二元一次方程组的典型例题
分析我们已经掌握一元一次方程的解法，那么要解二元一次方程组，就应设法将其转化为一元一次方程，为此，就要考虑将一个方程中的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示．方程(2)中x的系数是1，因此，可以先将方程(2)变形为用含y的代数式表示x，再代入方程(1)求解．这种方法叫“代入消元法”．
解：由(2)，得x=8-3y．(3)
把(3)代入(1)，得：2(8-3y)+5y=-21，16-6y+5y=-21，
-y=-37，所以y=37．
点评如果方程组中没有系数是1的未知数，那么就选择系数最简单的未知数来变形．
分析此方程组里没有一个未知数的系数是1，但方程(1)中x的系数是2，比较简单，可选择它来变形．
解：由(1)，得2x=8+7y，
(3)
把(3)代入(2)，得
分析本题不仅没有系数是1的未知数，而且也没有一个未知数的系数较简单．经过观察发现，若将两个方程相加，得出一个x，y的系数都是100、常数项是200的方程，而此方程与方程组中的(1)和(2)都同解．这样，就使问题变得比较简单了．
解：(1)+(2)，得100x+100y=200，所以
x+y=2 (3)
解这个方程组．由(3)，得
x=2-y(4)
把(4)代入(1)，得53(2-y)+47y=112，106-53y+47y=112，
-6y=6，所以y=-1．
分析经观察发现，(1)和(2)中x的系数都是6，若将两方程相减，便可消去x，只剩关于y的方程，问题便很容易解决、这种方法叫“加减消元法”．
解：(1)-(2)，得12y=-36，所以y=-3．把y=-3代入(2)，得：
6x-5×(-3)=17，6x=2，
所以：
点评若方程组中两个方程同一未知数的系数相等，则用减法消元；若同一未知数的系数互为相反数，则用加法消元；若同一未知数的系数有倍数关系，或完全不相等，则可设法将系数的绝对值转化为原系数绝对值的最小公倍数，然后再用加减法消元．在进行加减特别是进行减法运算时，一定要正确处理好符号．
分析方程组中，相同未知数的系数没有一样的，也没有互为相反数的．但不难将未知数y的系数绝对值转化为12(4与6的最小公倍数)，然后将两个方程相加便消去了y．
解：(1)×3，得9x+12y=48 (3)
(2)×2，得10x-12y=66 (4)
(3)+(4)，得19x=114，所以x=6．把x=6代入(1)，得
3×6+4y=16，4y=-2，
点评将x的系数都转化为15(3和5的最小公倍数)，比较起来，变y的系数要简便些．一是因为变y的系数乘的数较小，二是因为变y的系数后是做加法，而变x的系数后要做减法．
例6 已知x m-n+1y与-2x n-1y3m-2n-5是同类项，求m和n的值．
分析根据同类项的概念，可列出含字母m和n的方程组，从而求出m和n．解：因为x m-n+1y与-2x n-1y3m-2n-5是同类项，所以
解这个方程组．整理，得
(4)-(3)，得2m=8，所以m=4．把m=4代入(3)，得2n=6，所以n=3．所
分析因为x+y=2，所以x=2-y，把它代入方程组，便得出含y，m的新方程组，从而求出m．也可用减法将方程组中的m消去，从而得出含x，y的一个二元一次方程，根据x+y=2这一条件，求出x和y，再去求m．
解：将方程组中的两个方程相减，得x+2y=2，即
(x+y)+y=2．
因为x+y=2，所以2+y=2，所以y=0，于是得x=2．把x=2，y=0代入2x+3y=m，得m=4．把m=4代入m2-2m+1，得m2-2m+1=42-2×4+1=9．
例8 已知x+2y=2x+y+1=7x-y，求2x-y的值．
分析已知条件是三个都含有x，y的连等代数式，这种连等式可看作是二元一次方程组，这样的方程组可列出三个，我们只要解出其中的一个便可求出x和y，从而使问题得到解决．
解：已知条件可转化为
整理这个方程组，得
解这个方程组．由(3)，得x=y-1 (5)
把(5)代入(4)，得5(y-1)-2y-1=0，5y-2y=5+1，所以
y=2．
把y=2代入(3)，得x-2+1=0，所以
x=1．
2x-y=0．
