第42讲 │ 立体几何中的向量方法(一)——位置关系的证明

一个法向量;赋的值不同,所求平面的法向量就不同,但它们是共线向
量.注意赋值不能为零.
2.用向量方法证明空间中的平行关系
剖析:空间中的平行关系主要是指:线线平行、线面平行、面面
平行.
(1)线线平行
设不重合的直线l1,l2的方向向量分别是a,b,则要证明l1∥l2,只需证
明a∥b,即a=kb(k∈R).
①u=(2,2,-1),a=(-3,4,2);
②u=(0,2,-3),a=(0,-8,12).
解:(1)①∵a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3),
1
∴a=− 3 , ∴a∥b.∴l1∥l2.
②∵a=(5,0,2),b=(0,4,0),
∴a·b=0,∴a⊥b.∴l1⊥l2.
1
(2)①∵u=(1,-1,2),v= 3,2,- ,
平面的法向量的求法
【例2】 四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面
ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1,求平面SCD和平面SAB的法向量.
分析:解答本题可先建立空间直角坐标系,写出每个平面内不共
线的两个向量的坐标,再利用待定系数法求出平面的法向量.
解:∵AD,AB,AS 是三条两两垂直的线段,∴以 A 为原点,以
1
∴y=− 2.
又 n· = (1, , )·(-1,0,2)=-1+2z=0,
1
∴z= 2.
∴n=
1 1
1,- ,
2 2
即为平面SCD 的法向量.
利用向量法证明空间中的平行关系
【例3】 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2BC,E,F,E1分别是
棱AA1,BB1,A1B1的中点.

(2)空间向量的坐标运算：
a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)
向量和
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
向量差
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数量积
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)
垂直
a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
(3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系．
(4)根据运算结果解释相关问题．
空间向量基本定理及推论
定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.
推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使 ＝x ＋y ＋z 且x＋y＋z＝1
2．数量积及坐标运算
(1)两个空间向量的数量积：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝ .
【跟踪训练2-3】（2020春•和平区期中）在下列条件中，使 与 ， ， 一定共面的是
A． B．
C． D．
【名师指导】
共线、共面向量定理的类比
三点P，A，B共线
空间四点M，P，A，B共面
＝λ
＝x ＋y
对空间任一点O， ＝ ＋t
对空间任一点O， ＝ ＋x ＋y
对空间任一点O， ＝x ＋(1－x)
对空间任一点O， ＝x ＋y ＋(1－x－y)
(1)结合图形，明确图形中各线段的几何关系．
(2)正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义．

直线 l 和面 所成的角为 (如图)
n, AP 与 有什么关系?
易知 sin cos n, AP
P
n l AP
OA
例 1.如图,平面 ABCD 平面 ABEF ,四边形 ABCD 是正方形,四边形
ABEF 是矩形,且 AF 1 AD , G 是 EF 的中点,则直线 GB 与平面 AGC 62
补充练习:如图,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,BC= 2 ,
求二面角 A-PB-C 的余弦值.
z
解:建立坐标系如图,则 A(0,0,0) , B( 2 ,1, 0) ,
C(0,1, 0) , P(0, 0,1) ,AP =(0,0,1), AB ( 2,1, 0), CB ( 2, 0, 0),
注:(1)法向量一定是非零向量;(2)一个平面的法向量与这个平面内的任一向量都垂直;
问题:在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) , C(0, 0, 2) ,试求平面
ABC 的一个法向量.
(待定系数法)
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n
则 n AB ，n AC .∵ AB (3, 4, 0) ,
⑴点
P 在空间中，我们取一定点 O 作为基点，那么空间中任意一点 P 的
O基点 位置就可以用向量 OP 来表示，我们把向量 OP 称为点 P 的位置向量.
⑵直线 P
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个定点 A 以
a
及一个定方向确定. 对于直线 l 上的任一点 P ,存在实数 t
B 使得 AP t AB 此方程称为直线的向量参数方程
别为 u, v ,易知 l / /m a ∥ b a kb ；l / / a u a u 0 ；

u· v＝(－2,2,5)· (3,－2,2)＝0⇒α⊥β.
当v＝(4，－4，－10)时，v＝－2u⇒α∥β.
1
2
3
4
5
6
解析
答案
3.[P105练习T2]如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方 形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的
垂直 位置关系是________.
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第八章 立体几何与空间向量
§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直
内容索引
基础知识
自主习
题型分类
课时作业
深度剖析
知识梳理 1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：在直线上任取一 非零 向量作为它的方向向量. (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为 a＝0， n · 平面α的法向量，则求法向量的方程组为 b＝0. n · 2.用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔ v1∥v2 . (2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α 或l⊂α⇔ 存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2 .
(6)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行.( × )
1 2 3 4 5 6
题组二 教材改编
2.[P105 练习T1(1)(2)]设 u ，v 分别是平面 α ， β 的法向量， u ＝ ( －2,2,5) ，
α⊥β 当v＝(3，－2，2)时，α与β的位置关系为__________ ；当v＝(4，－4， α∥β －10)时，α与β的位置关系为________. 解析 当v＝(3,－2,2)时，