第十二章 轴对称
一、轴对称图形
1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
2. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点,叫做对称点
3、轴对称图形和轴对称的区别与联系
3、轴对称图形和轴对称的区别与联系
轴对称图形
轴对称
区别
联系
图形
(1)轴对称图形是指( )具有特殊形状的图形,只对( )图形而言;(2)对称轴( )只有一条(1)轴对称是指( )图形
的位置关系,必须涉及( )图形;(2)只有( )对称轴.如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分,那么这两个图形就关于这条直线成轴对称.
如果把两个成轴对称的图形拼在一起看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形.
B
C
A
C'B'
A'
A
B C 一个一个不一定两个两个一条知识回顾： 4.轴对称的性质
①关于某直线对称的两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 ④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
二、线段的垂直平分线
1. 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。
2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等
3.与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上
三、用坐标表示轴对称小结：
1.在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y 轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.
点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为______.
点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为______.
2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等
四、（等腰三角形)知识点回顾
1.等腰三角形的性质
①.等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）
②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）
2、等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边）
五、（等边三角形）知识点回顾
1.等边三角形的性质：
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于600。
2、等边三角形的判定：
①三个角都相等的三角形是等边三角形。
②有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。
3.在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
【典型例题】
[例1] 如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，在AB上截取BD=BC，过D作DE⊥AB交AC于点E，求证：BE⊥CD
解析：因为DE⊥AB，所以∠BDE=90°，因为∠ACB =90°，所以∠BDE=∠ACB，又因为BD=BC，BE是公共边，所以△BDE≌△BCE，所以BE平分∠DBC，又因为△DBC 是等腰三角形，所以利用等腰三角形三线合一，得到BE⊥CD
[例2] 如图，已知∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，求∠FEM的度数
答案：75°
解析：因为AB=BC=CD=DE=EF ，所以△ABC 和△BCD 和△DCE 和△DEF 都是等腰三角形，又因为∠A=15°，所以∠ACB=15°，再利用三角形的外角定理，得到∠CBD= 30°，所以∠CDB=30°，再利用外角定理，得到∠DCE=45°，所以∠DEC=45°，同理 ∠EDF=60°，所以∠EFD=60°，所以∠FEM=∠EFD+∠A=75°
[例3] 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，若BD=BC ，AD=DE=BE ，求∠A 的度数
B
C A
D
E
答案：45︒
解析：因为AB=AC ，BD=BC ，AD=DE=BE ，所以△ABC 和△BCD 和△ADE 和△EBD 都是等腰三角形，所以设∠EBD=x ，所以∠EDB=x ，所以∠AED=2x ，所以∠A=2x ，又因为∠BDC=∠A+∠ABD ，所以∠BDC=3x ，所以∠C=3x ，所以∠ABC=3x ，再利用三角形内角和定理，得到8180x =︒，所以∠A=2x =45︒
[例4] 如图，已知△
ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，若AB+BD=DC ，求证：∠B=2∠C
证明：在线段DC 上截取DE=BD ，连接AE ，因为AD ⊥BC ，并且DE=BD ，所以AD 是线段BE 的垂直平分线，所以AB=AE ，又因为AB+BD=DC ，所以AE+DE=DC ，所以AE=DC －DE=EC ，所以∠C=∠EAC ，利用外角定理，得到∠
AEB=2∠C ，又因为AB=AE ，所以∠B=∠AEB ，所以∠B=2∠C
[例5] 已知△ABC 中，AB=AC ，D 、E 分别为BC 、AC 上的点，若AD=AE ，∠BAD= 30°，求∠EDC 的度数
答案：15°
解析：因为AB=AC ，所以△ABC 是等腰三角形，又因为AD=AE ，所以△ADE 是等腰三角形，所以∠B=∠C ，∠ADE=∠AED ，又因为∠AED=∠EDC+∠C ，∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD ，所以∠C+∠EDC=∠B+∠BAD －∠EDC ，所以2∠EDC=∠BAD ，又因为 ∠BAD=30°，所以∠EDC=15°
[例6] 如图，已知F 、C 是线段BE 上两点，BF=CE ，AB=DE ，∠B=∠E ，QR ∥BE ，求证：△PQR 是等腰三角形
P
B
E Q
R
C
F
A
D
证明：因为BF=CE ，所以BF+FC=CE+FC ，所以BC=EF ，因为∠B=∠C ，AB=DE ，所以△ABC ≌△DEF ，所以∠ACB=∠DFE ，又因为QR ∥BE ，所以∠ACB=∠Q ，∠DFE= ∠R ，所以∠Q=∠R
，所以PQ=PR ，所以△PQR 是等腰三角形
[例7] 如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，D 是AB 上一点，延长AC 到E ，使CE=BD ，DE 交BC 于F ，求证：DF=EF
解析：在BC 上取一点G ，使DG=DB ，所以∠B=∠DGB ，又因为AB=AC ，所以∠B=ACB ，
所以∠DGB=∠ACB ，所以DG ∥AC ，所以∠GDF=∠CEF ，∠DGF=∠ECF ，又因为BD=CE ，所以DG=CE ，所以△DGF ≌△ECF ，所以DF=EF
