9-3(1)(格林公式)

1
0dx
1 ydy 1 .
0
0
2
四、小结
1.连通区域的概念;
2.二重积分与曲线积分的关系
Q P

D
(
x

y
)dxdy

L
Pdx

Qdy
——格林公式;
3. 格林公式的应用.
与路径无关的四个等价命题
条 在单连通开区域D 上P( x, y), Q( x, y)具有 件 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.
x
例 5 计算 ( x2 2xy)dx ( x2 y4 )dy. 其中 L
L 为由点O(0, 0)到点 B(1, 1)的曲线弧 y sin x .
2
解 P ( x2 2xy) 2x
y y Q ( x2 y4 ) 2x
P Q ， y x
G
若区域不止由一条闭曲
线所围成.添加直线段 AB,CE.
则D的边界曲线由 AB,L2,BA, AFC,CE, L3, EC 及 CGA 构成.
D
L2
B
由(2)知

D
(
Q x

P y
)dxdy
L3
E C
F
L1
A
{ } (Pdx Qdy) AB L2 BA AFC CE L3 EC CGA
三、利用曲线积分,求星形线 x a cos3 t , y a sin 3 t 所 围成的图形的面积 .
四、证明曲线积分
(3,4) (6 xy 2 y 3 )dx (6 x 2 y 3 xy 2 )dy 在整个 xoy面 (1,2)

1 2 2 2 ( x y z )ds I 3 2 a 2a 3 ds 3 3


x 2d s y 2 d s z 2d s

( 2a ds , 球面大圆周长 )
18
对弧长的曲线积分
例5 曲线

是中心在
( R,0), 半径为R
2
的上半圆周.求 提示:用极坐标
此时需把它化为参数方程 (选择x , y, z中某一个 为参数), 再按上述方法计算.
14
对弧长的曲线积分
例1
求I yds , 其中L为y 2 2 x上自原点到
L
( 2,2)的一段 .
2
对x积分?
2
y (0 y 2) 解 y 2x x 2 2 1 2 I y 1 y dy (5 5 1) 0 3

2
2
2

通过几何直观,还有更简单的方法吗?
21
x2 y 2 例6 求椭圆柱面 2 2 1, ( x 0, y 0) a b xy 介于xoy平面与空间曲面 z c
之间部分的面积.
提示:
xy A ds L c
x y L : 2 2 1 a b
2
2
22
对弧长的曲线积分
3
解 对称性,得
y
x 2 y 2 R2
L
( x y 3 )ds xds y 3ds 0
L L
L
O
x
对 xds, 因积分曲线L关于 x=0对称,
被积函数x是L上 关于x的奇函数 xds 0
对 y 3ds , 因积分曲线L关于 y=0对称, L

考研数一知识点新东方考研数二知识点考研数一知识点:2015年考研数学必考知识点——数学一2015年考研数学必考知识点——数学一- 1 -希望通过我们总结的以上资料，帮助广大考生在最后的这段关键时间里，梳理好知识体系，准确把握考点，直击命题要害，做好最终的考前冲刺。

- 2 -考研数一知识点:数一：考研数学知识点归纳【海文考研数学】：考研数学知识点归纳2008年钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%- 1 -2009年钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%- 2 -2010年考研数一真题知识点分布计知识点大纲要求类型题型算量1 2个特殊极限掌握利用两个重要极限求极限的方法掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的多元复合函数2 求导;隐函数求导法求法；会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数%反常积分的收3 敛性(审敛法)了解反常积分的概念，会计算反常积分超纲题目分析计算%%%%4定积分的定义求极限理解不定积分与定积分的概念理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法常规概念理解基础概念%@ %%@@@@@ @@高等数学线性代数高等数学常规计算%%高等@数学技巧型计算%%难度@@所属科目高等数学5 矩阵秩的性质矩阵的特征值的定义; 6 实对称矩阵相似对角化的结论随机变量的分7布函数; 概率的加法公式常用分布(均匀8 分布,正态分布)的密度函数;常规理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量常规概念理解%@@@线性代数理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率；掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯公式理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0—1分布、二项分布B（n,p）、几何分布、超几何分布、泊松常规基础概念应用%%@@概率统计常规基础概念应用%%@@概率统计钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%- 3 -概率密度函数的性质(归一性) 参数方程求导法;9 积分上限的函数的导数高阶导数定积分的换元10 积分法;分部积分法曲线积分的计算; 11 (格林公式);二重积分的对称性会用重积分、曲线积分及曲面积分求一_考研数一知识点。

Qdx ddydy2(y)Q dx
Dx
c 1(y) x
d
d
cQ (2 (y )y ) ,d y cQ (1 (y )y ) ,dy
y
CQ B (x E ,y )d y CQ A (x E ,y )ddy
x1(y)
Q (x ,y )d yQ (x ,y )dy
y
L
D1
l
or
x
02r2co2sr2r2si2nd
2.
(其中l 的方向 取逆时针方向)
(注意格林公式的条件)
3. 计算平面面积
格 林 公 式 :D ( Q x P y )dx L d P y d Q xdy
取 Py,Qx, 得 2dxd yLxdyydx
即
(x2y3xex)d x1x3ysiyn d y
L
3
3e2π(12π)3.
xdy ydx
例 6
计算
L
x2 y2 , 其中 L 由点 A(- , - )
经曲线 y = cos x 到点 B(, - ) (如图).
（或沿G 内任意闭曲线的曲线积分为零）的充
要条件是P Q 在G 内恒成立. y x
有关定理的说明：
( 1 ) 开 区 域 G 是 一 个 单 连 通 域 .
(2) 函 数 P (x,y),Q (x,y)在 G 内 具 有 一 阶 连
续 偏 导 数 . 两条件缺一不可
证 充分性：
因为 Q P , (x, y) G，所以对 G 内任
D
闭 区 域 D 的 面 积 A 1 2Lxd yyd . x
取 P0,Qx, 得ALxdy 取 Py,Q0, 得ALydx