第10讲 立体几何翻折与旋转问题1．把正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，对于下列结论：①AC BD ⊥；②ADC ∆是正三角形；③AB 与CD 成60︒角；④AB 与平面BCD 成60︒角． 则其中正确结论的个数是( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：取BD 的中点E ，则AE BD ⊥，CE BD ⊥．BD ∴⊥面AEC ．BD AC ∴⊥，故①正确．设正方形边长为a ，则AD DC a ==，AE EC ==． AC a ∴=．ADC ∴∆为等边三角形，故②正确．ABD ∠为AB 与面BCD 所成的角为45︒，以E 为坐标原点，EC 、ED 、EA 分别为x ，y ，z 轴建立直角坐标系，则(0A ，0，)2，(0B ，2-，0)，(0D ，2，0)，C ，0，0)．(0AB =，，)，2(2DC =，，0)． cos AB <，12DC >=， AB ∴<，60DC >=︒，故③正确．ABD ∠为AB 与面BCD 所成的角为45︒，故④不正确．故选：C ．3．矩形ABCD 中，AB =，1BC =，将ABC ∆与ADC ∆沿AC 所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线AD 与直线BC 成的角范围（包含初始状态）为( )A ．[0,]6πB ．[0,]3πC ．[0,]2πD ．2[0,]3π 【解答】解：由题意，初始状态，直线AD 与直线BC 成的角为0，DB =时，AD DB ⊥，AD DC ⊥，AD ∴⊥平面DBC ，AD BC ⊥，直线AD 与直线BC 成的角为2π， ∴在翻折过程中直线AD 与直线BC 成的角范围（包含初始状态）为[0，]2π．故选：C ．4．已知矩形ABCD ，1AB =，BC =．将ABD ∆沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中( )A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“ AB 与CD ”，“ AD 与BC ”均不垂直【解答】解：如图，AE BD ⊥，CF BD ⊥，依题意，1AB =，BC =AE CF =BE EF FD ==A ，若存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直，则BD AE ⊥，BD ∴⊥平面AEC ，从而BD EC ⊥，这与已知矛盾，排除A ；B ，若存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直，则CD ⊥平面ABC ，平面ABC ⊥平面BCD取BC 中点M ，连接ME ，则ME BD ⊥，AEM ∴∠就是二面角A BD C --的平面角，此角显然存在，即当A 在底面上的射影位于BC 的中点时，直线AB 与直线CD 垂直，故B 正确；C ，若存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直，则BC ⊥平面ACD ，从而平面ACD ⊥平面BCD ，即A 在底面BCD 上的射影应位于线段CD 上，这是不可能的，排除CD ，由上所述，可排除D故选：B ．5．在Rt ABC ∆中，2C π∠=，1AC =，BC D 是AB 边上的动点，设BD x =，把BDC ∆沿DC 翻折为△B DC '，若存在某个位置，使得异面直线B C '与AD 所成的角为3π，则实数x 的取值范围是( )A ．0x <<B 2x <<C ．0x <D 2x << 【解答】解：把BDC ∆沿DC 翻折，形成了一个圆锥．过点C 作//CE AB ，则AB 与B C '所成的角等于CE 与B C '所成的角，设AB 与BC 所成的角的大小为θ，设BCD α∠=． 则30230θα︒<<+︒，23060α+︒>︒，15α∴>︒，135BDC ∴∠<︒．BCD ∆中，sin sin BC BDBDC α=∠，∴sin sin15sin sin135BDC α︒=>=∠︒，x ∴>，又2x <．∴2x <<． 故选：B ．6．如图，在Rt ABC ∆中，1AC =，BC x =，D 是斜边AB 的中点，将BCD ∆沿直线CD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB AD ⊥，则x 的取值范围是( )A ．(0B ．2]C ．D ．(2，4]【解答】解：由题意得，AD CD BD ===，BC x =，取BC 中点E ， 翻折前，在图1中，连接DE ，CD ，则1122DE AC ==， 翻折后，在图2中，此时CB AD ⊥．BC DE ⊥，BC AD ⊥，BC ∴⊥平面ADE ， BC AE ∴⊥，DE BC ⊥，又BC AE ⊥，E 为BC 中点，1AB AC ∴==，AE ∴AD =在ADE ∆中：12>12<+③0x >；由①②③可得0x <<．如图3，翻折后，当△1B CD 与ACD ∆在一个平面上，AD 与1B C 交于M ，且1AD B C ⊥，1AD B D CD BD ===，1CBD BCD B CD ∠=∠=∠， 又190CBD BCD B CD ∠+∠+∠=︒， 130CBD BCD B CD ∴∠=∠=∠=︒，60A ∴∠=︒，tan60BC AC =︒，此时1x ==综上，x 的取值范围为(0， 故选：A ．7．如图，在直二面角A BD C --中，ABD ∆、CBD ∆均是以BD 为斜边的等腰直角三角形，取AD 中点E ，将ABE ∆沿BE 翻折到△1A BE ，在ABE ∆的翻折过程中，下列不可能成立的是( )A ．BC 与平面1A BE 内某直线平行B ．//CD 平面1A BEC ．BC 与平面1A BE 内某直线垂直D ．1BC A B ⊥【解答】解：连结CE ，当平面1A BE 与平面BCE 重合时，BC ⊂平面1A BE ，∴平面1A BE 内必存在与BC 平行和垂直的直线，故A ，C 可能成立；在平面BCD 内过B 作CD 的平行线BF ，使得BF CD =， 连结EF ，则当平面1A BE 与平面BEF 重合时，BF ⊂平面1A BE ，故平面1A BE 内存在与BF 平行的直线，即平面1A BE 内存在与CD 平行的直线，//CD ∴平面1A BE ，故B 可能成立．若1BC A B ⊥，又11A B A E ⊥，则1A B 为直线1A E 和BC 的公垂线， 1A B CE ∴<，设11A B =，则经计算可得CE =与1A B CE <矛盾，故D 不可能成立． 故选：D ．8．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CAB θ∠=，M 为AB 的中点．将ACM ∆沿着CM 翻折至△A CM '，使得A M MB '⊥，则θ的取值不可能为( )A ．9π B ．6π C ．5π D ．3π 【解答】解：如图所示，把△A CM '继续旋转， 一直旋转到平面ABC 里面，这时A '在A ''位置， 这时2999AMN A MN πππ∠=+==∠''，4599A MB πππ''∠=-=， 此时，A MB ∠''是直线A M '和BM 所成的最小角，592ππ>不成立，θ∴的取值不可能为9π． 故选：A ．9．在斜边长为5的等腰直角三角形ABC中，点D在斜边AC（不含端点）上运动，将CBD∆沿BD翻折到△1C BD位置，且使得三棱锥1C ABD-体积最大，则AD长为()A．2B．52C．3D．4【解答】解：如图，ABC∆为等腰直角三角形，且斜边5AC=，则2AB BC==，设(05)AD x x=<<，则15CD C D x==-，则BD==．要使三棱锥1C ABD-体积最大，则平面1C BD⊥平面ABC，再设1C到平面ABC的距离为h，则1111sin224BD h BC C Dπ=，可得2(5)2xh-=115225sin242224ABDS AB AD x xπ∆===．∴三棱锥1C ABD-体积2222(5)15255223424525525()()xx xV xx x--+==-+-+．当52x=时，25x x-+有最大值254有最小值52，此时V有最大值为12548．AD∴长为52．故选：B．二．填空题（共7小题）10．将边长为2，锐角为60︒的菱形ABCD沿较短对角线BD折成四面体ABCD，点E，F，G分另AC，BD，BC的中点，则下列命题中正确的是②③④．（将正确的命题序号全填上）①//EF AB；②EF是异面直线AC与BD的公垂线；③//CD平面EFG；④AC垂直于截面BDE．【解答】解：设AD的中点为M，连接FM，则//AB FM，FM与EF相交，∴与AB为异面直线，故①错误；EF由ABC ADC∆≅∆可得BE DE=，⊥，EF BD∴⊥，同理可得EF AC∴是异面直线AC与BD的公垂线，故②正确；EF由中位线定理可得//∴平面EFG，故③正确；CDFG CD，//⊥，∴⊥，同理可得：DE ACAB BC=，BE AC∴⊥平面BDE．故④正确．AC故答案为：②③④．11．在ABC∠=︒，D是边AC上一点，将ABD ∆中，已知AB=BC=45ABC∆沿BD折起，得到三棱锥A BCD=，则x的取值范围-，若该三棱锥的顶点A在底面BCD的射影M在线段BC上，设BM x为．【解答】解：ABC∠=︒，ABC∆中由余弦定理得：已知AB=BC=45AC AB BC cocB ==ABC ∆为等腰直角三角形，如下图a 所示．ABD ∆沿BD 折起，若该三棱锥的顶点A 在底面BCD 的射影M 在线段BC 上时，如图b ，AM ⊥面BCD ，MN ，AN 都于BD 垂直，折叠前在图a 中AM BD ⊥于N 点，在图a 中过A 作1AM BC ⊥于1M ，动点D 与C 无限接近时，折痕BD 接近BC ，这时M 接近1M ，在图b 中，AB 是Rt AMB ∆的斜边，所以BM AB <，1BM BM AB ∴<<，1Rt ABM ∆中，112BM BC =BM x ∴=∈，；故答案为：．12．如图，矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成△1A DE ．若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻折过程中，下列命题正确的是 ①②④ ．（写出所有正确的命题的编号） ①线段BM 的长是定值； ②点M 在某个球面上运动； ③存在某个位置，使1DE AC ⊥； ④存在某个位置，使//MB 平面1A DE ．【解答】解：①取CD 中点F ，连接MF ，BF ，则1//MF DA ，//BF DE ，∴平面//MBF 平面1A DE ，//MB ∴平面1A DE ，故D 正确由1A DE MFB ∠=∠，112MF A D ==定值，FB DE ==定值， 由余弦定理可得2222cos MB MF FB MF FB MFB =+-∠，所以MB 是定值，故①正确． ②B 是定点，M ∴是在以B 为球心，MB 为半径的球上，故②正确， 若③成立，则由DE CE ⊥，可得DE ⊥面1A EC1DE A E ∴⊥，而这与11DA A E ⊥矛盾 故③错误．④取CD 中点F ，连接MF ，BF ，则平面//MBF 平面1A DE ，可得④正确； 故正确的命题有：①②④， 故答案为：①②④．13．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CAB θ∠=，M 为AB 的中点，将ACM ∆沿着CM 翻折至△A CM '，使得A M MB '⊥，则θ的取值可能为 ②③④ （填上正确的所有序号） ①9π②7π③6π④3π【解答】解：如图，设A '在平面BMC 上的射影为A ''， 则由题意知，点A ''在直线CM 的垂线A A '''上，要使A M MB '⊥，则A M MB ''⊥，因此只需考虑其临界情况， 即当A M MB ''⊥时，点A 与点A ''关于直线CM 对称，4AMD A MD BMC π''∴∠=∠=∠=，又AM MC =，AMC ∴∆是以MAC ∠为底角的等腰三角形，24CAM MCA πθ∴∠+∠==，8πθ∴=．因此当8πθ时，有A M MB '⊥，θ∴的取值可能为7π，6π，3π． 故答案为：②③④．14．如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，沿对角线BD 将ABD ∆折起得到△1A BD ，且点1A 在平面BCD 上的射影O 落在BC 边上，记二面角1C A B D --的平面角的大小为α，则sin α的值等于34．【解答】解：CD BC ⊥，又1CD AO ⊥，1A O BC O =，CD ∴⊥平面1A BC ，1CD A B ∴⊥．又11A B A D ⊥，1A B ∴⊥平面1CA D ．1CA D ∴∠是二面角1C A B D --的平面角．在Rt △1ACD 中，13sin 4CD A D α==． 故答案为：3415．已知ABC ∆中，90C ∠=︒，tan A =M 为AB 的中点，现将ACM ∆沿CM 折成三棱锥P CBM -，当二面角P CM B --大小为60︒时，ABPB【解答】解：如图，取BC 中点E ，连接AE ，设AECM O =，再设2AC =，由90C ∠=︒，tan A BC=在Rt MEC ∆中，可得tanCME ∠Rt ECA ∆中，求得tan 2AEC ∠=， cot AEM ∴∠90CME AEM ∠+∠=︒，有AE CM ⊥． PO CM ∴⊥，EO CM ⊥，POE ∠为二面角P CM B --的平面角为60︒，2AE ==1sinOE CME =⨯∠，PO ∴=． 在POE ∆中，由余弦定理可得PE == 222PE CE PC ∴+=，即PE BC ⊥．则2PB PC==．在Rt ACB ∆中，求得AB =∴ABPB=16．已知直角梯形ABCD ，AB AD ⊥，CD AD ⊥，222AB AD CD ===，沿AC 折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的体积为43π；当三棱锥外接球的体积最小时，三棱锥的体积为 ． 【解答】解：已知直角梯形ABCD ，AB AD ⊥，CD AD ⊥，222AB AD CD ===，沿AC 折叠成三棱锥， 如图：2AB =，1AD =，1CD =，AC ∴BC ，BC AC ∴⊥，取AC 的中点E ，AB 的中点O ，连结DE ，OE ， 当三棱锥体积最大时，∴平面DCA ⊥平面ACB ，OB OA OC OD ∴===，1OB ∴=，就是外接球的半径为1，此时三棱锥外接球的体积：43π．由题意，A ，B ，C ，D 均在外接球上，AC BC =BC AC ⊥，AB ∴为直径，1OB R ∴==， 1OD ∴=，过E 作OE AC ⊥，则2OE =， 1OD =，∴，∴三棱锥外接球的体积最小时，三棱锥的体积为1132⨯．故答案为：43π．三．解答题（共15小题）17．如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC∆折起，使点C 到达点P的位置，且PF BF⊥．（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．【解答】（1）证明：由题意，点E、F分别是AD、BC的中点，则12AE AD=，12BF BC=，由于四边形ABCD为正方形，所以EF BC⊥．由于PF BF⊥，EF PF F=，则BF⊥平面PEF．又因为BF⊂平面ABFD，所以：平面PEF⊥平面ABFD．（2）在平面PEF中，过P作PH EF⊥于点H，连接DH，由于EF为面ABCD和面PEF的交线，PH EF⊥，则PH⊥面ABFD，故PH DH⊥．在三棱锥P DEF-中，可以利用等体积法求PH，因为//DE BF且PF BF⊥，所以PF DE⊥，又因为PDF CDF∆≅∆，所以90FPD FCD∠=∠=︒，所以PF PD ⊥， 由于DEPD D =，则PF ⊥平面PDE ，故13F PDE PDE V PF S -∆=，因为//BF DA 且BF ⊥面PEF ， 所以DA ⊥面PEF ， 所以DE EP ⊥．设正方形边长为2a ，则2PD a =，DE a =在PDE ∆中，PE ，所以2PDE S ∆=，故3F PDE V -=， 又因为2122DEF S a a a ∆==，所以23F PDE V PH a -==，所以在PHD ∆中，sin PH PDH PD ∠=即PDH ∠为DP 与平面ABFD ．18．如图，在矩形ABCD 中，2,AB AD ==，ABPCDFEE ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把CDF ∆折起，点C 到达点P 的位置，使1PE =． （1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求二面角P DF E --的正弦值．【解答】证明：（1）E 、F 分别为AD ，BC 的中点，//EF AB ∴且DE ，在矩形ABCD 中，AD AB ⊥，AD EF ∴⊥，⋯⋯⋯⋯⋯（1分）由翻折的不变性，2,PD PF CF DE ====，DF =， 又1PE =，有222PD PE DE =+，DE PE ∴⊥，即AD PE ⊥，⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分） 又PEEF E =，PE ，EF ⊂平面PEF ，AD ∴⊥平面PEF ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分） AD ⊂平面ABFD ，∴平面PEF ⊥平面ABFD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分） 解：（2）过点P 作PH EF ⊥交EF 于H ，由平面垂直性质定理得PH ⊥平面ABFD ， 过点P 作PO DF ⊥交DF 于O ，连结OH ，则OH DF ⊥，POH ∴∠为二面角P DF E --的平面角．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分）222PE PF EF +=，90EPF ∴∠=︒，由等面积法求得7PH PO =．在直角POH ∆中，sin PH POH PO ∠==，即二面角P DF E --．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）19．如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，AB BC ==AD =E ，F 分别是线段AD ，CD 的中点．以EF 为折痕把DEF ∆折起，使点D 到达点P 的位置，G 为线段PB 的中点．（1）证明：平面//GAC 平面PEF ；（2）若平面PEF ⊥平面ABCFE ，求直线AG 与平面PAC 所成角的正弦值．【解答】（1）证明：连接CE ，由题意知，四边形ABCE 为正方形，连接BE 交AC 于O ，连接OG ，所以O 为BE 中点，又因为G 为PB 中点，所以//OG PE ，因为E ，F 分别为AD ，CD 中点，所以//AC EF ， 因为OGAC O =，PEEF E =，AC ，OG ⊂平面ACG ，PE EF ⊂平面PEF ，所以平面//GAC 平面PEF ．（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如下：(0A ，0)，C 0，0)，B0)，(2P 2，1)，G ，，1)2， 32(4AG =，324，1)2,(2AC =,2,0),2(2AP =，322，1),设平面PAC 的法向量为(n x =,y ,)z ,20202AC n x AP n x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令1y =-,(1n =,1-,所以直线AG 与平面PAC 所成角的正弦值为2||2||||10AG n AG n ⋅==⋅⋅20．已知D ，E 分别为边AB ，AC 上的一点，//DE BC 且||(01)||AD AB λλ=<<，如图所示，将ADE ∆沿DE 折起为△1A DE ，使A 点位于1A 点的位置，连接1A A ，1A B ，1A C ． （1）当12λ=时，记平面1A BC 与平面1A DE 的交线为l ，证明：1l AA ⊥； （2）若ABC ∆为直角三角形，2ABC π∠=，且将ADE ∆沿DE 折成直二面角，求当λ为何值时，平面1A BC与平面1A DE 所成的二面角为3π．【解答】解：（1）证明：当12λ=时，D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，ADE ∆沿DE 折起为△1A DE ，所以1||||||A D AD BD ==，所以190AA B ∠=︒，所以11AA A B ⊥， 又1||||||A E AE EC ==，同理可得11AA AC ⊥， 而111A BA C A =，且都在平面1A BC 内，所以1AA ⊥平面1A BC ， 又BC 在平面1A BC 内， 1AA BC ∴⊥，//DE BC ，BC 在平面1A BC 内，DE 不在1A BC 内， //DE ∴平面1A BC ，又平面1A BC 与平面1A DE 的交线为l ，//DE l ∴， //BC l ∴，1l AA ∴⊥；（2）90ABC ∠=︒，DE AB ⊥，∴以D 为坐标原点，DE ，DA ，1DA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设||1AB =，||2BC a =，则||AD λ=，故(0D ，0，0)，(0A ，λ，0)，(0B ，1λ-，0)，(2C a ，1λ-，0)，11(2,0,0),(0,0,),(2,0,0),(2,1,)E a A BC a AC a λλλλ==--， 设平面1A BC 的一个法向量为(,,)m x y z =，则1202(1)0m BC ax m AC ax y z λλ⎧==⎪⎨=+--=⎪⎩，可取(0,,1)1m λλ=-，设平面1A DE 的一个法向量为(0,1,0)n =， 平面1A BC 与平面1A DE 所成的二面角为3π，∴||||1cos 3||||2(m n m n λπλλ===， 22210λλ∴+-=，解得λ． 21．如图所示，等边三角形ABC 的边长为3，点D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，满足1AD =，DE AB ⊥．将ADE ∆沿DE 折起到△1A DE 的位置，使二面角1A DE B --为直二面角，连接1A B ，1A C ．（1）求二面角1C A B D --的余弦值；（2）线段1A E 上是否存在点P ，使得直线CP 与平面1A BC 所成的角为60︒？若存在，求出1A P 的长；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题可知，BD DE ⊥，1A D DE ⊥，二面角1A DE B --为直二面角，190A DB ∴∠=︒，即1A D BD ⊥，以D 为原点，DB 、DE 和1DA分别为x 、y 和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0D ，0，0)，(2B ，0，0)，1(2C ，0)，1(0A ，0，1)，(0E0)，∴1(2A B =，0，1)-，11(2AC =，1)-， 设平面1A BC 的法向量为(m x =，y，)z ，则1100m A B m A C ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即20102x z x y z -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩， 令1x =，则y ，2z =，∴(1m =，2)， BD DE ⊥，1A D DE ⊥，且1A D 、BD ⊂面1A BD ，1A DBD D=，DE ∴⊥面1A BD ，∴平面1A BD 的法向量为(0n =，1，0)，13cos ,||||4433m n m n m n ∴<>===⨯，二面角1C A B D --为锐二面角，故二面角1C A B D --的余弦值为14．（2）设线段1A E 上存在点(P x ，y ，)z 满足题意，且11([0,1])A P A E λλ=∈，则(x ，y ，1)(0z λ-=1)-，0x ∴=，y =，1z λ=-，即点(0P，1)λ-，∴1(2CP =-，-1)λ-， 由（1）知，平面1A BC 的法向量为(1m =，2)， 而CP 与平面1A BC 所成的角为60︒sin 60|cos CP ∴︒=<，12(1)2||||||||CP m m CP m λ-+-+->===，解得43λ=或8[05∉，1]，故不存在点P 满足题意．22．已知直角三角形ABC 中，6AC =，3BC =，90ABC ∠=︒，点D ，E 分别是边AC ，AB 上的动点（不含A 点），且满足AD AE =1)．将ADE ∆沿DE 折起，使得平面ADE ⊥平面BCDE ，连结AB 、AC （图2)．()I 求证：AD ⊥平面BCDE ；()II 求四棱锥A BCDE -体积的最大值．【解答】证明：()6I AC =，3BC =，90ABC ∠=︒，AB ∴=AD ABAE AC==， ADE ABC ∴∆∆∽，90ADE ABC ∴∠=∠=︒，即AD DE ⊥．平面ADE ⊥平面BCDE ，且平面⋂平面DE =，AD ⊆平面ADE ，AD ∴⊥平面BCDE ．解：()II 设DE x =，则2AE x =，AD =，)221392ABC ADE BCDE S S S x x ∆∆∴=-=⨯⨯=-四边形．)()2311199332A BCDE BCDE V S AD x x x -∴=⋅=-=-四边形，(0x <<．令333()9(0)2f x x x x=-<，则2()93f x x '=-，令()0f x '=得x =当0x <<时，()0f x '>x <<()0f x '<．()f x ∴在上单调递增，在上单调递减，∴当DE =，即AE =，3AD =时，四棱锥A BCDE -体积最大．此时12A BCDE V -=⨯=23．等边三角形ABC 的边长为3，点D ，、E 分别是边AB 、AC 上的点，且满足12AD CE DB EA ==．将ADE ∆沿DE 折起到△1A DE 的位置，使二面角1A DE B --成直二面角，连接1A B 、1A C ．（1）求证：1A D ⊥平面BCED ；（2）求1A E 与平面1A BC 所成角的正弦值．（3）在线段BC 上是否存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒？若存在，求出PB 的长；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：由题知在图1中，在ADE ∆中，1AD =，2AE =， 则2222cos 3DE AD AE AD AE A =+-=，即得：DE =，所以222AE AD DE =+， 即得90ADE ∠=︒，则在图2中，有1A D DE ⊥，BD DE ⊥， 二面角1A DE B --的平面角190A DB ∠=︒， 即得1A D BD ⊥，1A D BD ⊥，1A D DE ⊥，且BD ，DE ⊂平面BCDE ，BDDE D =，1A D ∴⊥平面BCED ．（2）解：由（1）知：1A D BD ⊥，1A D DE ⊥，BD DE ⊥， 所以以D 为空间直角坐标系的原点，以DB 、DE 、1DA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -．则(0D ，0，0)，1(0A ，0，1)，(0E 0)，(2B ，0，0)，1(2C ，∴3(2BC =-，1(2BA =-，0，1)，1(0A E =1)-， 令平面1A BC 的法向量为(,,)n x y z =，由130220n BC x y n BA xz ⎧=-+=⎪⎨⎪=-+=⎩，得(1n =，2)， 记1A E 与平面1A BC 所成角为θ， 则1sin |cos ,|14143nA E θ=<>==++． 1A E ∴与平面1A BC 所成角的正弦值为．（3）解：假设在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒． 令BP BC λ=，则113(2,,1)2PA BA BP λ=-=-，而平面1A BD 的一个法向量为(0m =，1，0)， 则由113||2||||PA m m PA =，解得56λ=， ∴在线段BC 上存在点P ，使得直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒，此时52PB =．24．如图1，ABC ∆是等腰直角三角形，AB AC ==，D ，E分别是AC ，AB 上的点，CD BE ==将ADE ∆沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-，使得A B A C ''==． （1）证明：平面A BC '⊥平面BCD ； （2）求A B '与平面A CD '所成角的余弦值．【解答】解：（1）证明：取BC 中点O ，连结OD ，OE ，A B AC '='，O 为BC 中点，AO BC ∴'⊥，132BO BC ∴==，A O '在OCD ∆中，2222cos 5OD CD OC CD OC OCD =+-∠=．OD ∴ 在△A OD '中，22235A O OD A D '+=+='，AO OD ∴'⊥，BCOD O =，AO ∴'⊥平面BCD ，AO '⊂平面A BC '，∴平面A BC '⊥平面BCD ．（2）解：以O 为原点，在平面BCDF 内过O 作BC 的垂线为x 轴，OB 为y 轴，OA '为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0A '，0，(0C ，3-，0)，(1D ，2-，0)，(0B ，3，0)，∴(0CA '=，3，(1DA '=-，2，设(n x =，y ，)z 是平面A CD '的法向量，则3020n CA y n DA x y ⎧'=+=⎪⎨'=-++=⎪⎩，令1x =，得(1n =，1-，(0A B '=，3，，设A B '与平面A CD '所成角为θ，则||sin ||||5n A B n A B θ'==='cos θ==A B '∴与平面A CD '．25．如图1，ABC ∆是等腰直角三角形32AB AC ==，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，2CD BE ==．将ADE ∆沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-，使得23A B A C '='=．（1）证明：平面A BC '⊥平面BCD ； （2）求A B '与平面A CD '所成角的正弦值．【解答】（1）证明：在图1中，易得3OC =，AC =，AD =， 连结OD ，OE ，在OCD ∆中，由余弦定理可得0cos45OD OC CD ，由翻折不变性可知2A D '=， 222A O OD A D ''∴+=，A O OD '∴⊥．同理可证A O OE '⊥， 又ODOE O =，A O '∴⊥平面BCDE ．∴平面A BC '⊥平面BCD ；（2）取DE 中点H ，则OH OB ⊥．以O 为坐标原点，OH 、OB 、OA '分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．则(0O ，0，0)，(0A '，0，(0C ，3-，0)，(1D ，2-，0)，(0B ，3，0)CA '=，(DA '=-．设平面A CD '的法向量为(n x =，y ，)z3020n CA y N DA x y ⎧'==⎪⎨'=-+=⎪⎩⇒(1,1,n =-，又(0,3,A B '=．cos ,n A B <'>==．A B ∴'与平面A CD '． 26．已知如图一Rt ABC ∆，4AC BC ==，90ACB ∠=︒，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，F 在BC 上，且3BF FC =，G 为DC 中点，将ADE ∆沿DE 折起，BEF ∆沿EF 折起，使得A ，B 重合于一点（如图二），设为P ，（1）求证：EG ⊥平面PDF ； （2）求二面角C PF E --的大小．【解答】（1）证明：如图一，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，所以DE DC ⊥，DE PD ⊥， 又2DE =，2225DF DC CF =+=，由3334BF FC CB ===，故3PF =，所以222PD DF PF +=，故PD DF ⊥， 又DEDF D =，DE ，DF ⊂平面DEFC ，所以PD ⊥平面DEFC ，又EG ⊂平面DEFC ，故EG PD ⊥，如图，以直线DE ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， (2E ，0，0)，(0C ，2，0)，(0P ，0，2)，(1F ，2，0)，(0G ，1，0)， (2,1,0),(1,2,0)EG DF =-=，220EG DF =-+=，故EG DF ⊥，又PD DF D =，DP ，DF ⊂平面PDF ，故EG ⊥平面PDF ；（2）解：设平面PCF 的法向量为(,,)m x y z =， (1,0,0),(1,2,2)CF FP ==--，由0220CF m x FP m x y z ⎧==⎪⎨=--+=⎪⎩，得(0,1,1)m =， 设平面PEF 的法向量为(,,)n a b c =， 则(1,2,0)EF =-，由20220EF n a b FP n a b c ⎧=-+=⎪⎨=--+=⎪⎩，得(2,1,2)n =， 由122cos ,223m n +<>==， 结合图象知二面角为钝角，故二面角C PF E --为135︒．27．等边ABC ∆的边长为3，点D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且满足2AE BDEC DA==（如图①)，将ADE ∆沿DE 折起到△1A DE 的位置，使二面角1A DE B --成直二面角，连接1A B ，1A C （如图②)． （1）求证：1A D ⊥平面BCED ；（2）在线段BC 上是否存在点P （不包括端点），使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒？若存在，求出1A P 的长，若不存在，请说明理由．x ⎰【解答】（1）证明：由题意可知11A D =，12A E =，60DAE ∠=︒，DE ∴= 22211A D DE A E ∴+=，1A D DE ∴⊥，二面角1A DE B --成直二面角，即平面1A DE ⊥平面BDE ，平面1A DE ⋂平面BDE DE =，1A D ∴⊥平面BCED ．（2）由（1）可知DE BD ⊥，以D 为原点，以DB ，DE ，1DA 为坐标轴建立空间坐标系D xyz -，如图所示，则(0D ，0，0)，(2B ，0，0)，1(0A ，0，1)，1(2C，0)，则3(2BC =-，0)，(2DB =，0，0)，令(01)BP BC λλ=<<，则3(22DP DB BP λ=+=-，0)，即3(22P λ-，0)，∴13(22A P λ=-，1)-， 由（1）知(0n =，1，0)为平面1A BD 的一个法向量，则111cos ,||||(2n A P n A P n A P <>===，解得56λ=，即13(4A P =，1)-，152A P∴=．∴线段BC上存在点P使得直线1PA与平面1A BD所成的角为60︒，且152A P=．28．等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足12AD CEDB EA==（如图1)．将ADE∆沿DE折起到△1A DE的位置，使二面角1A DE B--成直二面角，连结1A B、1A C（如图2)．（1）求证：1A D⊥平面BCED；（2）在线段BC上是否存在点P，使直线1PA与平面1A BD所成的角为60︒？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）正ABC∆的边长为3，且12AD CEDB EA==1AD∴=，2AE=，ADE∆中，60DAE∠=︒，由余弦定理，得DE ==2224AD DE AE +==，AD DE ∴⊥． 折叠后，仍有1A D DE ⊥二面角1A DE B --成直二面角，∴平面1A DE ⊥平面BCDE 又平面1A DE ⋂平面BCDE DE =，1A D ⊂平面1A DE ，1A D DE ⊥ 1A D ∴⊥平面BCED ；（2）假设在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒ 如图，作PH BD ⊥于点H ，连接1A H 、1A P 由（1）得1A D ⊥平面BCED ，而PH ⊂平面BCED 所以1A D PH ⊥1A D 、BD 是平面1A BD 内的相交直线，PH ∴⊥平面1A BD由此可得1PA H ∠是直线1PA 与平面1A BD 所成的角，即160PA H ∠=︒设(03)PB x x =，则cos602xBH PB =︒=，sin 60PH PB =︒在Rt △1PA H 中，160PA H ∠=︒，所以12xA H =，在Rt △1DA H 中，11A D =，122DH x =-由22211A D DH A H +=，得222111(2)()22x x +-=解之得52x =，满足03x 符合题意 所以在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒，此时52PB =．29．等边三角形ABC 的边长为3，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且满足12AD CE DB EA ==（如图1)．将ADE ∆沿DE 折起到△1A DE 的位置，使二面角1A DE B --成直二面角，连结1A B 、1A C （如图2)．（Ⅰ）求证：1A D ⊥平面BCED ； （Ⅱ）若点P 在线段BC 上，52PB =，求直线1PA 与平面1A BD 所成的角． 【解答】（Ⅰ）证明：因为等边ABC ∆的边长为3，且12AD CE DB EA ==， 所以1AD =，2AE =． 在ADE ∆中，60DAE ∠=︒，由余弦定理得DE 因为222AD DE AE +=，所以AD DE ⊥．折叠后有1A D DE ⊥．因为二面角1A DE B --是直二面角， 所以平面1A DE ⊥平面BCED ．又平面1A DE ⋂平面BCED DE =， 1A D ⊂平面1A DE ，1A D DE ⊥，所以1A D ⊥平面BCED ．（Ⅱ）解：假设在线段BC 上存在点P ， 使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒．如图， 作PH BD ⊥于点H ，连结1A H 、1A P ．由（Ⅰ）有1A D ⊥平面BCED ，而PH ⊂平面BCED ， 所以1PH A D ⊥．又1A DBD D =，所以PH ⊥平面1A BD ．所以1PA H ∠是直线1PA 与平面1A BD 所成的角．设PB x =，(03)x ，则2xBH =，PH x =．在Rt △1PA H 中，160PA H ∠=︒， 所以112A H x =，在Rt △1A DH 中，122DH x =-． 由22211A D DH A H +=，得222111(2)()22x x +-=．解得52x =，满足03x ，符合题意． 所以在线段BC 上存在点，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒，此时52PB =．30．如图，ABC ∆中，2AB =，1BC =，90ABC ∠=︒，D ，E 分别为AB ，AC 上的点，//DE BC ，将ADE ∆沿DE 折到△A DE '的位置，使平面A DE '⊥平面BCED ．（1）当D 为AB 的中点时，设平面A BC '与平面A DE '所成的二面角的平面角为(0)2παα<<，直线A C '与平面A DE '所成角为β，求tan()αβ+的值；（2）当D 点在AB 边上运动时，求四棱锥A BCED '-体积的最大值．【解答】解：（1）作CF DE ⊥于F ，连接A F '，则CF ⊥平面A DE '， CA F β∴∠'=，在矩形BCFD 中，1CF BD ==，1DF BC ==， 在Rt △A DF '中，A F '=，tan CF A F β=='， 作//A P DE '，//DE BC ，//A P BC ∴'，平面A BC '⋂平面A DE A P '='，A P A D '⊥'，A P A B '⊥'，4BA D πα∴∠'==，1tan(3αβ+∴+=+ （2）设A D x '=，(0,2)x ∈，则2xDE =，2BD x =-， ∴四棱锥A BCED '-体积3(1)(2)1423212xx x x V x +--==， 24312xV -∴'=， 令0V '=，可得x =递增，在，2)递减，x ∴时，四棱锥A BCED '-． 31．等边三角形ABC 的边长为3，点D 、E 分别是边AB 、AC上的点，且满足12AD CE DB EA ==（如图1)．将ADE ∆沿DE 折起到△1A DE 的位置，使二面角1A DE B --成直二面角，连结1A B 、1A C （如图2)．（Ⅰ）求证：1A D ⊥平面:BCED（Ⅱ）在线段BC 上是否存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD ？若存在，求出PB 的长，若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：等边ABC ∆的边长为3，且12AD CE DB EA ==，1AD ∴=，2AE =， 在ADE ∆中，60DAE ∠=︒，由余弦定理得DE222AD DE AE +=，AD DE ∴⊥，拆叠后有1A D DE ⊥，二面角1A DE B --是直二面角，∴平面1A DE ⊥平面BCED ，又平面1A DE ⋂平面BCED DE =，1A D ⊂平面1A DE ，1A D DE ⊥，1A D ∴⊥平面BCED ．（Ⅱ）解：假设在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD ， 如图，作PH BD ⊥于点H ，连结1A H ，1A P ， 由（Ⅰ）有1A D ⊥平面BCDE ，PH ⊂平面BCED ，1A D PH ∴⊥，又1A DBD D =，PH ∴⊥平面1A BD ，1PA H ∴∠是直线1PA 与平面1A BD 所成的角，直线1PA 与平面1A BD ， 160PA H ∴∠=︒，设(03)PB x x =，则2xBH =，PH =，在Rt △1PA H 中，160PA H ∠=︒，∴112A H x =，在Rt △1A DH 中，111,22A D DH x ==-，由22211A D DH A H +=，得222111(2)()22x x +-=，解得52x =，满足03x ，符合题意，∴在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD ， 此时52PB =．。
