六年级分数裂项

本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

分数裂项

一、“裂差”型运算

将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1ab形式的，这里我们把较小的数写在前面，即ab，那么有1111()abbaab

(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：

1(1)(2)nnn，1(1)(2)(3)nnnn形式的，我们有：

裂差型裂项的三大关键特征：

（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”

（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：

常见的裂和型运算主要有以下两种形式：

（1）11abababababba （2）2222ababababababba

裂和型运算与裂差型运算的对比：

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 知识点拨 教学目标 分数裂项计算

【例 1】 111111223344556 。

【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算

【关键词】美国长岛，小学数学竞赛

【解析】 原式111111115122356166

提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为：111113355779，计算过程就要变为：

111111113355779192．

【答案】56

【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算

【解析】 原式111111111()()......()101111125960106012

【答案】112

【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算

【解析】 原式111111112910894534112310715

【答案】715

【考点】分数裂项

【难度】3星 【题型】计算

【解析】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有112(11)11122，112(12)212232，……，

原式22221200992(1)1122334100101101101101

【答案】991101

【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算

【答案】50101

【巩固】 计算：1111251335572325

【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算

【关键词】2009年，迎春杯，初赛，六年级

【解析】 原式1111112512335232511251225252422512

【答案】12

【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算

【关键词】2008年，台湾，小学数学竞赛，初赛

【解析】 原式2511111116122334500501501502

【答案】211532

【巩固】 计算：3245671255771111161622222929

【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 例题精讲 【解析】 原式111111111111125577111116162222292912

【答案】12

【例 2】 计算：11111111()1288244880120168224288

【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算

【关键词】2008年，101中学

【解析】 原式11111282446681618（）

【答案】4289

【巩固】 11111111612203042567290_______

【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算

【关键词】2008年，第六届，走美杯，初赛，六年级

【解析】 根据裂项性质进行拆分为：

【答案】25

【考点】分数裂项

【难度】6星 【题型】计算

【关键词】2008年，第6届，走美杯，6年级，决赛

【解析】 原式111111212312341234567

【答案】74

【巩固】 计算：1111111112612203042567290＝

【考点】分数裂项

【难度】3星 【题型】计算

【关键词】2006年，第4届，走美杯，6年级，决赛

【解析】 原式111111111()223344556677889910

【答案】110

【巩固】 11111104088154238

。

【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 原式11111255881111141417

【答案】534

【例 3】 计算：1111135357579200120032005

【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【关键词】2005年，第10届，华杯赛，总决赛，二试

【解析】 原式11111114133535572001200320032005

【答案】100400312048045

【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【关键词】2007年，仁华学校 【解析】 原式791611111182901133557791331.2540.83

【答案】2336

【例 4】 计算：11111123420261220420

【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【关键词】第五届，小数报，初赛

【解析】 原式1111112320261220420

【答案】2021021

【巩固】 计算：11111200820092010201120121854108180270= 。

【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算

【解析】 原式1111120082009201020112012366991212151518

【答案】51005054

【巩固】 计算：1122426153577 ____。

【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算

【解析】原式132537511726153577

【答案】1011

【巩固】 计算：1111111315356399143195

【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为：232113，2154135，……，21951411315，

所以原式11111111335577991111131315

【答案】715

【巩固】 计算：15111929970198992612203097029900

．

【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【关键词】2008年，四中

【解析】 原式1111111126129900

【答案】198100

【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 首先分析出11111111211211nnnnnnnnnnnn

原式11111111121223233467787889

【答案】35144 【巩固】 计算：1111232349899100

【考点】分数裂项

【难度】3星

【题型】计算

【解析】 原式11111111()21223233434989999100

【答案】494919800

【巩固】 计算：1111135246357202224

【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 原式＝1135＋1357＋…+1192123+1246+…+1202224

＝14(113－12123)＋14(124－12224)

＝40483＋652112＝28160340032＋10465340032