2021届江西省新余市第四中学高三上学期第一次段考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}20,1,2,3,|0x A B x x -⎧⎫==≥⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A ．{}0,1,2 B ．{}1,2C ．{}2,3D ．{}0,2,3【答案】B 【解析】解出20xx-≥，即可求出答案. 【详解】()(]20200,20x x xx x x ⎧-≥-≥⇒⇒∈⎨≠⎩，所以{}1,2A B =， 故选：B 【点睛】本题考查分式不等式和集合的运算，属于基础题.2．已知复数z 满足()21i 12i z -⋅=+，则在复平面内复数z 对应的点为 A ．11,2⎛⎫--⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫-⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】因为()21i 12i z -⋅=+，所以11i 2z =-+，11i 2z =--， 则在复平面内复数z 对应的点为11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭本题选择A 选项.3．设θ∈R ，则“ππ1212θ-<”是“1sin 2θ<”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】πππ||012126θθ-<⇔<< 1sin 2θ⇒< ，但10,sin 2θθ=<，不满足ππ||1212θ-<，所以是充分不必要条件，选A. 【考点】 充要条件【名师点睛】本题考查充要条件的判断，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若q p ⇒，则p 是q 的必要条件，若p q ⇔，则p 是q 的充要条件；从集合的角度看，若A B ⊆，则A 是B 的充分条件，若B A ⊆，则A 是B 的必要条件，若A B =，则A 是B 的充要条件，若A 是B 的真子集，则A 是B 的充分不必要条件，若B 是A 的真子集，则A 是B 的必要不充分条件.4．已知命题p ：存在n R ∈，使得()22nnf x nx +=是幂函数，且在()0,∞+上单调递增；命题q ：“x R ∃∈，223x x +>”的否定是“x R ∀∈，223x x +<”.则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧ C ．p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝【答案】C【解析】先分别判定命题p 和命题q 的真假，再由复合命题真假的判定方法，即可得出结果. 【详解】 若()22nnf x nx +=是幂函数，则1n =，所以()3f x x =，满足在()0,∞+上单调递增；故命题p 为真命题，因此p ⌝为假命题；“x R ∃∈，223x x +>”的否定是“x R ∀∈，223x x +≤”，故命题q 为假命题，因此q ⌝为真命题；所以p q ∧为假；p q ⌝∧为假；p q ⌝∧⌝为假；p q ∧⌝为真； 故选：C. 【点睛】本题主要考查判定复合命题的真假，属于基础题型.5．已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D 【解析】【详解】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a ,b ,c 的大小关系.详解：由题意可知：3337392log log log<<，即12a<<，1311144⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，即01b<<，133317552log log log=>，即c a>，综上可得：c a b>>.本题选择D选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．6．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【解析】首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.【详解】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B 项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M ，新农村建设后为0.6M ，所以增加了一倍，所以C 项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的30%28%58%50%+=>，所以超过了经济收入的一半，所以D 正确；故选A.点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.7．已知平面直角坐标角系下，角α顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点(4,3)P ，则πcos 2α2⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．2425B ．2425-C ．2425或2425- D ．725【答案】B【解析】根据角α的终边经过点(4,3)P ，即可利用公式求出sin α与cos α，再利用诱导公式和二倍角公式对式子πcos 2α2⎛⎫+ ⎪⎝⎭进行化简，然后代入求值. 【详解】因为角α的终边经过点(4,3)P ，所以34sin ,cos 55αα===，因为3424cos 2sin 22sin cos 225525παααα⎛⎫+=-=-=-⨯⨯=-⎪⎝⎭，故答案选B . 【点睛】本题主要考查了已知角终边上一点坐标求三角函数值，以及诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题. 已知角α终边上一点坐标(,)P x y ，则sin tan (0)yx xααα===≠. 8．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增．若实数a 满足()(12a f f ->，则a 的取值范围是 （ ）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．13,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】()()122a f f ->-11112(2)(2)2222a a a f f ---⇒->-⇒->-⇒<111131122222a a a ⇒-<⇒-<-<⇒<<,选D. 9．函数()()23ln 44(2)x x f x x -+=-的图象可能是下面的图象( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为()()()()()2233ln 44ln 222x x x f x x x -+-==--，所以函数()f x 的图象关于点（2,0）对称，排除A ，B ．当0x <时，()()23ln 20,20x x ->-<，所以()0f x <，排除D ．选C ．10．函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像F 向左平移m 个单位后，得到的图像G 关于原点对称，则m 的值可以是 A ．6π B ．3π C ．4π D ．2π 【答案】A【解析】由条件根据函数y=Acos （ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性可得2m+6π=kπ+2π（k ∈Z ），由此求得m 的值． 【详解】∴图象向左平移m （m ＞0）个单位长度得到y=cos[2（x+m ）+6π]=cos （2x+2m+6π）， ∵所得的图象关于原点对称，∴2m+6π=kπ+2π（k ∈Z ），解得：m=26k ππ+，k ∈Z ， 当k=0时，可得m=6π．故选A ． 【点睛】本题主要考查函数y=Acos （ωx+φ）的图象变换规律，解题的关键是熟练掌握余弦函数的性质，属于基本知识的考查．11．已知定义在[e ，+∞）上的函数f （x ）满足f （x ）+xlnxf ′（x ）＜0且f （2018）＝0，其中f ′（x ）是函数()f x 的导函数，e 是自然对数的底数，则不等式f （x ）＞0的解集为（ ） A ．[e ，2018） B ．[2018，+∞）C ．（e ，+∞）D ．[e ，e +1）【答案】A【解析】由已知条件构造辅助函数g （x ）＝f （x ）lnx ，求导，根据已知求得函数的单调区间，结合原函数的性质和函数值，即可f （x ）＞0的解集． 【详解】∵定义在[e ，+∞）上的函数f （x ）满足f （x ）+xlnxf ′（x ）＜0， 设g （x ）＝f （x ）lnx ， ∴g ′（x ）＝f ′（x ）lnx ()()()'f x f x xlnxf x xx++=＜0在[e ，+∞）恒成立，∴g （x ）在[e ，+∞）单调递减， ∵f （2018）＝0∴g （2018）＝f （2018）ln 2018＝0，要求f （x ）＞0，lnx ＞0，只需g （x ）＞0即可.∵ ∴g （x ）＞0＝g （2018）， ∴x ＜2018， ∴e ≤x ＜2018，故选A ． 【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求解不等式，重点考查了构造新函数的解法，属于中档题.12．设12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，M 是C 的右支上的点，射线MN 平分12F MF ∠,过原点O 作MN 的平行线交1MF 于点T ,若124F F TM =,则双曲线C 的离心率为（ ）A ．52B ．2C ．2D ．3【答案】B【解析】分析：用特殊值法，让点M 无限接近右顶点，则T 点无限接近于原点O ，由此可得出,a c 的关系.详解：当M 接近右顶点时，射线MN 接近与x 轴垂直，OT 接近于y 轴，即T 接近于点O ，于是TM a =，∴由124F F TM =得24c a =，∴2ce a==， 故选B.点睛：本题考查利用双曲线的性质求双曲线的离心率，求解时要结合图形进行分析，即使画不出图形（画不出准确的图形），思考时也要联想到图形，当涉及双曲线的顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们的关系，挖掘韹内存联系.求离心率问题应先将e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的等式，从而解出e .二、填空题13．已知向量(2,1),(m,1)a b ==-，且()a a b ⊥-，则m 的值为_________. 【答案】3【解析】根据向量垂直的坐标运算，列关系式，即可求出参数. 【详解】()2,2a b m -=-, 又()a a b ⊥-，所以()()221203a a b m m ⋅-=⨯-+⨯=⇒=， 故答案为：3. 【点睛】本题考查向量垂直的坐标运算，属于基础题.14．设函数2,3,()(1) 3.x x f x f x x ⎧≥=⎨+<⎩，则2(log 6)f 的值为________ .【答案】12【解析】先计算()2log 6f 2(log 12)f =，再判断2log 123>，再求2(log 12)f 的值. 【详解】()2log 6f =2222(log 61)(log 12),log 12log 83f f +=>=，所以2log 122(log 12)212f ==.故答案为12 【点睛】（1）本题主要考查分段函数求值，考查对数的运算和对数函数的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解题的关键是判断22log 6,log 12与3的大小关系. 15．若()()21ln 22f x x b x =-++在()1,-+∞上是减函数，则b 的取值范围是________． 【答案】(],1-∞-【解析】由题意得出()0f x '≤对任意的()1,x ∈-+∞恒成立，利用参变量分离法得出22b x x ≤+，求出二次函数22y x x =+在区间()1,-+∞上的值域，即可得出实数b 的取值范围. 【详解】()()21ln 22f x x b x =-++，()2bf x x x '∴=-++，由于函数()()21ln 22f x x b x =-++在()1,-+∞上是减函数，则()0f x '≤对任意的()1,x ∈-+∞恒成立，即2bx x ≤+，得()222b x x x x ≤+=+， 二次函数22y x x =+在区间()1,-+∞上为增函数，则()()21211y >-+⨯-=-，1b ∴≤-.因此，实数b 的取值范围是(],1-∞-. 故答案为：(],1-∞-. 【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，一般转化为导数不等式在区间上恒成立，利用参变量分离法求解是一种常用的方法，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 16．已知矩形ABCD 的两边长分别为3AB =，4BC =，O 是对角线BD 的中点，E 是AD 边上一点，沿BE 将ABE 折起，使得A 点在平面BDC 上的投影恰为O （如图所示），则此时三棱锥A BCD -的外接球的表面积是______.【答案】32411π【解析】由OA ⊥平面BCD ，结合OB OC OD ==，证明AOB 、AOC △、AOD △是三个全等的三角形，于是得出3AB AC AD ===，并计算出OA 的长度，然后利用公式22AB R OA=可计算出三棱锥A BCD -的外接球的直径，最后利用球体表面积公式可得出答案. 【详解】连接OA 、OC ，作出满足条件的三棱锥A BCD -如下图所示：易知OA ⊥平面BCD ，由于90BCD ∠=，O 为BD 的中点，所以，OC OB OD ==， OA ⊥平面BCD ，OB 、OC 、OD ⊂平面BCD ，90AOB AOC AOD ∠∠∠∴===，易证AOB、AOC△、AOD△是三个全等的直角三角形，3AB AC AD===，由勾股定理可得22225113()2OA AB OB=-=-=，所以三棱锥A BCD-的外接球直径为2211ABROA==.因此三棱锥A BCD-的外接球的表面积为223244(2)11R Rπππ=⨯=.故答案为：32411π.【点睛】本题主要考查了球体表面积的计算，解决本题的关键在于计算出几何体的各棱长，再利用合适的模型计算出球体的半径，着重考查了推理与计算能力，属于中等题.三、解答题17．设等差数列{}n a的前n项和为n S，若981S=，3514a a+=.（1）求数列{}n a的通项公式；（2）设11nn nba a+=，若{}nb的前n项和为nT，证明：12nT<.【答案】（1）21na n=-；（2）证明见解析.【解析】（1）设等差数列{}n a的公差为d，由题意可得出关于1a、d的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的通项公式可求得数列{}n a的通项公式；（2）求得11122121nbn n⎛⎫=-⎪-+⎝⎭，利用裂项相消法求得nT，进而可证得12nT<成立. 【详解】（1）设等差数列{}n a的公差为d，由9358114Sa a=⎧⎨+=⎩，可得11936812614a da d+=⎧⎨+=⎩，解得112ad=⎧⎨=⎩，由等差数列的通项公式可得()()1112121n a a n d n n =+-=+-=-； （2）由（1）可得()121121n a n n +=+-=+. 由()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭， 得11111111111233521212212n T n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-< ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了裂项相消法求和，考查计算能力，属于基础题.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧棱PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，222AD AB PA ===，E 为PD 上一点，且2PE ED =（1）若F 为PE 的中点，求证：//BF 平面AEC ； （2）求三棱锥P AEC -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）92. 【解析】（1）连结BD 交AC 于O ，连结OE ，利用中位线定理，即可证明. （2）证明CD ⊥平面PAD ，112333P AEC C AEP PAE PAD V V CD S CD S --===△△,即可求解. 【详解】解：（1）连结BD 交AC 于O ，连结OE ， ∵E 为PD 的上一点，且2PE ED =， F 为PE 的中点，∴E 为DF 中点，//OE BF ， 又BF ⊄平面AEC ,OE ⊂平面AEC∴//BF 平面AEC（2）侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA CD ⊥， 又CD AD ⊥，AD PA A ⋂=， ∴CD ⊥平面PAD ， 又222AD AB PA ===， ∴三棱锥P AEC -的体积112212112333929P AEC C AEP PAE PAD V V CD S CD S --====⨯⨯⨯⨯=△△【点睛】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题19．中石化集团通过与安哥拉国家石油公司合作，获得了安哥拉深海油田区块的开采权，集团在某些区块随机初步勘探了部分旧井，取得了地质资料． 进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探．由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井．以节约勘探费用．勘探初期数据资料见下表： 井号I123456坐标()(),x y km ()2,30 ()4,40 ()5,60 ()6,50 ()8,70 ()1,y钻探深度()km 2456810出油量()L40 70 110 90 160 205（1）16~号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为 6.5y x a =+，求a ，并估计y 的预报值；（2）现准备勘探新井7()1,25，若通过1、3、5、7号井计算出的ˆˆ,b a 的值与（1）中,b a的值差不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井6()1,y ，否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？442121212122111ˆˆˆ,,94,945ni i i i i i ni i i i x y nx yb ay bx x x y x nx=---===⎛⎫-⋅ ⎪ ⎪==-== ⎪- ⎪⎝⎭∑∑∑∑ （3）设井出油量与勘探深度的比值k 不低于20的勘探并称为优质井，那么在原有的出油量不低于50L 的井中任意勘察3口井，求恰有2口是优质井的概率．【答案】（1）24；（2）使用位置最接近的已有旧井()61,24；（3）35. 【解析】（1）由回归直线必过平衡点(),x y 求出回归方程 6.517.5y x =+，再令1x =即可预估y ；（2）先求出,a b 的值，验证ˆˆ,ba 的值与（1）中,b a 的值差是否超过0010即可；（3）5口井取三口共有10取法，其中恰由2口是优质井的6种，根据古典概型概率公式可求. 【详解】（1）因为5,50x y ==，回归直线必过平衡点(),x y ， 则50 6.5517.5a y bx =-=-⨯=， 故回归直线方程为 6.517.5y x =+， 当1x =时， 6.517.524y =+=， 即y 的预报值为24． （2）因为4,46.25x y ==，4422121211194,945i i i i i xx y ---====∑∑，所以421211422221149454446.25ˆ 6.8394444i i i i i xy xybx x--=-=--⨯⨯==≈-⨯-∑∑，ˆˆ46.25 6.83418.93ay bx =-=-⨯=， 即ˆˆˆˆ6.83,18.93, 6.5,17.5,5%,8%b b aa b a b a b a--====≈≈， 均不超过10%，因此使用位置最接近的已有旧井()61,24．（3）易知原有的出油量不低于50L 的井中，3，5，6这3口井是优质井，2、4这2口井为非优质井， 由题意从这5口井中随机选取3口井的可能情况有：()()()()()2,3,4,2,3,5,2,3,62,4,5,2,4,6()()()()(),2,5,6,3,4,5,3,4,6,3,5,6,4,5,6共10种，其中恰有2口是优质井的有6种，所以所求概率是63105P ==． 20．已知12,F F 分别为椭圆1C ：22221(0)y x a b a b +=>>的上.下焦点，1F 是抛物线2C ：24x y =的焦点，点M 是1C 与2C 在第二象限的交点，且153MF =（1）求椭圆1C 的标准方程；（2）与圆()2211x y ++=相切的直线l ：()y k x t =+（其中0kt ≠）交椭圆1C 于点,A B ，若椭圆1C 上一点P 满足OA OB OP λ+=，求实数2λ的取值范围.【答案】（1）22134x y +=；（2）440,,433⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】(1) 抛物线定义可得点M 坐标，再根据两点间距离公式求2MF ，利用椭圆定义得2a ，根据勾股定理解得b ；(2)设直线l ：()y k x t =+，根据直线与圆相切得221tk t =-（1t ≠±，0t ≠），利用直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理得p 坐标，代入椭圆方程得2222443k t kλ=+，消k ，再根据二次函数性质求实数2λ的取值范围. 【详解】（1）由题意1(0,1)F ，所以221a b -=， 又由抛物线定义可知1513M MF y =+=，得23M y =，于是易知2,33M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，从而273MF ==，由椭圆定义知1224a MF MF =+=，得2a =，故23b =，从而椭圆的方程为22134x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ， 则由OA OB OP λ+=知，120x x x λ+=，120y y y λ+=，且2200134x y +=.①又直线:()l y k x t =+，0kt ≠与圆22(1)1x y ++=相切，1=，由0k ≠，可得22(1,0)1tk t t t=≠±≠-.② 又联立22()4312y k x t x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得 ()222224363120k xk tx k t +++-=，且>0∆恒成立，且2122643k tx x k +=-+，2212231243k t x x k-=-+， 所以()121228243kty y k x x kt k +=++=+，所以得()()22268,4343k tktP k k λλ⎛⎫-⎪ ⎪++⎝⎭， 代入①式得()()4222222222121614343k t k t k k λλ+=++，所以2222443k t k λ=+，又将②式代入得22224111t tλ=⎛⎫++ ⎪⎝⎭，0t ≠，1t ≠±， 易知2221111t t ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，且2221113t t⎛⎫++≠ ⎪⎝⎭，所以244(0,)(,4)33λ∈⋃. 【点睛】解析几何中的最值与范围问题是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值与范围的探求来使问题得以解决. 21．已知函数()()()()2ln ,1f x x x g x x λλ==-为常数.(1)若函数()y f x =与函数()y g x =在1x =处有相同的切线,求实数λ的值; (2)当1≥x 时, ()()f x g x ≤,求实数λ的取值范围. 【答案】（1）12λ=. （2）12λ≥. 【解析】（1）根据题意，求出f （x ）与g （x ）的导数，由导数的几何意义可得f'（1）=g'（1），则2λ=1，解可得λ的值，即可得答案；（2）根据题意，设h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=xlnx ﹣λ（x 2﹣1），则原问题可以转化为h （x ）≤0对∀x ∈[1，+∞）恒成立，求出h （x ）的导数，利用导数与函数单调性的关系，分析可得答案． 【详解】 (1)由题意得,又,且函数与在处有相同的切线,,则,即.(2)设,则对恒成立.,且,即.另一方面,当时,记,则.当时,在内为减函数, 当时,,即在内为减函数, 当时,恒成立,符合题意.当时,①若,则对恒成立,在内为增函数,当时,恒成立,不符合题意.②若,令,则在内为增函数,当时,,即在内为增函数,当时,,不符合题意,综上所述.【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <; （3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >.22．已知过点(),0P a 的直线l 的参数方程是312x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试问是否存在实数a ，使得6PA PB +=且4AB =？若存在，求出实数a 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）3=0x a -，2240x y x +-=；（2）1-或5【解析】（1）消参可得l 的普通方程，4cos ρθ= 两边乘ρ，利用极坐标与直角坐标的互化公式可得其直角坐标方程；（2）由题中条件可判断l 过圆心，得2a = 与2PA PB +=矛盾，得结论． 【详解】（1）消t 由22x y a =⨯+，∴直线l 的普通方程为0x a --=，由4cos ρθ=，24cos ρρθ∴=，∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=；（2）4AB =，而圆的直径为4，故直线l 必过圆心()2,0，此时2a =与6PA PB +=矛盾，∴实数a 不存在.23．（1）已知函数 ()|1||2|f x x x =-+-，解不等式()2f x ； （2）已知正数x ，y ，z 满足231x y z ++=，求321x y z++的最小值.【答案】（1）12x x ⎧≤⎨⎩或52x ⎫≥⎬⎭；（2）16+【解析】（1）分1x <，12x ≤≤，2x >讨论去绝对值解不等式； （2）321321(23)x y z x y z x y z ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭，利用柯西不等式可得求得最值. 【详解】解：（1）当1x <时，()12232f x x x x =-+-=-+≥，得12x ≤； 当12x ≤≤时，()1212f x x x =-+-=≥，无解； 当2x >时，()12232f x x x x =-+-=-≥，解得52x ≥； 综合得12x ≤或52x ≥， 即不等式解集为12x x ⎧≤⎨⎩或52x ⎫≥⎬⎭； （2）由于,,0x y z >， 所以321321(23)x y z x y z x y z ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭2≥2216==+当且仅当23231x y zy x z==，即::3:x y z =时，等号成立. ∴321x y z++的最小值为16+【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，考查柯西不等式的应用，是基础题.。
