数列经典例题裂项相消法数列裂项相消求和的典型题型 1．已知等差数列 } {na 的前 n 项和为 , 15 , 5 ,5 5 S a S n 则数列 }1{1 n n aa的前 100 项和为() A． 100B．99C．99100D．1002．数列 ,) 1 (1n na n 其前 n 项之和为 ,109则在平面直角坐标系中，直线 0 ) 1 ( n y x n 在 y 轴上的截距为() A．－10B．－9C．10D．9 3．等比数列 } {na 的各项均为正数，且6 223 2 19 , 1 3 2 a a a a a ．(Ⅰ)求数列 } {na 的通项公式；(Ⅱ)设 , log log log3 2 3 1 3 n na a a b求数列 }1{nb的前 n 项和． 4．正项数列 } {na 满足 0 2 ) 1 2 (2 n a n an n．(Ⅰ)求数列 } {na 的通项公式na ；(Ⅱ)令 ,) 1 (1nna nb求数列 } {nb 的前 n 项和nT ． 5．设等差数列 } {na 的前n 项和为nS ，且 1 2 , 42 2 4n na a S S ．(Ⅰ)求数列 } {na 的通项公式；(Ⅱ)设数列 } {nb 满足 , ,211*2211N nabababnnn求 } {nb 的前 n 项和nT ． 6．已知等差数列 } {na 满足：26 , 77 5 3 a a a ． } {na 的前 n 项和为nS ．(Ⅰ)求na 及nS ；(Ⅱ)令 ), (11*2N nabnn求数列 } {nb 的前 n 项和nT ． 7．在数列 } {na 中n nana a21 1)11 ( 2 , 1 , ．(Ⅰ)求 } {na 的通项公式；(Ⅱ)令 ,211 n n na a b 求数列 } {nb 的前 n 项和nS ；（Ⅲ）求数列 } {na 的前 n 项和nT ． 8．已知等差数列 } {na 的前 3 项和为 6，前 8 项和为﹣4．(Ⅰ)求数列 } {na 的通项公式；(Ⅱ)设 ), , 0 ( ) 4 (* 1N n q q a bnn n求数列 } {nb 的前 n 项和nS ． 9．已知数列 } {na 满足 , 2 , 02 1 a a 且对*, N n m都有21 1 2 1 2) ( 2 2 n m a a an m n m．(Ⅰ)求5 3 ,aa ；(Ⅱ)设 ), (*1 2 1 2N n aa bn n n证明：} {nb 是等差数列；（Ⅲ）设 ), , 0 ( ) (* 11N n q q a a cnn n n求数列 } {nc 的前 n 项和nS ． 10．已知数列 } {na 是一个公差大于 0 的等差数列，且满足 16 , 557 2 6 3 a a a a ．(Ⅰ)求数列 } {na 的通项公式；(Ⅱ)数列 } {na 和数列 } {nb 满足等式 ), (2 2 2 2*3322 1N nb b b bannn求数列 } {nb 的前 n 项和nS ． 11．已知等差数列 } {na 的公差为 2，前 n 项和为nS ，且4 2 1, , S S S 成等比数列． (1)求数列 } {na 的通项公式； (2)令 ,4) 1 (112n nna anb 求数列 } {nb 的前 n 项和nT . 12．正项数列 } {na 的前 n 项和nS 满足：0 ) ( ) 1 (2 2 2 n n S n n Sn n.(1)求数列 } {na 的通项公式na ； (2)令 ,) 2 (12 2nna nnb数列 } {nb 的前 n 项和为nT ，证明：对于 ,*N n都有645nT . 答案：1．A；2．B 3．解：(Ⅰ)设数列{a n }的公比为 q，由 a 3 2 =9a 2 a 6 有 a 3 2 =9a 4 2 ， there4;q 2 = ．由条件可知各项均为正数，故 q= ．由 2a 1 +3a 2 =1 有 2a 1 +3a 1 q=1， there4;a 1 = ．故数列{a n }的通项式为 a n = ．（Ⅱ）b n = + +…+ =﹣（1+2+…+n）=﹣，故 =﹣ =﹣2（﹣）则+ +…+ =﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=﹣， there4;数列{ }的前 n 项和为﹣． 4．解：(Ⅰ)由正项数列{a n }满足：﹣（2n﹣1）a n ﹣2n=0，可有（a n ﹣2n）（a n +1）=0 there4;a n =2n．(Ⅱ)∵a n =2n，b n = ， there4;b n = = = ， T n = = = ．数列{b n }的前 n 项和 T n 为． 5．解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的首项为 a 1 ，公差为d，由 S 4 =4S 2 ，a 2n =2a n +1 有：，解有 a 1 =1，d=2． there4;a n =2n﹣1，n isin;N * ． (Ⅱ)由已知 + +…+ =1﹣，n isin;N * ，有：当 n=1 时， = ，当 n ge;2 时， =（1﹣）﹣（1﹣）= ， there4;，n=1 时符合． there4; = ，n isin;N *由（Ⅰ）知，a n =2n﹣1，n isin;N * ．there4;b n = ，n isin;N * ．又T n = + + +…+ ，there4; T n = + +…+ + ，两式相减有：T n = +（+ +…+ ）﹣ = ﹣﹣there4;T n =3﹣． 6．解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为 d，∵a 3 =7，a 5 +a 7 =26， there4;有，解有 a1 =3，d=2， there4;a n =3+2（n﹣1）=2n+1； S n = =n2 +2n；(Ⅱ)由(Ⅰ)知 a n =2n+1， there4;b n = = = = ，there4;T n = = = ，即数列{b n }的前 n 项和 T n= ． 7．解：(Ⅰ)由条件有，又 n=1 时，，故数列构成首项为 1，公式为的等比数列． there4; ，即．(Ⅱ)由有，，两式相减，有：， there4; ．（Ⅲ）由有． there4;T n =2S n +2a 1 ﹣2a n+1 = ． 8．解：(Ⅰ)设{a n }的公差为 d，由已知有解有 a 1 =3，d=﹣1 故 a n =3+（n﹣1）（﹣1）=4﹣n；(Ⅱ)由(Ⅰ)的解答有，b n =n bull;q n﹣1 ，于是 S n =1 bull;q 0 +2 bull;q 1 +3 bull;q 2 +…+n bull;q n﹣1 ．若 q ne;1，将上式两边同乘以 q，有 qS n =1 bull;q 1 +2 bull;q 2 +3 bull;q 3 +…+n bull;q n ．上面两式相减，有（q﹣1）S n =nq n ﹣（1+q+q 2 +…+q n﹣1 ）=nq n ﹣于是 S n =若 q=1，则S n =1+2+3+…+n=there4;，S n = ． 9．解：(Ⅰ)由题意，令 m=2，n=1，可有 a 3 =2a 2 ﹣a 1 +2=6 再令 m=3，n=1，可有 a 5 =2a3 ﹣a 1 +8=20 (Ⅱ)当 n isin;N * 时，由已知（以 n+2 代替 m）可有 a 2n+3 +a 2n﹣1 =2a 2n+1 +8 于是[a 2（n+1）+1 ﹣a 2（n+1）﹣1 ]﹣（a 2n+1 ﹣a 2n﹣1 ）=8 即 b n+1 ﹣b n =8there4;{b n }是公差为 8 的等差数列（Ⅲ）由(Ⅰ) (Ⅱ)解答可知{b n }是首项为 b 1 =a 3 ﹣a 1 =6，公差为 8 的等差数列则 b n =8n﹣2，即 a 2n+1 ﹣a 2n﹣1 =8n﹣2 另由已知（令 m=1）可有 a n = ﹣（n﹣1）2 ． there4;a n+1 ﹣a n = ﹣2n+1= ﹣2n+1=2n 于是c n =2nq n﹣1 ．当 q=1 时，S n =2+4+6++2n=n（n+1）当 q ne;1 时，S n =2 bull;q 0 +4 bull;q 1 +6bull;q 2 +…+2n bull;q n﹣1 ．两边同乘以 q，可有 qS n =2 bull;q 1 +4 bull;q 2 +6 bull;q 3 +…+2n bull;qn ．上述两式相减，有（1﹣q）S n =2（1+q+q 2 +…+q n ﹣1 ）﹣2nq n =2 bull; ﹣2nq n =2 bull;there4;S n =2 bull;综上所述，S n = ． 10．解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为 d，则依题意可知 d＞0 由 a 2 +a 7 =16，有，2a 1 +7d=16① 由 a 3 a 6 =55，有（a 1 +2d）（a 1 +5d）=55② 由①②联立方程求，有 d=2，a 1 =1/d=﹣2，a 1 = （排除）there4;a n =1+（n﹣1） bull;2=2n﹣1 (Ⅱ)令 c n= ，则有 a n =c 1 +c 2 +…+c na n+1 =c 1 +c 2 +…+c n+1两式相减，有 a n+1 ﹣a n =c n+1 ，由（1）有 a 1=1，a n+1 ﹣a n =2 there4;c n+1 =2，即 c n =2（nge;2），即当 n ge;2 时， b n =2 n+1 ，又当 n=1 时，b 1 =2a 1 =2 there4;b n =于是S n =b 1 +b 2 +b 3 +...+b n =2+2 3 +2 4 + (2)n+1 =2 n+2 ﹣6，n ge;2，． 11．解 (1)因为 S 1 ＝ a1 ， S2 ＝2 a 1 ＋ 2x12x2＝2 a 1 ＋2， S 4 ＝4 a 1 ＋4x32x2＝4 a 1 ＋12，由题意得(2 a 1 ＋2) 2 ＝ a 1 (4 a 1 ＋12)，解得 a 1 ＝1，所以 a n ＝2 n －1. (2) b n ＝(－1) n －14 na n a n ＋1 ＝(－1)n －14 n(2 n －1)(2 n ＋1) ＝(－1)n －1 (12 n －1 ＋12 n ＋1 )．当 n 为偶数时， T n ＝(1＋ 13 )－(13 ＋15 )＋…＋(12 n －3 ＋12 n －1 )－(12 n －1 ＋12 n ＋1 )＝1－12 n ＋1 ＝2 n2 n ＋1 . 当 n 为奇数时， T n ＝(1＋ 13 )－(13 ＋15 )＋…－(12 n －3 ＋12 n －1 )＋(12 n －1 ＋12 n ＋1 )＝1＋12 n ＋1 ＝2 n ＋22 n ＋1 . 所以 T n ＝ 2 n ＋22 n ＋1 ， n 为奇数，2 n2 n ＋1 ， n 为偶数.(或 T n ＝ 2 n ＋1＋(－1)n －12 n ＋1) 12．(1)解由 S 2 n －( n 2 ＋ n －1) S n －( n 2 ＋ n )＝0，得[ S n －( n 2 ＋ n )]( S n ＋1)＝0，由于{ a n }是正项数列，所以 S n ＋1>0.所以 S n ＝ n 2 ＋ n ( n isin;N N * )． n ge;2 时， a n ＝ S n － S n －1 ＝2 n ， n ＝1 时， a 1 ＝S 1 ＝2 适合上式． there4; a n ＝2 n ( n isin;N N* )． (2)证明由 a n ＝2 n ( n isin;N N * )得 b n ＝n ＋1( n ＋2) 2 a 2 n ＝n ＋14 n 2 ( n ＋2) 2 ＝1161n 2 －1( n ＋2) 2 T n ＝1161－13 2＋12 2 －14 2＋13 2 －15 2＋…＋1( n －1) 2 －1( n ＋1) 2＋1n 2 －1( n ＋2) 2 ＝1161＋12 2 －1( n ＋1) 2 －1( n ＋2) 2<1161＋12 2＝564 ( n isin;NN* )．即对于任意的 n isin;N N * ，都有 T n <564 .。
第四讲裂项消去（一）将一个分数拆分成两个或两个以上分数相加、减的形式，然后进行计算的方法叫做裂项法，它是一种常考的变形技巧，这类问题每年变化很大，但一般只要接触过就不容易做错失分，在此提醒同学们平时要多练多记。
本讲有两部分，第一部分重在“裂”，第二部分重在“变”，希望能对同学们学习有所帮助。
以下两个公式可供参考，但希望同学们理解分数裂项精髓而不是记忆公式：1.1111()()n n k n n k k=-⨯++2、11a ba b a b+=+⨯111112233420102011⨯⨯⨯⨯L＋＋＋＋11111161220304256++++++222466898100++++⨯⨯⨯L1111113579315356399++++1111111111 815243548638099120143 +++++++++3579111315261220304256-+-+-+11111116101521283645++++++六年级数学计算专题(四)裂项消去(上)练习试卷简介全卷共6题，全部为选择题，共120分。
整套试卷注重奥数的本质，锻炼思维能力，引导学生发挥想象力和创造力。
裂项消去是郑州小升初考试中的常考题型，而且常考变形题，加大难度。
学生能够从中学到解决这类题的解题方法和思路，帮助学生从容应对此类题目。
试卷考查的主要内容有：裂项消去法。
学习建议数学是思维的体操，而奥数就是侧重于发展学生的思维能力。
建议学生将课本知识扎实掌握，比如计算能力，同时需要加强对应用题解题思维的发展，提高对常识问题的理解和应用，让自己发现问题、分析问题、解决问题的能力有大的提高！一、单选题(共6道，每道20分)1.( )A. B. C. D.2. =( )A. B. C. D.3. ( )A. B. C. D.4. ( )A. B. C. D.5. ( )A. B. C. D.6. ( )A. B. C. D.。
数列专练（裂项相消法）1. 已知数列{}n a 的前项和22n S n n =+；（1）求数列的通项公式n a ；（2）设12341231111n n n T a a a a a a a a +=++++，求n T ．2. 已知数列{}n a 的前项和为n S ，且满足213(1,)22n S n n n n N *=+≥∈（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n T 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和，求使不等式20121005>n T 成立的n 的最小值.3. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()111,2,3,2n n a S n +==．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）当()312log 3n n b a +=时，求证：数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和1nnT n =+.4. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点),(n s n n 在直线21121+=x y 上，数列{}n b 满足0212=+-++n n n b b b ，()*N n ∈，113=b ，且其前9项和为153.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设)12)(112(3--=n n n b a c ，求数列{}n c 前n项的和n T .5. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-，(1,2,3)n =⋅⋅⋅；数列{}n b 中，11,b = 点1(,)n n P b b +在直线20x y -+=上． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设数列12n b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 和为nS ，求12111nS S S +++；6. 设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，并且对于所有的n N *∈，都有2)2(8+=n n a S .（1）写出数列{}n a 的前3项；（2）求数列{}n a 的通项公式(写出推证过程)； （3）设14+⋅=n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20m T n <对所有n N *∈都成立的最小正整数m 的值.7. 数列{}n a 前n 项和为22n S n n =+，等比数列{}n b 各项为正数， 且11b =，{}n a b 是公比为64的等比数列．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）证明：11S ＋21S ＋……＋n S 1＜43．8. 等差数列{}n a 中，前三项分别为45,2,-x x x ，前n 项和为n S ，且20k S =． （1）求x 和k 的值； （2） 求和：1233333n nT S S S S =++++．9. 已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差0d >，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设()()13n nb n N n a *=∈+，123nn Sb b b b =++++，是否存在t ，使得对任意的n均有36n tS >总成立？若存在，求出最大的整数t ；若不存在，请说明理由．10. 设数列{}n a 的前n 项和为nS ，点(,)()nS n n N n *∈均在函数32y x =-的图像上.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设13+=n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n mT <对所有n N *∈都成立的最小正整数.2. 解：（1）111)1,2n a S ===当时…………2分22113132)2,(1)(1)2222 1n n n n a S S n n n n n -⎡⎤≥=-=+--+-⎢⎥⎣⎦=+当时………………6分12,1()n a a n n N *=∴=+∈ ……………7分（2）)2(1)1(1)2)(1(111+-+=++=+n n n n a a n n，……………………………9分 )2(221212111....41313121+=+-=+-+++-+-=∴n nn n n T n …………11分 10051005,201020122(2)2012n n T n n >>∴>+又得 ........................13分 2011n ∴的最小值为 (14)5. 解:(1) n=1时 2118(2)a a =+ ∴12a = n=2时 21228()(2)a a a +=+ ∴26a =n=3时 212338()(2)a a a a ++=+ ∴310a = …………4分 (2)∵28(2)n n S a =+ ∴2118(2)(1)n n S a n --=+>两式相减得: 2218(2)(2)n n n a a a -=+-+ 即2211440n n n n a a a a -----=也即11()(4)0n n n n a a a a --+--=∵0n a > ∴14n n a a --= 即{}n a 是首项为2,公差为4的等差数列 ∴2(1)442n a n n =+-⋅=- …………10分 (3)1441111()(42)(42)(21)(21)2(21)(21)n n n b a a n n n n n n +====-⋅-+-+-+∴12111111[(1)()()]2335(21)(21)n n T b b b n n =+++=-+-++--+11111(1)2212422n n =-=-<++ …………14分∵20n m T <对所有n N +∈都成立 ∴1202m ≥ 即10m ≥ 故m 的最小值是10 …………16分6. 解：（1）113a s ==， 2n ≥时，{}221(2)(1)2(1)21n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+ 设{}n b 公比为q ，则2125364a a b b q b b ===，因为{}n b 各项为正数所以8q =，18,21n n n b a n -∴==+（2）211111()222n S n n n n ==-++ 11S ∴＋21S ＋……111111111(1)2324352n S n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-+ 111131113(1)()221242124n n n n =+--=-+++++ 所以不等式得证。
可编辑修改精选全文完整版专题30数列求和-裂项相消法专题训练【方法总结】裂项相消法求和裂项相消法裂项相消法的基本思想就是把通项a n 分拆成a n ＝b n ＋k －b n (k ≥1，k ∈N *)的形式，从而在求和时达到某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列{a n }的通项公式，使之符合裂项相消的条件．主要适用于⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1或⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋2(其中{a n }为等差数列)等形式的数列求和． 常用的裂项公式(1)若{a n }是等差数列，则1a n a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1，1a n a n ＋2＝12d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋2； (2)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，1n (n ＋k )＝1k ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋k ； (3)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1； (4)1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎣⎡⎦⎤1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2)； (5)2n ＋1n 2(n ＋1)2＝1n 2－1(n ＋1)2(6)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，1n ＋n ＋k ＝1k (n ＋k －n )； (7)log a ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝log a (n ＋1)－log a n ； (8)2n (2n ＋1)(2n ＋1＋1)＝12n ＋1－12n ＋1＋1，2n －k (2n ＋1)(2n ＋1＋1)＝12k ⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋1＋1； (9)n ＋2(n 2＋n )2n ＋1＝1n ·2n －1(n ＋1)2n ＋1； (10)k ·2k ＋1(k ＋1)(k ＋2)＝2k ＋2k ＋2－2k ＋1k ＋1； (11) (－1)n n (n －1)(n ＋1)＝(－1)n 12⎝⎛⎭⎫1n －1＋1n ＋1． 注意：(1)裂项系数取决于前后两项分母的差．(2)在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．【高考真题】1．(2022·新高考Ⅰ)记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11, n n S a a ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭是公差为13的等差数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：121112na a a +++<． 【题型突破】1．在数列{a n }中，a 1＝4，na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n ．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n ． 2．已知数列{a n }满足a 1＝12，且a n ＋1＝2a n 2＋a n． (1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列； (2)若b n ＝a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n ．3．(2017·全国Ⅲ)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ．(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和． 4．(2015·全国Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和． 5．正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n，求数列{b n }的前n 项和为T n ． 6．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1·a n ＝a n －a n ＋1．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝lg a n ＋2a n，求数列{b n }的前n 项和S n ． 7．已知数列{a n }，{b n }，其中a 1＝3，b 1＝－1，且满足a n ＝12(3a n －1－b n －1)，b n ＝－12(a n －1－3b n －1)，n ∈N *， n ≥2．(1)求证：数列{a n －b n }为等比数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n a n a n ＋1的前n 项和T n ． 8．(2018·天津)设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是等差数列．已知a 1＝1， a 3＝a 2＋2，a 4＝b 3＋b 5，a 5＝b 4＋2b 6．(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N *)，①求T n ；②证明：∑k ＝1n (T k ＋b k ＋2)b k (k ＋1)(k ＋2)＝2n ＋2n ＋2－2(n ∈N *)． 9．已知数列{a n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，满足S 2n －1＝a 2n ．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝n a n a n ＋1(－1)n ，求数列{b n }的前n 项和T n ． 10．在等差数列{a n }中，已知a 6＝16，a 18＝36．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若________，求数列{b n }的前n 项和S n ．在①b n ＝4a n a n ＋1，②b n ＝(－1)n ·a n ，③b n ＝2a n ·a n 这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解． 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．11．在①b n ＝na n ，②b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，log 2a n ，n 为偶数，③b n ＝1(log 2a n ＋1)(log 2a n ＋2)这三个条件中任选一个，补充在下 面问题中，并解答．问题：已知数列{a n }是等比数列，且a 1＝1，其中a 1，a 2＋1，a 3＋1成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记________，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．12．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝9，a 2为整数，且S n ≤S 5．(1)求{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，求证：T n ≤49． 13．在等比数列{a n }中，首项a 1＝8，数列{b n }满足b n ＝log 2a n (n ∈N *)，且b 1＋b 2＋b 3＝15．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{b n }的前n 项和为S n ，又设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为T n ，求证：T n <34． 14．已知数列{a n }为等比数列，数列{b n }为等差数列，且b 1＝a 1＝1，b 2＝a 1＋a 2，a 3＝2b 3－6．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1b n b n ＋2，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：15≤T n <13． 15．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，满足S 4＝2a 4－1，S 3＝2a 3－1．(1)求{a n }的通项公式；(2)记b n ＝log 2()a n ·a n ＋1(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：1T 1＋1T 2＋…＋1T n<2． 16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝32，2S n ＝(n ＋1)a n ＋1(n ≥2)．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1(a n ＋1)2(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n <710(n ∈N *)． 17．已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和S 4＝14，且a 1，a 3，a 7成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1前n 项的和，若λT n ≤a n ＋1对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的最大值． 18．设函数f (x )＝23＋1x (x ＞0)，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f (1a n －1)，n ∈N *，且n ≥2． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，设S n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋…＋1a n a n ＋1，若S n ≥3t 4n 恒成立，求实数t 的取值范围． 19．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 1＋12a 2＋13a 3＋ (1)a n ＝a n ＋1－1(n ∈N *)，数列{a n }的前n 项和为S n ． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1S n ，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n ＜m 10对所有n ∈N *都成立的最小正整数m ． 20．已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1＝2，且a 1＋1，a 2＋1，a 4＋1成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，n ∈N *，S n 是数列{b n }的前n 项和，求使S n <319成立的最大的正整数n ．。
