六年级分数裂项作业

六年级奥数-分数裂项裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

【例 1】111111223344556++++=⨯⨯⨯⨯⨯。

【巩固】111...... 101111125960 +++⨯⨯⨯【巩固】2222 109985443 ++++=⨯⨯⨯⨯【例 2】1111 11212312100 ++++++++++公式的变式1 1221+++=⨯-…n n n()例题精讲当n 分别取1，2，3，……，100时，就有 112121122231123234112342451121002100101=⨯+=⨯++=⨯+++=⨯+++=⨯ (1111211231)12100212223234299100210010121121231341991001100101211212131314199110011001101211101++++++++++=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⨯⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⨯-+-+-++-+-=⨯-……………()()() =⨯==2100101200101199101求和公式推导： S1=1+2+3+4+5 + S1=5+4+3+2+1【例 3】 111113355799101++++=⨯⨯⨯⨯【巩固】 计算：1111251335572325⎛⎫⨯++++= ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭【巩固】 2512512512512514881212162000200420042008+++++⨯⨯⨯⨯⨯【巩固】 计算：3245671255771111161622222929++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯【例 4】 计算：11111111()1288244880120168224288+++++++⨯= 方法一：方法二：【巩固】11111111 612203042567290+++++++=_______【巩固】11111113610152128 ++++++=一项隔一项来拆项【巩固】计算：1111111112612203042567290--------＝【巩固】11111104088154238++++=。

分数裂项分数裂项是分数加减法计算的逆向过程分数裂差a与b互质1a－1b＝1×b a×b－1×a b×a＝b－a a×b反过来看，如果一个分数分母可以写成两个数的积，分子是这两个数的差，那么这个分数就可以写成两个分数单位相减的形式。

b－a a×b＝b a×b－a b×a＝1a－1b分数裂和a与b互质1a＋1b＝1×b a×b＋1×a b×a＝b＋a a×b反过来看，如果一个分数分母可以写成两个数的积，分子是这两个数的和，那么这个分数就可以写成两个分数单位相加的形式。

b＋a a×b＝b a×b＋a b×a＝1a＋1b例1：11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋⋯⋯＋19×10＝11－12＋12－13＋13－14＋14－15＋⋯⋯＋19－110＝1－110＝91021×3＋23×5＋25×7＋27×9＋29×11＝11－13＋13－15＋15－17＋17－19＋19－111＝1－111＝1011例3：11×3＋13×5＋15×7＋17×9＋19×11＝21×3×12＋23×5×12＋25×7×12＋27×9×12＋29×11×12＝12×21×3＋23×5＋25×7＋27×9＋29×11＝12×11－13＋13－15＋15－17＋17－19＋19－111＝12×1－111＝12×1011＝511例4：31×2－52×3＋73×4－94×5＋115×6＝11＋12－12＋13＋13＋14－14＋15＋15＋16＝1＋12－12－13＋13＋14－14－15＋15＋16＝1＋16＝116+16+112+120+130+142+156+172+190+1110（1）12（2）11×2＋12×3＋13×4＋⋯⋯＋149×50（3）1－14＋120＋130＋142＋156（4）20021×3＋20023×5＋20025×7＋20027×9＋20029×11（5）12×5＋15×8＋18×11＋⋯⋯＋120×23（6）113－712＋920－1130＋1342－1556（7）712－920＋1130－1342练习答案：（1）12+16+112+120+130+142+156+172+190+1110＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋15×6＋16×7＋17×8＋18×9＋19×10＋110×11＝1－12＋12－13＋13－14＋⋯⋯＋19－110＋110－111＝1－111＝1011（2）11×2＋12×3＋13×4＋⋯⋯＋149×50＝11－12＋12－13＋13－14＋⋯⋯＋149－150＝1－150＝4950（3）1－14＋120＋130＋142＋156＝1－14＋14×5＋15×6＋16×7＋17×8＝1－14＋14－15＋15－16＋16－17＋17－18＝1－18＝78（4）20021×3＋20023×5＋20025×7＋20027×9＋20029×11观察发现，每一个分数的分子都是2002，分母都是差值位2的两个数的乘积。

裂项基本训练裂项可以说是资优生考试的宠儿，几乎每年必考，即使在10年秋季没有在计算中直接考察，但是在最后一题中的计算过程也要明显采用裂项解决。

而资优生的裂项题目有其明显的不易发觉的表面特点，需要同学们大量的练习作为依托。

作为分数运算中少有的几种技巧之一，裂项相消的确有其非常重要的地位。

希望同学们能够引起足够重视。

【例1】计算： 11111661111165156++++⨯⨯⨯⨯ 【答案】：5611【例2】计算：22222211111121314151981991++++++------ 【答案】：1980014651【例3】计算： ．11111111(1288244880120168224288+++++++⨯=【答案】：9256【例4】1434629814219425432239848215356399143195255323399483+++++++++答案】：69680【例5】计算：2310011(12)(12)(123)(1299)(12100)----⨯++++++++++ 【答案】：50501【例6】计算： 23993!4!100!+++= 【答案】：112!100!-【例7】计算：11139921111111(1)(1)(1)(1)(1)2232399+++++++++ 【答案】：99100【例8】计算：________1223344556677889910⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=【答案】：330【例9】计算：12323434591011⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯= 【答案】：2970【例10】计算：________11!22!33!20082008!⨯+⨯+⨯++⨯= 【答案】：2009!1-【例11】计算： 35496377911053116122030425688⎡⎤⎛⎫-+-+--÷= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【答案】：10【例12】计算：57911131517191612203042567290-+-+-+-+【答案】：58【例13】计算：111111324352007200920082010+++++⨯⨯⨯⨯⨯ 【答案】：20094020【例14】计算： ．1111112612203042-----=【答案】：17【例15】计算：123456121231234123451234561234567+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【答案】：50395040【例16】计算：222222227191111991 (7191111991)++++++++----【答案】：4747300【例17】计算： 1111120102638272330314151119120123124+++++++++=【答案】：127。

本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。

很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：知识点拨教学目标分数裂项计算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

小学奥数计算专题--分数拆分与裂项（六年级）竞赛测试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）【题文】。

【答案】【解析】原式提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为：，计算过程就要变为：．【题文】=【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】=【答案】【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。

此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。

从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有，，……，原式【题文】【答案】【解析】【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】 = 【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】_______【答案】【解析】根据裂项性质进行拆分为：【题文】【答案】【解析】原式【题文】计算：＝【答案】【解析】原式【题文】。

【答案】【解析】原式【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】计算：=。

【答案】【解析】原式【题文】计算：。

【答案】【解析】原式【题文】计算：【答案】【解析】分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为：，，……，，所以原式【题文】计算：．【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】首先分析出原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】计算：【答案】【解析】原式＝＋＋…+++…+＝(－)＋(－)＝＋＝＋＝【题文】【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】＝＝－＝－＝＝－＝－＝＝－＝－……＝＝－＝－原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】计算：．【答案】【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第个数恰好为的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．原式也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为，所以，再将每一项的与分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．【题文】计算：【答案】651【解析】本题的重点在于计算括号内的算式：．这个算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式．观察可知，，……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以所以原式．（法二）上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化方法．由于分子成等差数列，而等差数列的通项公式为，其中为公差．如果能把分子变成这样的形式，再将与分开，每一项都变成两个分数，接下来就可以裂项了．，所以原式．（法三）本题不对分子进行转化也是可以进行计算的：所以原式．（法四）对于这类变化较多的式子，最基本的方法就是通项归纳．先找每一项的通项公式：（，3， (9)如果将分子分成和1，就是上面的法二；如果将分子分成和，就是上面的法一．【题文】计算：【答案】【解析】观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：原式现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，知识虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公式：，，……原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】计算： .【答案】【解析】原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然开朗了．原式【题文】【答案】【解析】原式＝＋＋＋＋…＋＝（）＋（）＋（）＋（）＝【题文】【答案】【解析】，，……，，所以原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】 .【答案】【解析】这题是利用平方差公式进行裂项：，原式【题文】计算：【答案】【解析】，，……所以，原式【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】计算：．【答案】【解析】原式【题文】计算：．【答案】【解析】，，，……由于，，，可见原式【题文】计算：．【答案】【解析】式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为，，，……，，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，所以可以先将原式乘以4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了．原式【题文】【答案】【解析】【题文】【答案】【解析】原式==【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式= =====【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】所以原式。

分数裂项练习题11.111111223344556++++=⨯⨯⨯⨯⨯。

2.111...... 101111125960 +++⨯⨯⨯3.2222 109985443 ++++=⨯⨯⨯⨯4.1111 11212312100 ++++++++++5.1111 133******** ++++=⨯⨯⨯⨯6.计算：1111251335572325⎛⎫⨯++++=⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭7.251251251251251 4881212162000200420042008 +++++⨯⨯⨯⨯⨯分数裂项练习题1详解1.111111223344556++++=⨯⨯⨯⨯⨯ 。

【解析】 原式111111115122356166⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2.111 (101111125960)+++⨯⨯⨯ 【解析】 原式111111111()()......()101111125960106012=-+-++-=-=3.2222109985443++++=⨯⨯⨯⨯ 【解析】 原式111111112910894534⎛⎫=⨯-+-++-+- ⎪⎝⎭112310⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭715=4.111111212312100++++++++++ 【解析】 原式22221200992(1)1122334100101101101101=++++=⨯-==⨯⨯⨯⨯5.111113355799101++++=⨯⨯⨯⨯ 【解析】 111111111150(113355799101233599101101++++=⨯-+-++-=⨯⨯⨯⨯…） 6.计算：1111251335572325⎛⎫⨯++++= ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭【解析】 原式11111125123352325⎛⎫=⨯⨯-+-++- ⎪⎝⎭11251225⎛⎫=⨯⨯- ⎪⎝⎭2524225=⨯12=7.2512512512512514881212162000200420042008+++++⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】 原式2511111116122334500501501502⎛⎫=⨯+++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭251111111111622334501502⎛⎫=⨯-+-+-++- ⎪⎝⎭25150150121151********=⨯==分数解决问题对比练习题4，还剩多少千克大米？1、（1）一袋大米50千克，吃了这袋大米的54后，还剩下10千克，这袋大米多少千克？（2）一袋大米吃了这袋大米的51。

本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。

很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

，本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-⨯- 、(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

$知识点拨教学目标分数裂项计算二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

分数裂项校区 班级 姓名本讲知识点属于计算大板块内容,其实分数裂项很大程度上就是发现规律、利用公式得过程,可以分为观察、改造、运用公式等过程。

很多时候裂项得方式不易找到,需要进行适当得变形,或者先进行一部分运算,使其变得更加简单明了。

本讲就是整个奥数知识体系中得一个精华部分,列项与通项归纳就是密不可分得，所以先找通项就是裂项得前提,就是能力得体现,对学生要求较高。

一、“裂差”型运算将算式中得项进行拆分,使拆分后得项可前后抵消,这种拆项计算称为裂项法、裂项分为分数裂项与整数裂项，常见得裂项方法就是将数字分拆成两个或多个数字单位得与或差。

遇到裂项得计算题时,要仔细得观察每项得分子与分母，找出每项分子分母之间具有得相同得关系,找出共有部分，裂项得题目无需复杂得计算,一般都就是中间部分消去得过程,这样得话，找到相邻两项得相似部分,让它们消去才就是最根本得。

(1）对于分母可以写作两个因数乘积得分数,即形式得,这里我们把较小得数写在前面,即，那么有(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式得分数,即:，形式得，我们有:1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项得三大关键特征：(１）分子全部相同，最简单形式为都就是1得,复杂形式可为都就是ｘ（ｘ为任意自然数）得,但就是只要将ｘ提取出来即可转化为分子都就是1得运算。

（２）分母上均为几个自然数得乘积形式,并且满足相邻2个分母上得因数“首尾相接”(3)分母上几个因数间得差就是一个定值。

二、“裂与”型运算:知识点拨学习目标常见得裂与型运算主要有以下两种形式:(１）(2)裂与型运算与裂差型运算得对比：裂差型运算得核心环节就是“两两抵消达到简化得目得”,裂与型运算得题目不仅有“两两抵消”型得,同时还有转化为“分数凑整”型得,以达到简化目得。

【例 1】。

【巩固】【巩固】【例 2】【例 3】【巩固】计算:【巩固】计算：【巩固】【巩固】计算:=【巩固】。