2019高考数学二轮复习课时跟踪检测(五)“专题一”补短增分(综合练)理(1)

课时跟踪检测（二十六） “专题六”补短增分（综合练）A 组——易错清零练1.(2018·山东日照联考)已知函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x ＋a 是奇函数,则实数a 的值为( )A.1B.－1C.1或－1D.4解析:选B 由题意知f (－x )＝－f (x )恒成立,则ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 1－x ＋a ＝－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x ＋a ,即－2x1－x＋a ＝12x 1＋x ＋a ,解得a ＝－1.故选B. 2.已知f (x )是奇函数,且f (2－x )＝f (x ),当x ∈(2,3)时,f (x )＝log 2(x －1),则当x ∈(1,2)时,f (x )＝( )A.－log 2(4－x )B.log 2(4－x )C.－log 2(3－x )D.log 2(3－x )解析:选 C 依题意得f (x ＋2)＝f (－x )＝－f (x ),f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x ).当x ∈(1,2)时,x －4∈(－3,－2),－(x －4)∈(2,3),故f (x )＝f (x －4)＝－f (4－x )＝－log 2(4－x －1)＝－log 2(3－x ),选C.3.已知函数f (x )为R 上的奇函数,且当x ≥0时,f (x )＝－e x＋e －x－m cos x ,记a ＝－2f (－2),b ＝－f (－1),c ＝3f (3),则a ,b ,c 的大小关系是( )A.b <a <cB.a <c <bC.c <b <aD.c <a <b解析:选D 因为函数f (x )为R 上的奇函数,所以f (0)＝－m ＝0,即m ＝0. 设g (x )＝xf (x ),则g (x )为R 上的偶函数. 当x ≥0时,f (x )＝－e x ＋e －x ,g (x )＝x (－e x ＋e －x), 则g ′(x )＝－e x＋e －x＋x (－e x －e －x)≤0, 所以g (x )在[0,＋∞)上单调递减.又a ＝g (－2)＝g (2),b ＝g (－1)＝g (1),c ＝g (3), 所以c <a <b .故选D.4.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋x ，|log 4x x，若关于x 的方程f 2(x )－(a ＋2)f (x )＋3＝0恰好有六个不同的实数解,则实数a 的取值范围为( )A.(－23－2,23－2)B.⎝⎛⎦⎥⎤23－2，32C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ D.(23－2,＋∞)解析:选B 由题意可知,当x ≤0时,1<f (x )≤2,f (x )单调递增；当x >0时,f (x )≥0,f (x )在(0,1]上单调递减,在[1,＋∞)上单调递增.作出函数f (x )的图象,如图所示.设t ＝f (x ),则关于t 的方程t 2－(a ＋2)t ＋3＝0有两个不同的实数根,且t ∈(1,2].令g (t )＝t 2－(a ＋2)t ＋3,则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a ＋2－12>0，g ＝1－a ＋＋3>0，g ＝4－a ＋＋3≥0，1<a ＋22<2，解得23－2<a ≤32,故选B.5.(2018·陕西模拟)已知函数f (x )＝e x－1,g (x )＝－x 2＋4x －3,若存在f (a )＝g (b ),则实数b 的取值范围为( )A.[1,3]B.(1,3)C.[2－2,2＋2]D.(2－2,2＋2)解析:选D 函数f (x )＝e x－1的值域为(－1,＋∞),g (x )＝－x 2＋4x －3的值域为(－∞,1],若存在f (a )＝g (b ),则需g (b )>－1,－b 2＋4b －3>－1,∴b 2－4b ＋2<0,∴2－2<b <2＋ 2.B 组——方法技巧练1.(2018·湖北八校模拟)已知函数f (x )＝e －x＋log 31x,若实数x 0是方程f (x )＝0的解,且x 1>x 0,则f (x 1)的值( )A.等于0B.不大于0C.恒为正值D.恒为负值解析:选D 由题意得f (x )＝e －x＋log 31x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x －log 3x ,方程f (x )＝0,即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x －log 3x ＝0.则x 0为g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 与h (x )＝log 3x 图象的交点的横坐标,画出函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x与h (x )＝log 3x 的图象(图略),可知当x 1>x 0时,g (x )>h (x ),f (x 1)＝g (x )－h (x )<0,故选D.2.(2018·昆明检测)已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数,且f (x )在(－∞,0)上是减函数,f (2)＝0,g (x )＝f (x ＋2),则不等式xg (x )≤0的解集是( )A.(－∞,－2]∪[2,＋∞)B.[－4,－2]∪[0,＋∞)C.(－∞,－4]∪[－2,＋∞)D.(－∞,－4]∪[0,＋∞)解析:选C 依题意,画出函数的大致图象如图所示,实线部分为g (x )的草图,则xg (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，g x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，g x ，由图可得xg (x )≤0的解集为(－∞,－4]∪[－2,＋∞).3.(2018·广西三市联考)已知函数f (x )＝e x(x －b )(b ∈R).若存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2,使得f (x )＋xf ′(x )＞0,则实数b 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，83 B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，56C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，56D.⎝ ⎛⎭⎪⎫83，＋∞ 解析:选A 由f (x )＋xf ′(x )＞0,得[xf (x )]′＞0,设g (x )＝xf (x )＝e x(x 2－bx ),若存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2,使得f (x )＋xf ′(x )＞0,则函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上存在子区间使得g ′(x )＞0成立.g ′(x )＝e x(x 2－bx )＋e x (2x －b )＝e x [x 2＋(2－b )x －b ],设h (x )＝x 2＋(2－b )x －b ,则h (2)＞0或h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＞0,即8－3b ＞0或54－32b ＞0,得b ＜83.4.函数y ＝f (x )图象上不同两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)处的切线的斜率分别为k A ,k B ,规定K (A ,B )＝|k A －k B ||AB |(|AB |为线段AB 的长度)叫做曲线y ＝f (x )在点A 与点B 之间的“近似曲率”.设曲线y ＝1x上两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，1a ,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，a (a >0且a ≠1),若m ·K (A ,B )>1恒成立,则实数m的取值范围是________.解析:因为y ′＝－ 1x 2,所以k A ＝－1a2,k B ＝－a 2,又|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －a 2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a －a , 所以K (A ,B )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－1a 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a －a ＝1a＋a 2>2,1K A ，B <22,所以由m >1K A ，B 得,m ≥22.答案:⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ 5.(2018·山东烟台期中)已知函数f (x )＝a ln x ＋2x ＋3x ＋1(a ∈R).(1)若f (x )在x ＝2处取得极小值,求a 的值；(2)若f (x )存在单调递减区间,求a 的取值范围. 解:(1)由题意可知f (x )＝a ln x ＋1x ＋1＋2,x ∈(0,＋∞), 则f ′(x )＝a x －1x ＋2＝ax 2＋a －x ＋ax x ＋2,x ∈(0,＋∞).因为f (x )在x ＝2处取得极小值,所以f ′(2)＝0,即4a ＋4a －2＋a ＝0,解得a ＝29.经检验a ＝29时,符合题意.故a 的值为29.(2)f ′(x )＝a x －1x ＋2＝ax 2＋a －x ＋ax x ＋2,x ∈(0,＋∞).由f (x )存在单调递减区间,得当x >0时,f ′(x )<0有解,即当x >0时,ax 2＋(2a －1)x ＋a <0有解,即当x >0时,a <x x 2＋2x ＋1有解,问题等价于a <⎝ ⎛⎭⎪⎫x x 2＋2x ＋1max,x >0.因为xx 2＋2x ＋1＝1x ＋2＋1x≤14, 当且仅当x ＝1时取等号,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x x 2＋2x ＋1max ＝14.故a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，14. 6.(2018·成都模拟)已知函数f (x )＝e x,其中e ＝2.718 28…为自然对数的底数. (1)若曲线y ＝f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线方程为y ＝kx ＋b ,求k －b 的最小值； (2)当常数m ∈(2,＋∞)时,若函数g (x )＝(x －1)f (x )－mx 2＋2在[0,＋∞)上有两个零点x 1,x 2(x 1<x 2),证明:x 1＋ln 4e<x 2<m .解:(1)∵曲线y ＝f (x )在点P (x 0,e x 0)处的切线的方程为y －e x 0＝e x 0(x －x 0),即y ＝e x 0x －x 0e x 0＋e x 0,∴k ＝e x 0,b ＝－x 0e x 0＋e x 0,∴k －b ＝x 0e x 0.设H (x )＝x e x ,则H ′(x )＝(x ＋1)e x,由H ′(x )＝0,解得x ＝－1. 当x >－1时,H ′(x )>0,∴H (x )在(－1,＋∞)上单调递增； 当x <－1时,H ′(x )<0,∴H (x )在(－∞,－1)上单调递减. ∴H (x )的极小值为H (－1)＝－1e ,∴k －b 的最小值为－1e .(2)g (x )＝(x －1)e x－mx 2＋2.由m >2,x ≥0,g ′(x )＝x (e x－2m )＝0, 解得x ＝0或x ＝ln 2m . ∴当x >ln 2m 时,g ′(x )>0, ∴g (x )在(ln 2m ,＋∞)上单调递增； 当0≤x <ln 2m 时,g ′(x )≤0, ∴g (x )在[0,ln 2m )上单调递减, ∴g (x )的极小值为g (ln 2m ).∵g (1)＝2－m <0,ln 2m >ln 4>1,∴g (ln 2m )<0. 又g (0)＝1>0,g (1)＝2－m <0, ∴∃x 1∈(0,1),使得g (x 1)＝0. 易知当x →＋∞时,g (x )→＋∞, ∴∃x 2∈(ln 2m ,＋∞),使得g (x 2)＝0, ∴x 2>ln 2m >ln 4,∴x 2－x 1>ln 4－1＝ln 4e ,即x 2>x 1＋ln 4e.易知m >ln 2m ,当x ＝m 时,g (m )＝(m －1)e m －m 3＋2,m >2. 令u (x )＝(x －1)e x －x 3＋2,x >2, ∴u ′(x )＝x e x －3x 2＝x (e x－3x ).令G (x )＝e x －3x ,∴当x >2时,G ′(x )＝e x－3>0, ∴G (x )在(2,＋∞)上单调递增, ∴G (x )>G (2)＝e 2－6>0,∴u ′(x )>0在(2,＋∞)上恒成立,∴u (x )>u (2)＝e 2－6>0,∴当m >2时,g (m )>0. 又g (x 2)＝0,g (x )在(ln 2m ,＋∞)上单调递增, ∴m >x 2.故x 1＋ln 4e<x 2<m 成立.C 组——创新应用练1.(2018·辽宁五校联考)若a 在[1,6]上随机取值,则函数y ＝x 2＋ax在区间[2,＋∞)上单调递增的概率是( )A.15B.25C.35D.45解析:选C ∵函数y ＝x 2＋a x ＝x ＋ax 在区间(0,a )上单调递减,在区间(a ,＋∞)上单调递增.要使函数y ＝x 2＋ax在区间[2,＋∞)上单调递增,则a ≤2,得1≤a ≤4,又∵1≤a ≤6,∴P (1≤a ≤4)＝4－16－1＝35,故选C.2.某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系可用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)表示为( )A.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310C.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410D.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510解析:选B 法一:取特殊值法,若x ＝56,y ＝5,排除C 、D,若x ＝57,y ＝6,排除A,故选B. 法二:设x ＝10m ＋n (0≤n ≤9),当0≤n ≤6时,⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋n ＋310＝m ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10,当6<n ≤9时,⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋n ＋310＝m ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10＋1,故选B.3.(2018·陕西模拟)对于使f (x )≤M 成立的所有常数M ,我们把M 的最小值称为f (x )的上确界,若a ,b ∈(0,＋∞)且a ＋b ＝1,则－12a －2b的上确界为( )A.－92B.92C.14D.－4解析:选A ∵a ＋b ＝1,∴－12a －2b ＝－a ＋b 2a －2a ＋2b b ＝－52－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a ＋2a b ,∵a >0,b >0,∴b 2a＋2a b ≥2,当且仅当b ＝2a 时取等号,∴－12a －2b ≤－52－2＝－92,∴－12a －2b 的上确界为－92,故选A.4.(2018·郑州模拟)数学上称函数y ＝kx ＋b (k ,b ∈R,k ≠0)为线性函数.对于非线性可导函数f (x ),在点x 0附近一点x 的函数值f (x ),可以用如下方法求其近似代替值:f (x )≈f (x 0)＋f ′(x 0)(x －x 0).利用这一方法,m ＝ 4.001的近似代替值( )A.大于mB.小于mC.等于mD.与m 的大小关系无法确定解析:选A 依题意,取f (x )＝x ,则f ′(x )＝12x ,则有x ≈x 0＋12x 0(x －x 0).令x ＝4.001,x 0＝4,则有 4.001≈2＋14×0.001,注意到⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋14×0.0012＝4＋0.001＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14×0.0012>4.001,即m ＝ 4.001的近似代替值大于m ,故选A.5.(2018·陕西模拟)对于函数f (x )和g (x ),设α∈{x |f (x )＝0},β∈{x |g (x )＝0},若存在α,β,使得|α－β|≤1,则称f (x )与g (x )互为“零点相邻函数”.若函数f (x )＝e x －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”,则实数a 的取值范围是( )A.[2,4]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，73C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，3 D.[2,3]解析:选 D ∵f ′(x )＝ex －1＋1>0,∴f (x )＝ex －1＋x －2是增函数,又f (1)＝0,∴函数f (x )的零点为x ＝1,∴α＝1,∴|1－β|≤1,∴0≤β≤2,∴函数g (x )＝x 2－ax －a ＋3在区间[0,2]上有零点,由g (x )＝0得a ＝x 2＋3x ＋1(0≤x ≤2),即a ＝x ＋2－x ＋＋4x ＋1＝(x＋1)＋4x ＋1－2(0≤x ≤2),设x ＋1＝t (1≤t ≤3),则a ＝t ＋4t －2(1≤t ≤3),令h (t )＝t ＋4t－2(1≤t ≤3),易知h (t )在区间[1,2)上是减函数,在区间(2,3]上是增函数,∴2≤h (t )≤3,即2≤a ≤3,故选D.6.设函数f (x )＝e x－1－x －ax 2. (1)若a ＝0,求f (x )的单调区间；(2)若当x ≥0时,f (x )≥0,求a 的取值范围.解:(1)a ＝0时,f (x )＝e x－1－x ,f ′(x )＝e x－1.当x ∈(－∞,0)时,f ′(x )<0；当x ∈(0,＋∞)时,f ′(x )>0.故f (x )的单调递减区间为(－∞,0),单调递增区间为(0,＋∞).(2)当x ＝0时,f (x )＝0,对任意实数a ,均有f (x )≥0； 当x >0时,f (x )≥0等价于a ≤e x－x －1x2, 令g (x )＝e x －x －1x 2(x >0),则g ′(x )＝x e x －2e x＋x ＋2x3, 令h (x )＝x e x －2e x＋x ＋2(x >0), 则h ′(x )＝x e x －e x ＋1,h ″(x )＝x e x>0,知h ′(x )在(0,＋∞)上为增函数,h ′(x )>h ′(0)＝0,知h (x )在(0,＋∞)上为增函数,h (x )>h (0)＝0,∴g ′(x )>0,g (x )在(0,＋∞)上为增函数.由洛必达法则知,limx →0＋e x －x －1x 2＝lim x →0＋e x －12x ＝lim x →0＋ e x2＝12,故a ≤12.综上,知a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12.。

课时跟踪检测（八） “专题二”补短增分（综合练）A 组——易错清零练1．(2018·湖北八校联考)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＝10，S 30＝130，则S 40＝( )A ．－510 B.400 C ．400或－510D.30或40解析：选B 等比数列{a n }中，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，且由题意知，S 20>0，所以S 10(S 30－S 20)＝(S 20－S 10)2，即10(130－S 20)＝(S 20－10)2，解得S 20＝40，又(S 20－S 10)(S 40－S 30)＝(S 30－S 20)2，即30(S 40－130)＝902，解得S 40＝400. 2．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n ，那么S 100的值为( ) A ．2 500 B ．2 600 C ．2 700D.2 800解析：选B 当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0⇒a n ＝1，当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2⇒a n＝n ，故a n ＝⎩⎨⎧1，n 为奇数，n ，n 为偶数，于是S 100＝50＋2＋100502＝2 600.3．(2018·海淀二模)在数列{a n }中，“a n ＝2a n －1，n ＝2,3,4，…”是“{a n }是公比为2的等比数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选B 当a n ＝0时，也有a n ＝2a n －1，n ＝2,3，4，…，但{a n }不是等比数列，因此充分性不成立；当{a n }是公比为2的等比数列时，有a na n －1＝2，n ＝2,3,4，…，即a n ＝2a n－1，n ＝2,3,4，…，所以必要性成立．4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，则b n ＝________.解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，因为S n ＝n 2＋1，S n －1＝(n －1)2＋1(n ≥2)， 两式相减得a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)，所以当n ≥2时，a n ＝2n －1，又a 1＝2不符合上式，所以a n ＝⎩⎨⎧2n ＝12n －1n ≥2因为b n＝2a n＋1，所以b n＝⎩⎪⎨⎪⎧23n ＝11nn ≥2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧23n ＝11nn ≥25．(2018·安徽阜阳一中月考)已知一个等比数列{a n }的前4项之积为116，第2,3项的和为2，则数列{a n }的公比q ＝________.解析：设数列{a n }的前4项分别为a ，aq ，aq 2，aq 3， 则⎩⎨⎧a 4q 6＝116，aq ＋aq 2＝2，可得⎩⎨⎧a 4q 6＝116，aq 1＋q2，所以(1＋q )4＝64q 2，即(1＋q )2＝±8q ， 当q >0时，可得q 2－6q ＋1＝0， 解得q ＝3±22，当q <0时，可得q 2＋10q ＋1＝0， 解得q ＝－5±2 6.综上，q ＝3±22或q ＝－5±2 6. 答案：3±22或－5±2 6B 组——方法技巧练1．已知正项数列{a n }中，a 1＝1，且(n ＋2)a 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1＝0，则它的通项公式为( )A ．a n ＝1n ＋1B ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝n ＋22D.a n ＝n解析：选B 因为(n ＋2)a 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1＝0，所以[(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ](a n ＋1＋a n )＝0.又{a n }为正项数列，所以(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ＝0，即a n ＋1a n ＝n ＋1n ＋2，则a n ＝a na n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝n n ＋1·n －1n ·…·23·1＝2n ＋1.故选B. 2．(2018·郑州质检)已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<t ，则实数t 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ 解析：选D 依题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1a 2a 3…a n a 1a 2a 3…a n －1＝2n 22n －12＝2n 2－(n －1)2＝22n －1，又a 1＝21＝22×1－1，因此a n ＝22n －1，1a n ＝122n －1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，即数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是以12为首项，14为公比的等比数列，等比数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前n 项和等于12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n <23，因此实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.3．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋3(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________．解析：因为a n ＋1＝a na n ＋3(n ∈N *)，所以1a n ＋1＝3a n＋1， 设1a n ＋1＋t ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n＋t ，所以3t －t ＝1，解得t ＝12，所以1a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋12，又1a 1＋12＝1＋12＝32， 所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋12是以32为首项，3为公比的等比数列，所以1a n ＋12＝32×3n －1＝3n2，所以1a n ＝3n －12，所以a n ＝23n －1.答案：a n ＝23n －14．(2018·惠州调研)已知数列{a n }中，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝＋2上，且首项a 1＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值．解：(1)根据已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2， 即a n ＋1－a n ＝2＝d ，所以数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.(2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2.等比数列{b n }中，b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3， 所以q ＝3，b n ＝3n －1.数列{b n }的前n 项和T n ＝1－3n 1－3＝3n －12.T n ≤S n 即3n －12≤n 2，又n ∈N *，所以n ＝1或2.C 组——创新应用练1．(2019届高三·襄阳四校联考)我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：(1)构造数列1，12，13，14，…，1n；①(2)将数列①的各项乘以n2，得到一个新数列a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n .则a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n －1a n ＝( ) A.n 24 B.n －124C.n n －14D.n n ＋14解析：选C 依题意可得新数列为n 2，n 4，n 6，…，1n ×n2，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n＝n 24⎣⎢⎡⎦⎥⎤11×2＋12×3＋…＋1n －1n ＝n 24⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝n 24×n －1n ＝n n －14.故选C.2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)(n ∈N *)，我们把使乘积a 1·a 2·a 3·…·a n为整数的n 叫做“优数”，则在(0,2 018]内的所有“优数”的和为( )A ．1 024B ．2 012C ．2 026D.2 036解析：选C a 1·a 2·a 3·…·a n ＝log 23·log 34·log 45·…·log (n ＋1)(n ＋2)＝log 2(n ＋2)＝，∈，令0<n ＝2－2≤2 018，则2<2≤2 020,1<≤10，所有“优数”之和为(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2)＝221－291－2－18＝211－22＝2 026.故选C.3．(2018·南宁、柳州联考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步并不难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，欲问每朝行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第五天走了( )A ．48里B ．24里C ．12里D.6里解析：选C 由题意知该人每天走的路程数构成公比为12的等比数列，记为{a n }，设其前n 项和为S n ，由S 6＝378，得a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1261－12＝378，解得a 1＝192，所以a 5＝192×124＝12(里)，故选C.4.(2018·甘肃张掖一模)如图，矩形An B n C n D n 的一边A n B n 在轴上，另外两个顶点C n ，D n 在函数f ()＝＋1x(>0)的图象上，若点B n 的坐标为(n,0)(n≥2，n ∈N *)，记矩形A n B n C n D n 的周长为a n ，则a 2＋a 3＋…＋a 10＝( )A ．208B ．212C ．216D.220解析：选C 由题意得|A n D n |＝|B n C n |＝n ＋1n ，设点D n 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，n ＋1n ，则有＋1x ＝n ＋1n ，得＝1n(＝n 舍去)，即A n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n，0，则|A n B n |＝n －1n，所以矩形的周长为a n ＝2(|A n B n |＋|B n C n |)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＝4n ，则a 2＋a 3＋…＋a 10＝4(2＋3＋4＋…＋10)＝216.5．(2019届高三·上海松江区联考)在一个有穷数列的每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把这样的操作叫做该数列的一次“H 扩展”．已知数列1,2第一次“H 扩展”后得到数列1,3,2，第二次“H 扩展”后得到数列1,4,3,5,2，那么第10次“H 扩展”后得到的数列的所有项的和为( )A ．88 572B ．88 575C ．29 523D.29 526解析：选B 记第n 次“H 扩展”后得到的数列所有项的和为H n ，则H 1＝1＋2＋3＝6，H 2＝1＋3＋2＋4＋5＝15，H 3＝15＋5＋7＋8＋7＝42，从中发现H 3－H 2＝27＝33，H 2－H 1＝9＝32，归纳得H n －H n －1＝3n(n ≥2)，利用累加法求和得H n ＝3n ＋1＋32，n ≥2，所以H 10＝311＋32＝88 575，故选B.6．(2018·河北衡水中学检测)对于数列{a n }，定义H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a nn为{a n }的“优值”，现在已知某数列{a n }的“优值”H n ＝2n ＋1，记数列{a n －n }的前n 项和为S n ，若S n ≤S 5对任意的n ∈N *恒成立，则实数的取值范围为________．解析：由题意知H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n n＝2n ＋1，所以a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n ＝n ×2n ＋1，①当n ≥2时，a 1＋2a 2＋…＋2n －2a n －1＝(n －1)×2n ，②①－②得：2n －1a n ＝n ×2n ＋1－(n －1)×2n ， 解得a n ＝2n ＋2，n ≥2，当n ＝1时，a 1＝4也满足上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2，且数列{a n }为等差数列，公差为2.令b n ＝a n －n ＝(2－)n ＋2，则数列{b n }也是等差数列，由S n ≤S 5对任意的n ∈N *恒成立，知2－<0，且b 5＝12－5≥0，b 6＝14－6≤0， 解得73≤≤125.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，1257．(2019届高三·江西宜春中学与新余一中联考)设函数f ()＝x2＋sin 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{n }．(1)求数列{n }的通项公式；(2)令b n ＝x n2π，设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n ·b n ＋1的前n 项和为S n ，求证：S n <32. 解：(1)f ()＝x2＋sin ，令f ′()＝12＋cos ＝0，得＝2π±2π3(∈)，由f ′()>0⇒2π－2π3<<2π＋2π3(∈)，由f ′()<0⇒2π＋2π3<<2π＋4π3(∈)，当＝2π－2π3(∈)时，f ()取得极小值，∴n ＝2n π－2π3(n ∈N *)．(2)证明：∵b n ＝x n 2π＝n －13＝3n －13，∴1b n ·b n ＋1＝33n －1·33n ＋2 ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2， ∴S n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12－15＋15－18＋…＋13n －1－13n ＋2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13n ＋2 ＝32－33n ＋2， ∴S n <32.8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，如果S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“幸福数列”． (1)等差数列{b n }的首项为1，公差不为零，若{b n }为“幸福数列”，求{b n }的通项公式；(2)数列{c n }的各项都是正数，其前n 项和为T n ，若c 31＋c 32＋c 33＋…＋c 3n ＝T 2n 对任意的n∈N *都成立，试推断数列{c n }是否为“幸福数列”？并说明理由．解：(1)设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，其前n 项和为B n ，B nB 2n＝，因为b 1＝1， 则n ＋12n (n －1)d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋12·2n2n －1d ，即2＋(n －1)d ＝4＋2(2n －1)d ，整理得(4－1)dn ＋(2－1)(2－d )＝0. 因为对任意正整数n 上式恒成立，则⎩⎨⎧d 4k －10，2k －12－d0，解得⎩⎨⎧d ＝2，k ＝14.故数列{b n }的通项公式是b n ＝2n －1.(2)由题意知，当n ＝1时，c 31＝T 21＝c 21.因为c 1>0，所以c 1＝1.当n ≥2时，c 31＋c 32＋c 33＋…＋c 3n ＝T 2n ， c 31＋c 32＋c 33＋…＋c 3n －1＝T 2n －1. 两式相减，得c 3n ＝T 2n －T 2n －1＝(T n －T n －1)(T n ＋T n －1) ＝c n ·(T n ＋T n －1)．因为c n >0，所以c 2n ＝T n ＋T n －1＝2T n －c n . 显然c 1＝1适合上式，所以当n ≥2时，c 2n －1＝2T n －1－c n －1. 于是c 2n －c 2n －1＝2(T n －T n －1)－c n ＋c n －1＝2c n －c n ＋c n －1＝c n ＋c n －1. 因为c n ＋c n －1>0， 所以c n －c n －1＝1，所以数列{c n }是首项为1，公差为1的等差数列， 所以c n ＝n ，T n ＝n n ＋12.所以T n T 2n ＝n n ＋12n 2n ＋1＝n ＋14n ＋2不为常数， 故数列{c n }不是“幸福数列”．。

课时跟踪检测（八） “专题二”补短增分（综合练）A 组——易错清零练1．(2018·湖北八校联考)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＝10，S 30＝130，则S 40＝( )A ．－510 B.400 C ．400或－510D.30或40解析：选B 等比数列{a n }中，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，且由题意知，S 20>0，所以S 10(S 30－S 20)＝(S 20－S 10)2，即10(130－S 20)＝(S 20－10)2，解得S 20＝40，又(S 20－S 10)(S 40－S 30)＝(S 30－S 20)2，即30(S 40－130)＝902，解得S 40＝400. 2．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n，那么S 100的值为( ) A ．2 500 B ．2 600 C ．2 700D.2 800解析：选B 当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0⇒a n ＝1，当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2⇒a n ＝n ，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为奇数，n ，n 为偶数，于是S 100＝50＋＋2＝2 600.3．(2018·海淀二模)在数列{a n }中，“a n ＝2a n －1，n ＝2,3,4，…”是“{a n }是公比为2的等比数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选B 当a n ＝0时，也有a n ＝2a n －1，n ＝2,3，4，…，但{a n }不是等比数列，因此充分性不成立；当{a n }是公比为2的等比数列时，有a na n －1＝2，n ＝2,3,4，…，即a n ＝2a n －1，n ＝2,3,4，…，所以必要性成立．4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，则b n ＝________. 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，因为S n ＝n 2＋1，S n －1＝(n －1)2＋1(n ≥2)， 两式相减得a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)， 所以当n ≥2时，a n ＝2n －1，又a 1＝2不符合上式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＝，2n －n ，因为b n＝2a n＋1，所以b n＝⎩⎪⎨⎪⎧23n ＝，1nn答案：⎩⎪⎨⎪⎧23n ＝，1nn5．(2018·安徽阜阳一中月考)已知一个等比数列{a n }的前4项之积为116，第2,3项的和为2，则数列{a n }的公比q ＝________.解析：设数列{a n }的前4项分别为a ，aq ，aq 2，aq 3， 则⎩⎪⎨⎪⎧a 4q 6＝116，aq ＋aq 2＝2，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 4q 6＝116，aq ＋q ＝2，所以(1＋q )4＝64q 2，即(1＋q )2＝±8q ， 当q >0时，可得q 2－6q ＋1＝0， 解得q ＝3±22，当q <0时，可得q 2＋10q ＋1＝0， 解得q ＝－5±2 6.综上，q ＝3±22或q ＝－5±2 6. 答案：3±22或－5±2 6B 组——方法技巧练1．已知正项数列{a n }中，a 1＝1，且(n ＋2)a 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1＝0，则它的通项公式为( )A ．a n ＝1n ＋1B ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝n ＋22D.a n ＝n解析：选B 因为(n ＋2)a 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1＝0，所以[(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ](a n ＋1＋a n )＝0.又{a n }为正项数列，所以(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ＝0，即a n ＋1a n ＝n ＋1n ＋2，则a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝n n ＋1·n －1n ·…·23·1＝2n ＋1.故选B.2．(2018·郑州质检)已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<t ，则实数t 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ 解析：选D 依题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1a 2a 3…a na 1a 2a 3…a n －1＝2n2n －2＝2n 2－(n －1)2＝22n －1，又a 1＝21＝22×1－1，因此a n ＝22n －1，1a n ＝122n －1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项，14为公比的等比数列，等比数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和等于12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n <23，因此实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞. 3．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋3(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________．解析：因为a n ＋1＝a na n ＋3(n ∈N *)，所以1a n ＋1＝3a n＋1， 设1a n ＋1＋t ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n＋t ，所以3t －t ＝1，解得t ＝12，所以1a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋12， 又1a 1＋12＝1＋12＝32， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋12是以32为首项，3为公比的等比数列，所以1a n ＋12＝32×3n －1＝3n2，所以1a n ＝3n－12，所以a n ＝23n －1.答案：a n ＝23n－14．(2018·惠州调研)已知数列{a n }中，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上，且首项a 1＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值．解：(1)根据已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2， 即a n ＋1－a n ＝2＝d ，所以数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.(2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2.等比数列{b n }中，b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3， 所以q ＝3，b n ＝3n －1.数列{b n }的前n 项和T n ＝1－3n1－3＝3n－12.T n ≤S n 即3n－12≤n 2，又n ∈N *，所以n ＝1或2.C 组——创新应用练1．(2019届高三·襄阳四校联考)我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：(1)构造数列1，12，13，14，…，1n；①(2)将数列①的各项乘以n2，得到一个新数列a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n .则a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n －1a n ＝( ) A.n 24 B.n －24C.n n －4D.n n ＋4解析：选C 依题意可得新数列为n 2，n 4，n6，…，1n ×n 2，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＝n24⎣⎢⎡⎦⎥⎤11×2＋12×3＋…＋1n －n ＝n 24⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝n 24×n －1n ＝n n －4.故选C.2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)(n ∈N *)，我们把使乘积a 1·a 2·a 3·…·a n 为整数的n 叫做“优数”，则在(0,2 018]内的所有“优数”的和为( )A ．1 024B ．2 012C ．2 026D.2 036解析：选C a 1·a 2·a 3·…·a n ＝log 23·log 34·log 45·…·log (n ＋1)(n ＋2)＝log 2(n ＋2)＝k ，k ∈Z ，令0<n ＝2k －2≤2 018，则2<2k ≤2 020,1<k ≤10，所有“优数”之和为(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2)＝22－291－2－18＝211－22＝2 026.故选C.3．(2018·南宁、柳州联考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步并不难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，欲问每朝行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第五天走了( )A ．48里B ．24里C ．12里D.6里解析：选C 由题意知该人每天走的路程数构成公比为12的等比数列，记为{a n }，设其前n 项和为S n ，由S 6＝378，得a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1261－12＝378，解得a 1＝192，所以a 5＝192×124＝12(里)，故选C.4.(2018·甘肃张掖一模)如图，矩形A n B n C n D n 的一边A n B n 在x 轴上，另外两个顶点C n ，D n 在函数f (x )＝x ＋1x(x >0)的图象上，若点B n 的坐标为(n,0)(n ≥2，n ∈N *)，记矩形A n B n C n D n 的周长为a n ，则a 2＋a 3＋…＋a 10＝( )A ．208B ．212C ．216D.220解析：选C 由题意得|A n D n |＝|B n C n |＝n ＋1n，设点D n 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，n ＋1n ，则有x ＋1x＝n ＋1n ，得x ＝1n (x ＝n 舍去)，即A n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，0，则|A n B n |＝n －1n ，所以矩形的周长为a n ＝2(|A n B n |＋|B n C n |)＝2⎝⎛⎭⎪⎫n －1n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＝4n ，则a 2＋a 3＋…＋a 10＝4(2＋3＋4＋…＋10)＝216.5．(2019届高三·上海松江区联考)在一个有穷数列的每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把这样的操作叫做该数列的一次“H 扩展”．已知数列1,2第一次“H 扩展”后得到数列1,3,2，第二次“H 扩展”后得到数列1,4,3,5,2，那么第10次“H 扩展”后得到的数列的所有项的和为( )A ．88 572B ．88 575C ．29 523D.29 526解析：选B 记第n 次“H 扩展”后得到的数列所有项的和为H n ，则H 1＝1＋2＋3＝6，H 2＝1＋3＋2＋4＋5＝15，H 3＝15＋5＋7＋8＋7＝42，从中发现H 3－H 2＝27＝33，H 2－H 1＝9＝32，归纳得H n －H n －1＝3n(n ≥2)，利用累加法求和得H n ＝3n ＋1＋32，n ≥2，所以H 10＝311＋32＝88 575，故选B.6．(2018·河北衡水中学检测)对于数列{a n }，定义H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a nn为{a n }的“优值”，现在已知某数列{a n }的“优值”H n ＝2n ＋1，记数列{a n －kn }的前n 项和为S n ，若S n ≤S 5对任意的n ∈N *恒成立，则实数k 的取值范围为________．解析：由题意知H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n n＝2n ＋1，所以a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n ＝n ×2n ＋1，①当n ≥2时，a 1＋2a 2＋…＋2n －2a n －1＝(n －1)×2n ，②①－②得：2n －1a n ＝n ×2n ＋1－(n －1)×2n ，解得a n ＝2n ＋2，n ≥2，当n ＝1时，a 1＝4也满足上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2，且数列{a n }为等差数列，公差为2.令b n ＝a n －kn ＝(2－k )n ＋2，则数列{b n }也是等差数列，由S n ≤S 5对任意的n ∈N *恒成立，知2－k <0，且b 5＝12－5k ≥0，b 6＝14－6k ≤0， 解得73≤k ≤125.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，125 7．(2019届高三·江西宜春中学与新余一中联考)设函数f (x )＝x2＋sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x n }．(1)求数列{x n }的通项公式；(2)令b n ＝x n 2π，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n ·b n ＋1的前n 项和为S n ，求证：S n <32. 解：(1)f (x )＝x 2＋sin x ，令f ′(x )＝12＋cos x ＝0，得x ＝2k π±2π3(k ∈Z)，由f ′(x )>0⇒2k π－2π3<x <2k π＋2π3(k ∈Z)，由f ′(x )<0⇒2k π＋2π3<x <2k π＋4π3(k ∈Z)，当x ＝2k π－2π3(k ∈Z)时，f (x )取得极小值，∴x n ＝2n π－2π3(n ∈N *)．(2)证明：∵b n ＝x n 2π＝n －13＝3n －13，∴1b n ·b n ＋1＝33n －1·33n ＋2＝3⎝⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2，∴S n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12－15＋15－18＋…＋13n －1－13n ＋2 ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13n ＋2 ＝32－33n ＋2， ∴S n <32.8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，如果S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“幸福数列”． (1)等差数列{b n }的首项为1，公差不为零，若{b n }为“幸福数列”，求{b n }的通项公式； (2)数列{c n }的各项都是正数，其前n 项和为T n ，若c 31＋c 32＋c 33＋…＋c 3n ＝T 2n 对任意的n ∈N *都成立，试推断数列{c n }是否为“幸福数列”？并说明理由．解：(1)设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，其前n 项和为B n ，B nB 2n＝k ，因为b 1＝1， 则n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋12·2nn －d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0. 因为对任意正整数n 上式恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧dk －＝0，k －－d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，k ＝14.故数列{b n }的通项公式是b n ＝2n －1. (2)由题意知，当n ＝1时，c 31＝T 21＝c 21. 因为c 1>0，所以c 1＝1.当n ≥2时，c 31＋c 32＋c 33＋…＋c 3n ＝T 2n ，c 31＋c 32＋c 33＋…＋c 3n －1＝T 2n －1.两式相减，得c 3n ＝T 2n －T 2n －1 ＝(T n －T n －1)(T n ＋T n －1) ＝c n ·(T n ＋T n －1)．因为c n >0，所以c 2n ＝T n ＋T n －1＝2T n －c n .显然c 1＝1适合上式，所以当n ≥2时，c 2n －1＝2T n －1－c n －1. 于是c 2n －c 2n －1＝2(T n －T n －1)－c n ＋c n －1 ＝2c n －c n ＋c n －1＝c n ＋c n －1. 因为c n ＋c n －1>0， 所以c n －c n －1＝1，所以数列{c n }是首项为1，公差为1的等差数列， 所以c n ＝n ，T n ＝n n ＋2.所以T n T 2n ＝n n ＋2n n ＋＝n ＋14n ＋2不为常数， 故数列{c n }不是“幸福数列”．。

课时跟踪检测（十一） “专题三”补短增分（综合练）A 组——易错清零练1．(2018·洛阳模拟)已知球O 与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O 的体积为( )A.823π B.833π C.863π D ．1623π解析：选A 将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为2 2.因为球O 与正四面体的各棱都相切，所以球O 为正方体的内切球，即球O 的直径为正方体的棱长22，则球O 的体积V ＝43πR 3＝823π，故选A.2.(2018·成都模拟)如图，一个三棱锥的三视图均为直角三角形．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A ．4πB ．16πC ．24πD ．25π解析：选C 由三视图知该几何体是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，三条侧棱长分别为2,2,4，将该三棱锥补成一个长方体，可知该三棱锥的外接球直径就是长方体的体对角线，所以外接球直径2R ＝22＋22＋42＝26，则R ＝6，故该球的表面积为4πR 2＝24π，故选C.3．(2018·陕西模拟)《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为( )A ．2B ．4＋2 2C ．4＋4 2D ．4＋6 2解析：选C 由三视图知，该几何体是直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1，其中AB＝AA 1＝2，BC ＝AC ＝2，∠C ＝90°，其直观图如图所示，侧面为三个矩形，故该“堑堵”的侧面积S ＝(2＋22)×2＝4＋42，故选C.4．(2018·湖南长郡中学月考)正方体的8个顶点中，有4个恰是正四面体的顶点，则正方体与正四面体的表面积之比为________．解析：如图，设正方体的棱长为a ，则正方体的表面积为S 1＝6a 2.正四面体P ­ABC 的边长为a 2＋a 2＝2a ，则其表面积为S 2＝4×12×2a ×2a ×sin 60°＝23a 2.所以正方体与正四面体的表面积之比为S 1∶S 2＝6a 2∶23a 2＝3∶1.答案：3∶1B 组——方法技巧练1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．6B ．8C ．10D ．12解析：选D 根据题中所给的三视图，可以还原几何体，如图所示．该几何体可以将凸出的部分补到凹进去的地方成为一个长、宽、高分别是3,2,2的长方体，所以该几何体的体积为2×2×3＝12，故选D.2．(2018·湖南五市十校联考)圆锥的母线长为L ，过顶点的最大截面的面积为12L 2，则圆锥底面半径与母线长的比r L的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 解析：选D 设圆锥的高为h ，过顶点的截面的顶角为θ，则过顶点的截面的面积S ＝12L 2sin θ，而0<sin θ≤1，所以当sin θ＝1，即截面为等腰直角三角形时取最大值，故圆锥的轴截面的顶角必须大于或等于90°，得L >r ≥L cos 45°＝22L ，所以22≤r L<1. 3．在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝1，则点B 到平面D 1AC 的距离等于________．解：如图，连接BD1，易知D 1D 就是三棱锥D 1­ABC 的高，AD 1＝CD 1＝5，AC ＝22，取AC 的中点O ，连接D 1O ，则D 1O ⊥AC ，所以D 1O ＝AD 21－AO 2＝ 3.设点B 到平面D 1AC 的距离为h ，则由VB ­D 1AC ＝VD 1­ABC ，即13S △D 1AC ·h ＝13S △ABC ·D 1D ，又S △D 1AC ＝12D 1O ·AC ＝12×3×22＝6，S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×2×2＝2，所以h ＝63. 答案：634.如图，侧棱垂直于底面的三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的底面ABC 位于平行四边形ACDE 中，AE ＝2，AC ＝AA 1＝4，∠E ＝60°，点B 在线段ED 上．(1)当点B 在何处时，平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1；(2)点B 在线段ED 上运动的过程中，求三棱柱ABC ­A 1B 1C 1表面积的最小值．解：(1)由于三棱柱ABC ­A 1B 1C 1为直三棱柱，则AA 1⊥平面ABC ， 因为BC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BC .而AA 1∩AB ＝A ，只需BC ⊥平面A 1ABB 1， 即AB ⊥BC ，就有“平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1”．在平行四边形ACDE 中，因为AE ＝2，AC ＝AA 1＝4，∠E ＝60°. 过B 作BH ⊥AC 于H ，则BH ＝ 3. 若AB ⊥BC ，有BH 2＝AH ·CH . 由AC ＝4，得AH ＝1或3.两种情况下，B 为ED 的中点或与点D 重合．(2)三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的表面积等于侧面积与两个底面积之和．显然三棱柱ABC ­A 1B 1C 1其底面积和平面A 1ACC 1的面积为定值，只需保证侧面A 1ABB 1和侧面B 1BCC 1面积之和最小即可．过B 作BH ⊥AC 于H ，则BH ＝ 3.令AH ＝x ，则侧面A 1ABB 1和侧面B 1BCC 1面积之和等于4(AB ＋BC )＝4[x 2＋3＋3＋－x2]．其中x 2＋3＋3＋－x2可以表示动点(x,0)到定点(0，－3)和(4，3)的距离之和，当且仅当x ＝2时取得最小值．所以三棱柱的表面积的最小值为2×12×4×3＋42＋4×27＝43＋87＋16.5.(2018·石家庄模拟)如图，已知四棱锥P ­ABCD ，底面ABCD 为正方形，且PA ⊥底面ABCD ，过AB 的平面ABFE 与侧面PCD 的交线为EF ，且满足S △PEF ∶S 四边形CDEF ＝1∶3.(1)证明：PB ∥平面ACE ；(2)当PA ＝2AD ＝2时，求点F 到平面ACE 的距离． 解：(1)证明：由题知四边形ABCD 为正方形， ∴AB ∥CD ，∵CD ⊂平面PCD ，AB ⊄平面PCD ， ∴AB ∥平面PCD .又AB ⊂平面ABFE ，平面ABFE ∩平面PCD ＝EF ， ∴EF ∥AB ，∴EF ∥CD .由S △PEF ∶S 四边形CDEF ＝1∶3知E ，F 分别为PD ，PC 的中点．如图，连接BD 交AC 于点G ，则G 为BD 的中点，连接EG ，则EG ∥PB . 又EG ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE ， ∴PB ∥平面ACE .(2)∵PA ＝2，AD ＝AB ＝1， ∴AC ＝2，AE ＝12PD ＝52，∵PA ⊥平面ABCD ，∴CD ⊥PA ， 又CD ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ， ∴CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PD . 在Rt △CDE 中，CE ＝CD 2＋DE 2＝32.在△ACE 中，由余弦定理知cos ∠AEC ＝AE 2＋CE 2－AC 22AE ·CE ＝55，∴sin ∠AEC ＝255，∴S △ACE ＝12·AE ·CE ·sin∠AEC ＝34.设点F 到平面ACE 的距离为h ，连接AF ，则V F ­ACE ＝13×34×h ＝14h .∵DG ⊥AC ，DG ⊥PA ，AC ∩PA ＝A ，∴DG ⊥平面PAC . ∵E 为PD 的中点，∴点E 到平面ACF 的距离为12DG ＝24.又F 为PC 的中点，∴S △ACF ＝12S △ACP ＝22，∴V E ­ACF ＝13×22×24＝112.由V F ­ACE ＝V E ­ACF ，得14h ＝112，得h ＝13，∴点F 到平面ACE 的距离为13.C 组——创新应用练1．某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a ＋b 的最大值为( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5解析：选C 本题可以以长方体为载体，设该几何体中棱长为7的棱与此长方体的体对角线重合，则此棱各射影分别为相邻三面的对角线，其长度分别为6，a ，b ，设长方体的各棱长分别为x ，y ，z ，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝7，x 2＋y 2＝6，x 2＋z 2＝a 2，y 2＋z 2＝b2⇒a 2＋b 2＝8.所以a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22⇒a＋b ≤4，当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”，故a ＋b 的最大值为4.2．(2018·昆明模拟)古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成．一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为( )A ．63πB ．72πC ．79πD ．99π解析：选A 由三视图得，凿去部分是一个半球与一个圆柱的组合体，其中半球的半径为3，体积为12×43π×33＝18π，圆柱的底面半径为3，高为5，体积为π×32×5＝45π.所以凿去部分的体积为18π＋45π＝63π.故选A.3．(2018·沈阳质检)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A ­BCD 中，AB ⊥平面BCD ，且BD ⊥CD ，AB ＝BD ＝CD ，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f (x )，则f (x )的图象大致是( )解析：选A 如图，作PQ ⊥BC 于Q ，作QR ⊥BD 于R ，连接PR ，则由鳖臑的定义知PQ ∥AB ，QR ∥CD ，PQ ⊥QR .设AB ＝BD ＝CD ＝1，CP ＝x (0≤x ≤1)，则CP AC＝x3＝PQ1， 即PQ ＝x3，又QR 1＝BQ BC ＝APAC ＝3－x3， 所以QR ＝3－x 3，所以PR ＝PQ 2＋QR 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋⎝⎛⎭⎪⎫3－x 32＝332x 2－23x ＋3， 又由题知PR ⊥BD ， 所以f (x )＝36 2x 2－23x ＋3＝66⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋34，结合选项知选A.4．(2018·长春模拟)已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，则该圆锥体积的最大值为________．解析：由题意得圆锥的母线长为3，设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则h ＝9－r 2，所以圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝13πr 29－r 2＝13π9r 4－r 6.设f (r )＝9r 4－r 6(r >0)，则f ′(r )＝36r 3－6r 5，令f ′(r )＝36r 3－6r 5＝6r 3(6－r 2)＝0，得r ＝6，所以当0<r <6时，f ′(r )>0，f (r )单调递增，当r >6时，f ′(r )<0，f (r )单调递减，所以f (r )max ＝f (6)＝108，所以V max ＝13π×108＝23π.答案：23π5．(2018·惠州模拟)某三棱锥的三视图如图所示，且图中的三个三角形均为直角三角形，则xy 的最大值为________．解析：将三视图还原为如图所示的三棱锥P ­ABC ，其中底面ABC 是直角三角形，AB ⊥BC ，PA ⊥平面ABC ，BC ＝27，PA 2＋y 2＝102，(27)2＋PA 2＝x 2，所以xy ＝x 102－[x 2－72]＝x 128－x 2≤x 2＋－x22＝64，当且仅当x 2＝128－x 2，即x ＝8时取等号，因此xy 的最大值是64. 答案：646．(2019届高三·湖北七市(州)联考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童．在如图所示的堑堵ABM ­DCP 与刍童ABCD ­A 1B 1C 1D 1的组合体中，AB ＝AD ，A 1B 1＝A 1D 1.(1)证明：直线BD ⊥平面MAC ；(2)若AB ＝1，A 1D 1＝2，MA ＝3，三棱锥A ­A 1B 1D 1的体积V ′＝233，求该组合体的体积．解：(1)证明：由题可知ABM ­DCP 是底面为直角三角形的直棱柱， ∴AD ⊥平面MAB ，∴AD ⊥MA ， 又MA ⊥AB ，AD ∩AB ＝A ，∴MA ⊥平面ABCD ， ∴MA ⊥BD ，又AB ＝AD ，∴四边形ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC ， 又MA ∩AC ＝A ， ∴BD ⊥平面MAC .(2)设刍童ABCD ­A 1B 1C 1D 1的高为h ，则三棱锥A ­A 1B 1D 1的体积V ′＝13×12×2×2×h ＝233，∴h ＝3，故该组合体的体积V ＝12×1×3×1＋13×(12＋22＋12×22)×3＝32＋733＝1736.。