几何结构之折叠、旋转（讲义）
➢知识点睛
1.折叠（轴对称）的思考层次
（1）全等变换：对应边相等、对应角相等．
（2）对应点与对称轴：对称轴所在直线是对应点连线的垂直平分线．（对应点所连线段被对称轴垂直平分，对称轴上的点到对应点的距离相等）
（3）常见组合搭配
①矩形背景下的折叠常出现等腰三角形；
②两次折叠往往会出现特殊角：45°，60°，90°等．
（4）应用，作图（构造）
核心是确定对称轴和对应点，一般先确定对应点和对称轴，然后再补全图形．
特征举例：
①折痕运动但过定点，则折叠后的对应点在圆上；
②对应点确定，折痕为对应点连线的垂直平分线．
2.旋转思考层次
（1）全等变换：对应边相等、对应角相等．
（2）对应点与旋转中心
旋转会出现等线段共端点（对应点到旋转中心的距离相等）；
对应点与旋转中心的连线所夹的角等于旋转角；
对应点所连线段的垂直平分线都经过旋转中心；
旋转会产生圆（圆弧）．
（3）常见组合搭配
旋转会出现相似的等腰三角形；
旋转60°会出现等边三角形；旋转90°会出现等腰直角三角形；
相似三角形对应点重合时会出现旋转放缩模型．
（4）应用，作图（构造）
当题目（背景）中出现等线段共端点时，会考虑补全旋转构
造全等．（常见背景有正方形、等边三角形、等腰三角形）注：读题标注时，往往要弄清楚旋转三要素；
旋转方向不确定需要分类讨论；
常将图形的旋转转化为点、线段的旋转进行操作．（有时
只需保留研究目标即可）
➢精讲精练
1.小明用不同的方式来折叠一个边长为8 的正方形纸片ABCD，
折痕MN 分别与边AD，BC 交于点M，N，沿MN 将四边形ABNM 折叠，点A，B 的对应点分别为点A′，B′．他得到了以下结论：①如图1，当点B′落在DC 的中点处时，BN=5．
②如图2，当点B′落在CD 上时，延长NB′交AD 的延长线于
点E，△NEM 为等腰三角形．③如图2，当点B′落在CD 上时，连接BB′，此时BB′=MN，BB′⊥MN．④如图3，先将正方形沿MN 对折，使AB 与DC 重合，再将AB 沿过点A 的直线折叠，使点B′落在MN 上，则∠MAB′=60°．其中正确结论的序号是．
图1 图2
图 3
2.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，点D，E 分别在AC，BC
上，且∠CDE=∠B，将△CDE 沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点F 处．若AC=8，AB=10，则CD 的长为．
3
3
3.如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB= 8 ，AD=10，点E 是
CD 的中点．将这张纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点
A 与点E 重合，如图2，折痕为MN，连接ME，NE；第二次
折叠纸片使点N 与点E 重合，如图3，点B 落在B′处，折痕为HG，连接HE，则tan∠EHG= ．
图1 图2 图3
4.如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=10，将矩形ABCD 沿BE
折叠，点A 落在A′处，若EA′的延长线恰好过C，则
sin∠ABE 的值为．
第4 题图第5 题图
5.如图，在矩形ABCD 中，AB= 4 ，BC=15，点E 是AD 边上
一点，连接BE，把△ABE 沿BE 折叠，使点A 落在点A′处，点F 是CD 边上一点，连接EF，把△DEF 沿EF 折叠，使点
D 落在直线EA′上的点D′处，当点D′落在BC 边上时，A
E 的
长为．
6. 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，AC=3，点F 在
边AC 上，且AF=1，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则当点P 落在线段AB 上时，线段PB 的长为．
7.如图，在△ABC 中，AB=AC，BC=24，tan C=2，如果将△ABC
沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点E 处，直线l 与边BC 交于点D，那么BD 的长为（）
A．13 B．15
2
C．
27
2
D．12
8.在矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，点P 在线段AB 上．若将
△DAP 沿DP 折叠，使点 A 落在矩形对角线上的A′处，则AP 的长为．
9.如图，矩形纸片ABCD 中，AB=8 cm，BC=20 cm，O 是BC
的中点，沿过O 的直线翻折．若点B 恰好落在AD 上，那么
折痕的长度为．
10.如图1，在四边形ABCD 中，AD∥BC，∠A=∠C，点P 在边
AB 上．
（1）判断四边形ABCD 的形状并加以证明．
（2）若AB=AD，以过点P 的直线为对称轴，将四边形ABCD 折叠，使点B，C 分别落在点B′，C′处，且线段B′C′经过点D，折痕与四边形的另一交点为Q．
①在图2 中作出四边形PB′C′Q（保留作图痕迹，不必说明作
法和理由）．
②如果∠C=60°，那么AP
为何值时，B′P⊥AB．PB
图1 图2
2
11.如图，在Rt△ACB 中，∠ACB=90°，AC=BC．D 是AB 上的
一个动点（不与点A，B 重合），连接CD．过点C 作CD 的
垂线，点E 是该垂线上一点，且满足△ACE≌△BCD，连接
DE，DE 与AC 相交于点F．下列结论：①△BCD 绕点C 顺
时针旋转90°得到△ACE；②若BC=2，则(C
四边形ADCE
)min= 4 ；
③ 若∠ BCD=25°，则∠ AED=65°；④ DE2=2CF·CA ；⑤ 若
AB= 3 ，AD=2BD，则AF=
5
．其中正确的结论是
3
（填写所有正确结论的序号）．
第11 题图第12 题图
12.如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=30°，将△DCB 绕点C 顺
时针旋转60°后，点D 的对应点恰好与点A 重合，得到
△ACE．若AB=3，BC=4，则BD= ．
13.如图，等边三角形ABC 的边长为4，点O 是△ABC 的中心，
∠FOG=120°，绕点O 旋转∠FOG，分别交线段AB，BC 于D，
E 两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD=OE；②S△ODE=
S BDE；③四边形ODBE 的面积始终等于．上述结论中正
3
确的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
△
2
4 3
