吉林省吉林市2019届高三上学期第一次调研测试 数学理科(精品解析)

吉林市普通中学2017—2018学年度高中毕业班第一次调研测试理科数学本试卷共22小题，共150分，共4页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案 无效。

4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。

1. 已知集合{0,1,2},{|11,}M N x x x Z ==-≤≤∈，则 A. M N ⊆ B. N M ⊆C.{0,1}M N = D. M N N =2. 函数()sin()(0)6f x x πωω=+>的最小正周期为π，则()3f π的值是A.12B.12-C.D. 3. 若函数同时满足下列两个条件，则称函数为“M 函数”：（1）定义域为R 的奇函数；（2）对12,x x R ∀∈，且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-.有下列函数：①()1f x x =+；②3()2f x x =；③1()f x x=；④sin y x =其中为“M 函数”的是 A ．①B ．②C ．③D ．④4. 如果平面向量(2,0),(1,1)a b ==，那么下列结论中正确的是A. ||||a b =B. 22a b =C. ()a b b -⊥D. a ∥b5. 设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n =A ．6B ．7C ．10D ．96. 已知,a b 是不共线的向量，,(,),AB a b AC a b R λμλμ=+=+∈若,,A B C 三点共线,则,λμ的关系一定成立的是A ．2λμ+=B ．1λμ-=C ．1λμ=-D ．1λμ=7. 已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[1,0]-，则a b +=A. 32-B.52C. 2D. 32-或1 8. 在ABC ∆中，已知32,4b c a A ===，则ABC ∆的面积是 A ．B ．C ．165D ．459. 函数5x y x xe =-在区间(3,3)-上的图像大致是10. 如图，在ABC ∆中，0AB BC =, 1,30BC BAC =∠=︒, BC 边上有10个不同点1210,,,P P P , 记i i m AB AP = (1,2,,10)i =， 则1210m m m +++=A.B. 10C. D. 3011. 已知数列{}n a 满足1233n a n =+，若从{}n a 中提取一个公比为q 的等比数列{}n k a ， 其中11,k =且12,*n n k k k k N <<<∈，则公比q 的最小值为A.43B.53C. 2D.7312. 在ABC ∆中，1AC CB =-，则sinA sinB 的取值范围是A.B. 31[,]44-C. 31(,]44-D. 3(0,]41210二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13. 设函数2log ,0()4,xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则[(1)]f f -= .14. 向量(cos10,sin10),(cos70,sin70)a b =︒︒=︒︒，|2|a b -= ．15.为：(1)(2)1,()(1)(2)(2,*)F F F n F n F n n n N ===-+->∈，若此数列每项被416. 已知函数()f x 的定义域为D ，若对于任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使 得12()()2f x f x A +=成立，则称()f x 在D 上的算术平均数为A ，已知函数()1,[0,2]g x x x =+∈，则()g x 在区间[0,2]上的算术平均数是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知{}n a 是等比数列，满足13a =，424a =，数列{}n n a b +是首项为4，公差为1的等差数列． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和．18．（12分）海上某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75︒，距离为在A 处看灯塔C在货轮的北偏西30︒，距离为货轮向正北由A 处行驶到D 处时看灯塔B 在货轮的北偏东120︒. （1）画出示意图并求A 处与D 处之间的距离；（2）求灯塔C 与D 处之间的距离.19．（12分） 已知02παβπ<<<<，且51sin(),tan 1322ααβ+==．（1）求cos α的值；（2）证明：12sin 13β>．20．（12分）已知()1xf x x =+，数列{}n a 满足111,()(*)n n a a f a n N +==∈（1）求证：1{}na 是等差数列； （2）设2nn nb a =，求{}n b 的前n 项和n S21．（12分） 已知函数()x f x e mx n =--(,)m n R ∈（1）若函数()f x 在0x =处的切线过点(1,0)，求m n +的值；（2）当0n =时，若函数()f x 在R 上没有零点，求m 的取值范围.22．（12分）设函数()ln ,()(2)2()2f x x g x a x f x a ==--+- （1）当1a =时，求函数()g x 的单调区间； （2）设()|()|(0)1bF x f x b x =+>+，对任意1212,(0,2],,x x x x ∈≠都有 1212()()1F x F x x x -<--，求实数b 的取值范围.吉林市普通中学2017—2018学年度高中毕业班第一次调研测试理科数学参考答案与评分标准一、选择题：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CABCBDAABDCD二、填空题： 13. -2;14.15. 1 ;16. 2三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ．由题意，得3418a q a ==，2q =．所以11132n n n a a q --==⋅(1,2,)n =．……………3分又数列{}n n a b +是首项为4，公差为1的等差数列， 所以4(1)1n n a b n +=+-⋅．从而1(3)32n n b n -=+-⨯(1,2,)n =．……………5分（2）由（Ⅰ）知1(3)32n n b n -=+-⨯(1,2,)n =数列{3}n +的前n 项和为(7)2n n +． ……………7分数列1{32}n -⋅的前n 项和为3(12)32312n n -=⨯--． ……………9分所以，数列{}n b 的前n 项和为(7)3232n n n +-⨯+． ………10分18．（12分）解：由题意画出示意图，如图所示.-----------------2分 （1）ABD ∆中，由题意得60,45ADB B ∠=︒∠=︒， 由正弦定理得sin4524sin60AB AD ︒==︒(海里). -------7分（2）在ACD ∆中，由余弦定理，22222232cos3024224832CD AD AC AD AC =+-⨯︒=+-⨯⨯=⨯ 故CD =(海里).所以A 处与D 处之间的距离为24海里；灯塔C 与D 处之间的距离为. --12分 19．（12分）解：（1）因为1tan 22α=，所以22tan42tan 31tan 2ααα==- ----------------------3分所以22sin 4,(0,)cos 32sin cos 1απαααα⎧=⎪∈⎨⎪+=⎩， 解得3cos 5α= ------------------------------------6分 另解：22222222221cos sin 1tan 1()32222cos cos sin 1225cos sin 1tan 1()2222ααααααααα---=-====+++（2）由已知得322ππαβ<+<，又5sin(),13αβ+=所以12cos()13αβ+=- -----------------------------------8分又4sin 5α== ------------------------9分sin sin[()]sin()cos cos()sin βαβααβααβα=+-=+-+531246312()1341556513=⨯--⨯=> -----------------------12分20．（12分）解：(1)由已知得1111111(),1,11n n n n n n n na a f a a a a a a +++==∴=+∴-=+ ---------------4分 ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公差为1的等差数列． --------------------------------------------6分 （2）因为111a =，所以111(1)1,n n n n a a n=+-⨯=∴= --------------------------------8分 2n n b n =⨯231222322n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯ （1）234121222322n n S n +=⨯+⨯+⨯++⨯（2） ---------------------------------10分（2）-（1）：23122222n n n S n +=-----+⨯ -------------------------------------------11分12(12)212n n n +-=-+⨯- 1112222(2)2n n n n n +++=-+⨯=+-⨯即：12(2)2n n S n +=+-⨯ ------------------------------------------------12分21．（12分）解：（1）(),(0)1x f x e m k f m ''=-==- ------------------------------------------2分 因为(0)1,f n =-所以切点为(0,1)n - ------------------------------------------3分 所以切线方程为(1)(1)(0)y n m x --=--， ------------------------------------------5分 过点(1,0)，所以(1)1,2n m m n --=-+= -------------------------------------------6分 （2）当0n =时，()x f x e mx =-无零点, 方程x e mx =函数,x y e y mx ==无公共点 ---------------------------8分如图,当两函数图象相切时,设切点为00(,)xx e0(),x x x y e e k e ''===所以切线方程为000()x xy e e x x -=-, ------------------10分过点(0,0),0000,1x xe e x x -=-=此时0x m e e ==,所以[0,)m e ∈ --------------------------------------12分 22．（12分） 解：（1）当1a =时，()2ln 1,g x x x =--定义域为(0,)+∞22()1x g x x x-'=-=-------------------------------------------------3分 当(0,2)x ∈时，()0,()g x g x '<单调递减 当(2,)x ∈+∞时，()0,()g x g x '>单调递增综上，()g x 的递减区间是(0,2)，递增区间是(2,)+∞ ---------------------------------5分（2）由已知1211221212()()()[()]10,0F x F x F x x F x x x x x x -+-++<<--设()()G x F x x =+，则()G x 在(0,2]上单调递减 --------------------------------7分 ①当[1,2]x ∈时，()ln 0f x x =≥，所以21()ln ,()101(1)b bG x x x G x x x x '=++=-+≤++整理：222(1)1(1)33x b x x x x x+≥++=+++设21()33,h x x x x =+++则21()230h x x x'=+->在(1,2)上恒成立，所以()h x 在[1,2]上单调递增，所以()h x 最大值是27(2)2h =，272b ≥ ---------------10分②当(0,1]x ∈时，()ln 0f x x =≤所以21()ln ,()101(1)b bG x x x G x x x x '=-++=--+≤++整理：222(1)1(1)1x b x x x x x+≥-++=+--设21()1,m x x x x =+--则21()210m x x x'=++>在(0,1]上恒成立，所以()m x 在(0,1]上单调递增，所以()m x 最大值是(1)0,0m b =≥综上，由①②得：272b ≥ --------------------12分。

2019年11月份高三联考数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】求解对数不等式可得：，求解一元二次不等式可得：，则：，，.本题选择D选项.2. 已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得：，结合向量平行的充要条件有：,求解关于实数的方程可得：.本题选择C选项.3. （）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：本题选择A选项.4. 已知，且，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由向量垂直的充要条件有：，则：，结合向量的夹角公式有：，据此可得：向量与的夹角为.本题选择B选项.5. 已知函数，给出下列两个命题：命题若，则；命题.则下列叙述错误的是（）A. 是假命题B. 的否命题是：若，则C.D. 是真命题【答案】D【解析】由函数的解析式可得函数的定义域为，且导函数：，则函数单调递增，据此可得命题是假命题，命题是真命题，是假命题.结合特称命题与全称命题的关系可得：的否命题是：若，则，：.本题选择D选项.6. 已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意结合诱导公式可得：，据此可得：，结合同角三角函数基本关系可得：，，利用二倍角公式可得：.本题选择B选项.点睛：三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)7. 设是定义在上的函数，它的图象关于点对称，当时，（为自然对数的底数），则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数图象关于点对称，则对于任意的实数，有：.据此可得：.本题选择D选项.8. 已知函数的零点为，设，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】指数函数和一次函数都是定义在上的单调递减函数，则函数是定义在上的单调递减函数，且：，结合函数零点存在定理可得：，据此可得：，则：.本题选择C选项.点睛：实数比较大小：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．9. 函数的部分图象可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】显然函数是偶函数，故A、D错误，当时，，所以，，又，所以，故选C.10. 已知函数（且），则“在上是单调函数”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】很明显函数和函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.函数有意义，则：恒成立，即：.结合复合函数的单调性可得当时，函数在定义域内单调递减；当时，函数在定义域内单调递增，即若在上是单调函数，则或，“在上是单调函数”是“”的必要不充分条件.本题选择B选项.点睛：复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．11. 已知表示正整数的所有因数中最大的奇数，例如：的因数有，则的因数有，则，那么的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由的定义知，且若为奇数则则选D12. 已知，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，易得与互为反函数与关于直线对称原命题等价于在上恒成立.记，记，同理可得，综上的最大值为，故选A. 【点睛】本题的关键步骤有：观察发现与互为反函数；将原命题等价转化为在上恒成立；利用导数工具求的最小值，从而求得；第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知各项均为正数的等比数列的公比为，则__________.【答案】【解析】很明显数列的公比为正数，由题意可得：，则：，整理可得：，结合可得：.14. 若向量与满足，且，则向量在方向上的投影为__________.【答案】【解析】设向量与向量的夹角为，利用向量垂直的充要条件有：,即：，据此可得：向量在方向上的投影为.15. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则__________.【答案】【解析】函数的解析式：据此可得：，则：，结合三角函数的性质可得：，令可得：，故：，.........................16. 在中，，边的中点为，则__________.【答案】【解析】如图所示，作于点，则：，则：.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等比数列的前项和为为等差数列，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】(1)即，.(2).【解析】试题分析：(1)分类讨论和两种情况可得数列的通项公式为，据此计算可得；(2)结合数列的通项公式错位相减可得数列的前项和.试题解析：（1）当时，，当时，，即，所以是以为首项，为公比的等比数列，即，又，所以.（2）因为，所以，①，②由①-②得，所以.18. 设函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）当时，求的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)由题意结合三角函数的周期可得，结合，则，函数的解析式为.(2)由函数的定义域可得，则函数的值域为.试题解析：（1）由图象知，即.又，所以，因此.又因为点，所以，即，又，所以，即.（2）当时，，所以，从而有.19. 在中，内角的对边分别为.已知.（1）求的值；（2）若，求的面积.【答案】(1)；(2)3.【解析】试题分析：（1）利用正弦定理化简条件，统一为边，再结合余弦定理可求出（2）根据及余弦定理可求出c,根据同角三角函数关系求,利用面积公式求解.试题解析：（1）因为，所以，即.所以.（2）因为，由（1）知，所以.由余弦定理可得，整理得，解得，因为，所以，所以的面积.20. 已知函数.（1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；（2）设函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)由函数的解析式可得在上单调递增，则的取值范围是；(2)原问题等价于存在，使不等式成立.构造新函数，结合函数的性质可得实数的取值范围为.试题解析：（1）由得，在上单调递增，，的取值范围是.（2）存在，使不等式成立，存在，使不等式成立.令，从而，，，在上单调递增，.实数的取值范围为.21. 在中，是边的一个三等分点（靠近点），记.（1）求的大小；（2）当取最大值时，求的值.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析; （1）由，可得，整理得.又，所以，即.（2）设，，，则，.由正弦定理得，.又，由，得.因为，所以.因为，所以.所以当，即时，取得最大值，由此可得，.试题解析：（1）因为，所以，即，整理得.又，所以，即.（2）设，，，则，.由正弦定理得，.又，由，得.因为，所以.因为，所以.所以当，即时，取得最大值，此时，所以，.【点睛】本题考查正弦定理、勾股定理，求角转化为求角的某个三角函数值，以及基本不等式求最值问题等，其中着重考查化简、变形能力．22. 已知函数的图象在处的切线过点.（1）若，求函数的极值点；（2）设是函数的两个极值点，若，证明：.（提示）【答案】(1)或；(2)证明见解析.【解析】试题分析：由题意结合导函数与原函数切线的关系可得.(1)由题意可得，利用导函数研究函数的极值可得的极值点为或.(2)由导函数的性质可得是函数的极大值，是函数的极小值，据此构造函数，据此可知，则函数在上单调递减，据此可得.试题解析：，又，曲线在处的切线过点，，得.（1），令，得，解得或的极值点为或.（2）是方程的两个根，，，是函数的极大值，是函数的极小值，要证，只需，，令，则，设，则，函数在上单调递减，，.点睛：应用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f′(x)>0（或f′(x)<0）仅是f(x)在某个区间上递增（或递减）的充分条件。

适用精选文件资料分享吉林省实验中学2019 届高三数学上学期期中试题（理科附解析）2019 届吉林省实验中学高三上学期期中考试数学（理）试卷数学注意事项： 1 ．答题前，先将自己的姓名、准考据号填写在试题卷和答题卡上，并将准考据号条形码粘贴在答题卡上的指定地点。

2 ．选择题的作答：每题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、稿本纸和答题卡上的非答题地域均无效。

3．非选择题的作答：用署名笔挺接答在答题卡上对应的答题地域内。

写在试题卷、稿本纸和答题卡上的非答题地域均无效。

4 ．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单项选择题 1 ．，则用区间可表示为 A ． B． C． D． 2 ．已知向量，，若，则实数的值为 A ． B ． C． D． 3 ．等差数列 {an} 中， a1+a5=14，a4=10，则数列{an} 的公差为 A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 4 ．若，且为第二象限角，则 A ． B ． C． D． 5 ．在正项等比数列 {an} 中，若 a1=2，a3=8,数列 {an} 的前 n 项和为，则 S6 的值为 A ．62 B．64 C．126 D． 128 6．函数的零点个数为 A．0 个 B．1 个 C．2 个 D． 3 个 7．设可导函数在 R上图像连续且存在独一极值，若在 x＝2 处，f(x) 存在极大值，则以下判断正确的选项是 A． . B ． . C ． . D ． .8．A ．B． C．D ．9 ．函数的最小正周期为 A ．B．C．D．10 ．在中， ( ) A． B． C． D． 11 ．设偶函数满足，且当时，，则在上的单调性为 A ．递加 B ．递减 C．先增后减 D．先减后增 12 ．恒建立，则以下各式恒建立的是 A ． B ． C． D ．二、填空题 13 ．已知向量，则的夹角余弦值为________．14．在△ABC中，若，则＝______. 15．若 f(x) ＝ x3 －f ′(1)x2 ＋ x＋，则在（ 1，f(1) ）处曲线的切线方程是______ 16．：；.此中真命题的序号为 ___三、解答题17 ．已知等差数列满足。

吉林省实验中学2019届高三数学上学期期中试题（理科附
解析）
5
c
②得；
即
又；得，
∴数列是以为首项， 2为比的等比数列
∴
（2）∵ ，，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查数列的前n项和与数列的通项的关系及裂项法求和，属于中档题。

在运用数列的前n项和与数列的通项的关系求数列的通项时，比较容易忘记关系式中的条，即求出通项后，一定要验证n=1 时，通项式是否也成立。

20．（1）函数的极小值为；（2）。

【解析】
【分析】
（1）对函数求导并求导函数的零点，讨论函数单调性，确定极小值点，并求得极值。

（2）结合（1）的结果“方程在区间上有唯一实数解”即为，解不等式即可。

【详解】
（1）依题意知的定义域为。

，
所以函数的极小值为。

（2）由（1）得。