六年级分数-裂项法

| 六年级·提高班 教师版 | 第1讲 李斌老师主编暑假 Nice Education分数裂项| 六年级·提高班 教师版 | 第1讲 李斌老师主编暑假 Nice Education例1一、单位分数的拆分：导入课堂 练习：()[]1161+= （）与[ ]中数不同 例1：()()()()()()()()11111111201201101+=+=+=+=+=教学建议：首先要掌握10的因数有哪几个解：分析：分数单位的拆分，主要方法是：从分母N 的约数中任意找出两个m 和n,有：BA n m N n n m N m n m N n m N 11)()()()(11+=+++=++= 本题10的约数有:1,10,2,5 …… 例如：选1和2，有：151301)21(102)21(101)21(10)21(1101+=+⨯++⨯=+⨯+⨯= 本题具体的解有：3011513511416011211101111101+=+=+=+=专题解析典型例题解析| 六年级·提高班 教师版 | 第1讲 李斌老师主编暑假Nice Education练习1(1)()()11121+= 有哪几种情况？ (2)杯望希11161++= （“希” “望” “杯”代表不同的整数，一种情况即可）(3)赛竞克匹林奥11111121+++++= （不同数代表不同的数，一种情况即可）例2求：+⨯+⨯+⨯+⨯541431321211 (31)30130291⨯+⨯的值 教学建议：用裂项法求)1(1+n n 型分数求和分析：因为=+-++=+-)1()1(1111n n n n n n n n )1(1+n n （n 为自然数） 所以有裂项公式：111)1(1+-=+n n n n分析：a n =111)1(1+-=+n n n n所以 原式311301301291514141313121211-+-+-+-+-+-=31303111=-=练习2(1)91901541431321⨯++⨯+⨯+⨯ (2)121＋261＋3121＋4201＋……＋204201| 六年级·提高班 教师版 | 第1讲 李斌老师主编暑假 Nice Education(3)99009899970297017271565542413029201912116521++++++++++ (4)1200520043221=⨯++⨯+⨯xx x(5)?,20052004)1(11216121n n n 求已知=+++++例3求1009711071741411⨯++⨯+⨯+⨯ 的值 教学建议：用裂项法求)(1k n n + 型分数求和分析：)(1k n n +型。

本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。

很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：知识点拨教学目标分数裂项计算1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

1.2 分数计算（裂项法）知识要点和基本方法分数计算是小学数学的重要内容，也是数学竞赛的重要内容之一。

分数计算同整数计算一样既有知识要求又有能力要求。

法则、定律、性质是进行计算的依据，要使计算快速、准确，关键是掌握运算技巧。

对算式认真观察，剖析算是的特点及个数之间的关系，巧妙、灵活的运用运算定律，合理改变运算顺序，使计算简便易行，这对启迪思维，培养综合分析、推理能力和灵活的运算能力，都有很大的帮助。

公式：（ 1）平方差公式：a2b2( a b) ( a b)（ 2）等差数列求和公式：a1 a2a3an 1a n1a1 a n n2（ 3）分数的拆分公式：①11)＝1－1n(n n n 1②1d)＝1×（1－1）n(n d n n d 裂项法：例1.计算： 1 ＋1＋1＋⋯⋯＋1例3.计算：11111112233499 1002＋6＋12＋20＋30＋42例2.111例4.111计算：10× 11＋11×12＋⋯⋯＋59× 60计算：10×11＋11×12＋⋯⋯＋19× 20例5.计算1＋1＋⋯⋯＋1＋1例 9.计算：111112× 3 3×46×7 7× 814 47 710 1013 1316例6.计算： 1＋1111例 10.计算：22222 2＋6＋12＋20315356399例7.计算：1111111例 11.计算：111111 6＋12＋20＋30＋42＋56＋728244880120168例 8.计算：1＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 315356399143例 12.计算：1＋1＋2＋1＋1＋2＋3＋2＋1＋⋯⋯＋1＋2＋⋯⋯＋100 ＋99＋⋯⋯＋1 122233333100100100100100例 13.计算： 1＋ 1 ＋11＋113＋⋯⋯＋12311223242005例 14．计算： 2×（ 1－12）×（ 1－12）×（ 1－12）×⋯⋯×（1－12）2005200420032综合计算例 1.计算 : 2005120032003 2004例2. 计算:（15 ×11× 6÷ 3 × 6× 5）79111179例 3.计算: 98＋998＋9998＋⋯⋯＋ 9999899999个 9例 4.计算:（1＋1）×（ 1＋1）×（ 1＋1）×（ 1＋1）×（ 1－1）×（ 1－ 1 ）×（ 1－1）×（ 1－1）2 4 6 83 57 9例5. 计算 : 2004 1 －1 1 ＋2002 1 －3 1 ＋2000 1 －5 1 ＋⋯⋯＋ 4 1 －2001 1 ＋2 1 －200312 3 2 3 2 3 2 3 2 3例 6.计算:（ 1＋ 1 ＋1 ＋ 1 ÷ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1）979797979797 97979797868686868686 86868686例 7.计算: 11 1 11 111 111 11 1=.24610359例 8.计算 :567345 566=.567345 222例 9.计算 : 7116 61 1 5 511 4 41 1 3 31 12 = .67 5 6 4 5 3 4 2 3例 10.计算:11 1 1 1 1 1 1 = .36 10 15 21 28 36 451 29 1 291 291 29 1 29例 11.计算 :2330 31 = .1 31 1 311 311 31 1 312 328 29计算:12 3 4 5 6 21 2 3 4 5 6 1例 12.234 56 723456 721 1 234 562345 6=2 3 4 5 6 7 3 4 5 67能力训练：1、分数化成最简分数：12 ＝18 ＝ 4 ＝13 ＝8 ＝ 2 ＝182********2、小数化成最简分数：0.75＝ 4.8＝ 1.25＝0.36＝ 3.2＝ 5.4＝3、计算：1) 512÷12＋71 3÷13＋914÷142005 20052005200533445512＋23＋ 3 4＋⋯⋯＋ 2004 20054)2)111156＋72＋90＋110222225)21 ＋ 77 ＋ 165 ＋⋯⋯＋ 1677 ＋ 20213)111118＋24＋48＋80＋120 1 511191096) 2 ＋ 6＋ 12＋ 20 ＋⋯⋯＋ 110111111117)1＋ 26＋ 312＋ 420＋ 530＋ 642＋ 756＋ 872＋ 990137 1531 631272555118)2＋ 4＋ 8＋16＋ 32＋ 64＋128＋ 256＋ 5121111119) 345＋4 56＋5 67＋6 7 8＋789＋8 9 10。

本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。

很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：裂差型裂项的三大关键特征：知识点拨教学目标分数裂项计算（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

小学数学六年级数学分数计算技巧1目录1.分数的计算技巧--裂项法1.11n n +1=1n -1n +1分母是两个数乘积，分子为这两个数的差 1.2d n (n +d )=1n -1n +d 分母是两个数的乘积，分子=这两个数的差 1.31n n +d=1d 1n -1n +d 分母是两个数的乘积，分子=1 1.41n n +1 n +2 =121n n +1 -1n +1 n +2分子为1，分母是三个连续自然数乘积 1.51n n +1 n +2 (n +3)=13⋅[1n n +1 n +2 -1n +1 n +2 n +31.6a +b a ×b =a a ×b +b a ×b =1b +1a =1a +1b 例题1.12+16+112+⋅⋅⋅+19900分母是两个数乘积，分子为这两个数的差 =1-12 +12-13 +13-14 +⋅⋅⋅+199-1100=1-12 +12-13 +13-14 +⋅⋅⋅+198-199 +199-1100(通过裂项，除了首位中间的所有项都消去了)=1-1100=99100例题2.31×4+34×7+37×10+⋅⋅⋅+397×100分母是两个数的乘积，分子=这两个数的差 =1-14 +(14-17)+(17-110)+∙∙∙+(194-197)+(197-1100)=1-14 +(14-17)+(17-110)+∙∙∙+(194-197)+(197-1100)=1-1100=99100例题3.215+235+263+⋅⋅⋅+2143有些时候分母不会直接给出两个数相乘，需要你去仔细观察 =23×5+25×7+27×9+⋅⋅⋅+211×13=13-15 +15-17 +17-19 +⋅⋅⋅+19-111 +111-113 =13-15 +15-17 +17-19 +⋅⋅⋅+19-111 +111-113=13-113=13-339=1039例题4.11×2+12×3+23×5+25×7+37×10+310×13这题看上去分子不怎么统一，但每个分数完全符合分子=分母两数的差 过程同学自己动手操作,最后结果为1-113=1213例题5.32×3+33×4+34×5+⋅⋅⋅+349×50提示：把分子3提到前面来就跟我们之前的题目一样的操作了。

思维训练分类为：浓度问题、分数比大小问题、行程问题、分数巧算、逻辑推理、工程问题、牛顿问题、数字的巧算问题。

分数裂项求和方法总结（一）用裂项法求1一型分数求和分析：因为n(n 1)1 n(n 1) n(n 1)（n为自然数）所以有裂项公式: n（n 1）【例1】求丄10 1111 121的和。

59 60【例2】咕右）'111 110 60112用裂项法求1 1k(n计算n(n k)1 1 -[2 5115n(n 1)59 60)型分数求和:k)nn(n k)]分析：n（nk）型。

（n,k均为自然数）因为n(n k) 所以n(n k)k(； n k9 11 11 13 13 157)11)丄(12 71(19) 1(1 却2、111 1 1 11 , 1 1、1(丄丄2(13 15113)1用裂项法求9 11 11 13型分数求和:n（n k）n n k n(n k) n(n k) n(n k)13分析：型（n,k均为自然数）n（n k）k所以一-n(n k) n n k(11 3 97 99 32009603自然数）n(n k)( n 2k)( n 3k)3k (n(n k^(n 2k)1139 20520I(n k)(n 2k)(n 3k)【例3】的和97 9998 99(四)13) (351 1 )(5 1 7)1 11 99 用裂项法求 型分数求和:n （n k ）（n 2k ）分析:2k n(n k)(n 2k)【例4】计算：44 441 3 53 5 793 959795 97 99(1I II 315) (315 517)…(11)(1 1)3 93 95 95 9/ V 95 9797 99,11（n,k 均为自然数）【例5】 1 1计算：1 2 3 4 2 3 4 51 17 18 19 203[(1 1 1 3[1 2 3 （丘18 19 20]1 17 18 191 18 19 20)]2k n(n k)(n 2k)1 1n(n k) (n k)( n 2k)(五) 用裂项法求型分数求和分析:n(n k)(n 2k)(n 3k)(n,k 均为n(n k)(n 2k)(n 3k)（六）用裂项法求3kn(n k)(n 2k)(n 3k)型分数求和：分析:3kn(n k)(n 2k)( n 3k)(n,k均为自然数）3k 1 1n(n k)(n 2k)( n 3k) n(n k)( n 2k) (n k)( n 2k)(n 3k)【例6】计算： 3 3 31 2 3 4 2 3 4 5 17 18 19 20“ 1 1 1 1 、“ 1 1 、(- ) (—)... ...(- )1 2 3 2 3 4 2 3 4 3 4 5 17 18 19 18 19 201 11 2 3 18 19 2011396840【例7】计算:1 + 3 + 上 + 29 + 37 + 竺 + 兰 + 里 + 27 8 36 56 63 72 77 84 88【分析与解】解答此题时，我们应将分数分成两类来看，一类是把295637634j72这四个分77/ 58 58 59 + — ） + —596060【分析与解】先将题目中分母相同的分数结合在一起相加，再利用乘法分配律进行简便计算。

、裂项法小学数学课本在讨论分数加减法时曾指出：两个分母不同的分数相加减，自然数，公分母正好是它们的乘积.把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题例1 计算：分析与解此题按常规方法先通分后再求和，显然计算起来十分繁杂是 1 ，而分母又都是相邻两个自然数的积，符合上面等式的要求.如果按上面等式把题目中的前12 个加数也分别写成两个单位分数之差的形式，就得到下面12 个等式：上面12 个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法.例2 计算：分析与解这里的每一项的分子是1，分母不是相邻两个自然数的积，但都是从 1 开始的连续若干个自然数的和，这使我们联想到计算公式：1+当n分别取1，2，3，⋯，100时，就有即题目中的每一项都变成了一个分子为2、分母为相邻两个自然数乘积的形式，略加变形就得到例 1 的形式，仿照例 1 的方法便可求出解来分析与解猛一看，此题似乎无法下手，而且与裂项法也没关系.但小学数学课本上曾说过，减法是加法的逆运算.换句话说，任一加法算式都可以改为这个题的答案是否只有这一个呢？如果不只一个，怎样才能找出所有答案呢？为此，我们来讨论这类问题的一般情况.设n、x、y 都是自然数，且当t=1 时，x=7，y=42，当t=2 时，x=8，y=24，当t=3 时，x=9，y=18，当t=4 时，x=10，y=15，当t=6 时，x=12，y=12，当t=9 时，x=15，y=10，当t=12 时，x=18，y=9，当t=18 时，x=24，y=8，当t=36 时，x=42，y=7.故□和○所代表的两数和分别49、32、27、25.为例 4 已知A、B、C、D、E、F为互不相等的自然数，当A、B、C、D、E、F 各为什么数时，下面等式成立？当A=3 ，B=7，C=43，D=1807，E=3263443，F=10650056950806时，等式成立.即这方法计算量太大，我们试着找另外方便一些的解法在上面两种解法中，后面的解法明显比前面的解法简便.下面我们把后面的那种解题方法一般化.当A 有n个不同的约数a1，a2，a3，⋯，a n时练习一1.计算：2. 计算：4.当A、B、C、D、E、F各是什么不同的自然数时，下式成立？5. 计算：。

第二讲分数 1.2NT1.2 分数计算（裂项法）知要点和基本方法分数算是小学数学的重要内容，也是数学的重要内容之一。

分数算同整数算一既有知要求又有能力要求。

法、定律、性是行算的依据，要使算快速、准确，关是掌握运算技巧。

算式真察，剖析算是的特点及个数之的关系，巧妙、灵活的运用运算定律，合理改运算序，使算便易行，启迪思，培养合分析、推理能力和灵活的运算能力，都有很大的帮助。

公式：（ 1）平方差公式：a2 b2 ( a b) ( a b)（ 2）等差数列求和公式：a1 a2 a3 an 1 a n1a1 a n n2（ 3）分数的拆分公式：① 11) ＝1－ 1n(n n n 1② 1d) ＝1×（1－ 1 ）n(n d n n d 裂项法：例1. 算： 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋⋯⋯＋99 11 2 2 3 3 4 10011 1例4.算：＋＋⋯⋯＋10×1111×1219× 20例2.1 1 1算：10× 11＋11×12＋⋯⋯＋59× 60例5.1 1 1 1算2×3＋3×4 ＋⋯⋯＋6× 7＋7× 8例3.算：21＋16＋121＋201＋301＋421六年级第一学期NT例6. 算： 1＋1＋1＋1＋126 12 20例 10. 算：22 2 2 23 15 35 63 99例7. 算：1 1 1 1 1 1 16＋12＋20＋30＋42＋56＋72例 11. 算：11 1 1 1 18 24 48 80 120 168例 8.算：1＋1＋1＋1＋1＋1 315 3563 99 143例 9. 算：14 1711011311 4 7 10 13 16例 12. 算：1＋1＋2＋1＋1＋2＋3＋2＋1＋⋯⋯＋ 1 ＋2＋⋯⋯＋100 ＋99＋⋯⋯＋ 1 1 2 2 2 3 3 3 3 3 100 100 100 100 100例 13. 算： 1＋ 1 ＋1 1 ＋113＋⋯⋯＋1 2 311 2 2 3 2 4 2005例 14．算： 2×（ 1－ 1 2）×（ 1－ 1 2）×（ 1－12）×⋯⋯×（1－12）2005 2004 2003 2第二讲分数 1.2NT六年级 第一学期NT综合计算例 1.计算 : 2005120032003 2004例 2. 计算 : （ 1 5 × 1 1 × 6 ）÷（ 3 × 6 × 5）7 9 11 11 7 9例 3.计算 : 98＋ 99 8 ＋ 999 8＋⋯⋯＋ 9999899999个 9例 4.计算 : （ 1＋1）×（ 1＋1）×（ 1＋1）×（ 1＋1）×（ 1－1）×（ 1－ 1 ）×（ 1－1）×（ 1－ 1）2468357 9例 5. 计算 : 2004 1 － 1 1 ＋2002 1 －3 1 ＋2000 1 －5 1 ＋⋯⋯＋ 4 1 －2001 1 ＋2 1 － 200312 3 2 3 2 3 2 3 2 3例 6.计算 : （ 1＋ 1 ＋1 ＋ 1 ）÷（ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ）979797979797 97979797868686868686 86868686第二讲 分数 1.2NT例 7.计算 : 11 1 11 111 111 11 1=.2 4 610359例 8.计算 :567345 566 =.567 345 222例 9.计算 : 7116 61 1 5 511 4 41 1 3 31 12 = .6 7 5 6 4 5 3 4 2 3例 10. 计算 :11 1 1 1 1 1 1 = .3 6 10 15 21 28 36 451 29 1 29 1 291 29 1 29例 11. 计算 :2 3 30 31 = .1 31 1 31 1 311 31 1 312 328 29计算 :12 3 4 5 6 21 2 3 4 5 6 1例 12.2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7211 2 3 4 5 6 2 3 4 5 62 345 673 456 =7六年级第一学期NT能力训练：1、分数化成最分数：12 ＝18 ＝ 4 ＝13 ＝8 ＝ 2 ＝18 27 20 65 32 82、小数化成最分数：0.75＝ 4.8＝ 1.25＝0.36＝ 3.2＝ 5.4＝3、算：1) 51 2 ÷1 2 ＋ 71 3÷1 3 ＋ 914÷1 4 2005 2005 2005 20053 34 45 51 2 ＋ 2 3 ＋ 3 4 ＋⋯⋯＋ 2004 20054)2)1 1 1 156 ＋72 ＋90＋1102222 25)21 ＋ 77 ＋ 165 ＋⋯⋯＋ 1677 ＋ 20213) 1 1 1 1 18＋24＋48＋80＋120 1 5 11 19 1096) 2 ＋ 6 ＋ 12 ＋ 20 ＋⋯⋯＋ 1101111111 17)1＋ 26＋ 312＋ 420＋ 530＋ 642＋ 756＋ 872＋ 990第二讲分数 1.2NT137 1531 631272555118) 2 ＋ 4 ＋ 8 ＋ 16 ＋ 32 ＋ 64 ＋ 128 ＋ 256 ＋ 5121 1 1 1 1 19) 3 45 ＋ 4 56 ＋ 5 67 ＋ 6 78 ＋ 7 89 ＋ 8 9 10。

分数裂项分数裂项是分数加减法计算的逆向过程分数裂差a与b互质1a－1b＝1×b a×b－1×a b×a＝b－a a×b反过来看，如果一个分数分母可以写成两个数的积，分子是这两个数的差，那么这个分数就可以写成两个分数单位相减的形式。

b－a a×b＝b a×b－a b×a＝1a－1b分数裂和a与b互质1a＋1b＝1×b a×b＋1×a b×a＝b＋a a×b反过来看，如果一个分数分母可以写成两个数的积，分子是这两个数的和，那么这个分数就可以写成两个分数单位相加的形式。

b＋a a×b＝b a×b＋a b×a＝1a＋1b例1：11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋⋯⋯＋19×10＝11－12＋12－13＋13－14＋14－15＋⋯⋯＋19－110＝1－110＝91021×3＋23×5＋25×7＋27×9＋29×11＝11－13＋13－15＋15－17＋17－19＋19－111＝1－111＝1011例3：11×3＋13×5＋15×7＋17×9＋19×11＝21×3×12＋23×5×12＋25×7×12＋27×9×12＋29×11×12＝12×21×3＋23×5＋25×7＋27×9＋29×11＝12×11－13＋13－15＋15－17＋17－19＋19－111＝12×1－111＝12×1011＝511例4：31×2－52×3＋73×4－94×5＋115×6＝11＋12－12＋13＋13＋14－14＋15＋15＋16＝1＋12－12－13＋13＋14－14－15＋15＋16＝1＋16＝116+16+112+120+130+142+156+172+190+1110（1）12（2）11×2＋12×3＋13×4＋⋯⋯＋149×50（3）1－14＋120＋130＋142＋156（4）20021×3＋20023×5＋20025×7＋20027×9＋20029×11（5）12×5＋15×8＋18×11＋⋯⋯＋120×23（6）113－712＋920－1130＋1342－1556（7）712－920＋1130－1342练习答案：（1）12+16+112+120+130+142+156+172+190+1110＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋15×6＋16×7＋17×8＋18×9＋19×10＋110×11＝1－12＋12－13＋13－14＋⋯⋯＋19－110＋110－111＝1－111＝1011（2）11×2＋12×3＋13×4＋⋯⋯＋149×50＝11－12＋12－13＋13－14＋⋯⋯＋149－150＝1－150＝4950（3）1－14＋120＋130＋142＋156＝1－14＋14×5＋15×6＋16×7＋17×8＝1－14＋14－15＋15－16＋16－17＋17－18＝1－18＝78（4）20021×3＋20023×5＋20025×7＋20027×9＋20029×11观察发现，每一个分数的分子都是2002，分母都是差值位2的两个数的乘积。

分数的巧算：裂项知识点分析：特殊的分数加法试题，难以运用课本中固有的运算性质及定律进行巧算。

它们有其特殊的规律及性质，对于这些特殊试题，我们通常要用到以下两种方法：①引用公式法：有特殊的分数加法试题，有其固有的求和公式，计算时可以直接运用这些公式使计算简便。

②裂项法：先将算式中的一些分数按规律作适当拆分，使得拆分后的一些分数可以互相抵消，从而达到巧算的目的。

例题精讲例1：分析：观察发现每一个分数的分母是两个相邻的自然数相乘，分子1就是它们的差，可以运用裂项公式：，先裂项，再求和。

注重：必须弄懂第一种裂项公式：解答：举一反三①（1）（2）（3）例2：分析：这里的每一个分数的分母虽然不是两个相邻的数，但这些自然数都相差2.如果想办法将分子都变成2，就可以利用例1中的公式计算了。

解答：方法一：将分子都扩大两倍，再将它们的和缩小两倍，结果不变。

方法一：先将分数变形，再利用第一种裂项公式：进行计算。

方法二：直接运用另一个裂项公式方法二：引用第二种裂项公式：注重公式的由来！举一反三②（1）（2）（3）例3：（第二届新起点杯数学竞赛试题）分析：观察发现题目中的分母都是可以看作是两个连续自然数的积，且分子都是1，将分母加以变形，再利用裂项公式即可求出和。

解答：先将分母变为两个数相乘的形式，注意要使相乘两数之差相等，再利用第一种裂项公式求和。

举一反三③（1）（2）（3）例4：分析：观察发现每一个分数的分母都是连续三个自然数的和，且分子2是每个数与第三个数的相差数，运用裂项公式先裂项，再求和。

解答：第三种裂项公式：通过代数法先理解公式的推导，再结合题目解题举一反三④（1）（2）（3）例5：分析：观察发现每一个分数的分母都是从1开始的连续若干个自然数的和，因此分母可以运用等差数列求和公式求和，那么。

所以分母就变成了两个数相乘的形式，最后再采用裂项法计算。

运用等差数列的求和公式先将每一个分数变形，再利用第一种裂项公式进行计算。

六年级奥数第二讲： 分数计算技巧---分数裂项（一）【专题精析】 在计算一列分数之和时，根据)(a n n a ＋＝n 1a n ＋1-把一个分数拆分成两个分数相减的形式，使中间的分数相互抵消，大大化简了运算，这种分数的运算技巧，称作裂项法。

裂项有两种方法：裂和：b a b a a b 11+=⨯+ 比如：3121232365+=⨯+= 裂差：b a b a a b 11-=⨯- 比如：3121322361-=⨯-=练习：1、将下列各数裂项： 例如：4131121-= =201 =209 =152 2、计算：211⨯＋321⨯＋431⨯＋……＋8007991⨯当分子并不是分母之差（或和），而是成倍数关系时，裂项之后再乘以倍数1（或倍数）。

)11(1)(1k n n k k n n +-⨯=+⨯ 比如：）（71314173441731-⨯=⨯⨯=⨯ )11()(k n n N k n n Nk +-⨯=+⨯ 比如：）（413151215125-⨯=⨯= 练习：1、将下列各数裂项：例如：）（51413203-⨯= =212 =994 =563 =551=5612、计算：13112002752002532002312002⨯+⋯⋯+⨯+⨯+⨯【基础练习】 1、计算：21＋61＋121＋201＋301＋421＋561＋721＋9012、计算：311⨯＋531⨯＋751⨯＋ (1031011)3、计算：21＋65＋1211＋2019＋30294、计算：49472752532312⨯+⋯⋯+⨯+⨯+⨯【拓展提高】1、计算：（1）421＋615＋1216＋2017＋3018＋4219（2）221-65-127＋209-＋30114213-2、计算：（1）161-＋421＋561721＋（2）199919981998⨯＋200019991998⨯＋200120001998⨯＋ (205020491998)3、计算：513⨯＋953⨯＋1393⨯＋ (200119973)4、计算：30×（151＋351＋631＋991＋1431＋1951）5、计算：（1）613⨯＋1163⨯＋16113⨯＋……＋76713⨯＋81763⨯（2）、2521⨯＋4851⨯＋61181⨯＋……＋1001521491⨯＋1021551521⨯6、计算：（1）561542133011209411+-+-（2）56154213301120912732-+-+-（3）7271565542413029201912116521+++++++。

分数计算技巧——裂项
教学内容：学习裂项，并运用裂项的方法来解答较难的分数
计算题。

教学目标：1、学会把一个分数裂成两个分数单位的差。

2、运用裂项的思想来解答较难的分数计算题。

教学过程：
一、 前置作业：
1、 直接写出得数：
2、 填空：
二、 新课教学：
1、 教学什么是“裂项”？
（1） 像这样把一个数分成两个（或几个）数的差（或和、
积、商），就叫做裂项。

（2） 把下列分数进行裂项：
()()11301-= ()()11421-= ()()11152-= ()()11632-=
2、 运用“裂项”解答较难的分数计算题：
（1）
6121+怎么计算？（口算） （2）
6121+121+怎么计算？（笔算） （3）6121+12
1+301201++怎么计算？（简算） 像这样较难的分数计算题如果再通分计算则很不好计算，这时就需要用到“裂项”的方法来简便计算了。

（4）老师讲解计算方法，学生注意思考，运用“裂项”的方法来解题，难点在哪里？应该注意些什么？
（5）小结计算方法。

3、课堂练习：
（1）
（2）
（3）
三、拓展提高：
计算：
教学后记：。

一、裂项法小学数学课本在讨论分数加减法时曾指出：两个分母不同的分数相加减，自然数，公分母正好是它们的乘积.把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题.例1计算：分析与解此题按常规方法先通分后再求和，显然计算起来十分繁杂.是1，而分母又都是相邻两个自然数的积，符合上面等式的要求.如果按上面等式把题目中的前12个加数也分别写成两个单位分数之差的形式，就得到下面12个等式：上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法.例2 计算：分析与解这里的每一项的分子是1，分母不是相邻两个自然数的积，但都是从1开始的连续若干个自然数的和，这使我们联想到计算公式：1+当n分别取1，2，3，…，100时，就有即题目中的每一项都变成了一个分子为2、分母为相邻两个自然数乘积的形式，略加变形就得到例1的形式，仿照例1的方法便可求出解来.分析与解猛一看，此题似乎无法下手，而且与裂项法也没关系.但小学数学课本上曾说过，减法是加法的逆运算.换句话说，任一加法算式都可以改为这个题的答案是否只有这一个呢？如果不只一个，怎样才能找出所有答案呢？为此，我们来讨论这类问题的一般情况.设n、x、y都是自然数，且当t=1时，x=7，y=42，当t=2时，x=8，y=24，当t=3时，x=9，y=18，当t=4时，x=10，y=15，当t=6时，x=12，y=12，当t=9时，x=15，y=10，当t=12时，x=18，y=9，当t=18时，x=24，y=8，当t=36时，x=42，y=7.故□和○所代表的两数和分别为49、32、27、25.例4 已知A、B、C、D、E、F为互不相等的自然数，当A、B、C、D、E、F各为什么数时，下面等式成立？当A=3，B=7，C=43，D=1807，E=3263443，F=10650056950806时，等式成立.即这方法计算量太大，我们试着找另外方便一些的解法.在上面两种解法中，后面的解法明显比前面的解法简便.下面我们把后面的那种解题方法一般化.当A有n个不同的约数a1，a2，a3，…，a n时练习一1.计算：2.计算：4.当A、B、C、D、E、F各是什么不同的自然数时，下式成立？5.计算：。

本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。

很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：裂差型裂项的三大关键特征：知识点拨教学目标分数裂项计算（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。