一、选择题1．小邱同学用最大量程为210g，最小刻度为0.2g，最小砝码为5g的托盘天平称量一铁块的质量，当调节横梁平衡后，他将铁块放在天平的右盘，砝码放在天平的左盘，同时移动游码，当天平衡时，他读出铁块的质量是86.4g，测量结束后，他还未觉察出自己的失误，则铁块的真实质量应是（）A．83.6g B．85.2g C．86.4g D．87.8g2．学校计划要给一间5m宽、10m长的教室铺上3mm厚水泥，考虑适当的施工损耗，学校需要采购每袋为90kg的水泥（）袋？（已知水泥的密度为3×103kg/m3）A．4B．5C．6D．73．关于物质的密度，下列说法正确的是（）A．一罐氧气用掉部分后，罐内氧气的质量变小，密度不变B．一只气球受热膨胀后，球内气体的质量不变，密度变大C．一支粉笔用掉部分后，它的体积变小，密度不变D．一块冰熔化成水后，它的体积变大，密度变大4．在用调好了的天平称量物体时，发现指针偏向分度盘中线的右侧，接下来正确的操作是（）A．把右端的平衡螺母向左调B．向右移动游码C．减小右盘中的砝码D．向右盘中增加小砝码5．小于同学把调好的糖水装满玻璃瓶，盖紧盖子，放进冰箱急冻室冷藏。
一段时间后拿出，发现玻璃瓶已经胀破。
你认为下列解释合理的是（）A．玻璃瓶因温度降底，体积膨胀B．玻璃瓶内的糖水凝结成冰后，质量变大C．玻璃瓶内的糖水凝结成冰后，体积变大D．玻璃瓶内的糖水凝结成冰后，密度变大6．学习完质量和密度的知识后，小明同学想用天平、量筒（满足实验需求）和水完成下列实验，其中不能够完成的是（已知金、铜的密度）（）A．辨别金项链的真伪B．测定一卷铜导线的长度C．鉴定小铜球是空心还是实心D．粗略测定一大堆大头针的数目7．下列估测最接近实际值的是（）A．一支普通牙刷的长度约为18cmB．健康的中学生脉搏跳动一次的时间约为5sC．体育课所用铅球的质量约为600gD．适合人们洗澡的水温约为70℃8．估测是人们生活能力的一种体现，下列估测符合实际值的是（）A．一间教室里空气的质量约为0.243tB．一个初中学生的身高约1.68dmC ．正常人心跳60次所用时间约为120sD ．正常人的体温约为37.8℃9．下列物体的质量约为50kg 的是（ ） A ．八年级上册物理课本 B ．一瓶矿泉水 C ．一辆小汽车D ．一名初中学生10．“今日翼城”的公众号中设置了“安全365”栏目，进行安全科普。
第2讲 等差数列及前n 项和考纲展示 命题探究1 等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示，定义的表达式为a n ＋1－a n ＝d ，d 为常数．2 等差中项如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且A ＝a ＋b 2.3 等差数列的通项公式及其变形通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，其中a 1是首项，d 是公差．通项公式的变形：a n ＝a m ＋(n －m )d ，m ，n ∈N *.4 等差数列的前n 项和等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . 5 等差数列的单调性当d >0时，数列{a n }为递增数列；当d <0时，数列{a n }为递减数列；当d ＝0时，数列{a n }为常数列．注意点 定义法证明等差数列时的注意事项(1)证明等差数列时，切忌只通过计算数列的a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3等有限的几个项的差后，发现它们都等于同一个常数，就断言数列{a n }为等差数列．(2)用定义法证明等差数列时，常采用a n ＋1－a n ＝d ，若采用a n －a n －1＝d ，则n ≥2，否则n ＝1时无意义.1．思维辨析(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( )(3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( )(5)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于( )A ．1 B.53 C ．2D ．3答案 C解析 因为S 3＝(a 1＋a 3)×32＝6，而a 3＝4.所以a 1＝0，所以d ＝a 3－a 12＝2.3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( )A ．8B ．10C ．12D ．14 答案 C解析 ∵S 3＝3(a 1＋a 3)2＝3a 2＝12，∴a 2＝4. ∵a 1＝2，∴d ＝a 2－a 1＝4－2＝2.∴a 6＝a 1＋5d ＝12.故选C.[考法综述] 等差数列的定义，通项公式及前n 项和公式是高考中常考内容，用定义判断或证明等差数列，由n ，a n ，S n ，a 1，d 五个量之间的关系考查基本运算能力．命题法1 等差数列的基本运算典例1 等差数列{a n }的前n 项和记为S n .已知a 10＝30，a 20＝50.(1)求通项a n ；(2)若S n ＝242，求n .[解] (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 10＝30，a 20＝50，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50. 解得a 1＝12，d ＝2.所以a n ＝2n ＋10；(2)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，S n ＝242，得方程12n ＋n (n －1)2×2＝242，解得n ＝11或n ＝－22(舍去)．【解题法】 等差数列计算中的两个技巧(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．命题法2 等差数列的判定与证明典例2 数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列；(2)求{a n }的通项公式．[解] (1)证明：∵a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2，∴b n ＋1－b n ＝a n ＋2－a n ＋1－(a n ＋1－a n )＝2a n ＋1－a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2.∴{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)得b n ＝1＋2(n －1)，即a n ＋1－a n ＝2n －1，∴a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝5，…，a n －a n －1＝2n －3，累加法可得a n －a 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)＝(n －1)2，∴a n ＝n 2－2n ＋2.【解题法】 等差数列的判定方法(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数．(2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立．(3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q .(4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．6答案 B解析 设数列{a n }的公差为d ，由a 4＝a 2＋2d ，a 2＝4，a 4＝2，得2＝4＋2d ，d ＝－1，∴a 6＝a 4＋2d ＝0.故选B.2.已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n .若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )扫一扫·听名师解题A ．a 1d >0，dS 4>0B ．a 1d <0，dS 4<0C ．a 1d >0，dS 4<0D ．a 1d <0，dS 4>0答案 B解析 由a 24＝a 3a 8，得(a 1＋2d )(a 1＋7d )＝(a 1＋3d )2，整理得d (5d ＋3a 1)＝0，又d ≠0，∴a 1＝－53d ，则a 1d ＝－53d 2<0，又∵S 4＝4a 1＋6d ＝－23d ，∴dS 4＝－23d 2<0，故选B.3．设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．答案 －12解析由已知得S1＝a1，S2＝a1＋a2＝2a1－1，S4＝4a1＋4×32×(－1)＝4a1－6，而S1，S2，S4成等比数列，所以(2a1－1)2＝a1(4a1－6)，整理得2a1＋1＝0，解得a1＝－1 2.4.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝λS n－1，其中λ为常数．(1)证明：a n＋2－a n＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．解(1)证明：由题设，a n a n＋1＝λS n－1，a n＋1a n＋2＝λS n＋1－1.两式相减得a n＋1(a n＋2－a n)＝λa n＋1.由于a n＋1≠0，所以a n＋2－a n＝λ.(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故a n＋2－a n＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以a n＝2n－1，a n＋1－a n＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n}为等差数列．等差数列及其前n项和的性质已知{a n}为等差数列，d为公差，S n为该数列的前n项和．(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等，即a1＋a n＝a2＋a n－1＝a3＋a n－2＝…＝a k＋a n－k＋1＝….(2)等差数列{a n}中，当m＋n＝p＋q时，a m＋a n＝a p＋a q(m，n，p，q∈N*)．特别地，若m＋n＝2p，则2a p＝a m＋a n(m，n，p∈N*)．(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k，a k＋m，a k＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)．(4)S n，S2n－S n，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d.(5)⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }的公差的12.(6)在等差数列{a n }中，①若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a n a n ＋1. ②若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝n n －1. (7)若数列{a n }与{b n }均为等差数列，且前n 项和分别是S n 和T n ，则S 2m －1T 2m －1＝a m b m. (8)若数列{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n }，{a n ＋p }，{pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2.注意点 前n 项和性质的理解等差数列{a n }中，设前n 项和为S n ，则S n ，S 2n ，S 3n 的关系为2(S 2n －S n )＝S n ＋(S 3n －S 2n )不要理解为2S 2n ＝S n ＋S 3n .1．思维辨析(1)等差数列{a n }中，有a 1＋a 7＝a 2＋a 6.( )(2)若已知四个数成等差数列，则这四个数可设为a －2d ，a －d ，a ＋d ，a ＋2d .( )(3)若三个数成等差数列，则这三个数可设为：a －d ，a ，a ＋d .( )(4)求等差数列的前n 项和的最值时，只需将它的前n 项和进行配方，即得顶点为其最值处．( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 2＋a 10＝4，则S 11的值为( )A ．12B ．18C ．22D ．44答案 C 解析 由题可知S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 2＋a 10)2＝11×42＝22，故选C.3．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝90，则a 10－13a 14的值为( )A ．12B ．14C ．16D ．18答案 A解析 由题意知5a 8＝90，a 8＝18，a 10－13a 14＝a 1＋9d －13(a 1＋13d )＝23a 8＝12，选A 项．[考法综述] 等差数列的性质是高考中的常考内容，灵活应用由概念推导出的重要性质，在解题过程中可以达到避繁就简的目的．命题法1 等差数列性质的应用典例1 等差数列{a n }中，如果a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }前9项的和为( )A ．297B ．144C ．99D ．66[解析] 由a 1＋a 4＋a 7＝39，得3a 4＝39，a 4＝13.由a 3＋a 6＋a 9＝27，得3a 6＝27，a 6＝9.所以S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9(a 4＋a 6)2＝9×(13＋9)2＝9×11＝99，故选C.[答案] C【解题法】 应用等差数列性质应注意(1)要注意等差数列通项公式及前n 项和公式的灵活应用，如a n＝a m ＋(n －m )d ，d ＝a n －a m n －m，S 2n －1＝(2n －1)a n ，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 2＋a n －1)2(n ，m ∈N *)等． (2)如果{a n }为等差数列，m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ( m ，n ，p ，q ∈N *)．一般地，a m ＋a n ≠a m ＋n ，必须是两项相加，当然也可以是a m －n ＋a m ＋n ＝2a m .因此，若出现a m －n ，a m ，a m ＋n 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m (或其他项)有关的条件．命题法2 与等差数列前n 项和有关的最值问题典例2 等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1>0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 最大？[解] 解法一：由S 3＝S 11得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，则d＝－213a 1.从而S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1，又a 1>0，所以－a 113<0.故当n ＝7时，S n 最大．解法二：由于S n ＝an 2＋bn 是关于n 的二次函数，由S 3＝S 11，可知S n ＝an 2＋bn 的图象关于n ＝3＋112＝7对称．由解法一可知a ＝－a 113<0，故当n ＝7时，S n 最大．解法三：由解法一可知，d ＝－213a 1.要使S n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≤0，≤n ≤n ＝7时，S n 最大．解法四：由S 3＝S 11，可得2a 1＋13d ＝0，即(a 1＋6d )＋(a 1＋7d )＝0，故a 7＋a 8＝0，又由a 1>0，S 3＝S 11可知d <0，所以a 7>0，a 8<0，所以当n ＝7时，S n 最大．【解题法】 求等差数列前n 项和的最值的方法(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *.(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使S n 取得最值．(3)项的符号法：当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0a n ＋1≤0的项数n ，使S n 取最大值；当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1 ≥0的项数n ，使S n 取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使S n 取最值的n 有两个．1．设{a n }是等差数列．下列结论中正确的是( )A ．若a 1＋a 2>0，则a 2＋a 3>0B ．若a 1＋a 3<0，则a 1＋a 2<0C ．若0<a 1<a 2，则a 2>a 1a 3D ．若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)>0答案 C解析 若{a n }是递减的等差数列，则选项A 、B 都不一定正确．若{a n }为公差为0的等差数列，则选项D 不正确．对于C 选项，由条件可知{a n }为公差不为0的正项数列，由等差中项的性质得a 2＝a 1＋a 32，由基本不等式得a 1＋a 32>a 1a 3，所以C 正确．2．在等差数列{a n }中，a 1>0，a 2012＋a 2013>0，a 2012·a 2013<0，则使S n >0成立的最大自然数n 是( )A ．4025B ．4024C ．4023D ．4022答案 B解析 ∵等差数列{a n }的首项a 1>0，a 2012＋a 2013>0，a 2012·a 2013<0，假设a 2012<0<a 2013，则d >0，而a 1>0，可得a 2012＝a 1＋2011d >0，矛盾，故不可能．∴a 2012>0，a 2013<0.再根据S 4024＝4024(a 1＋a 4024)2＝2012(a 2012＋a 2013)>0， 而S 4025＝4025a 2013<0，因此使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 为4024.3.已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n＝2n 3n ＋1，则a n b n＝( ) A.23B.2n －13n －1C.2n ＋13n ＋1D.2n －13n ＋4 答案 B解析 a n b n ＝2a n 2b n＝2n －12(a 1＋a 2n －1)2n －12(b 1＋b 2n －1)＝S 2n －1T 2n －1＝2(2n －1)3(2n －1)＋1＝2n －13n －1.故选B.4．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________.答案 10解析 由a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，得5a 5＝25，所以a 5＝5，故a 2＋a 8＝2a 5＝10.5．中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________．答案 5解析 设等差数列的首项为a 1，根据等差数列的性质可得，a 1＋2015＝2×1010，解得a 1＝5.6．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－78 解析 由题意知d <0且⎩⎪⎨⎪⎧ a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78.7.若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．答案 8解析 根据题意知a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，即a 8>0.又a 8＋a 9＝a 7＋a 10<0，∴a 9<0，∴当n ＝8时，{a n }的前n 项和最大．8．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求通项a n ； (2)求S n 的最小值；(3)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S nn ＋c ，求非零常数c .解 (1)因为数列{a n }为等差数列， 所以a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22. 又a 3·a 4＝117，所以a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根， 又公差d >0，所以a 3<a 4， 所以a 3＝9，a 4＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.所以通项a n ＝4n －3. (2)由(1)知a 1＝1，d ＝4.所以S n ＝na 1＋n (n －1)2×d ＝2n 2－n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －142－18.所以当n ＝1时，S n 最小，最小值为S 1＝a 1＝1.(3)由(2)知S n ＝2n 2－n ，所以b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c，所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c .因为数列{b n }是等差数列， 所以2b 2＝b 1＋b 3， 即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c ， 所以2c 2＋c ＝0，所以c ＝－12或c ＝0(舍去)， 故c ＝－12.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5＝9，S 5＝15，则使其前n 项和S n 取得最小值时的n ＝________.[错解][错因分析] 等差数列的前n 项和最值问题，可以通过找对称轴来确定，本题只关注到n ∈N *，并未关注到n ＝1与n ＝2时，S 1＝S 2，导致错误．[正解] ∵a 5＝9，S 5＝15，∴a 1＝－3，d ＝3. ∴a n ＝3n －6，S n ＝32n 2－92n .把S n 看作是关于n 的二次函数，其对称轴为n ＝32. ∴当n ＝1或n ＝2时，S 1＝S 2且最小． [心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：60分钟基础组1.[2016·冀州中学猜题]已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，S 11＝992，则a 12的值是( )A ．15B ．30C ．31D ．64答案 A解析 由题意可知2a 8＝a 7＋a 9＝16⇒a 8＝8，S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11×2a 62＝11a 6＝992，a 6＝92，则d ＝a 8－a 62＝74，所以a 12＝a 8＋4d ＝15，故选A.2．[2016·武邑中学仿真]已知S n 表示数列{a n }的前n 项和，若对任意的n ∈N *满足a n ＋1＝a n ＋a 2，且a 3＝2，则S 2014＝( )A ．1006×2013B ．1006×2014C ．1007×2013D ．1007×2014答案 C解析 在a n ＋1＝a n ＋a 2中，令n ＝1，则a 2＝a 1＋a 2，a 1＝0，令n ＝2，则a 3＝2＝2a 2，a 2＝1，于是a n ＋1－a n ＝1，故数列{a n }是首项为0，公差为1的等差数列，S 2014＝2014×20132＝1007×2013.故选C. 3．[2016·冀州中学期末]在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( ) A ．a n ＝1n B ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n答案 A 解析 由已知式2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2可得1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n ＝n ，即a n ＝1n .4．[2016·衡水中学预测]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝( )A ．63B ．45C ．36D ．27答案 B解析 S 3＝9，S 6－S 3＝36－9＝27，根据S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，S 9－S 6＝45，S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝45，故选B.5．[2016·衡水二中期中]已知等差数列{a n }中，前四项和为60，最后四项和为260，且S n ＝520，则a 7＝( )A ．20B ．40C ．60D ．80答案 B解析 前四项的和是60，后四项的和是260，若有偶数项，则中间两项的和是(60＋260)÷4＝80.S n ＝520,520÷80不能整除，说明没有偶数项，有奇数项，则中间项是(60＋260)÷8＝40.所以共有520÷40＝13项，因此a 7是中间项，所以a 7＝40.6．[2016·枣强中学模拟]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S2＝4，则S 6S 4＝( )A.94B.32C.53 D ．4答案 A解析 由S 4S 2＝4，可设S 2＝x ，S 4＝4x .∵S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，∴2(S 4－S 2)＝S 2＋(S 6－S 4)．则S 6＝3S 4－3S 2＝12x －3x ＝9x ，因此，S 6S 4＝9x 4x ＝94.7．[2016·衡水二中热身]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－3，a k ＋1＝32，S k ＝－12，则正整数k ＝______.答案 13解析 由S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝－12＋32＝－212，又S k ＋1＝(k ＋1)(a 1＋a k ＋1)2＝(k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋322＝－212，解得k ＝13.8.[2016·武邑中学期末]设正项数列{a n }的前n 项和是S n ，若{a n }和{S n }都是等差数列，且公差相等，则a 1＝________.答案 14解析 设等差数列{a n }的公差为d ， 则S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n ， ∴S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，数列{S n }是等差数列，则S n 是关于n 的一次函数(或者是常数)，则a 1－d2＝0，S n ＝d2n ，从而数列{S n }的公差是d2，那么有d 2＝d ，d ＝0(舍去)或d ＝12，故a 1＝14.9．[2016·衡水中学周测]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝10，S 5＝55，则a 10＝________.答案 39解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得⎩⎨⎧a 1＋(a 1＋d )＝10，5a 1＋5×42d ＝55，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝10，a 1＋2d ＝11，解得a 1＝3，d ＝4，a 10＝a 1＋(10－1)d ＝39.10．[2016·冀州中学月考]设数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列．若a 1<a 2，b 1<b 2，且b i ＝a 2i (i ＝1,2,3)，则数列{b n }的公比为________．答案 3＋2 2解析 设a 1，a 2，a 3分别为a －d ，a ，a ＋d ，因为a 1<a 2，所以d >0，又b 22＝b 1b 3，所以a 4＝(a －d )2(a ＋d )2＝(a 2－d 2)2，则a 2＝d 2－a 2或a 2＝a 2－d 2(舍)，则d ＝±2a .若d ＝－2a ，则q ＝b 2b 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 12＝(1－2)2＝3－22<1，舍去；若d ＝2a ，则q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 12＝3＋2 2.11．[2016·衡水中学模拟]等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由a 1＝10，a 2为整数知，等差数列{a n }的公差d 为整数，又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0,10＋4d ≤0.解得－103≤d ≤－52.因此d ＝－3.数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n . (2)b n ＝1(13－3n )(10－3n )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝13⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛ 110－3n －⎭⎪⎫113－3n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －110＝n 10(10－3n ). 12．[2016·冀州中学期中]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝12，判断{a n }是否为等差数列，并说明你的理由．解 数列{a n }不是等差数列，a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0， ∴S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2)， ∴1S n－1S n －1＝2(n ≥2)，又S 1＝a 1＝12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列． ∴1S n＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n .∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝－12n (n －1)，∴a n ＋1＝－12n (n ＋1)，而a n ＋1－a n ＝－12n (n ＋1)－－12n (n －1)＝－12n⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n －1＝1n (n －1)(n ＋1). ∴当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是一个等差数列．能力组13.[2016·衡水中学猜题]已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ≥2)，则a 6等于( )A ．16B ．8C ．2 2D ．4答案 D解析 由2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ≥2)可得，数列{a 2n }是首项为a 21＝1，公差为a 22－a 21＝3的等差数列，由此可得a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，即得a n ＝3n －2，∴a 6＝3×6－2＝4，故应选D.14.[2016·衡水中学一轮检测]已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0的n 的最大值为( )A ．11B ．19C ．20D ．21答案 B解析 ∵a 11a 10<－1，且S n 有最大值，∴a 10>0，a 11<0，且a 10＋a 11<0， ∴S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19·a 10>0， S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)<0， 故使得S n >0的n 的最大值为19.15.[2016·武邑中学猜题]已知等差数列{a n }中，a 5＝12，a 20＝－18. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{|a n |}的前n 项和S n . 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝a 1＋4d ＝12a 20＝a 1＋19d ＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝20d ＝－2，∴a n ＝20＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋22.(2)由(1)知|a n |＝|－2n ＋22|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n ＋22，n ≤112n －22，n >11，∴当n ≤11时，S n ＝20＋18＋…＋(－2n ＋22)＝n (20－2n ＋22)2＝(21－n )n ；当n >11时，S n ＝S 11＋2＋4＋…＋(2n －22)＝110＋(n －11)(2＋2n －22)2＝n 2－21n ＋220. 综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(21－n )n ，n ≤11n 2－21n ＋220，n >11.16．[2016·冀州中学仿真]已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4.(1)求证{a n }为等差数列； (2)求{a n }的通项公式． 解 (1)证明：当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)． 当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5，又2S n ＝a 2n ＋n －4，两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1， 即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，也即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1. 若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1， 而a 1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾， 所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1， 因此{a n }为等差数列．(2)由(1)知a 1＝3，d ＝1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝3＋(n －1)＝n ＋2，即a n ＝n ＋2.。
第六章机械能第2讲动能和动能定理课标要求核心考点五年考情核心素养对接1.理解动能和动能定理.2.能用动能定理解释生产生活中的现象.动能和动能定理的基本应用2023：新课标T15，山东T15；2022：上海T19；2020：浙江1月T20；2019：北京T24，天津T101.物理观念：理解动能和动能定理，会用动能定理分析问题.2.科学思维：利用功的表达式、牛顿第二定律与运动学公式推出动能定理的表达式.3.科学探究：通过对动能定理的学习，探索功与动能的关系.4.科学态度与责任：能用动能定理解决实际问题，激发学习兴趣，提高应用能力.动能定理与图像的综合应用2023：新课标T20；2022：江苏T8；2021：湖北T4；2020：江苏T4；2019：全国ⅢT17命题分析预测动能和动能定理是历年高考的热点，题型为选择题或计算题，命题背景可能是生产生活、体育运动等实际情境.预计2025年高考可能会结合图像或实际问题考查动能和动能定理相关知识.考点1动能定理的理解和基本应用1.动能定义物体由于运动而具有的能叫动能公式E k ＝[1]12mv 2.单位为焦耳，1J ＝1N·m ＝1kg·m 2/s 2标矢性动能是[2]标量，只有正值状态量动能是状态量，因为v 是瞬时速度2.动能定理内容力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中[3]动能的变化表达式W ＝[4]12m v 22－12m v 12或W ＝E k2－E k1物理意义[5]合力做的功是物体动能变化的量度适用条件①既适用于直线运动，也适用于[6]曲线运动②既适用于恒力做功，也适用于[7]变力做功③力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以[8]间断作用如图，一架喷气式飞机，质量m 为7.0×104kg ，起飞过程中从静止开始滑跑.当位移l 达到2.5×103m 时，速度达到起飞速度80m/s .在此过程中，飞机受到的平均阻力是飞机所受重力的150，g 取10m/s 2.（1）飞机起飞时的动能是2.24×108J.（2）此过程飞机的动能变化量是2.24×108J.（3）飞机的平均牵引力是 1.036×105N.解析（1）E k＝12mv 2＝2.24×108J（2）ΔE k ＝E k －E k0＝2.24×108J（3）在此过程中对飞机由动能定理可知F 牵l －150mgl ＝12mv 2－0，解得飞机的平均牵引力F牵＝1.036×105N.命题点1动能定理的理解1.[直线运动中动能定理的理解]如图，某同学用绳子拉动木箱，使它从静止开始沿粗糙水平路面运动至具有某一速度.木箱获得的动能一定（A）A.小于拉力所做的功B.等于拉力所做的功C.等于克服摩擦力所做的功D.大于克服摩擦力所做的功解析由动能定理有W F-W f＝E k-0，可知木箱获得的动能一定小于拉力所做的功，故A正确.2.[曲线运动中动能定理的理解]滑雪运动深受人民群众喜爱.如图所示，某滑雪运动员（可视为质点）由坡道进入竖直面内的圆弧形滑道AB，从滑道的A点滑行到最低点B的过程中，由于摩擦力的存在，运动员的速率不变，则运动员沿AB下滑过程中（C）A.所受合力始终为零B.所受摩擦力大小不变C.合力做功一定为零D.机械能始终保持不变解析运动员做匀速圆周运动，所受合力指向圆心，故A错误；由动能定理可知，合力做功一定为零，故C正确；运动员所受滑动摩擦力大小随运动员对滑道压力大小的变化而变化，故B错误；运动员动能不变，重力势能减少，所以机械能减少，故D错误.命题拓展命题条件不变，一题多设问运动员沿AB下滑过程中（C）A.重力做的功大于摩擦力做的功B.运动员的动能变化量大于摩擦力做的功C.支持力不做功D.运动员的加速度为零解析运动员下滑过程中速率不变，由动能定理可知重力做的功等于摩擦力做的功，故A 错误；运动员的动能没有变化，动能变化量小于摩擦力做的功，故B错误；运动员做圆周运动，支持力不做功，故C正确；运动员做匀速圆周运动，加速度不为零，故D错误.命题点2动能定理的简单计算3.[动能定理在选择题中的简单计算/2024河北石家庄模拟]“转碟”是传统的杂技项目，如图所示，质量为m的发光物体（可看作质点）放在半径为r的碟子边缘，杂技演员用杆顶住碟子中心A，使发光物体随碟子一起在水平面内绕A点转动，角速度从0增大至ω的过程中，发光物体始终相对碟子静止.已知发光物体与碟子间的动摩擦因数为μ、重力加速度为g，此过程发光物体所受的摩擦力（D）A.方向始终指向A点B.大小始终为μmgC.做的功为12mωrD.做的功为12mω2r2解析角速度从0增大至ω的过程中，发光物体的线速度逐渐增大，可知发光物体有切向加速度，摩擦力等于发光物体所受的合力，提供发光物体切向加速度和向心加速度，可知摩擦力方向不是始终指向A 点，故A 错误；角速度从0增大至ω的过程中，发光物体未发生滑移，所受摩擦力小于等于最大静摩擦力，发光物体做圆周运动所需的向心力在增大，切线方向的合力在变化，故发光物体所受摩擦力大小不是始终为μmg ，故B 错误；根据动能定理有摩擦力做的功为W ＝12mv 2-0＝12mω2r 2，故C 错误，D 正确.4.[动能定理在计算题中的简单计算/2024陕西西安模拟]如图，用打夯方式夯实地面的过程可简化为：两人通过绳子对重物同时施加大小相等、方向与竖直方向成37°角的力F ，使重物恰好脱离水平地面并保持静止，然后突然一起发力使重物升高0.4m 后立即停止施力，重物继续上升0.05m ，最后重物自由下落把地面砸深0.05m.已知重物的质量为40kg ，取重力加速度g ＝10m/s 2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.忽略空气阻力，求：（1）F 的大小；（2）从两人停止施力到重物恰好接触地面的时间；（3）地面对重物的平均阻力的大小.答案（1）250N（2）0.4s（3）4000N解析（1）重物处于平衡状态，则有2F cos37°＝mg代入数据解得F ＝250N.（2）设停止施力时，重物的速度为v ，发力使重物上升的高度为h 1，停止发力后重物继续上升的高度为h 2，从两人停止施力到重物恰好接触地面所经历的时间为t ，则有v 2＝2gh 2vt －12gt 2＝－h 1联立解得t ＝0.4s .（3）设地面对重物的平均阻力为f ，重物落地后把地面砸深h 3，重物从最高点到最低点的过程，由动能定理有mg （h 1＋h 2＋h 3）－fh 3＝0解得f ＝4000N.方法点拨动能定理的使用及注意事项应用动能定理解题应抓住“两状态，一过程”“两状态”即明确研究对象的始、末状态的速度或动能情况“一过程”即明确研究过程，确定在这一过程中研究对象的受力情况和位置变化或位移信息注意事项（1）动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系（2）当物体的运动包含多个不同过程时，可分段应用动能定理求解，也可以对全过程应用动能定理求解（3）动能是标量，动能定理是标量式，解题时不能分解动能命题点3利用动能定理求变力做功5.[动能定理求变化的摩擦力做功]如图，一半径为R、粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置，直径POQ水平.一质量为m的质点自P点上方高度R处由静止开始下落，恰好从P点进入轨道.质点滑到轨道最低点N时，对轨道的压力为4mg，g为重力加速度的大小.用W表示质点从P点运动到N点的过程中克服摩擦力所做的功.则（C）A.W＝12mgR，质点恰好可以到达Q点B.W＞12mgR，质点不能到达Q点C.W＝12mgR，质点到达Q点后，继续上升一段距离D.W＜12mgR，质点到达Q点后，继续上升一段距离解析根据牛顿第二定律得4mg-mg＝m2，解得质点运动至半圆形轨道最低点时的速度v N ＝3B，从质点由静止释放到运动至最低点N，根据动能定理得mg·2R-W＝12m2-0，解得W＝12mgR.从P到N和从N到Q，分析可知相同高度处，从N到Q过程的速率较小，支持力较小，对应的滑动摩擦力较小，故从N到Q过程中质点克服摩擦力做的功W'较小，即W＞W'.从N到Q利用动能定理得E k Q-12m2＝-mgR-W'，解得E k Q＝12m2-mgR-W'＝12mgR-W'＞0，所以质点到达Q点后，还能继续上升一段距离，故C正确，A、B、D错误.6.[动能定理求变化的弹力做功]如图所示，在轻弹簧的下端悬挂一个质量为m的小球A，若将小球A从弹簧原长位置由静止释放，小球A能够下降的最大高度为h.若将小球A换为质量为2m的小球B，仍从弹簧原长位置由静止释放，则小球B下降h时的速度为（重力加速度为g，不计空气阻力，弹簧在弹性限度内）（B）A.2KB.KC.K2D.0解析小球A下降h过程，根据动能定理，有mgh-W＝0，小球B下降h过程，根据动能弹＝12×2mv2-0，联立解得v＝K，故B正确.定理，有2mgh-W弹考点2动能定理与图像的综合应用五类图像中所围“面积”或斜率的意义对下列相关图像的说法进行判断.（1）W －x 图线的斜率表示的是W 对应的力F .（√）（2）E k －x 图线的斜率表示的是物体所受的拉力.（✕）（3）P －t 图线与坐标轴围成的面积表示物体的动能增加量.（✕）（4）F －x 图线与坐标轴围成的面积表示物体的动能增加量.（✕）命题点1E k －x 图像7.[2024湖北武汉摸底/多选]我国民用无人机技术发展迅速，目前已占据全球市场一半以上，某品牌无人机出厂前进行竖直飞行测试，无人机发动机启动一段时间后关闭，再经一小段时间上升到最高点.该过程无人机的动能E k 随上升高度h 的关系如图所示.已知无人机发动机提供的升力大小恒定，空气阻力恒为重力的四分之一.则下列结论正确的有（ACD）A.无人机的升力大小为75NB.空气阻力的大小为40NC.无人机的重力大小为40ND.加速与减速的加速度大小之比为1：2解析由动能E k 与上升高度h 的关系图，可知图像斜率绝对值表示合力的大小，故加速阶段的合力大小为F 合＝F 升-mg -f ＝502N ＝25N ，减速阶段的合力大小为F'合＝mg ＋f ＝501N ＝50N，又f＝0.25mg，联立解得F升＝75N，f＝10N，mg＝40N，故A、C正确，B错误；根据牛顿第二定律可知，加速与减速的加速度大小之比为＝'＝2550＝12，故D正确.命题点2F－x图像8.[多选]在某一粗糙的水平面上，一质量为2kg的物体在水平恒定拉力的作用下做匀速直线运动，当运动一段时间后，拉力逐渐减小，且当拉力减小到零时，物体刚好停止运动，图中给出了拉力随位移变化的关系图像.已知重力加速度g＝10m/s2.根据以上信息能精确得出或估算得出的物理量有（ABC）A.物体与水平面间的动摩擦因数B.合力对物体所做的功C.物体做匀速运动时的速度D.物体运动的时间解析物体做匀速直线运动时，拉力F与滑动摩擦力f大小相等，物体与水平面间的动摩擦因数为μ＝B＝0.35，故A正确；减速过程中，由动能定理得W F＋W f＝0-12mv2，根据F-x 图像中图线与坐标轴围成的面积可以估算拉力F做的功W F，而W f＝-μmgx，由此可求得合力对物体所做的功及物体做匀速运动时的速度v，故B、C正确；因为物体做变加速运动，所以运动时间无法求出，故D错误.命题点3其他图像9.放在粗糙水平面上的物体受到水平拉力的作用，在0～6s内其速度与时间的关系图像和该拉力的功率与时间的关系图像分别如图甲、乙所示，下列说法正确的是（C）图甲图乙A.0～6s内物体位移大小为36mB.0～6s内拉力做的功为30JC.合力在0～6s内做的功与0～2s内做的功相等D.滑动摩擦力大小为5N解析v-t图线与t轴围成的面积表示位移，结合题图甲可知，0～6s内物体的位移大小为30m，故A错误；P-t图线与t轴围成的面积表示拉力做的功，结合题图乙可得，0～6s内拉力做的功为70J，故B错误；0～6s内与0～2s内动能变化量相等，由动能定理可知，合力做的功相等，故C正确；由题图甲知物体在2～6s内做匀速直线运动，此时拉力等于滑动摩擦力，结合题图乙，得F＝＝53N，故D错误.方法点拨解决动能定理与图像问题的基本步骤1.[v－t＋F－t图像/2023福建/多选]甲、乙两辆完全相同的小车均由静止沿同一方向出发做直线运动.以出发时刻为计时零点，甲车的速度—时间图像如图（a）所示，乙车所受合力—时间图像如图（b）所示.则（BC）A.0～2s内，甲车的加速度大小逐渐增大B.乙车在t＝2s和t＝6s时的速度相同C.2～6s内，甲、乙两车的位移不同D.t＝8s时，甲、乙两车的动能不同解析v－t图像中图线的斜率表示加速度，由图（a）可知0～2s内甲车的加速度大小不变，选项A错误；F－t图像中图线与横轴围成的面积表示动量的变化量，由图（b）可知2～6s内乙车的动量变化量为零，所以t＝2s和t＝6s时速度相同，选项B正确；在v－t图像中图线与横轴围成的面积表示位移，在2～6s内，由图（a）得甲车位移为零，将图（b）转换为v－t图像，如图（c），可知乙车位移不为零，选项C正确；由图（a）、图（c）可得，当t＝8s时，甲、乙两车速度均为零，选项D错误.2.[Ek－x图像/2022江苏]某滑雪赛道如图所示，滑雪运动员从静止开始沿斜面下滑，经圆弧滑道起跳.将运动员视为质点，不计摩擦力及空气阻力.此过程中，运动员的动能E k与水平位移x的关系图像正确的是（A）解析3.[W－L图像/多选]质量为2kg的物体，与水平面间的动摩擦因数μ＝0.1，在水平拉力的作用下由静止开始运动，水平拉力做的功W和物体发生的位移L之间的关系如图所示，重力加速度g取10m/s2，则此物体（BD）A.在位移L＝9m时的速度大小是33m/sB.在位移L＝9m时的速度大小是3m/sC.在OA段运动的加速度大小是2.5m/s2D.在OA段运动的加速度大小是1.5m/s2解析由图像可知当L＝9m时，W＝27J，而W f＝-μmgL＝-18J，由动能定理有W合＝W＋W f＝12mv2，解得v＝3m/s，故A错误，B正确；在A点时，W'＝15J，W'f＝-μmgL'＝-6J，由动能定理可得W'＋W'f＝12m2，解得v A＝3m/s，则a＝22'＝1.5m/s2，故C错误，D正确.4.[动能的分析/2023山东]电磁炮灭火消防车（图甲）采用电磁弹射技术投射灭火弹进入高层建筑快速灭火.电容器储存的能量通过电磁感应转化成灭火弹的动能，设置储能电容器的工作电压可获得所需的灭火弹出膛速度.如图乙所示，若电磁炮正对高楼，与高楼之间的水平距离L＝60m，灭火弹出膛速度v0＝50m/s，方向与水平面夹角θ＝53°，不计炮口离地面高度及空气阻力，取重力加速度大小g＝10m/s2，sin53°＝0.8.（1）求灭火弹击中高楼位置距地面的高度H；（2）已知电容器储存的电能E＝12CU2，转化为灭火弹动能的效率η＝15％，灭火弹的质量为3kg，电容C＝2.5×104μF，电容器工作电压U应设置为多少？答案（1）60m（2）10002V解析（1）设灭火弹由炮口运动至高楼处的时间为t，则在水平方向上有L＝v0cosθ·t在竖直方向上有H＝v0sinθ·t－12gt2解得H＝60m（2）根据题意可知E k＝ηE＝15％×12CU2又因为E k＝12m02联立可得U＝10002V.1.[2024江西万安中学校考]下列有关动能的变化说法正确的是（C）A.物体只有做匀速运动时，动能才不变B.物体做平抛运动时，水平方向速度不变，物体的动能也不变C.物体做自由落体运动时，重力做正功，物体的动能增加D.物体的动能变化时，速度不一定变化，速度变化时，动能一定变化解析物体做非匀速运动时，动能也可以不变.例如做匀速圆周运动的物体，其动能不变，故A错误；物体做平抛运动时，水平方向速度不变，竖直方向速度一直增加，其动能一直增加，故B错误；物体做自由落体运动时，重力做正功，物体的动能增加，故C正确；根据E k＝12mv2可知物体的动能变化时，速度一定变化，速度是矢量，大小不变，方向变化时，动能是不变的，故速度变化时，动能不一定变化，故D错误.2.质量不等，但有相同动能的两个物体，在动摩擦因数相同的水平地面上滑行，直至停止，则（B）A.质量大的物体滑行的距离大B.质量小的物体滑行的距离大C.它们滑行的距离一样大D.它们克服摩擦力所做的功不相等解析由动能定理可得-F f x＝0-E k，即μmgx＝E k，由于动能相同，动摩擦因数相同，故质量小的物体滑行的距离大，它们克服摩擦力所做的功都等于E k，故B正确.3.[2023新课标]无风时，雨滴受空气阻力的作用在地面附近会以恒定的速率竖直下落.一质量为m的雨滴在地面附近以速率v下落高度h的过程中，克服空气阻力做的功为（重力加速度大小为g）（B）A.0B.mghC.12mv2－mghD.12mv2＋mgh解析结合题意可知，雨滴在地面附近下落过程做匀速运动，对雨滴下落高度h的过程分析，由动能定理有mgh-W f＝0，即W f＝mgh，B正确，A、C、D错误.4.如图所示，固定在竖直平面内的14圆弧轨道与水平轨道相切于最低点B，质量为m的小物块从圆弧轨道的顶端A由静止滑下，经过B点后沿水平轨道运动，并停在到B点距离等于圆弧轨道半径的C点.圆弧轨道粗糙，物块与水平轨道间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g.物块到达B点前瞬间对轨道的压力大小为（C）A.2μmg B.3mgC.（1＋2μ）mgD.（1＋μ）mg解析设圆弧轨道的半径为r，物块从B到C的过程，由动能定理得-μmgr＝0-12m2，在B 点，由牛顿第二定律得N-mg＝m2，联立解得N＝(1＋2μ)mg，由牛顿第三定律可知，物块到达B点前瞬间对轨道的压力大小为N'＝N＝(1＋2μ)mg，故C正确.5.[图像创新/2024安徽名校联考]如图甲所示，光滑斜面倾角θ＝30°，以斜面底端为坐标原点，沿斜面方向建立x轴.一质量为2kg的物体（视为质点）在沿斜面方向的拉力作用下，从斜面底端由静止开始沿x轴正方向运动，拉力做的功W与物体坐标x的关系如图乙所示.重力加速度g＝10m/s2，斜面足够长.物体沿x轴正向运动过程中，下列说法正确的是（C）A.物体沿斜面向上运动的最大位移为22mB.物体沿斜面向上运动的时间为4sC.在x＝5m时，拉力的功率为1002WD.拉力的最大功率为300W解析由于拉力沿斜面方向，则拉力做的功为W＝Fx，可看出W-x图像的斜率大小代表拉力大小F.则对物体由O点运动到x＝5m的过程，根据动能定理有，W1-mg sinθ·x1＝12m12，结合题图乙可解得物体的速度v1＝52m/s，在x＝5m时，拉力F1＝ΔΔ＝20N，则此时拉力的功率P1＝F1v1＝1002W，故C正确.物体运动到x＝10m时，拉力的功率最大，则对物体由O点运动到x＝10m的过程，设运动的时间为t1，根据动能定理和运动学公式有W2-mg sinθ·x2＝12m22，x2＝22t1，结合题图乙可解得v2＝10m/s，t1＝2s，则此时拉力的功率P2＝F1v2＝200W，故D错误.对物体由x＝10m处向上运动到最高点的过程，设运动的时间为t2，受到的拉力F2＝Δ'Δ'＝2N，由牛顿第二定律有mg sinθ-F2＝ma1，解得物体的加速度a1＝4m/s2，运动的时间t2＝21＝2.5s，该过程运动的位移x3＝22t2＝12.5m，则物体沿斜面向上运动的最大位移x max＝x2＋x3＝22.5m，故A错误.物体沿斜面向上运动的总时间为t＝t1＋t2＝4.5s，B错误.6.[多选]如图所示，一内壁粗糙程度相同、半径为R的圆筒固定在竖直平面内，圆筒内一质量为m的小球沿筒壁做圆周运动.若小球从最低点算起运动一圈又回到最低点的过程中，两次在最低点时筒壁对小球的弹力大小分别为10mg和8mg.设小球在该过程中克服摩擦力做的功为W，经过最高点时筒壁对小球的弹力大小为F，重力加速度为g，则（BD）A.W＝2mgRB.W＝mgRC.3mg＜F＜4mgD.2mg＜F＜3mg解析对小球进行受力分析，先后两次在最低点所受的合力分别为9mg和7mg，方向指向圆心.设小球先后两次经过最低点的速率分别为v1和v2，根据牛顿第二定律有9mg＝B12和7mg＝B22，小球在整个过程中，由动能定理得-W＝12m22−12m12，联立解得W＝mgR，故A 错误，B正确；小球在上升和下降过程中的等高处，由于上升过程中的速度大于下降过程中的速度，所以上升时所需向心力大于下降时所需向心力，故上升时筒壁对小球的弹力大于下降时筒壁对小球的弹力，因此上升时受到的摩擦力较大，而下降时受到的摩擦力较小，故上升时克服摩擦力做功W1＞2，下降时克服摩擦力做功W2＜2，设小球上升到最高点时的速度为v3，筒壁对小球的弹力满足F＋mg＝B32，上升过程由能量守恒定律得12m12＝12m32＋2mgR＋W1，解得F＜3mg，由W1＜W，解得F＞2mg，故C错误，D正确.7.如图（a）所示，一物块以一定初速度沿倾角为30°的固定斜面上滑，运动过程中摩擦力大小f恒定，物块动能E k与运动路程s的关系如图（b）所示.重力加速度大小取10m/s2，物块质量m和所受摩擦力大小f分别为（A）图（a）图（b）A.m＝0.7kg，f＝0.5NB.m＝0.7kg，f＝1.0NC.m＝0.8kg，f＝0.5ND.m＝0.8kg，f＝1.0N解析0～10m内物块上滑，由动能定理得-mg sin30°·s-fs＝E k-E k0，整理得E k＝E k0-(mg sin 30°＋f)s，结合0～10m内的图像得，斜率的绝对值｜k｜＝mg sin30°＋f＝4N；10～20m 内物块下滑，由动能定理得(mg sin30°-f)(s-s1)＝E k，整理得E k＝(mg sin30°-f)s-(mg sin30°-f)s1，结合10～20m内的图像得，斜率k'＝mg sin30°-f＝3N，联立解得f＝0.5N、m＝0.7 kg，故A正确，B、C、D错误.8.[多选]如图所示为一滑草场.某条滑道由上下两段高均为h、与水平面数均为μ.质量为m的载人滑草车从坡顶由静止开始自由下滑，经过上、下两段滑道后，最后恰好静止于滑道的底端（不计载人滑草车在两段滑道交接处的能量损失，重力加速度大小为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8），则（AB）A.动摩擦因数μ＝67B.载人滑草车最大速度为2K7C.载人滑草车克服摩擦力做功为mghD.载人滑草车在下段滑道上的加速度大小为35g解析对载人滑草车从坡顶由静止开始滑到底端的全过程分析，由动能定理可知mg·2h-μmg cos45°·ℎsin45°-μmg cos37°·ℎsin37°＝0，解得μ＝67，故A正确；滑草车通过上段滑道末端时速度最大，根据动能定理有mgh-μmg cos45°·ℎsin45°＝12m m2，解得v m＝2K7，故B正确；载人滑草车克服摩擦力做功为2mgh，故C错误；载人滑草车在下段滑道上的加速度为a＝Bsin37°−Bvos37°＝-335g，故加速度大小为335g，故D错误.9.[2023江苏]滑块以一定的初速度沿粗糙斜面从底端上滑，到达最高点B 后返回到底端.利用频闪仪分别对上滑和下滑过程进行拍摄，频闪照片示意图如图所示.与图乙中相比，图甲中滑块（C）A.受到的合力较小B.经过A 点的动能较小C.在A 、B 之间的运动时间较短D.在A 、B 之间克服摩擦力做的功较小解析设斜面倾角为θ、滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，对滑块受力分析有F 合上＝mg sin θ＋μmg cos θ，F 合下＝mg sin θ-μmg cos θ，故图甲中滑块受到的合力较大，A 错；滑块由A到B 的过程，有2a 上x AB ＝上2，由B 到A 的过程，有2a 下x AB ＝下2，又F 合上＞F 合下，则a 上＞a 下，故v A 上＞v A 下，图甲中滑块经过A 点的动能较大，B 错；将滑块由A 到B 的过程逆向思维为由B 到A 的初速度为0、加速度大小为a 上的匀加速运动，则x AB ＝12a 上上2，又x AB ＝12a 下下2，a 上＞a 下，故t 上＜t 下，即图甲中滑块在A 、B 之间的运动时间较短，C 对；上滑和下滑过程摩擦力大小相等，经过AB 的距离相等，根据W ＝fx 可知在A 、B 之间克服摩擦力做的功相等，D 错.10.[2023山东青岛统考/多选]如图甲所示，在水平面上建立正方向水平向左的一维坐标，质量为M ＝1kg 的木板在x ＝0位置时有水平向左、大小为4m/s 的初速度.长木板受到的水平拉力F 与其位移的关系如图乙所示.已知木板与地面的动摩擦因数为0.6，重力加速度大小g 取10m/s 2，关于木板在0～8m 内的运动，下列说法正确的是（ABD）A.长木板的最小速度为2m/sB.x ＝4m 时长木板的速度大小为4m/sC.2～6m 内，长木板动能的增量为15JD.x ＝6m 和x ＝8m 时的速度大小相等解析当拉力小于摩擦力时，木板减速，摩擦力f ＝μMg ＝6N ，根据题图乙可知2m 处拉力为6N ，所以2m 前木板减速，2m 后木板加速，2m 时速度最小，图线与坐标轴所围图形的面积代表拉力做的功，根据动能定理有12M min2−12M02＝-fx0＋0×02，解得v min＝2 m/s，故A正确；在0～4m内，根据动能定理有12M12−12M02＝-fx1＋1×12，F1＝12N，解得v1＝4m/s，故B正确；在2～6m内，根据动能定理可知，长木板动能的增量ΔE k＝6+122×2J＋8+122×2J-6×(6-2)J＝14J，故C错误；在6～8m内，合外力做的功W合＝4+82×2J-6×2J＝0，所以木板在x＝6m和x＝8m时的动能不变，速度大小相等，故D正确. 11.[2024四川绵阳江油中学校考/多选]一辆汽车以额定功率沿倾角不变的斜坡向下匀速行驶，速度为v1，牵引力为F1.现让该车沿该斜坡从静止开始向上匀加速行驶，达到额定功率时速度为v2，牵引力为F2，以后保持额定功率行驶，最终速度为v3，牵引力为F3.斜坡足够长，汽车所受阻力大小在向上和向下行驶时相同，则（AD）A.v1＞v3＞v2B.v1＜v2＜v3C.在向上匀加速行驶过程中，任意相等时间内，汽车动能变化相等D.F1＜F3＜F2解析设斜坡的倾角为θ，汽车向下匀速行驶时，有F1＋mg sinθ-μmg cosθ＝0，P＝F1v1，汽车向上匀加速行驶时有F2-mg sinθ-μmg cosθ＝ma，P＝F2v2，汽车向上匀速行驶时，有F3-mg sinθ-μmg cosθ＝0，P＝F3v3，联立可得F1＜F3＜F2，v1＞v3＞v2，故A、D正确，B错误；在向上匀加速行驶过程中，任意相等时间内，汽车动能变化量ΔE k＝12m(v＋at)2-12mv2＝2B＋222m，故在向上匀加速行驶过程中，任意相等时间内，汽车动能变化不同，故C错误.12.[2024河北名校联考]如图1所示，一质量为0.4kg的小物体静止在水平台面上，在水平推力F的作用下从坐标原点O开始沿x轴运动，F与物体坐标x的关系如图2所示.在x＝4m时撤去力F，同时物体从平台飞出，落到距离台面h＝0.45m的水平地面上.物体与水平台面间的动摩擦因数为34，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力.求：（1）x＝1m时，物体的加速度大小a；（2）x＝2m时，力F的功率P；（3）物体落地点离平台的水平距离x'.答案（1）12.5m/s2（2）602W（3解析（1）由F－x图像知，在0～2m内有，F＝（4＋4x）N，x＝1m时，F＝8N滑动摩擦力f＝μmg＝34×0.4×10N＝3N。
一、选择题1．如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面与水平面的夹角为15，盘面上离转轴距离为1m r =处有一质量1kg m =的小物体，小物体与圆盘始终保持相对静止，且小物体在最低点时受到的摩擦力大小为6.6N 。
若重力加速度g 取l0m/s 2，sin150.26=，则下列说法正确的是（ ）A ．小物体做匀速圆周运动线速度的大小为2m/sB ．小物体受到合力的大小始终为4NC ．小物体在最高点受到摩擦力大小为0.4N ，方向沿盘面指向转轴D ．小物体在最高点受到摩擦力大小为1.4N ，方向沿盘面背离转轴2．下列关于圆周运动的说法中正确的是（ ）A ．匀速圆周运动是一种匀变速曲线运动B ．广州随地球自转的线速度大于北京的线速度C ．图中转盘上跟随水平转盘匀速转动的物块收到重力支持力、静摩擦力和向心力共4个力的作用D ．时针与分针的角速度之比为1∶603．如图所示，水平桌面上放了一个小型的模拟摩天轮模型，将一个小物块置于该模型上某个吊篮内，随模型一起在竖直平面内沿顺时针匀速转动，二者在转动过程中保持相对静止（ ）A．物块在d处受到吊篮的作用力一定指向圆心B．整个运动过程中桌面对模拟摩天轮模型的摩擦力始终为零C．物块在a处可能处于完全失重状态D．物块在b处的摩擦力可能为零4．和谐号动车以80m/s的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在10s内匀速转过了约10 。
在此10s时间内，则火车（）A．角速度约为1rad/s B．运动路程为800mC．加速度为零D．转弯半径约为80m5．两个质量相同的小球，在同一水平面内做匀速圆周运动，悬点相同，如图所示，A运动的半径比B的大，则（）A．A所需的向心力比B的大B．B所需的向心力比A的大C．A的角速度比B的大D．B的角速度比A的大6．如图所示是两个圆锥摆，两个质量相等、可以看做质点的金属小球有共同的悬点，在相同的水平面内做匀速圆周运动，下面说法正确的是（）A．A球对绳子的拉力较大B．A球圆周运动的向心力较大C．B球圆周运动的线速度较大D．B球圆周运动的周期较大7．如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒，其轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动。
