濮阳市一高2021级高一下学期期中质量检测文科数学试题一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设命题2:,2n P n N n ∃∈>，则P ⌝为A ．2,2n n N n ∀∈>B ．2,2n n N n ∃∈≤C ．2,2nn N n ∀∈≤D ．2,2nn N n ∃∈=2．设集合(){}2log 12A x x =-<，{}5B x x =<，则（）A ．A B=B ．B A⊆C ．A B⊆D ．A B ⋂=∅3．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3：5：7，现用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n=（）A ．45B ．54C ．90D ．1264．已知正数,x y 满足811x y+=，则2x y +的最小值是A ．18B ．16C ．8D ．105．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β ”是“αβ ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知i 为虚数单位，则232019i i i i ++++ 等于A ．i B ．1C ．i-D ．1-7．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，145AD D ∠=︒，130CDC ∠=︒，那么异面直线1AD 与1DC 所成角的余弦值是（）A B C D 8．设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c<<B ．b a c<<C ．b<c<aD ．c<a<b9．设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂B ．若//,//l ααβ，则l β⊂C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥10．已知平面向量a ，b ，c满足20a b c +-= ，3a b == ，c = 则b 与c的夹角为()A ．6πB ．3πC ．2πD ．23π11．ABC 中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 的对边，若2224ABCa b c S +-=且()0||||AB AC BC AB AC +⋅=，则ABC 的形状是（）A ．有一个角是6π的等腰三角形B ．等边三角形C ．三边均不相等的直角三角形D ．等腰直角三角形12．已知定义域为(0,)+∞的函数()2log 1,0434x x f xx ⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩，若,,a b c 是三个互不相同的正数，且()()()f a f b f c ==，则abc 的范围是（）A ．(4,9)B ．(16,36)C ．(2,9)D ．(4,36)二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若函数y =R ，则实数k 的取值范围是______．14．在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角60α=︒，在塔底C 处测得点A 的俯角45β=︒，已知铁塔BC 部分高32米，山高CD =_______．15．已知()2,1a =--，(),1b λ= ，若a 与b 的夹角α为钝角，则实数λ的取值范围为______.16．在平行四边形ABCD中，AB =3BC =，且cos 3A =，以BD 为折痕，将BDC 折起，使点C 到达点E 处，且满足AE AD =，则三棱锥E ABD -的外接球的表面积为__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．已知复数z 1满足：|z 1|=1+3i ﹣z 1.（1）求z 1（2）若复数z 2的虚部为2，且21z z 是实数，求2z .18．已知()22sin ,cos a x x =，,2)b x = ，()f x a b =⋅ ．（1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．19．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b ccos sin B b C =.（1）求角B 的大小；（2）若b =，ABC的面积为ABC 的周长.20．今年，我国某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且()2101001000,040100007018450,40x x x R x x x x ⎧++<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.(1)求2023年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式；(2)2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？21．三棱锥V ABC -中，平面VAB ⊥平面ABC ，VAB ∆为等边三角形，AC BC ⊥且AC BC ==O 、M 分别为AB 、VA 的中点.（1）求证：//VB 平面MOC ；（2）求证：平面MOC ⊥平面VAB ；（3）求三棱锥V ABC -的体积.22．如图，M 为△ABC 的中线AD 上一点，2AM MD =，过点M 的直线分别与边AB ，AC交于点P 、Q (均异于点A )，设AP x AB =，AQ y AC = ，记x 的关系式为()y f x =.（1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）设APQ △的面积为S 1，ΔABC 的面积为S 2，且12S kS =，求实数k 的取值范围.1．C 【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2n n N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C.2．C 【分析】先由对数函数的单调性化简集合，再由集合知识判断即可.【详解】(){}(){}{}222log 12log 1log 415A x x x x x x =-<=-<=<< ∴A 错误，B 错误，C 正确，D 错误.故选：C 3．C 【分析】由分层抽样的特点，用A 种型号产品的样本数除以A 种型号产品所占的比例，即得样本的容量n ．【详解】解：A 种型号产品所占的比例为313575=++，118905÷=，故样本容量n=90．故选C ．【点睛】本题考查分层抽样的定义和方法，各层的个体数之比等于各层对应的样本数之比，属于基础题．4．A 【分析】()8122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭然后运用基本不等式求出最小值【详解】811x y+=()811622101018y x x y x y x y x y ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当16y xx y=，即12x =，3y =时，2x y +取得最小值18故选A 【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，本题运用了均值不等式，属于基础题5．B 【详解】试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项.6．D 【分析】利用)ni n N *∈（的周期求解.【详解】由于234110i i i i i i +++=--+=，且)ni n N *∈（的周期为4，2019=4504+3⋅，所以原式=2311i i i i i ++=--=-.故选D 【点睛】本题主要考查复数的计算和)ni n N *∈（的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7．C 【分析】由边角关系得出长方体的长宽高，连接1,BC BD ，由11//AD BC 得出异面直线1AD 与1DC 所成角为1BC D ∠，最后由余弦定理得出答案.【详解】设11DD =，则111,1,2,AD CC DC DC ====连接1,BC BD ，因为11//AD BC ，所以异面直线1AD 与1DC 所成角为1BC D ∠或其补角又112,cosBD BC BC D =∴∠故选：C8．D 【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<.故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：x y a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.9．C 【详解】对于A 、B 、D 均可能出现l //β，而对于C 是正确的．10．A【分析】根据20a b c +-= 可得2a c b =-，两边平方即可根据向量数量积运算方法求出b 与c 的夹角的余弦，从而求出b 与c的夹角．【详解】2222024cos ,4a b c a c b a c b c b c b+-=⇒=-⇒=-⋅+ cos ,c ⇒=222|4|||24c b a b c +-==，[],0,b c π∈ ，,6b c π∴= ．故选：A ．11．D 【分析】由()0||||AB AC BC AB AC +⋅=推导可得BAC ∠的平分线垂直于边BC ，进而可得b c =，再由给定面积导出90BAC ∠= 得解.【详解】如图所示，在边AB 、AC 上分别取点D 、E ，使||AB AD AB = 、||ACAE AC =，以AD 、AE 为邻边作平行四边形ADFE ，则AF AD AE =+，显然||||1AD AE == ，因此平行四边形ADFE 为菱形，AF 平分BAC ∠，而()0||||AB AC BC AB AC +⋅=，则有0AF BC ⋅= ，即AF BC ⊥，于是得ABC 是等腰三角形，即b c =，令直线AF 交BC 于点O ，则O 是BC 边的中点，12ABC S a AO =⋅ ，而2222144ABCa b c S a +-== ，因此有1122AO a BC ==，从而得90BAC ∠= ，所以ABC 是等腰直角三角形.故选：D 12．B 【分析】利用函数的图象可得1249a b c <<<<<<，然后利用对数函数的性质可得4ab =，即得.【详解】作出函数()y f x =的图象，不妨设a b c <<，则1249a b c <<<<<<，∴22log 1log 1a b -=-，∴()22log 1log 1a b --=-，即()222log log log 2a b ab +==，∴4ab =，∴()416,36abc c =∈.故选：B.13．[)1,+∞【分析】把函数y =R 转化为2210kx x -+≥对任意x R ∈恒成立，然后对k 分类讨论得答案．【详解】∵函数y =R ，∴2210kx x -+≥对任意x R ∈恒成立，当0k =时，不等式化为210x -+≥不成立；当0k ≠时，则0440k k >⎧⎨=-≤⎩，解得1k ≥，综上，实数k 的取值范围是[)1,+∞．故答案为[)1,+∞.【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，考查数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，是中档题．14．1)米【分析】设AD x =米，在直角三角形中表示出,CD CB ，利用CB 的长求得x ，从而得CD ．【详解】由60α=︒，45β=︒易得60BAD ∠=︒，45CAD ∠=︒，设AD x =，则tan tan 45CD AD CAD AD x =⋅∠=⋅︒=，tan tan 60BD AD BAD AD =⋅∠=⋅︒=，32BC BD CD x ∴=-=-=，1)x ∴==+．15．()1,22,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】由题意得出0a b ⋅< 且a 与b 不共线，利用向量的坐标运算可求出实数λ的取值范围.【详解】由于a 与b 的夹角α为钝角，则0a b ⋅< 且a 与b 不共线，()2,1a =--r Q ，(),1b λ= ，2102λλ--<⎧∴⎨-≠-⎩，解得12λ>-且2λ≠，因此，实数λ的取值范围是()1,22,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭，故答案为：()1,22,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查利用向量的夹角求参数，解题时要找到其转化条件，设两个非零向量a 与b 的夹角为θ，θ为锐角0a b a b ⎧⋅>⇔⎨⎩ 与不共线，θ为钝角0a b a b ⎧⋅<⇔⎨⎩与不共线.16．13π【解析】先由余弦定理求得3BD =，在四面体ABED 中，根据棱长关系可知，将四面体ABED 放在长方体中，则三棱锥E ABD -的外接球转化为长方体的外接球，根据棱长关系求出长方体的长、宽、高，利用长方体的体对角线等于外接球的直径，求出外接球半径，从而可求得外接球的表面积.【详解】解：在ABD △中，AB =3BC =，且cos A =由余弦定理，得2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅，即：(22232393BD =+-⨯⨯=，解得：3BD =，在四面体ABED 中，3AE BD ==，3AD BE ==，AB ED ==，三组对棱长相等，可将四面体ABED 放在长方体中，设长方体的相邻三棱长分别为x ，y ，z ，设外接球半径为R ，则229x y +=，229y z +=，228z x +=，则22213x y z ++=，即2R =R =所以，四面体E ABD -外接球的表面积为：2134413π4R ππ=⨯=.故答案为：13π.【点睛】本题考查外接球的表面积，涉及长方体的外接球的性质，考查转化思想和计算能力.17．（1）z 1=-4+3i ；（2）2823z i =--.【分析】（1）设z 1=x +yi (x ，y ∈R )，代入|z 1|=1+3i ﹣z 1，整理后利用复数相等的条件列式求得x ，y 的值，则z 1可求；（2）令z 2=a +2i ，a ∈R ，由（1）知，z 1=-4+3i ，代入21z z ，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求得a 值，则答案可求.【详解】解：（1）设z 1=x +yi (x ，y ∈R )，13()(1)(3)i x yi x y i =+-+=-+-，故1x y-=-⎪⎩，解得43x y =-⎧⎨=⎩，∴z 1=﹣4+3i ；（2）令z 2=a +2i ，a ∈R ，由（1）知，z 1=-4+3i ，则212(2)(43)43(43)(43)z a i a i i z i i i ++--==-+-+--=46382525a a i -++-，∵21z z 是实数，∴3a +8=0，即a =83-∴2823z i =-+，则2823z i =--.18．（1）最小正周期为π，单调减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）最大值为3，最小值为0．【分析】（1）利用向量的坐标运算化简，再利用整体的思想.（2）根据（1）的结果及x 的范围求出26x π+的范围，从而计算出函数的最值.【详解】解：2(1)(2sin ,cos )a x x =，,2)b x = ，由2()sin cos 2cos f x a b x x x=⋅=+2cos 212sin(2)16x x x π=++=++，()f x \的最小正周期22T ππ==，由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得：2,63k x k k ππ+π≤≤+π∈Z ，()f x \的单调递减区间为2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈；()2由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得：72,,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦当7266x ππ+=时，函数()f x 取得最小值为7210,6sin π+=当262x ππ+=时，函数()f x 取得最大值为213,2sin π+=故得函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，最小值为0．19．（1）3π；（2）10+【分析】（1cos sin B b C =统一成角，化简可得tan B =B 的大小；（2）由ABC的面积为24ac =，再利用余弦定理可得22=52a c +，从而可求出10a c +=，进面可求出ABC 的周长【详解】（1）由正弦定理sin sin b c B C=，得cos sin sin C B B C =，在ABC 中，因为sin 0C ≠sin B B=故tan B =又因为0＜B ＜π，所以3B π=，（2）由已知，得1sin 2ac B =.又3B π=，所以24ac =.由已知及余弦定理，得222cos 28a c ac B +-=，所以22=52a c +，从而()2100a c +=.即10a c +=又b =，所以ABC的周长为10+【点睛】此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角形的面积公式的应用，考查计算能力，属于基础题20．(1)()2106001250,040100008200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)2023年产量为100（千部）时，企业所或利润最大，最大利润是8000万元【分析】（1）根据已知条件求得分段函数()W x 的解析式.（2）结合二次函数的性质、基本不等式求得()W x 的最大值以及此时的产量.【详解】（1）当040x <<时，()()22700101001000250106001250W x x x x x x =-++-=-+-；当40x ≥时，()100001000070070184502508200W x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；∴()2106001250,040100008200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）若040x <<，()()210307750W x x =--+，当30x =时，()max 7750W x =万元；若40x ≥，()10000820082008000W x x x ⎛⎫=-++≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当10000x x=即100x =时，()max 8000W x =万元.答：2023年产量为100（千部）时，企业所或利润最大，最大利润是8000万元.21．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3.【分析】（1）由三角形中位线定理可得//OM VB ，再由线面平行的判定定理可得//VB 平面MOC ；（2）由于AC BC =，O 为AB 的中点，可得OC AB ⊥，再由平面VAB ⊥平面ABC ，可证得OC ⊥平面VAB ，然后利用面面垂直的判定定理可得平面MOC ⊥平面VAB ；（3）由于OC ⊥平面VAB ，所以求13C VAB VAB V OC S -∆=⋅⋅，可得三棱锥V ABC -的体积【详解】(1)证明：∵O 、M 分别为AB 、VA 的中点，∴//OM VB ，又∵VB ⊄平面MOC ，OM ⊂平面MOC ，∴//VB 平面MOC ；(2)证明：∵AC BC =，O 为AB 的中点，∴OC AB ⊥，又∵平面VAB ⊥平面ABC ，平面VAB 平面ABC AB =，且OC ⊂平面ABC ，∴OC ⊥平面VAB ，又OC ⊂平面MOC ，∴平面MOC ⊥平面VAB ；(3)解：在等腰直角三角形ACB中，AC BC ==∴2AB =，1OC =，∴等边三角形VAB的面积VAB S ∆=，又∵OC ⊥平面VAB ，∴三棱锥C VAB -的体积133C VAB VAB V OC S -∆=⋅⋅=，∴V ABC C VAB V V --=22．（1）31x y x =-，定义域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）41,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）利用,,P M Q 三点共线求得函数()y f x =的解析式，根据,x y 的取值范围求得函数的定义域.（2）求得12,S S 的表达式，由此求得k 的表达式，进而求得k 的取值范围.【详解】（1）()2211133233AM AD AB AC AB AC ==⨯⨯+=+ 1111113333AP AQ AP x y x y =⋅+⋅=+ ，由于,,P M Q 三点共线，所以11133x y+=，1111313,3,31x x y x y y x x x -+==-==-.由0101x y <≤⎧⎨<≤⎩得01011103120131x x x x x x x <≤⎧<≤⎧⎪⇒⇒≤≤⎨⎨<≤-<≤⎩⎪-⎩，所以函数()y f x =的定义域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）1211sin ,sin 22S AP AQ BAC S AB AC BAC =⋅⋅∠=⋅⋅∠ ，所以21231AP AQ S x k xy S x AB AC⋅====-⋅ .设31t x =-，3133,31222x x ≤≤≤-≤，故122t ≤≤，13t x +=，22121111322992t t t k t t t t t +⎛⎫ ⎪++⎛⎫⎛⎫⎝⎭===++≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，对于函数1122y t t t ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭，其在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，在[]1,2上递增，当12t =时，52y =，当2t =时，52y =，当1t =时，2y =，所以522y ≤≤，故19422tt≤++≤，41112992tt⎛⎫≤++≤⎪⎝⎭，所以k的取值范围是41, 92⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】要求参数的取值范围，首先把参数的表达式求出来，根据表达式的结构来求解取值范围.。
