第四章气体动理论

第四章气体动理论4.1 关于理想气体的基本假设是什么?【答】理想气体是气体分子运动论和热学所研究的，由大量做无规则热运动的分子组成的最简单的系统，它是客观实际存在的许多真实气体的理想化的物理模型。

关于理想气体的基本假设如下：(1)气体的密度很小，因而气体分子问的平均距离比，分子本身的几何线度大很多’(2)气体分子之间的相互作用力随分子间距离的增大，而急剧地减小，当分子问的距离超过分子本身的几何线度很。

多时，分子间的相互作用力变得非常小，以至于可以忽略不-计；(3)气体分子是完全弹性的刚性球，因此，气体分子之间的相互碰撞以及气体分子与容器壁的碰撞都是完全的弹-性碰撞；(4)气体分子之间的相互碰撞很少，即在绝大部分时间内，气体分子都是自由运动的。

也就是说，气体分子的运动轨道是由许多直线段组成的不规则的折线，各直线线段的长度比分子本身的几何线度大很多；(5)气体分子的运动速度很大，因此单位时间内气体分子之间的相互碰撞次数很多，在标准状态下，一般气体分子的运动速度为500米／秒左右，一个分子在1秒内所经历的碰撞次数为大约810次。

上述五条即是关于理想气体的基本假设，做了这样的基本假设后，气体的许多主要性质被突出了，例如，理想气体服从状态方程： PV=nRT这就为我们研究气体各状态参量——压强P、体积V和温度T之间的关系提供了方便。

做了上述基本假定之后，这样的理想气体虽然并不真实存在，它只是客观存在的真实气体的理想模型，但它与一般状态下的气体，例如，氢气、氨气和氧气等非常接近。

实际上，在压强不太高，温度不特别低的情况下，很多种真实气体都可以用理想气体来近似。

换句话说，由于对理想气体的基本假设是抓住了问题的本质，忽略了次要因素，因此，理想气体具有很好的普遍性和适用性，成为气体分子运动论和热学的典型的研究对象。

4.2 什么是动力学规律性?什么是统计规律性?【答】动力学规律性是从经典力学、经典电磁场理论以及其他物理学科的研究中总结出来的。

在经典力学的研究中，我们知道，它的基本任务是在已知作用力和初始条件的情况下，解力学的运动微分方程求出运动的轨道。

或者说，在一定的外界条件下，根据动力学规律性，可由物体运动的初始状态求出以后任一时刻的运动状态。

动力学规律性能够以抽象的形式反映出由力学体系(物体)运动的初始状态决定力学体系以后任一时刻运动状态之间的联系关系。

在经典力学和经典电磁场理论的学习中，我们知道，动力学规律性往往是忽略了某些次要因素，抓住了影响力学体系运动状态的主要因素而获得的，它的正确性是由大量的实验事实证明了的。

气体分子运动论和热学的研究对象是由大量的分子组成系统，由于系统中包括的分子数太多，以致于我们不能靠研究一个一个分子服从的动力学规律来寻找系统的初始状态与以后任一时刻系统状态之间的联系关系。

而在由大量分子所组成的系统中存在一种特殊类型的规律性，它是单个分子或由少数分子所组成的系统所没有的规律，这种特殊类型的规律就是统计规律性。

与动力学规律性相类似，统计规律性也是以一定的形式反映出各种物理现象和过程之间的客观联系。

由于系统是由大量的微观粒子组成的，而这些微观粒子又在不停地相互碰撞，经过足够长的时间后，每个确定的粒子都可能经历了它所可能的所有轨道。

换句话说，对于由大量微观粒子组成的系统必须考虑它们之间的相互作用。

对于气体，由于组成系统的大量的微观粒子都在做无规则的热运动，粒子之问的相互作用是随机的，这就决定了由大量微观粒子组成的系统必然服从统计规律性。

所以，我们要用统计的方法，求出大量微观粒子的一些物理量的统计平均值，而整个系统这些物理量的取值相对于统计平均值还会有偏离，它称为起伏或涨落。

用统计平均值和起伏或涨落来描写系统状态的方法就是统计方法，对于服从统计规律性的系统都用这种方法描述。

当然，对于构成系统的个别粒子所服从的动力学规律性和由大量粒子组成的系统所服从的统计规律性之间必然存在着不可分割的联系。

由于系统中的每个粒子都服从它的动力 学规律性，而系统就是由这些粒子组成的，因此系统所服从的统计规律性与构成系统的粒子所服从的动力学规律性必然存在某种联系。

但是，由于构成系统的粒子数太多，以致于不可能逐一研究每个粒子所服从的动力学规律。

又由于系统服从的统计规律完全可以用统计方法求出来，因此也没有必要一个一个研究粒子的动力学规律。

也就是说，对于同一个系统来说，粒子所服从的动力学规律与系统所服从的统计规律是有联系。

但做为两种截然不同的规律性，它们是分别用不同的方法求出来的。

4.3 试问速率1v 到2v 之间分子的平均速率是否是()dv vf v v v ⎰21?若是，其原因是什么?若不是，则正确答案是什么?【答】 不是．因为介于某一速率范围内的分子的平均速率应是所有介于这一范围内分子的速率之和再除以该范围内的总分子数．显然，速率从1v 到2v 范围内分子的速率之和为()dv v Nf v v v ⎰21速率从1v 到2v 范围内的总分子数是()dv Nf v v v ⎰21，故速率从1v 到2v 之间的所有分子的平均速率是()()()()⎰⎰⎰⎰=21212121v v v v v v v v v v v v dv f dv vf dv Nf dv Nvf 4.4 两容器分别贮有气体A 和B ，温度和体积都相同，试说明在下列各种情况中它们的分子的速度分布是否相同：(1)A 为氮，B 为氢，而且氮和氢的质量相等，即21m m =；(2)A 和B 均为氢气，但21m m ≠；(3)A 和B 均为氢气，而且21m m =，但是使A 的体积等温地膨胀到原体积的二倍．【答】化学纯理想气体分子的速度分布是麦克斯韦分布，气体的温度不同或者气体的摩尔质量不同其速度分布是不同的．在(1)中相互比较的是两种不同种类的气体，虽然它们的温度是相同的，但是速度分布不同．在(2)中相互比较的是同种气体(虽然气体质量不同)，它们的温度也相同，所以速度分布相同．在(3)中相互间比较的是同种气体,它们的温度也相同,所以速度分布相同。

4.5 恒温器中放有氢气瓶，现将氧气通入瓶内，某些速度大的氢分子具备与氧分子化合的条件(如只有当速率大于某一数值的两个氢分子和一个氧分子碰撞后才能结合为水)而化合成水，同时放出热量．问瓶内剩余的氢分子的速率分布改变吗?(一种观点认为，因为氢气分子中速率大的分子减少了，所以分子的速率分布应该向温度低的方向变化；另一种观点认为，因为这是放热反应，气体温度应该升高，速率分布应该向温度高的方向变化．您认为如何?)若氢气瓶为一绝热容器，情况又如何?【答】在气体化学反应进行过程中，平衡态尚未达到时是谈不上什么速率分布的．、平衡态建立以后，混合气体中氢分子和氧分子的速率分布决定于它们自己的温度．若容器为桓温器，则速率分布不变；若为绝热容器，由于是放热反应，故温度要升高，速率分布向温度高的方向改变．4.6 空气中含有氮分子和氧分子．试问哪种分子的平均速率较大?这个结论是否对空气中的任一氮分子及氧分子都适用?【答】由于氮分子质量小于氧分子，在温度相同的情况下，氮分子的平均速率大于氧分子的平均速率．但是对于任一分子来说，其速度的大小与方向瞬息万变，是个随机变量，无法进行比较．4.7 解释为什么混合理想气体处于平衡状态时，每种气体分子的速率分布情况与在容器体积、温度不变情况下该种气体单独存在(而其他气体分子全部排除)时分子的速率分布情况完全相同．【答】根据道尔顿分压定律，混合理想气体第i组元的分压就是在温度与体积不变情况下，把其他组元的分子全部排除仅留下第i组元的全部分子以后，这种气体所呈现的压强．道尔顿分压定律指出，混合理想气体的压强就是所有各种组元的分压之和．这说明混合理想气体在温度与体积不变情况下，任一组元气体的分压与是否存在其他组元气体无关，因而与该种气体单独存在时完全一样．显然，在上述两种(即该种气体单独存在以及这种气体与其他气体构成混合理想气体)情况下的速率分布也应相同．4.8 麦克斯韦分布中并未考虑分子之间相互碰撞这一因素．实际上由于分子之间碰撞，气体分子速率瞬息万变，但只要是平衡态已经建立，麦克斯韦分布总能成立，为什么?【答】．麦克斯韦分布适用于平衡态理想气体，这是一种在统计平均基础上的动态平衡．任一分子随时都可能由于与其他分子相碰而改变速度的大小和方向，但是从统计平均上来说，若有一分子由于碰撞而改变速度的大小和方向，则必然有另一个速度大小和方向相同的分子来替代它，使得其速度分布不变．4.9 泻流分子的速率分布，与麦克斯韦速率分布的主要区别在哪里?为什么？【答】麦克斯韦速率分布适用于平衡态气体，所以它是一种“静态”(因为平均说来每一分子都是静止不动的)的分布，设它的分布公式为()dv．泻流分子却在宏观上处于运fv动状态，它形成分子流，是一种非平衡态，它的速率分布是一种“动态”的分布，其速率分布可以用在逸出面积为A∆的小孔以前向小孔运动的气体分子的速率分布来描述，实际上这就是单位时间内碰撞在A∆器壁上所有分子的速率分布．注意到在教科书中已经介绍了“分子(原子)束技术和分子(原子)束速率分布”，其中的分子(原子)束速率分布()()()dv vf v dt dA v ndtdA dv vf ndv F v v v 144=⋅⋅⋅⋅= (1)处于“静态”的气体分子速率分布为 ()dv f v (2)注意到(1)式、(2)式都是无量纲的，对于理想气体来说(2)式是麦克斯韦速率分布，但是(1)式中作为随机变量的函数()dv F v 比(2)式()dv f v 的多了一个因子“v ”，这个“v ”是因为“动态”的分布才多出来的．4.10为什么速率较大的分子逸出小孔的概率较大?【答】从上题的分析可知逸出小孔的分子是一种在柱体中的“分子流”．在dt 时间内，一种速度的大小和方向对应于一个柱体，在这一柱体中所有向小孔运动的分子形成这种“分子流”，并且在dt 时间内“分子流”中的所有分子都能够逸出小孔．由于柱体是和这种分子的速率有关的，速率大的所对应的柱体体积大．因而“分子流”也大．所以逸出小孔的概率也大．4.11 麦克斯韦分布和玻尔兹曼分布有什么区别?【答】麦克斯韦分布即麦克斯韦速度分布是研究理想气体在平衡状态，在没有外力场作用下气体分子的速度分布情况。

这时，理想气体分子在空间各处的分布是均匀的，气体分子在空间各种的密度也是均匀的。

麦克斯韦在研究气体分子速度分布时，首先把速度按大小分成若干个相等的区间，然后找出理想气体在平衡状态下，在各速度区间的分子数，以及它们占气体分子总数的百分比。

为了讨论问题方便，设所研究的理想气体共有N 个分子，在速度为v →v+△v 内的分子数为△N ，则△N／N 就是该区间内的分子数占气体分子总数的百分比。