下载文档原格式
第十三章 气体动理论本章从理想气体的微观组成出发，假以统计性假设，推出理想气体的压强和温度公式，揭示了压强和温度的本质；提出了理想气体内能的概念，介绍了理想气体能量按自由度均分原理；阐述了理想气体的麦克斯韦速率分布率。
这称为气体动理论。
气体动理论的产生和发展凝聚了众多物理学家的智慧和心血。
早在1678年，胡克就提出了气体压强是由大量气体分子与器壁碰撞的结果的观点。
之后，在1738年，伯努利根据这一观点推导出压强公式，并且解释了玻意耳定律。
1744年，俄国的罗蒙诺索夫提出了热是分子运动表现的观点。
在19世纪中叶，气体动理论经克劳修斯、麦克斯韦和玻耳兹曼的努力而有了重大发展。
1858年，克劳修斯提出气体分子平均自由程的概念并导出相关公式。
1860年，麦克斯韦指出，气体分子的频繁碰撞并未使它们的速度趋于一致，而是达到稳定的分布，导出了平衡态气体分子的速率分布和速度分布。
之后，麦克斯韦又建立了输运过程的数学理论。
1868年，玻耳兹曼在麦克斯韦气体分子速率分布律中又引进重力场。
第一节理想气体状态方程一、状态参量1．状态参量概念如何描述系统的冷热变化规律，这就需要一些物理量。
假设气体的质量为 m ，其宏观状态一般可以用气体的压强p 、体积V 和温度T 三个物理量来描述。
如果在热力学过程中伴随着化学反应，还需要物质的量、摩尔质量 、物质各组分的质量等物理量来描述。
如果热力学系统处于磁场中，还需要电场强度E 、电极化矢量P 、磁场强度H 和磁化强度M 等物理量来描述。
选择几个描写系统状态的参量，称为状态参量。
2．状态参量分类按照不同的划分标准，状态参量可作如下划分：（1）按状态参量描写系统的性质划分可分为：V P E P H M几何参量：描述系统的空间广延性。
如体积 。
力学参量：描述系统的强度。
如压强 。
化学参量：描述系统的化学组分。
如各组分的质量，物质的量。
电磁参量：描述系统的电磁性质。
如电场强度 ，电极化强度 ，磁场强度 ，磁化强度 。
第四章⽓体动理论总结第四章⽓体动理论单个分⼦的运动具有⽆序性布朗运动⼤量分⼦的运动具有规律性伽尔顿板热平衡定律(热⼒学第零定律)实验表明：若 A 与C 热平衡 B 与C 热平衡则 A 与B 热平衡意义：互为热平衡的物体必然存在⼀个相同的特征--- 它们的温度相同定义温度：处于同⼀热平衡态下的热⼒学系统所具有的共同的宏观性质,称为温度。
⼀切处于同⼀热平衡态的系统有相同的温度。
理想⽓体状态⽅程: 形式1:mol M PV =RT =νRTM形式2:222111T V p T V p ＝形式3: nkT P =n ----分⼦数密度(单位体积中的分⼦数) k = R/NA = 1.38*10 –23 J/K----玻⽿兹曼常数在通常的压强与温度下,各种实际⽓体都服从理想⽓体状态⽅程。
§4-2 ⽓体动理论的压强公式VNV N n ==d d 1）分⼦按位置的分布是均匀的2）分⼦各⽅向运动概率均等、速度各种平均值相等kj i iz iy ix iv v v v ++=分⼦运动速度单个分⼦碰撞器壁的作⽤⼒是不连续的、偶然的、不均匀的。
从总的效果上来看，⼀个持续的平均作⽤⼒。
2213212()323p nmvp n mv n ω===v----摩尔数R--普适⽓体恒量描述⽓体状态三个物理量： P,V T 压强公式122ω=mv理想⽓体的压强公式揭⽰了宏观量与微观量统计平均值之间的关系,说明压强具有统计意义；压强公式指出:有两个途径可以增加压强 1)增加分⼦数密度n 即增加碰壁的个数2)增加分⼦运动的平均平动能即增加每次碰壁的强度思考题：对于⼀定量的⽓体来说，当温度不变时，⽓体的压强随体积的减⼩⽽增⼤（玻意⽿定律）；当体积不变时，压强随温度的升⾼⽽增⼤（查理定律）。
从宏观来看，这两种变化同样使压强增⼤，从微观（分⼦运动）来看，它们有什么区别？对⼀定量的⽓体，在温度不变时，体积减⼩使单位体积内的分⼦数增多，则单位时间内与器壁碰撞的分⼦数增多，器壁所受的平均冲⼒增⼤，因⽽压强增⼤。
第四章 气体动理论一、基本要求1．理解平衡态的概念。
2．了解气体分子热运动图像和理想气体分子的微观模型，能从宏观和统计意义上理解压强、温度、内能等概念。
3．初步掌握气体动理论的研究方法，了解系统的宏观性质是微观运动的统计表现。
4．理解麦克斯韦速率分布律、速率分布函数和速率分布曲线的物理意义，理解气体分子运动的最概然速率、平均速率、方均根速率的意义，了解玻尔兹曼能量分布律。
5．理解能量按自由度均分定理及内能的概念，会用能量均分定理计算理想气体的内能。
6．了解气体分子平均碰撞频率及平均自由程的意义及其简单的计算。
二、基本内容1. 平衡态在不受外界影响的条件下，一个系统的宏观性质不随时间改变的状态。
2. 理想气体状态方程在平衡态下，理想气体各参量之间满足关系式pV vRT =或 n k T p =式中v 为气体摩尔数，R 为摩尔气体常量 118.31R J mol K --=⋅⋅，k 为玻尔兹曼常量 2311.3810k J K --=⨯⋅3. 理想气体压强的微观公式21233t p nm n ε==v4. 温度及其微观统计意义温度是决定一个系统能否与其它系统处于热平衡的宏观性质，在微观统计上32t kT ε=5. 能量均分定理在平衡态下，分子热运动的每个自由度的平均动能都相等，且等于2kT 。
以i 表示分子热运动的总自由度，则一个分子的总平均动能为2t i kT ε=6. 速率分布函数()dNf Nd =v v麦克斯韦速率分布函数232/22()4()2m kT m f e kTππ-=v v v7. 三种速率最概然速率p =≈v 平均速率==≈v 方均根速率==≈8. 玻尔兹曼分布律平衡态下某状态区间（粒子能量为ε）的粒子数正比于kT e /ε-。
重力场中粒子数密度按高度的分布（温度均匀）：kT m gh e n n /0-=9. 范德瓦尔斯方程采用相互作用的刚性球分子模型，对于1mol 气体RT b V V ap m m=-+))((2 10. 气体分子的平均自由程λ==11. 输运过程 内摩擦dS dz du df z 0)(η-=， 1133mn ηλρλ==v v 热传导dSdt dz dT dQ z 0)(κ-= 13v c κρλ=v 扩散dSdt dz d D dM z 0)(ρ-= 13D λ=v三、习题选解4-1 一根铜棒的两端分别与冰水混合物和沸水接触，经过足够长的时间后，系统也可以达到一个宏观性质不随时间变化的状态。
第四章 气体动理论2-4-1选择题：1、处于平衡状态的一瓶氦气和一瓶氮气的分子数密度相同，分子的平均平动动能也相同，都处于平衡态。
以下说法正确的是：（A ）它们的温度、压强均不相同。
（B ）它们的温度相同，但氦气压强大于氮气压强。
（C ）它们的温度、压强都相同。
(D) 它们的温度相同，但氦气压强小于氮气压强。
2、三个容器A 、B 、C 中装有同种理想气体，其分子数密度n 相同，方均根速率之比4:2:1::222=C B A v v v ，则其压强之比C B A p p p ::为：(A) 1 : 2 : 4 (B) 1 : 4 : 8 (C) 1 : 4 : 16 (D) 4 : 2 : 13、一定量的理想气体贮于某一容器中，温度为T ，气体分子的质量为m . 根据理想气体的分子模型和统计假设，分子速度在x 方向的分量平方的平均值为: (A) 2xv =m kT 3 (B) 2x v = m kT331 (C) 2xv = m kT 3 (D) 2x v = m kT4、关于温度的意义，有下列几种说法：(1) 气体的温度是分子热运动平均平动动能的量度.(2) 气体的温度是大量气体分子热运动的集体表现，具有统计意义.(3) 温度的高低反映物质内部分子热运动剧烈程度的不同.(4) 从微观上看，气体的温度表示每个气体分子的冷热程度.上述说法中正确的是（A ） (1)、(2)、(4) （B ） (1)、(2)、(3)（C ） (2)、(3)、(4) (D) (1)、(3)、(4)5、两容器内分别盛有氢气和氦气，若它们的温度和质量分别相等，则：(A) 两种气体分子的平均平动动能相等.(B) 两种气体分子的平均动能相等.(C) 两种气体分子的方均根速率相等.(D) 两种气体的内能相等.6、一容器内装有N 1个单原子理想气体分子和N 2个刚性双原子理想气体分子，当该系统处在温度为T 的平衡态时，其内能为(A)⎪⎭⎫ ⎝⎛++kT kT N N 2523)(21 (B) ⎪⎭⎫ ⎝⎛++kT kT N N 2523)(2121(C)kT N kT N 252321+ (D) kT N kT N 232521+7、有一截面均匀的封闭圆筒，中间被一光滑的活塞分割成两边，如果其中的一边装有0.1kg 某一温度的氢气，为了使活塞停留在圆筒的正中央则另一边应装入同一温度的氧气质量为：（A ） kg 161 (B) 0.8 kg (C ) 1.6 kg (D) 3.2 kg8、若室内生火炉以后，温度从15°C 升高到27°C ，而室内的气压不变，则此时室内的分子数减少了：(A) 0.5% (B) 4% (C) 9% (D) 21%9、有容积不同的A 、B 两个容器，A 中装有单原子分子理想气体，B 中装有双原子分子理想气体。
4-1 20个质点的速率分布如下解：⑴07165.31v Nv Nv ii i ==∑= ⑵012299.31v N v N v i N i i ==∑= ⑶03v v p = 4-2 容积为10L 的容器中由1mol CO 2气体，其方均根速率为1440Km/h ，求CO 2气体的压强。
解：分子总数为A N ,摩尔质量为M ，则分子数密度为AN V,分子质量为A M N ，因此由气体压强公式得222111333A A N M M p nmv v v V N V=== 代入数字求得52.3510p =⨯Pa4-3 体积为310-m 3，压强为51.01310⨯Pa 的气体，所有分子的平均平动动能的总和是多少？解：分子的平均平动动能为21322mv kT = 容器中分子数N nV =，又由压强公式P nkT =，可得容器中所有分子的平均平动动能总和为2133152222Nmv nV kT PV ===J 4-4 求压强为51.01310⨯Pa 、质量为3210-⨯Kg 、容积为31.5410-⨯m 3的氧气的分子平均平动动能。
解：由23p nw =可得312p w n=而Amol Amol MN M MN n V M V== 所以 213 6.22102mol AM Vp w MN -==⨯J4-6 一篮球充气后，其中有氮气8.5g ，温度为17℃，在空气中以65km/h 做高速飞行。
求：(1) 一个氮分子（设为刚性分子）的热运动平均平动动能、平均转动动能和平均总动能； (2) 球内氮气的内能； (3) 球内氮气的轨道动能。
4—6解：⑴J kT k 211000.623-⨯==ε 转ε= J kT 211000.422-⨯= J kT 201000.125-⨯==总ε. ⑵J kT iM M E mol 31083.12⨯=⋅=. ⑶J mv E k 39.1212==. 4-7 质量为50.0g ，温度为18.0℃的氦气装在容积为10.0L 的封闭容器内，容器以200v =m/s 的速率做匀速直线运动，若容器突然停止，定向运动的动能全部转化为分子热运动的动能，试问平衡后氦气的温度和压强将增大多少？（王彬第二版206页8题）解：3222232311141020013.310222 6.0210A E mv v N μ--⨯===⨯⨯=⨯⨯J 23232213.310 6.4233 1.3810E T k --⨯⨯∆===⨯⨯K325350108.2110 6.420.66 1.0131041010MR p T V μ---⨯⨯⨯∆=∆=⨯=⨯⨯⨯⨯Pa 4—8解：⑴kT 21 在平衡态下分子运动的能量平均分配给每一个自由度的能量为kT 21. ⑵在平衡态下，分子平均动能为kT 23.⑶在平衡态下，自由度为i 的分子平均总能量为kT i2.⑷自由质量为M ，摩尔质量为mol M ，自由度为i 的分子组成的系统的内能为RT iM M mol 2⋅ ⑸1摩尔自由度为i 的分子组成的系统的内能为RT i2. ⑹1摩尔自由度为3的分子组成的系统的内能为23RT,或者说热力学系统内1摩尔分子的平均平动动能之和为23RT.4-9 假定太阳是由氢原子组成的理想气体恒星，且密度是均匀的，压强为141.3510p =⨯Pa ，已知氢原子质量271.6710m -=⨯kg ，太阳质量301.9910M =⨯kg ，太阳半径为86.9610R =⨯m ，试估算太阳内部的温度。
解：太阳密度为343M MV R ρπ==则氢原子的数密度n 为343Mn mm R ρπ==由p nkT =可估得太阳的温度为374 1.16103P pmR T nk Mkπ===⨯K4-10 一容器被中间的隔板分成相等的两半，一半装有氦气，温度为250K ；另一半装有氧气，温度为310K 。
二者压强相等。
求去掉隔板两种气体混合后的温度。
解：设氦气和氧气摩尔数分别为1v 和2v ，混合前后的温度分别为1T 和2T ，混合后温度为T 。
因混和前二者压强相等、体积相等，所以有1v RT 22v RT =内能11122235,22E v RT E v RT == 混合前后内能不变，有1211223522E E E v RT v RT =+=+所以11221235222843522v T v T T v v +==+K 4-11 烟粒悬浮在空气中受空气分子的无规则碰撞而作布朗运动的情况可用普通显微镜观察，它和空气处于同一个平衡态。
一颗烟粒的质量为161.610-⨯Kg,求在300K 时它悬浮在空气中的方均根速率。
此烟粒如果是在300K 的氢气中悬浮，它的方均根速率与在空气中的相比会有什么不同。
解：方均根速率为38.810-=⨯m/s4-12 容器中储有氧气，其压强为p ＝0.1 MPa(即1atm)温度为27℃，求(1)单位体积中的分子n ；(2)氧分子的质量m ；(3)气体密度ρ；(4)分子间的平均距离e ；(5)平均速率v ；(6)方均根速率2v ；(7)分子的平均动能ε． 4—12解：⑴3241045.2-⨯==m kT Pn ⑵Kg M m mol 26231032.51002.6-⨯=⨯= ⑶313.0m kg RT PM mol ==ρ ⑷m n e 931042.71-⨯= ⑸s m M RTv mol58.4468==π ⑹s m M RTv mol87.48232==⑺201004.125-⨯==kT k ε4-13 容积1V =m 3的容器内混有251 1.010N =⨯个氧气分子和252 4.010N =⨯个氮气分子，混合气体的压强是52.7610⨯Pa 。
求：(1)分子的平均平动动能；（2）混合气体的温度。
解：（1）534.14102K E pV ==⨯J 21128.2810K KE E N N N ω===⨯+J （2）24003T kω==K 4-14 将1Kg 氦气和M Kg 氢气混合，平衡后混合气体的内能是62.4510⨯J ，氦分子平均动能是21610-⨯J ，求氢气质量M 。
解：32w kT =所以22903w T k ==K 539.04102He molME RT M ==⨯J而 261.5510H He E E E =-=⨯J 又252H molME RT M == 所以20.51H M =Kg4-15 某些恒星的温度达到108K 的数量级，在此温度下原子已不存在，只有质子存在，试求：（1）质子的平均动能是多少电子伏特？（2）质子的方均根速率多大？解：⑴ev kT k 9.1223==ε ⑵ s m M RTv mol621058.13⨯==4-16 (1) 火星的质量为地球质量的0.108倍，半径为地球半径的0.531倍，火星表面的逃逸速度多大？以表面温度240K 计，火星表面CO 2和H 2分子的方均根速率多大？以此说明火星表面有CO 2而无H 2（实际上，火星表面大气中96％是CO 2）。
(2) 木星的质量为地球的318倍，半径为地球的11.2倍，木星表面的逃逸速度多大？以表面温度130K 计，木星表面的H 2分子的方均根速率多大？以此说明木星表面有H 2（实际上，木星表面大气中78％的质量是H 2,其余的是He,其上盖有冰云，木星内部为液态甚至固态氢）。
4-16 解：（1）由机械能守恒RGMv R GMmmv 20212==-得 sm v s m M RTv s m v R R M M v mol/1073.1/1069.33/1005.5*322213⨯=⨯==⨯==∴同理地火地地火火（2） 略4-17 一瓶气体由N个分子组成。
试证不论分子速率分布函数的形式如何，总有v ≥解：由2()0v v -≥可得22222()20v v v vv v v v -=-+=-≥v ≥4-18 设有N 个粒子的系统，其速率分布如题4-13图所示。
求 (1)分布函数)(v f 的表达式； (2)a 与0v 之间的关系；(3)速度在1.50v 到2.00v 之间的粒子数; (4)粒子的平均速率;(5)0.50v 到10v 区间内粒子平均速率。
4-18解：（1）从图上可得分布函数表达式)()2()()0(/)(0000=≤≤=≤≤=v Nf v v v a v Nf v v v av v Nf)2(0)2(/)0(/{)(00000v v v v v Na v v Nv av v f ≥≤≤≤≤=f(v)满足归一化条件，但这里纵坐标是Nf(v)而不是f(v),故曲线下的总面积为N ， （2）由归一化条件可得2003200v Na N a d v N dv v av N v v v =⇒=+⎰⎰（3）可通过面积计算N v v a N 31)5.12(00=-=∆ （4）N 个粒子的平均速率：题4-18图020020911)(1)(00v avdv v av dv v vNf Ndv v vf v v v v v =+===⎰⎰⎰⎰∞（5）N av v v a a N v v av N dv Nv av N NN vdN N NN vdNv v v v v v v v v 4183)5.0)(5.0(2115.0247115.0000100215.00215.0115.000000==-+=∴====⎰⎰⎰区间内的粒子数到区间内粒子平均速率：到4-19试求氢气在300K 时分子速率在10p v -m/s 与10p v +m/s 之间的分子数所占百分比。
解：当300T =K 时，氢气的最概然速率为：1579p v ===m/s 根据麦克斯韦分布率，在v v v -+∆区间内的分子数占分子总数的比率为23/224()2mv kTN m e v N kTππ-∆=∆ 按题意，()10,(10)1020p p p v v v v v =-∆=+--=m/s 。
而10P v，所以可取P v v ≈=，代入可得1201.05%PN N v -∆=⨯= 4—20 解:速率为v 的分子的平均动能为221mv E k =,则mvdv dE k =， 麦克斯韦速率分布率可改写为:kk k kTE k kTmv kTmv dE E f dE eE kT mvdve mv kT dv v e RTmdv v f N dN k )()1(2)21()1(2)2(4)(23221223222322=====---ππππ即分子按平均动能分布率,其中分布函数:kT Ek k k e E KTE f -=23)1(2)(π 参考最概然速率的定义,令()0=k k dE E df 由上式可得最概然动能kT E kp 21=因mkTv p 2=则kp p E kT mv 2212==4-21 解:(1) 3172331033.33001038.11038.1--⨯=⨯⨯⨯==m kT p n (2) m nd 5.71033.3109212117202=⨯⨯⨯⨯==-ππ4-22 设电子管温度为300K ，如果要管内分子的平均自由程大于10cm 时，则应将它抽到多大压强？设分子的有效直径d ＝3×10-8cm 。
