(完整版)二元一次方程经典例题讲解

人教版七年级数学下册二元一次方程组（一）一、知识精要1 、二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的项的次数是1 ，这样的方程叫二元一次方程。

注意：二元一次方程满足三个条件：①分母中不含未知数；②有两个不同未知数；③含未知数的项的次数是 1 。

二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

对于一个二元一次方程一般都有多个解。

2 、求二元一次方程的正整数解的方法：先用含一个未知数的代数式表示另一个未知数；再根据正整数解进行限定，从小到大进行尝试计算。

3 、二元一次方程组：一般把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组。

注意：二元一次方程组的两个方程含有相同的两个字母是指：一共含有两个字母，其中一个可以含一个字母（如：x ），而另一个含两个字母（如：x 、y ），例如，；也可以分别含不同的一个字母，例如。

二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。

二元一次方程组的解同时满足两个方程。

4 、解二元一次方程组的思想：消元思想，即将方程未知数的个数由多化少，逐一解决的思想。

5 、解二元一次方程组的方法：代入消元法和加减消元法。

代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现化“二元”为“一元”的目的，通过解两次一元一次方程，得到二元一次方程组的解。

加减消元法：两个二元一次方程中，同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

二、典型例题例 1 、下列哪些方程是二元一次方程？，，，，，，y+ =7例 2 、已知方程（－ 2 ）x －（ b ＋ 5 ）y =3 是关于x 、y 的二元一次方程，求 a 与 b 的值。

例 3 、判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由：（1）（ 2 ）（ 3 ）（ 4 ）例 4 、判断下列数值是否是二元一次方程组的解。

《解⼆元⼀次⽅程组》教案（例题+练习+答案）word版本⼆元⼀次⽅程组的解法1.⼆元⼀次⽅程的概念：含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式⽅程叫做⼆元⼀次⽅程。

例1.下列⽅程组中，哪些是⼆元⼀次⽅程组_______________判断⼀个⽅程是为⼆元⼀次⽅程的三个要素：①含有两个未知数②未知数的次数为1 ③整式⽅程想⼀想：⼆元⼀次⽅程的解与⼀元⼀次⽅程的解有什么区别？①⼆元⼀次⽅程的解是成对出现的；②⼆元⼀次⽅程的解有⽆数个；③⼀元⼀次⽅程的解只有⼀个。

例2 若⽅程是⼆元⼀次⽅程，求m 、n 的值．分析：变式：⽅程是⼆元⼀次⽅程，试求a 的值．注意：①含未知项的次数为1；②含有未知项的系数不能为02.⼆元⼀次⽅程组的解⼆元⼀次⽅程组的解法，即解⼆元⼀次⽅程的⽅法；今天我们就⼀起探究⼀下有什么⽅法能解⼆元⼀次⽅程组。

练⼀练：1、若 =-??=?x 1y 2是关于 x 、y 的⽅程 5x +ay = 1 的解，则a=（）.2、⽅程组 +=??-=?y z 180y z （）的解是 =??=y 100z （）.3、若关于x 、y 的⼆元⼀次⽅程组––=??+=?4x 3y 1kx k 1y 3（）的解x 与 y 的值相等，则k =（）.3、⽤⼀个未知数表⽰另⼀个未知数想⼀想：(1)24x y +=，所以________x =；2(1)3x y y z +=??+=?，5(2)6x y xy +=??=?，7(3)6a b b -=??=?，2(4)13x y x y +=--=??，52(5)122y x x y=-??+=，25(6)312321m n -=??-=?1(2)2a x a y -+-=(2)345x y +=，所以________x =，________y =； (3) 2y x ,所以x =，________y =．总结出⽤⼀个未知数表⽰另⼀个未知数的⽅法步骤：①被表⽰的未知数放在等式的左边，其他的放在等式的右边．②把被表⽰的未知数的系数化为1．4.⼆元⼀次⽅程的解法（1）⽤代⼊法解⼆元⼀次⽅程组将⽅程组中的⼀个⽅程的某个未知数⽤含有另⼀个未知数的代数式表⽰，并代⼊到另⼀个⽅程中，消去⼀个未知数，得到⼀元⼀次⽅程，最后求得⽅程组的解，这种解⽅程组的⽅法叫做代⼊消元法，简称代⼊法. 代⼊消元法解⽅程组的步骤是：①⽤⼀个未知数表⽰另⼀个未知数；②把新的⽅程代⼊另⼀个⽅程，得到⼀元⼀次⽅程（代⼊消元）；③解⼀元⼀次⽅程，求出⼀个未知数的值；④把这个未知数的值代⼊⼀次式，求出另⼀个未知数的值；⑤检验，并写出⽅程组的解.例3：⽅程组92x y y x ……①………②ì+=?í= 解：把②代⼊①得，29x x +=3x 9= 3x =把x=3代⼊②，得6y =所以，原⽅程组的解是36x y ì=??í= 总结：解⽅程组的⽅法的图解：练⼀练：1、如果31014x y +=，那么x =________；2、解⽅程组35,23 1.x y x y ì-=??í?-=??3、解⽅程组31014101532x y x y ì+=??í?+=??3、以?-=-=5.05.1y x 为解的⽅程组是（）A.=-+=--0530=++=+-05301y x y x C. ??-=+=-y x y x 531D. ??=+=-531y x y x 4、⽤代⼊消元法解下列⼆元⼀次⽅程组：（1）23321y x x y =-??+=? （2）??-=-=+42357y x y x （3） 233418x yx y ?=?+=?（2）加减消元法：两个⼆元⼀次⽅程中同⼀未知数的系数相反或相等时，将两个⽅程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到⼀个⼀元⼀次⽅程，这种⽅法叫做加减消元法，简称加减法。

【变式】某商场计划拨款9万元从厂家购进50台 电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机， 出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100 元，丙种每台2500元。 (1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机 50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方 案； (2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机 分别可获利150元、200元、250元， 在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进 货方案？
【变式1】现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒 身或【【2变2变个式式盒23】底】某，一工一张厂个方有盒桌工身由人与1个6两0桌人个面，盒、生底4产配条某成桌种一腿由个组一完成个整， 螺盒如栓子果套，1立两问方个用米螺多木母少料的张可配铁以套皮做产制桌品盒面，身5每，0个人多，每少或天张做生铁桌产皮腿螺制3栓盒001底条4 ，。 个可现或以有螺正5立母好方2制0米个成的，一木应批料分完，配整那多的么少盒用人子多生？少产立螺方栓米，木多料少做人桌生面， 产用螺多母少，立才方能米使木生料产做出桌的腿螺，栓做和出螺的母桌刚面好和配桌套腿。，恰 好配成方桌？能配多少张方桌？
类型七：列二元一次方程组解决——和差倍分问题
7.“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周 生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶， 两厂决定在一周内赶制出这批帐篷．为此，全体职工 加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内 制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍，恰好 按时完成了这项任务．求在赶制帐篷的一周内，“爱 心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？
【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个 装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独 做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工 钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的 角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明 理由.

7 用二元一次方程组确定一次函数表达式1．二元一次方程与一次函数的关系 若k ，b 表示常数且k ≠0，则y －kx ＝b 为二元一次方程，有无数个解；将其变形可得y ＝kx ＋b ，将x ，y 看作自变量、因变量，则y ＝kx ＋b 是一次函数．事实上，以方程y －kx ＝b 的解为坐标的点组成的图象与一次函数y ＝kx ＋b 的图象相同．【例1】 (1)方程x ＋y ＝5的解有多少个？写出其中的几个．(2)在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y ＝5－x 的图象上吗？(3)在一次函数y ＝5－x 的图象上任取一点，它的坐标适合x ＋y ＝5吗？(4)以方程x ＋y ＝5的解为坐标的所有点所组成的图象与一次函数y ＝5－x 的图象相同吗？分析：方程x ＋y ＝5的解有无数个，以这些解为坐标的点组成的图象与一次函数y ＝5－x 的图象相同，二者是相同的．解：(1)有无数个．⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝4；⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝3；⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝2；⎩⎨⎧x ＝0，y ＝5.(2)以这些解为坐标的点，都在一次函数y ＝5－x 的图象上．(3)适合．(4)相同．2．用图象法求二元一次方程组的近似解用图象法求二元一次方程组的近似解的一般步骤：(1)先把方程组中两个二元一次方程转化为一次函数的形式：y 1＝k 1x ＋b 1和y 2＝k 2x ＋b 2；(2)建立平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象；(3)写出这两条直线的交点的横纵坐标，这两个数的值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是x ，纵坐标是y .【例2】 用作图象的方法解方程组：⎩⎨⎧x －y ＝3， ①x ＋2y ＝－3. ②分析：先把两个方程化成一次函数的形式；再在同一直角坐标系中画出它们的图象，交点的坐标就是方程组的解．解：由①，得y ＝x －3；由②，得y ＝－12x －32.在同一直角坐标系内作出一次函数y ＝x －3的图象l 1和一次函数y ＝－12x －32的图象l 2，如图所示．观察图象，得l 1和l 2交点的坐标为M (1，－2)．故方程组⎩⎨⎧ x －y ＝3，x ＋2y ＝－3的解为⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝－2.3．利用二元一次方程组确定一次函数的表达式每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标．因此一次函数与二元一次方程组有密切联系．利用二元一次方程组确定一次函数的表达式的一般步骤如下：(1)写出函数表达式：一次函数y ＝kx ＋b ；(2)把已知条件代入，得到关于k ，b 的方程组；(3)解方程组，求出k ，b 的值，写出其表达式．【例3】 已知一次函数y ＝ax ＋2与y ＝kx ＋b 的图象如图所示，且方程组⎩⎨⎧ ax －y ＝－2，kx －y ＝－b 的解为⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1点B 坐标为(0，－1)．你能确定两个一次函数的表达式吗？分析：根据方程组与一次函数图象的关系，先确定两图象的交点A 的坐标，再代入表达式，求出字母a ，k ，b 的值．解：∵方程组⎩⎨⎧ ax －y ＝－2，kx －y ＝－b 的解是⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝1， ∴交点A 的坐标为(2,1)．∴点A 在函数y ＝ax ＋2的图象上，2a ＋2＝1.[来源:zz^@step.&com*%]∴a ＝－12.∵点A (2,1)，点B (0，－1)在函数y ＝kx ＋b 图象上，∴⎩⎨⎧ 2k ＋b ＝1，b ＝－1.解得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝－1. ∴两个一次函数的表达式为y ＝－12x ＋2，y ＝x －1.析规律 方程组的解与交点坐标方程组的解就是两个一次函数图象的交点的坐标．4．用待定系数法求一次函数的表达式用待定系数法求一次函数的表达式的方法可归纳为“一设，二列，三解，四还原”．具体的说明如下：一设：设出一次函数表达式的一般形式y ＝kx ＋b (k ≠0)；二列：根据已知两点或已知图象上的两个点坐标列出关于k ，b 的二元一次方程组；三解：解这个方程组，求出k ，b 的值；四还原：将已求得的k ，b 的值再代入y ＝kx ＋b (k ≠0)中，从而得到所要求的一次函数的表达式．确定二元一次方程(组)中字母的取值，是一类常见的题目，解这类问题的基本方法是利用方程(组)的有关知识，得到含有字母系数的方程(组)，然后解这个方程(组)，求出待定字母．析规律 求与坐标轴的交点坐标 解答这类问题要切记，函数图象与x 轴的交点的纵坐标是0，函数图象与y 轴的交点的横坐标是0.【例4】 某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5 000册时，投入的成本与印数间的相应数据如下： 印数x (册)5 000 8 000 10 000 15 000 … 成本y (元) 28 500 36 000 41 000 53 500 …(1)经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本y (元)是印数x (册)的一次函数，求这个一次函数的解析式(不要求写出x 的取值范围)；(2)如果出版社投入成本48 000元，那么能印该读物多少册？[来源:~@中国解：(1)设所求一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，由题意，得⎩⎨⎧ 5 000k ＋b ＝28 500，8 000k ＋b ＝36 000.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝52，b ＝16 000.所以所求的函数关系式为y ＝52x ＋16 000. (2)将y ＝48 000代入y ＝52x ＋16 000中，得48 000＝52x ＋16 000.解得x ＝12 800.所以能印该读物12 800册．5．利用数形结合法理解二元一次方程组解的三种情况(1)方程组有唯一一组解：即方程组中的两个二元一次方程有唯一公共解，如方程组⎩⎨⎧ x －y ＝3，x ＋y ＝5有唯一一组解⎩⎨⎧ x ＝4，y ＝1.函数y ＝x －3和y ＝5－x 的图象是两条相交的直线，只有一个交点．(2)方程组无解：即方程组中的两个二元一次方程没有公共解，如方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＝5，3x ＋3y ＝5无解，这类方程组也叫做矛盾方程组．函数y ＝5－x 和y ＝13(5－3x )的图象是两条平行直线，无交点．(3)方程组有无数组解：即方程组中的两个二元一次方程有无数个解，如方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝2，2x ＋2y ＝4有无数组解．函数y ＝2－x 和y ＝12(4－2x )的图象是同一条直线．【例5】 如图表示两辆汽车行驶路程与时间的关系(汽车B 在汽车A 后出发)，试回答下列问题：(1)图中l 1，l 2分别表示哪一辆汽车的路程与时间的关系？(2)写出汽车A 和汽车B 的路程与时间的函数关系式，汽车A 和汽车B 的速度各是多少？(3)图中交点是什么意思？分析：图中l 1，l 2表示的是一次函数的图象．由图象可知，直线l 1经过点(0,0)和(3,100)，直线l 2经过点(2,0)和(3,100)，由待定系数法求表达式．解：(1)l 1表示A 车的路程与时间的关系，l 2表示B 车的路程与时间的关系．(2)汽车A 的函数关系式是s ＝1003t ，汽车B 的函数关系式是s ＝100t －200；汽车A的速度是1003km/h，汽车B的速度是100 km/h.(3)汽车A出发3 h(或汽车B出发1 h)两车相遇，此时两车行驶路程都是100 km.。