (1) 有 c n ＝ (2n － 1)2n －1，设 { c n } 的前 n 项和为 S n ，2q 2－ 3d ＝ 2，q 4－ 3d ＝ 10.则 S n ＝ 1×20 ＋3× 21＋ 5×22＋ ＋ (2n － 1) ×2n －1，2S n ＝ 1× 21＋3× 22＋ 5× 23＋ ＋ (2n － 1)× 2n .两式相减，得－ S n ＝1＋ 22＋ 23＋ ＋ 2n － (2n － 1)× 2n ＝－ (2n － 3)× 2n － 3. 所以 S n ＝(2n － 3) ·2n ＋ 3， n ∈ N * .18． (本小题满分 12 分 )(2014 年纲领 )设每个工作日甲、乙、丙、丁4 人需使用某种设备的概率分别为 0.6， 0.5， 0.5,0.4，各人能否需使用设施互相独立．(1)求同一工作日起码3 人需使用设施的概率；(2)X 表示同一工作日需使用设施的人数，求X 的数学希望．18． 解：记 A 1 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有 i 人需使用设施， i ＝ 0,1,2.B 表示事件：甲需使用设施．C 表示事件：丁需使用设施．D 表示事件：同一工作日起码3 人需使用设施．(1)由于 P(B)＝0.6， P(C)＝ 0.4， P(A i )＝ C i 2× 0.52，i ＝ 0,1,2，所以 P(D )＝ P(A 1 ·B ·C ＋ A 2·B ＋A 2·B ·C)＝ P(A 1·B ·C)＋P(A 2·B)＋ P(A 2·B ·C)＝ P(A 1)P(B)P(C)＋ P(A 2)P(B)＋ P(A 2)P( B )P(C)＝ 0.31.(2)X 的可能取值为 0,1,2,3,4，其散布列为 P(X ＝0)＝ P( B ·A 0·C )＝ P( B )P(A 0)P( C )＝ (1－ 0.6)× 0.52× (1－ 0.4)＝ 0.06，P(X ＝1)＝ P(B ·A 0·C ＋ B ·A 0·C ＋ B ·A 1·C )＝ P(B)P(A 0)P( C )＋ P( B ) P( A 0)P(C)＋ P( B )P( A 1 )P( C )＝0.6× 0.52× (1－ 0.4)＋ (1－ 0.6)×0.52× 0.4＋ (1 －0.6)× 2× 0.52× (1－ 0.4)＝ 0.25，＝0.52× 0.6× 0.4＝ 0.06，P(X＝3)＝ P(D )－P(X＝ 4)＝ 0.25，P(X＝2)＝ 1－ P(X＝ 0)－ P(X＝1)－ P(X＝ 3)－ P(X＝ 4)＝1－ 0.06－ 0.25－ 0.25－0.06＝ 0.38，所以 E(X)＝ 0× P(X＝ 0)＋ 1× P(X＝ 1)＋ 2×P(X＝ 2)＋3× P(X＝3)＋ 4× P(X＝ 4)＝0.25＋ 2× 0.38＋ 3× 0.25＋ 4× 0.06＝ 2.19． (本小题满分 12 分 )(2016 年四川 )如图 M1- 4，在四棱锥 P-ABCD 中， AD∥ BC，∠ ADC ＝∠ PAB＝ 90°，BC ＝CD ＝12AD ， E 为边 AD 的中点，异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90°.(1)在平面 PAB 内找一点M，使得直线CM ∥平面 PBE，并说明原因；(2)若二面角P-CD-A 的大小为45°，求直线PA 与平面 PCE 所成角的正弦值．图 M1-419．解： (1) 在梯形 ABCD 中， AB 与 CD 不平行．延伸 AB ，DC，订交于点M(M ∈平面 PAB)，点 M 即为所求的一个点．原因以下：由已知， BC∥ ED，且 BC＝ED ，所以四边形BCDE 是平行四边形．所以 CD ∥ EB.进而 CM ∥ EB.又 EB? 平面 PBE， CM平面PBE，所以 CM ∥平面 PBE.(说明：延伸AP 至点 N，使得 AP＝PN ，则所找的点能够是直线(2)方法一，由已知，CD ⊥ PA， CD ⊥ AD ， PA∩AD ＝A，所以 CD ⊥平面 PAD .进而 CD ⊥ PD.所以∠ PDA 是二面角 P-CD-A 的平面角．所以∠ PDA ＝ 45°.设 BC＝ 1，则在 Rt△PAD 中， PA＝ AD＝ 2.如图 D191 ，过点 A 作 AH⊥ CE，交 CE 的延伸线于点H，连结易知 PA⊥平面 ABCD ，进而 PA⊥ CE.于是 CE ⊥平面 PAH.所以平面 PCE ⊥平面 PAH.MNPH .上随意一点)过 A 作 AQ⊥ PH 于 Q，则 AQ⊥平面 PCE. 所以∠ APH 是 PA 与平面 PCE 所成的角．在 Rt△AEH 中，∠ AEH ＝ 45°，AE ＝ 1，2所以AH＝2.在 Rt △PAH 中， PH ＝ PA 2＋ AH 2＝32，2AH1所以 sin ∠ APH ＝ PH ＝ 3.图 D191图 D192方法二，由已知， CD ⊥ PA ， CD ⊥AD ， PA ∩ AD ＝ A ， 所以 CD ⊥平面 PAD . 于是 CD ⊥ PD.进而∠ PDA 是二面角 P-CD-A 的平面角． 所以∠ PDA ＝ 45°.由 PA ⊥ AB ，可得 PA ⊥平面 ABCD .设 BC ＝ 1，则在 Rt △PAD 中， PA ＝ AD ＝2.→ → x 轴，z 轴的正方向， 成立如图 D192 作 Ay ⊥ AD ，以 A 为原点，以 AD ，AP 的方向分别为 所示的空间直角坐标系 Axyz ，则 A(0,0,0) ， P(0,0,2) ， C(2,1,0) ， E(1,0,0) ，→ → →所以 PE ＝ (1,0，－ 2)， EC ＝ (1,1,0) ，AP ＝ (0,0,2) 设平面 PCE 的法向量为 n ＝( x ， y ， z)，→ x －2z ＝0， n ·PE ＝ 0，由 得 →x ＋y ＝ 0. n ·EC ＝ 0，设 x ＝ 2，解得 n ＝ (2，－ 2,1)． 设直线 PA 与平面 PCE 所成角为 α，→ 21则 sin α＝ |n ·AP| ＝ ＝ → 2× 22＋ －2 2＋ 12 3 |n| |AP ·|所以直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值为.13.20． (本小题满分 12 分 )(2016 年新课标Ⅲ )设函数 f(x)＝ ln x － x ＋ 1.(1)议论 f(x)的单一性；x － 1(2)证明当 x ∈ (1，＋∞ )时， 1< ln x <x ；(3)设 c>1，证明当 x ∈ (0,1)时， 1＋ (c － 1)x>c x .20．解： (1)由题设， f(x)的定义域为 (0，＋ ∞)，f ′ (x)＝1x － 1，令 f ′( x)＝ 0，解得 x ＝ 1.当 0<x<1 时， f ′ (x)>0 ， f(x)单一递加；当 x>1 时， f ′ (x)<0， f(x)单一递减．(2)由 (1) 知， f(x)在 x ＝1 处获得最大值，最大值为 f(1) ＝ 0.所以当 x ≠ 1 时， ln x<x － 1.故当 x ∈(1，＋ ∞ )时， ln x<x －1， ln 1 < 1－ 1，即 1<x －1<x. x x ln x(3)由题设 c>1，设 g(x)＝ 1＋ (c － 1)x －c x ，则 g ′ (x)＝ c －1－ c x ln c.c － 1 lnln c当 x<x 0 时， g ′ (x)>0 ， g(x)单一递加；当 x>x 0 时， g ′ (x)<0 ， g(x)单一递减．c － 1由 (2)知， 1< ln c <c ，故 0<x 0<1.又 g(0)＝ g(1)＝ 0，故当 0< x<1 时， g(x)>0. 所以 x ∈(0,1)时， 1＋ (c － 1)x>c x .21． (本小题满分 12 分 )(2016 年广东广州综合测试一 )已知椭圆 C 的中心在座标原点，焦点在 x 轴上，左极点为 A ，左焦点为 F 1(－ 2, 0)，点 B(2， 2)在椭圆 C 上，直线 y ＝ kx(k ≠ 0) 与椭圆 C 交于 E ， F 两点，直线 AE ，AF 分别与 y 轴交于点 M ， N.(1)求椭圆 C 的方程；(2)以 MN 为直径的圆能否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．x 2 y 221． 解： (1) 设椭圆 C 的方程为 a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0)，由于椭圆的左焦点为F 1(－ 2,0)，所以 a 2－ b 2＝ 4.①4 2由于点 B(2，2)在椭圆 C 上，所以2＋2＝ 1.②ab由①②，解得 a ＝ 22， b ＝2. 所以椭圆 C 的方程为 x 2 ＋ y 28 ＝ 1.4(2)由于椭圆 C 的左极点为 A ，则点 A 的坐标为 (－ 22， 0)．x 2 y 2由于直线 y ＝ kx(k ≠ 0)与椭圆 8 ＋ 4 ＝ 1 交于两点 E ，F ，设点 E(x 0， y 0)(不如设 x 0>0)，则点 F(－x 0，－ y 0) ． y ＝ kx ， 8联立方程组 x 2y 2 消去 y ，得 x 2＝ 2.＋ ＝ 1 1＋2k8 4所以 x 0＝2 2，则 y 0 ＝2 2k.1＋ 2k 21＋ 2k 2所以直线 AE 的方程为 y ＝ k2(x ＋ 2 2)．1＋ 1＋ 2k由于直线 AE ， AF 分别与 y 轴交于点 M ， N ， 令 x ＝ 0 得 y ＝2 2k，即点 M 0，2 2k1＋ 1＋ 2k 2.1＋ 1＋ 2k22 2k同理可得点N 0，1－ 1＋ 2k 2.2 2k － 2 2k＝2 2 1＋ 2k 2.所以 |MN|＝1＋ 2k 2 1＋ 2k 21＋ 1－ |k|2设 MN 的中点为 P ，则点 P 的坐标为 P 0，－ k .2 2 1＋ 2k 222则以 MN 为直径的圆的方程为x 2＋ y ＋ k 2＝ |k|2，即 x 2＋ y 2＋k y ＝ 4.令 y ＝ 0，得 x 2＝ 4，即 x ＝ 2 或 x ＝－ 2.故以 MN 为直径的圆经过两定点P 1(2,0)， P 2( －2,0)，请考生在第 (22)(23) 两题中任选一题作答．注意：只好作答在所选定的题目上．假如多做，则按所做的第一个题目计分．22． (本小题满分 10 分 )选修 4-4：极坐标与参数方程x ＝ 2cos θ，已知曲线 C 的参数方程是(θ为参数 )，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴y ＝ sin θ4π为极轴成立极坐标系，A 、B 的极坐标分别为 A(2， π)、B 2， 3 .(1)求直线 AB 的直角坐标方程；(2)设 M 为曲线 C 上的动点，求点 M 到直线 AB 距离的最大值．22． 解： (1)将 A 、 B 化为直角坐标为 A(2cos ，π2sin π)，B 2cos 4π4π，即 A ，B，2sin 33 的直角坐标分别为 A(－ 2,0)， B(－ 1，－ 3)，－ 3－0 3，k AB ＝ － 1＋ 2 ＝－∴直线 AB 的方程为 y － 0＝－ 3(x ＋ 2)， 即直线 AB 的方程为3x ＋ y ＋23＝ 0.(2)设 M(2cos θ， sin θ)，它到直线 AB 的距离d ＝ |2 3cos θ＋sin θ＋2 3|＝ |13sin θ＋ φ＋ 2 3|，2 213＋2 3∴ d max ＝.223． (本小题满分 10 分 )选修 4-5：不等式选讲已知函数 f(x)＝ |x － 2|－ |2x － a|， a ∈ R.(1)当 a ＝ 3 时，解不等式 f( x)>0 ；(2)当 x ∈ (－∞， 2) 时， f( x)<0 恒成立，求 a 的取值范围．23． 解： (1)当 a ＝ 3 时， f(x)>0 ，即 |x － 2|－ |2x － 3|>0， x ≤3， 3<x<2，x ≥2， 等价于 2或2或x － 1>0 ，－ 3x ＋ 5>0， － x ＋ 1>0.3 3 5.解得 1<x≤，或 <x<2 2 35所以原不等式的解集为x 1<x<3.(2)f(x)＝ 2－ x－ |2x－ a|，所以 f(x)<0 可化为 |2x－ a|>2－ x，①即 2x－a>2－ x，或 2x－ a<x－2. ①式恒成立等价于 (3x－ 2)min>a 或 (x＋ 2)max<a，∵ x∈ (－∞， 2)，∴ a≥4.。

的概率 Pn (k )
C
k n
p
k
(1
p)n k (k
0,1, 2,..., n ) ．
球的表面积公式 S 4 R2 ，其中 R表示球的半径．
球的体积公式 V 4 R3 ，其中 R表示球的半径．
3
柱体的体积公式 V Sh， 其中 S 表示柱体的底面积，
h 表示柱体的高．
A 恰好发生 k 次
锥体的体积公式 V 台体的体积公式 V
________ ．
x－ 4y＋ 3≤0， 15. 已知变量 x， y 满足 x＋ y－ 4≤0，
x≥ 1，
x2＋y2 xy 的取值围为 ________．
a a≥ b ， 16. 设 max{a， b} ＝
b a<b ， n|} 的
最小值为 ________．
已知 x， y∈R， m＋ n＝6，则 F＝ max{| x2－ 4y＋m| ， | y2－ 2x＋
PC的 中点。
(1) 证明： AE⊥平面 PAD； (2) 若 H 为 PD上的动点， EH与平面 PAD所成最大角的正切值为，求二面角 E-AF-C 的余弦值 .
20． ( 本题满分 15 分 ) 设函数 f ( x) ＝ 1－x＋ 1＋x. (1) 求函数 f ( x) 的值域； (2) 当实数 x∈ [0,1] ，证明： f ( x) ≤ 2－1x2. 4
在 ABC 中， a，b，c 分别是 A， B， C 的对边长，已知 a，b， c 成等比数列，
且 ac2
2
ac bc ，求
b sin B
A 的大小及
的值 .
c
19．（本题满分 15 分） 如图，已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD为菱形， PA⊥平面 ABCD，∠ ABC=60°， E，F 分别是 BC，

高考数学（理）模拟题(三)答案一. 选择题 1B 2B 3D 4B 5B 6D 7A 8B 9B 10C 11D 12C二.填空题 13.1. 14. 1-15．F(x)= 0010125261x x x x <⎧⎪⎪<⎪⎨⎪<⎪⎪⎩≤1≤≥2 16.)23,34()32,2(ππππ 提示: x x f cos 1)(-=' 三.解答题17． 解：（1）∵22cos2 2sin 12cos2a b c d ⋅=+⋅=+=-θθθ，∴2cos2a b c d ⋅-⋅=θ， ∵2()|2cos21||1cos2|2cos f a b ⋅=+-=+=θθθ，2()|2cos21||1cos2|2sin f c d ⋅=--=-=θθθ，∴22()()2(cos sin )2cos2f a b f c d ⋅-⋅=-=θθθ，∵04<<πθ，∴022<<πθ，∴2cos 20>θ，∴()()f a b f c d ⋅>⋅。

(2)22cos 102cos )2(cos 10)2cos 2(2cos 2)(+--+=---+=t t t g θθθθθθt t t t t t 3)2(225])2(25)[cos 2(23cos 10cos )2(222-+-+-+=--+=θθθ∵)4,0(πθ∈1cos 22<<∴θ∴当),1[]22,()2(25+∞-∞∈+ t 时,()θg 无最值, ,0>t ∴当1)2(2522<+<t 时, 即22250-<<t 时, 且当)2(25c o s +=t θ()θg 时, ()6433)2(225min -=-+-=t t g θ.0117182=--⇒t t 解得t=1(t=-1811舍去)18.解:(1) ξ~g (85,k ), ∴ ξ的分布列为85)1(==ηp ， 3298683)2(=⨯==ηp ，25621878283)3(=⨯⨯==ηp 256388818283)4(=⨯⨯⨯==ηp .∴η的分布列为:(2)5=ξE 1280=,128018752562564256332281==⨯+⨯+⨯+⨯=ηE ∴ηξE E >,即甲取球的平均次数大于乙取球的平均次数.19.解:(1) 连结AO 并延长交BC 于点E, 因为O ABC ∆的重心, 所以E 为BC 的中点, 连结EC 1 ,连结AC 1 , 因为C C A 11∆的重心, 所以G 在AC 1 上, 易知321==AE AC AO AG ,所以OG//EC 1 , 又⊄OG 平面11BCC B ,⊂1EC 平面11BCC B .故GO//平面11BCC B(2) 显然平面GAO 就是平回C 1AE, 连结A 1O, 由已知⊥O A 1底面ABC, 过C 1作C 1H ⊥底面ABC,H 为垂足, 又过H 作AE HK ⊥,垂足为K, 连结C 1K,KH C 1∠∴ 为所求二面角的二面角的平面角. 过O 作AB OP ⊥,垂足为P, 在等腰ABC Rt ∆中,.23,900===∠AC AB BACAO=233232=⨯=AE ,2=AP , 又PA A Rt AB A 10160∆∴=∠ 中,· · AB C 1AB 1C 1G OEHK P221=A A .在OA A Rt 1∆中, 可求得22211=-=AO A A O A连结HO, 显然OH//AC, 且OH=AC=23,045=∠HOK,32tan ,345sin 1110===∠∴==∴HK O A HK H C KH C OH HK 32arctan1=∠∴KH C .因此, 所求二面角的大小为32arctan .20.（1）证明 设方程f （x ）=0两个实根分别为,1()t t t Z +∈,则由题意有2224011(1)(1)()(1).44(1)a b t t a b a f a a t t b->⎧⎪++=-⇒=-⇒-=-⎨⎪+=⎩(2）证明 设方程f （x ）=0两个实根分别为,,,1()m m m Z αβαβ<<+∈且， 则有2()0()(),f x x ax b x x αβ=++==--222|()||(1)||()()||(1)(1)|111()()()224f m f m m m m m m m m m αβαβααββ∴⋅+=--⋅+-+--++--++-≤= 所以必有11|()||(1)|,44f m f m ≤+≤或故在所给条件下存在整数k=m 或m+1,使得1|()|.4f k ≤21．解:(1)令1x =-,0y =，得(1)(1)(0)f f f -=-,(0)1f =,故1(0)1a f ==.当0x >时,0x -<,(0)()()1f f x f x =-=,进而得0()1f x <<. 设12,x x ∈R ，且12x x <,则210x x ->,21()1f x x -<,121121()()()()f x f x f x f x x x -=-+-121()[1()]0f x f x x =-->.故12()()f x f x >,函数()y f x =在R 上是单调递减函数.由11()(2)n n f a f a +=--,得1()(2)1n n f a f a +--=.故1(2)(0)n n f a a f +--=,120n n a a +--=,12n n a a +-=(n ∈N ) 因此,{}n a 是首项为1,公差为2的等差数列.由此得21n a n =-,∴40112006=a(2)由12111(1)(1)(1)n a aa +++≥,知111(1)(1)(1)a k+++≤恒成立. 设111(1)(1)(1)()a F n +++=,则()0F n >, 且111(1)(1)(1)(1)a F n ++++=又(1)1()F n F n +=>,即(1)()F n F n+>,故()F n 为关于n 的单调增函数,()(1)F n F≥=所以,k ≤即k 22. (1)解: 由巳知可设点P 的坐标为)sin 2,(cos θθ+)20(πθ<≤设),(),,(2211y x N y x M , x y 2-='∴过M 点切线方程为)(2111x x x y y --=-即⇒+-=-211122x x x y y ⇒--=-11122y x x y y 0211=++y y x x 因为点P 在切线上, 所以0sin 2cos 211=+++y x θθ即0sin 2cos 211=+++θθy x同理 0sin 2cos 222=+++θθy x可见点M 、N 在直线 0sin 2cos 2=+++θθy x 上∴直线MN 的方程为0sin 2cos 2=+++θθy x .(2) 若直线MN 能过抛物线E 的焦点, 抛物线E 的焦点F )41,0(-∴147sin 0sin 241-<-=⇒=++-θθ,矛盾. 故直线MN 不能过抛物线E 的焦点.(3) 先求圆心C(0,2) 到直线MN 的距离的最小值. 圆心C(0,2) 到直线MN 的距离1cos 4sin 41cos 4sin 22)(22++=+++=θθθθθd .令11,sin ≤≤-=t t θ.那么).11(,454)()(2≤≤--+==t tt d t f θ令0)45(516)(232=-+='t t t f .165-=⇒t 函数)(t f 的值的变化情况见下表：∴)(t f 最小=)(t f 极小= 10295)165(=-f . 即当165sin -=θ时,10295)(min =θd . ∴ 165sin -=θ时, 点P 到直线MN 的距离的最小值是 110295- .。

2017-2018学年第一次模拟考试试卷高三数学（理）本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|0}M x x x =≥∈，R ，2{|1}N x x x =<∈，R ，则M N ＝( ) A ．[]01，B ．()01，C ．(]01，D ．[)01， 2．设i 是虚数单位，则复数21ii-在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．1y x =+B ．3y x =-C ．1y x=D ．y x x =4．下图给出的是计算111124610+++⋅⋅⋅+的值的一个框图， 其中菱形判断框内应填入的条件是( ) A ．5i >B ．5i < C ．6i >D ．6i <5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是( ) A ．8B ．62 C ．10D ．82 6．在数列{}n a 中，“1n n a a +>”是“数列{}n a 为递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．函数()sin()(00)2f x A x A =+>><，，πωϕωϕ的部分图象如图所示，则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后，得到的函数图象的解析式为( ) A ．sin 2y x =B ．2sin(2)3y x π=+C ．sin(2)6y x π=-D ．cos 2y x = 8．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半 (即2n)；如果n 是奇数，则将它乘3加1(即31n +)，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n (首项)按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现)，则n 的所有不同值的个数为( )A ．4B ．6C ．32D ．128第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．双曲线2212x y -=的焦距是________，渐近线方程是________．10．若变量x y ，满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，，，则2z x y =+的最大值等于_____． 11．如图，AB 是半圆O 的直径，30BAC ︒∠=，BC 为半圆的切线，且43BC =，则点O 到AC 的距离OD ＝________．12．在平面直角坐标系中，已知直线l 的参数方程为11x s y s =+⎧⎨=-⎩，(s 为参数)，曲线C 的参数方程为22x t y t=+⎧⎨=⎩，(t 为参数)，若直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，则AB ＝____．13．已知函数2log 0()30xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，，，，关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．14．某次考试的第二大题由8道判断题构成，要求考生用画“√”和画“×”表示对各题的正误判断，每题判断正确得1分，判断错误不得分.请根据如下甲，乙，丙3名考生的判断及得分结果，计算出考生丁的得分． 第1 题 第2题 第3 题 第4 题 第5 题 第6 题 第7题 第8 题 得分 甲 × × √ × × √ × √ 5 乙 × √ × × √ × √ × 5 丙 √ × √ √ √ × × × 6 丁√×××√×××？丁得了_______________分．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分）设△ABC的内角A B C，，，且sin3cos，，的对边分别为a b c=．b A a B（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若3sin2sin，，求a c，的值．b C A==16．（本小题共13分）我市某苹果手机专卖店针对苹果6S手机推出无抵押分期付款购买方式，该店对最近购买苹果6S手机的100人进行统计（注：每人仅购买一部手机），统计结果如下表所示：付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数35 25 a10 b已知分3期付款的频率为0.15,请以此100人作为样本估计消费人群总体，并解决以下问题：（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求“购买手机的3名顾客中（每人仅购买一部手机），恰好有1名顾客分4期付款”的概率；（Ⅲ）若专卖店销售一部苹果6S手机，顾客分1期付款(即全款)，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元．用X表示销售一部苹果6S手机的利润，求X的分布列及数学期望．17．（本小题共14分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，BC AC ⊥，2BC AC ==，13AA =，D 为AC 的中点．（Ⅰ）求证：1AB ∥平面1BDC ； （Ⅱ）求二面角1C BD C --的余弦值；（Ⅲ）在侧棱1AA 上是否存在点P ，使得CP ⊥平面1BDC ？若存在，求出AP 的长；若不存在，说明理由．18．（本小题共13分）已知函数()sin cos f x x x x =-．（Ⅰ）求曲线)(x f y =在点(())πf π，处的切线方程；（Ⅱ）求证：当(0)2x ∈，π时，31()3f x x <；（Ⅲ）若()cos f x kx x x >-对(0)2x ∈，π恒成立，求实数k 的最大值．19．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为2，离心率为22，直线:l y kx m =+与椭圆C 交于A B ，两点，且线段AB 的垂直平分线通过点1(0)2-，．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）求△AOB （O 为坐标原点）面积的最大值．20．（本小题共13分）若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得数列{}n a 的前n 项和n m S a =，则称{}n a 是“回归数列”．（Ⅰ）①前n 项和为2n nS =的数列{}n a 是否是“回归数列”？并请说明理由；②通项公式为2n b n =的数列{}n b 是否是“回归数列”？并请说明理由； （Ⅱ）设{}n a 是等差数列，首项11a =，公差0d <，若{}n a 是“回归数列”，求d 的值； （Ⅲ）是否对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“回归数列”{}n b 和{}n c ，使得n n n a b c =+*()n ∈N 成立，请给出你的结论，并说明理由．答案及试题解析1【知识点】集合的运算【试题解析】因为故答案为：D【答案】D2【知识点】复数综合运算【试题解析】因为所以，对应的点位于第二象限故答案为：B【答案】B3【知识点】函数的奇偶性函数的单调性与最值【试题解析】因为A．不是奇函数，B．不是增函数，C．不是增函数，只有D．既是奇函数又是增函数故答案为：D【答案】D4【知识点】算法和程序框图【试题解析】因为判断框内填入的条件是输出的值故答案为：A5【知识点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图【试题解析】因为如图为原几何体的直观图，面积中最大的是,故答案为：C【答案】C6【知识点】充分条件与必要条件【试题解析】因为不能推出数列为递增数列，由数列为递增数列能推出，所以，“”是“数列为递增数列”的必要不充分条件故答案为：B【答案】B7【知识点】三角函数图像变换【试题解析】因为由图像可知,过点，又得，，图象向右平移个单位后故答案为：C8【知识点】合情推理与演绎推理【试题解析】因为倒着分析得第一个数可为共六个不同取值故答案为：B【答案】B9【知识点】双曲线【试题解析】因为焦距渐近线方程是故答案为：，【答案】，10【知识点】线性规划【试题解析】因为如图为可行域，在取得最大值10故答案为：10【答案】1011【知识点】几何选讲【试题解析】因为故答案为：3【答案】312【知识点】参数和普通方程互化【试题解析】因为，联立得得，得故答案为：【答案】13【知识点】零点与方程函数图象【试题解析】因为原命题等价于函数与图像只有一个交点，a为直线在x轴上的截距，有图像可得。