人教版高一数学必修1第二章《对数的运算》学案

§2.2.1 对数与对数运算（二）学习目标：⒈理解对数的运算性质，能够运用对数的运算性质进行对数运算； ⒉知道对数换底公式能将一般对数转化成常用对数或自然对数． 教学重点：对数的运算性质．教学难点：用定义证明对数换底公式．教学方法：讲授式．教具准备：投影．教学过程：（I ）复习引入：师：上节课我们学习了对数的定义及其基本性质，请同学们回忆一下，什么叫对数？生：如果x a N =（0a >且1a ≠），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫对数的底数，N 叫真数．师：对数有哪些基本性质呢？生：对数有下面的基本性质：⑴负数和零没有对数；⑵log 10a =，log 1a a =；⑶log a N a N =．师：对数与指数之间有怎样的关系？生：log x a a N x N =⇔=．师：这一节，我们将利用对数与指数之间的关系和幂的运算性质推导出对数的运算性质和对数换底公式．（II ）讲授新课：⒈对数的运算性质：师：根据对数与指数之间的关系，我们可以进行指数式与对数式的互相转化．例如：设log a M m =，log a N n =，则有m a M =，n a N =，∴ m n a MN +=．将上式化为对数形式，得 l o g ()a M N m n=+．这样我们就得到了对数的一个运算性质：请同学们仿照上述过程，由m n M a N-=和mn n a M =得出对数运算的另外两条性质．生：（推导得出）师：下面我们来看一下对数的运算性质的应用．例题：课本71P 例3、例4.⒉对数换底公式：师：有了对数的运算性质，我们就可以对一些特殊的对数式进行运算或化简了．但实际应用中多见的还是常用对数和自然对数，怎样才能将以其他底的对数转换为以10或e 为底的对数，以方便我们的计算呢？为了解决上述问题，我们有下面的对数换底公式：你能根据对数的定义推导出上面的换底公式吗？（在教师的指导下，学生讨论、探究换底公式的证明方法，教师板书） 证明：设log a b p =，log c b m =，log c a n =，那么p a b =，m c b =，n c a =．将后面的两个式子代入前面的式子，得np m c c =．根据指数函数的单调性，得 n p m =，即 l o g l o g l c a c a b b ⋅=．∴ l o g l o g l o g c a c b b a =． 师：对数换底公式的证明方法较多，例如log log log log log a b a c c c b a a b ⋅==也可以证明．对数换底公式还有如下常用的推论： ⑴1log log a b b a=；⑵1log log n a a b b n =；⑶log log log a b a b c c ⋅=． 请同学们应用对数的换底公式计算下面各式的值：1.0118log 13x =， 1.0120log 13x =， 1.0130log 13x =． （Ⅲ）课后练习：课本75P 练习．（Ⅳ）课时小结⒈要理解对数运算性质的推导方法，能够熟练应用对数的运算性质进行化简、求值；⒉应用对数换底公式可以方便的求出任意不为1的正数为底的对数． （Ⅴ）课后作业⒈课本82P 习题2.2 A 组 ⒊⒋⒉阅读课本77P ～78P ，思考下列问题：⑴怎样的函数叫对数函数？对数函数的定义域是什么？⑵对数函数的图象是怎样的？函数2log y x =和12log y x =的图象有什么关系？⑶对数函数有哪些性质？教学后记:。

§2.2 对数函数2.2.1 对数与对数运算第1课时 对 数学习目标 1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．知识点一 对数的概念对数的概念：一般地，如果a x＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．常用对数与自然对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e(e ＝2.71828…)为底的对数称为自然对数，log 10N 可简记为lg_N ，log e N 简记为ln_N .知识点二 对数与指数的关系思考 求log a 1(a >0，且a ≠1)的值．答案 设log a 1＝t ，化为指数式a t ＝1，则不难求得t ＝0，即log a 1＝0.梳理 一般地，有对数与指数的关系：若a >0，且a ≠1，则a x ＝N ⇔log a N ＝x .对数恒等式：＝N ；log a a x ＝x (a >0，且a ≠1)．对数的性质：(1)1的对数为零；(2)底的对数为1；(3)零和负数没有对数．1．若3x＝2，则x ＝log 32.( √ )2．因为a 1＝a (a >0且a ≠1)，所以log a a ＝1.( √ )3．log a N >0(a >0且a ≠1，N >0)．( × )4．若ln N ＝12，则N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12e .( × )类型一 对数的概念例1 在N ＝log (5－b )(b －2)中，实数b 的取值范围是( )A ．b <2或b >5B ．2<b <5C ．4<b <5D ．2<b <5且b ≠4考点 对数的概念题点 对数的概念答案 D 解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ b －2>0，5－b >0，5－b ≠1，∴2<b <5且b ≠4.反思与感悟 由于对数式中的底数a 就是指数式中的底数a ，所以a 的取值范围为a >0，且a ≠1；由于在指数式中a x ＝N ，而a x >0，所以N >0.跟踪训练1 求f (x )＝log x1－x 1＋x的定义域． 考点 对数的概念题点 对数的概念 解 要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，x ≠1，1－x 1＋x >0，解得0<x <1.∴f (x )＝log x 1－x 1＋x的定义域为(0,1)． 类型二 对数基本性质的应用例2 求下列各式中x 的值：(1)log 2(log 5x )＝0；(2)log 3(lg x )＝1.考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式 解 (1)∵log 2(log 5x )＝0，∴log 5x ＝20＝1，∴x ＝51＝5.(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1000.反思与感悟 此类题型应利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题．log a N ＝0⇒N ＝1；log a N ＝1⇒N ＝a 使用频繁，应在理解的基础上牢记．跟踪训练2 若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为( )A ．9B ．8C ．7D ．6考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 A解析 ∵log 2(log 3x )＝0，∴log 3x ＝1.∴x ＝3.同理y ＝4，z ＝2.∴x ＋y ＋z ＝9.类型三 对数式与指数式的互化命题角度1 指数式化为对数式例3 将下列指数式写成对数式：(1)54＝625；(2)2－6＝164；(3)3a ＝27；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫13m＝5.73.考点 对数式与指数式的互化题点 指数式化为对数式解 (1)log 5625＝4；(2)log 2164＝－6；(3)log 327＝a ；(4)反思与感悟 指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部位的去向：跟踪训练3 (1)如果a ＝b 2 (b >0，b ≠1)，则有( )A ．log 2a ＝bB ．log 2b ＝aC ．log b a ＝2D ．log b 2＝a考点 对数式与指数式的互化题点 指数式化为对数式答案 C解析 log b a ＝2，故选C.(2)将3－2＝19，⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝164化为对数式．考点 对数式与指数式的互化题点 指数式化为对数式解 3－2＝19可化为log 319＝－2；⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝164可化为(3)解方程：⎝ ⎛⎭⎪⎫13m＝5.考点 对数式与指数式的互化题点 指数式化为对数式命题角度2 对数式化为指数式例4 求下列各式中x 的值：(1)log 64x ＝－23；(2)log x 8＝6；(3)lg100＝x ； (4)－lne 2＝x ；(5)log (2－1)13＋22＝x . 考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式解 (1)(2)因为x 6＝8，所以(3)10x ＝100＝102，于是x ＝2.(4)由－lne 2＝x ，得－x ＝lne 2，即e －x ＝e 2. 所以x ＝－2.(5)因为所以(2－1)x ＝13＋22＝12＋2＝12＋1＝2－1，所以x ＝1.反思与感悟 要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．跟踪训练4 计算：(1)log 927；考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式解 (1)设x ＝log 927，则9x ＝27,32x ＝33，∴x ＝32.∴x ＝16.(3)∴x ＝3.1．log b N ＝a (b >0，b ≠1，N >0)对应的指数式是( )A ．a b ＝NB ．b a ＝NC ．a N ＝bD ．b N ＝a 考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 B2．若log a x ＝1，则( )A ．x ＝1B ．a ＝1C ．x ＝aD ．x ＝10考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 C 3．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )A ．e 0＝1与ln1＝0B ．＝12与log 812＝－13C ．log 39＝2与＝3D ．log 77＝1与71＝7考点 对数式与指数式的互化题点 对数式与指数式的互化答案 C4．已知log x 16＝2，则x ＝________.考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 45．设10lg x ＝100，则x ＝________.考点 对数的运算题点 对数恒等式的应用答案 1001．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b ＝N ⇔log a N ＝b (a >0，且a ≠1，N >0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2)a log a N ＝N .2．在关系式a x＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算；而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.一、选择题1．有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e 为底的对数叫做自然对数．其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4考点 对数的概念题点 对数的概念答案 C解析 ①③④正确，②不正确，只有a >0，且a ≠1时，a x ＝N 才能化为对数式．2．已知log 3a ＝2，则a 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 D解析 把log 3a ＝2化为指数式，有a ＝32＝9.3．ln e 等于( )A ．0B.12C ．1D ．2考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 B解析 设ln e ＝x ，则e x ＝e ＝e ，∴x ＝12.4．方程2＝14的解是( )A ．x ＝19B ．x ＝33C ．x ＝3D ．x ＝9考点 对数式与指数式的互化题点 对数式与指数式的互化答案 A解析 ∵2＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19.5．下列四个等式：①lg(lg10)＝0；②lg(lne)＝0；③若lg x ＝10，则x ＝10；④若ln x ＝e ，则x ＝e 2. 其中正确的是( )A ．①③B．②④C．①②D．③④考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 C解析 ①lg(lg10)＝lg1＝0；②lg(lne)＝lg1＝0；③若lg x ＝10，则x ＝1010；④若ln x ＝e ，则x ＝e e .6.⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋log 0.54的值为( )A ．6B.72C ．0D.37考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 C解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋log 0.54＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋log4＝2－2＝0.7．若log a 3＝m ，log a 5＝n ，则a 2m ＋n的值是( )A ．15B ．75C ．45D ．225考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 C解析 由log a 3＝m ，得a m ＝3，由log a 5＝n ，得a n＝5，∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝32×5＝45.8．log(3－22)等于( )A ．－2B ．－4C ．2D ．4考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 A解析 3－22＝2－22＋1＝(2)2－22＋12＝(2－1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＝(2＋1)－2. 设log(3－22)＝t ，则(2＋1)t ＝3－2 2＝(2＋1)－2，∴t ＝－2.二、填空题9．log81＝________.考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式 答案 8解析 设log81＝t ，则(3)t ＝81,3＝34，t2＝4，t ＝8.10．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x ＝________. 考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 24解析 ∵log 7[log 3(log 2x )]＝0，∴log 3(log 2x )＝1， ∴log 2x ＝3，∴23＝x ，∴x ＝(23)＝18＝122＝24.11．设a ＝log 310，b ＝log 37，则3a －b＝________. 考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式答案 107解析 ∵a ＝log 310，b ＝log 37，∴3a ＝10,3b＝7，∴3a －b ＝3a3b ＝107.三、解答题12．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值．①log 2x ＝－25；②log x 3＝－13.(2)已知6a ＝8，试用a 表示下列各式．①log 68；②log 62；③log 26.考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式解 (1)①因为log 2x ＝－25，所以x ＝2＝582.②因为log x 3＝－13，所以x ＝3，所以x ＝3－3＝127.(2)①log 68＝a .②由6a ＝8得6a ＝23，即6a 3＝2，所以log 62＝a3. ③由6a3＝2得23a ＝6，所以log 26＝3a .13．求2＋3的值．考点 对数的运算题点 对数恒等式的应用解 2＋3＝22×2＋＝4×3＋99＝12＋1＝13.四、探究与拓展14．已知f (log 2x )＝x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________.考点 对数式与指数式的互化题点 对数式与指数式的互化答案 2解析 令log 2x ＝12，则x ＝212＝2，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (log 22)＝ 2.15．已知x ＝log 23，求23x －2－3x2x －2－x ＝________.考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式 答案 919解析 由x ＝log 23，得2x ＝3，∴2－x ＝12x ＝13，∴23x ＝(2x )3＝33＝27,2－3x ＝123x ＝127，∴23x－2－3x2x－2－x＝27－1273－13＝272－13×27－9＝72872＝919.。

§2.2.1 对数与对数运算（一）学习目标：⒈理解对数的意义、符号，能正确进行指数式与对数式的互相转化； ⒉通过阅读材料，了解对数的发展历史以及其对简化运算的作用． 教学重点：对数的意义．教学难点：对数概念的理解．教学方法：讲授式．教具准备：《几何画板》演示课本63P 例8．教学过程：（I ）新课引入：师：在上节课的例题8中，我们得到了一个指数型函数13 1.01x y =⨯．通过函数的解析式，我们可以计算得到任意一个年头x 的人口数．反之，哪一年的人口数将会达到18亿、20亿、30亿……呢？（学生思考，教师引导、演示）要解决这样一个问题，现在对我们来说是很困难的，但是我们可以通过电脑软件《几何画板》的演示来得到问题的近似解大约分别是33，43，84，…，这就是说，如果保持年增长率为1个百分点，那么大约经过33年，43年，84年，我国人口分别约为18亿，20亿，30亿． 解决这个问题，实际上就是要要从181.0113x =，201.0113x =，301.0113x =，…中分别求出x 的值，也就是已知底数和幂的值，求指数．这就是本节课开始学习的对数问题．（II ）讲授新课：⒈对数的意义：师：一般地，如果x a N =（0a >且1a ≠），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫对数的底数，N 叫真数．请同学们把前面的人口问题中的时间用对数表示出来． 生： 1.0118log 13x =， 1.0120log 13x =， 1.0130log 13x =． 师：由于我们实际应用的十进制记数方法，所以在实际应用中将以10为底的对数叫做常用对数，并把10log N 记作lg N ．另外，在科学技术和工程计算中常使用以无理数 2.71828e =为底数的对数，以e 为底的对数成为自然对数，并且把log e N 记作ln N ．请同学们用计算器计算下面几个对数的值：lg 2，lg 3，ln 2，ln 3． 生：（计算得）lg 20.3010=，lg30.4771=，ln 20.6931=，ln 3 1.0986=． 师：由对数的定义，我们可以得到对数与指数间的关系式：请同学们填写下表中空白处的名称：生：略．2. 对数的性质：师：在对数log a N 中，我们规定0a >且1a ≠，这是为什么呢？ 生：在指数式中，为了使x a 对任意实数x 都有意义，我们规定了0a >；而当1a =时，式子1x 的值恒为1，但是在对数式中1log N 的值就是不确定的了，所以，在对数式log a N 中，我们和指数式x a 一样规定了0a >且1a ≠．师：在学习指数函数的性质时我们知道，0x a >，这反映在对数中是怎样的性质呢？生：由于0x a N =>，所以在对数中必须有0N >．师：这样我们就得到了对数的一条性质：负数和零没有对数． 在指数式中我们知道：01a =，1a a =，这反映到对数式中是怎样的呢？ 生：log 10a =，log 1a a =．师：这就是对数的另一条性质．根据指数与对数间的关系，我们还可以得到这个公式我们一般称为对数恒等式．例⒈例⒉见课本69P ．（Ⅲ）课后练习：课本70P 练习．（Ⅳ）课时小结⒈指数与对数的比较：⒉要能够熟练的进行指数式与对数式的互相转化；⒊关于对数的发展历史，同学们可以阅读课本75P 的阅读与思考．（Ⅴ）课后作业⒈课本82P 习题2.2 A 组 ⒈⒉⒉阅读课本70P～74P ，思考下列问题：⑴对数有哪些运算性质？怎样用对数的定义证明这些性质？⑵什么叫对数的换底公式？它有什么用途？怎样用定义证明对数的换底公式？教学后记:。

第2课时 对数的运算知识点一 对数的运算性质 若a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ， (2)log a M N＝log a M －log a N ， (3)log a M n＝n log a M (n ∈R )． 知识点二 对数换底公式log a b ＝log c blog c a (a >0，a ≠1，c >0，c ≠1，b >0)．特别地：log a b ·log b a ＝1(a >0，a ≠1，b >0，b ≠1)．对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立 . 例如，log 2[(－3)·(－5)]＝log 2(－3)＋log 2(－5)是错误的．对数换底公式常见的两种变形 (1)log a b·log b a ＝1，即1log a b＝log b a ，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数．(2)log Nn M m＝m n log N M ，此公式表示底数变为原来的n 次方，真数变为原来的m 次方，所得的对数值等于原来对数值的mn倍．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( ) (2)log a (xy )＝log a x ·log a y .( ) (3)log 2(－5)2＝2log 2(－5)．( ) (4)由换底公式可得log a b ＝log－2blog－2a.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× 2．下列等式成立的是( )A ．log 2(8－4)＝log 28－log 24 B.log 28log 24＝log 284C ．log 28＝3log 22D ．log 2(8＋4)＝log 28＋log 24解析：由对数的运算性质易知C 正确． 答案：C 3.log 49log 43的值为( ) A.12B ．2 C.32 D.92 解析：原式＝log 39＝2. 答案：B4．计算2log 510＋log 50.25的值为________． 解析：原式＝log 5102＋log 50.25 ＝log 5(102×0.25)＝log 525＝log 552＝2. 答案：2类型一 对数运算性质的应用例1 (1)若lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 45lg 12＝( )A.a ＋2b 2a ＋bB.1－a ＋2b2a ＋bC.1－b ＋2a 2a ＋b D.1－a ＋2ba ＋2b(2)计算：lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________；(3)求下列各式的值．①log 53＋log 513；②(lg 5)2＋lg 2·lg 50；③lg 25＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.【解析】 (1)lg 45lg 12＝lg 5＋lg 9lg 3＋lg 4＝1－lg 2＋2lg 3lg 3＋2lg 2＝1－a ＋2b2a ＋b.(2)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.(3)①log 53＋log 513＝log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫3×13＝log 51＝0. ②(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2＝(lg 5)2＋lg 2＋lg 2·lg 5＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.③原式＝lg 25＋lg 823＋lg 102·lg(10×2)＋(lg 2)2＝lg 25＋lg 4＋(lg 10－lg 2)(lg 10＋lg 2)＋(lg 2)2＝lg 100＋(lg 10)2－(lg 2)2＋(lg 2)2＝2＋1＝3. 【答案】 (1)B (2)－1 (3)见解析(1)用对数运算性质把所求式化为用lg 2和lg 3表示的形式． (2)用对数的运算性质求解．(3)注意对数运算性质log a 1＝0的综合应用． 方法归纳(1)对于同底的对数的化简，常用方法是：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．(2)对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．跟踪训练1 求下列各式的值：(1)log 318－log 36； (2)log 1123＋2log 1122；(3)log 28＋43＋log 28－43； (4)lg 3＋2lg 2－1lg 1.2.解析：(1)原式＝log 3186＝log 33＝1.(2)原式＝log 1123＋log 1124＝log 11212＝－1.(3)原式＝log 2[8＋4 3 8－43] ＝log 282－432＝log 264－48＝log 24＝2.(4)原式＝lg 3＋lg 4－1lg 1.2＝lg 1.2lg 1.2＝1.利用对数运算性质化简求值．类型二 对数换底公式的应用例2 (1)已知2x ＝3y＝a ，则1x ＋1y＝2，则a 的值为( )A ．36B ．6C ．2 6 D. 6 (2)计算下列各式： ①log 89·log 2732；②2lg 4＋lg 5－lg 8－⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23；③6413＋lg 4＋2lg 5.【解析】 (1)因为2x ＝3y＝a ， 所以x ＝log 2a ，y ＝log 3a ，所以1x ＋1y ＝1log 2a ＋1log 3a ＝log a 2＋log a 3＝log a 6＝2，所以a 2＝6，解得a ＝± 6. 又a ＞0，所以a ＝ 6.(2)①log 89·log 2732＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝lg 32lg 23·lg 25lg 33＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝109. ②2lg 4＋lg 5－lg 8－⎝ ⎛⎭⎪⎫33823-＝lg 16＋lg 5－lg 8－1⎝⎛⎭⎪⎫32782＝lg 16×58－1⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1－49＝59. ③6413＋lg 4＋2lg 5＝4＋lg(4×52)＝4＋2＝6. 【答案】 (1)D (2)见解析1．先把指数式化为对数式，再用换底公式，把所求式化为同底对数式，最后用对数的运算性质求值．2．先用换底公式将式子变为同底的形式，再用对数的运算性质计算并约分． 方法归纳(1)换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如a n为底的换为a 为底．(2)换底公式的派生公式：log a b ＝log a c ·log c b ；log an b m＝mnlog a b .,跟踪训练2 (1)式子log 916·log 881的值为( )A ．18 B.118 C.83 D.38(2)(log 43＋log 83)(log 32＋log 98)等于( ) A.56 B.2512 C.94D ．以上都不对 解析：(1)原式＝log 3224·log 2334＝2log 32·43log 23＝83.(2)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫log 33log 34＋log 33log 38·⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋log 38log 39＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 32＋13log 32·⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋3log 322＝56log 32×52log 32＝2512. 答案：(1)C (2)B利用换底公式化简求值．类型三 用已知对数表示其他对数例3 已知log 189＝a,18b＝5，用a ，b 表示log 3645. 解析：方法一 因为log 189＝a ，所以9＝18a. 又5＝18b，所以log 3645＝log 2×18(5×9)＝log 2×1818a ＋b＝(a ＋b )·log 2×1818.又因为log 2×1818＝1log 1818×2＝11＋log 182＝11＋log 18189＝11＋1－log 189＝12－a，所以原式＝a ＋b 2－a.方法二 ∵18b＝5，∴log 185＝b .∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 185×9log 184×9＝log 185＋log 1892log 182＋log 189＝a ＋b2log 18189＋log 189＝a ＋b2－2log 189＋log 189＝a ＋b 2－a.方法一 对数式化为指数式，再利用对数运算性质求值． 方法二 先求出a 、b ，再利用换底公式化简求值． 方法归纳用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点： (1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换； (2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键； (3)注意一些派生公式的使用．跟踪训练3 (1)已知log 62＝p ，log 65＝q ，则lg 5＝________；(用p ，q 表示) (2)①已知log 147＝a,14b＝5，用a ，b 表示log 3528； ②设3x ＝4y＝36，求2x ＋1y的值．解析：(1)lg 5＝log 65log 610＝q log 62＋log 65＝qp ＋q .(2)①∵log 147＝a,14b＝5， ∴b ＝log 145.∴log 3528＝log 1428log 1435＝log 141427log 145×7＝log 14142－log 147log 145＋log 147＝2－aa ＋b .②∵3x＝36,4y＝36， ∴x ＝log 336，y ＝log 436， ∴1x ＝1log 336＝1log 3636log 363＝log 363， 1y＝1log 436＝1log 3636log 364＝log 364， ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364＝log 36(9×4)＝1.答案：(1)qp ＋q (2)①2－aa ＋b②1,(1)利用换底公式化简． (2)利用对数运算性质化简求值．[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．若a >0，a ≠1，x >y >0，下列式子：①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a xy＝log a x ÷log a y ；④log a (xy )＝log a x ·log a y .其中正确的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：根据对数的性质知4个式子均不正确． 答案：A2．化简12log 612－2log 62的结果为( )A ．6 2B ．12 2C ．log 6 3 D.12解析：12log 612－2log 62＝12(1＋log 62)－log 62＝12(1－log 62)＝12log 63＝log 6 3.答案：C3．设lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 12lg 5＝( )A.2a ＋b 1＋aB.a ＋2b1＋a C.2a ＋b 1－a D.a ＋2b1－a解析：lg 12lg 5＝lg 3＋lg 4lg 5＝lg 3＋2lg 21－lg 2＝2a ＋b 1－a .答案：C4．若log 34·log 8m ＝log 416，则m 等于( ) A ．3 B ．9 C ．18 D ．27解析：原式可化为log 8m ＝2log 34，lg m 3lg 2＝2lg 4lg 3， 即lg m ＝6lg 2·lg 32lg 2，lg m ＝lg 27，m ＝27.故选D.答案：D5．若lg x ＝m ，lg y ＝n ，则lg x －lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 102的值为( )A.12m －2n －2B.12m －2n －1 C.12m －2n ＋1 D.12m －2n ＋2 解析：因为lg x ＝m ，lg y ＝n ，所以lg x －lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 102＝12lg x －2lg y ＋2＝12m －2n ＋2.故选D.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．lg 10 000＝________；lg 0.001＝________.解析：由104＝10 000知lg 10 000＝4,10－3＝0.001得lg 0.001＝－3，注意常用对数不是没有底数，而是底数为10.答案：4 －37．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于________．解析：由换底公式， 得－lg 3lg 5·lg 6lg 3·lg x lg 6＝2， lg x ＝－2lg 5，x ＝5－2＝125.答案：1258.lg 2＋lg 5－lg 12lg 12＋lg 8·(lg 32－lg 2)＝________.解析：原式＝lg 2×5－0lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122×8×lg 322＝1lg 2·lg 24＝4.答案：4三、解答题(每小题10分，共20分)9．化简：(1)lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3lg 81－lg 27；(2)(lg 5)2＋lg 2lg 50＋21＋12log 25.解析：(1)方法一 (正用公式)： 原式＝lg 3＋45lg 3＋910lg 3－12lg 34lg 3－3lg 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋45＋910－12lg 3lg 3＝115. 方法二 (逆用公式)：原式＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫3×925×2712×35×3－12lg 8127＝lg 3115lg 3＝115. (2)原式＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋1)＋21·2log 25＝lg 5·(lg 5＋lg 2)＋lg 2＋25＝1＋2 5.10．计算：(1)log 1627log 8132； (2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)． 解析：(1)log 1627log 8132＝lg 27lg 16×lg 32lg 81＝lg 33lg 24×lg 25lg 34＝3lg 34lg 2×5lg 24lg 3＝1516. (2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋log 32log 39⎝ ⎛⎭⎪⎫log 23log 24＋log 23log 28 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋12log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＋13log 23＝32log 32×56log 23＝54×lg 2lg 3×lg 3lg 2＝54. [能力提升](20分钟，40分)11．设9a＝45，log 95＝b ，则( ) A ．a ＝b ＋9 B ．a －b ＝1 C ．a ＝9b D ．a ÷b ＝1解析：由9a ＝45得a ＝log 945＝log 99＋log 95＝1＋b ，即a －b ＝1. 答案：B12．设4a ＝5b＝m ，且12a ＋1b ＝1，则m ＝________.解析：由4a＝5b＝m ，得a ＝log 4m ，b ＝log 5m ， 所以log m 4＝1a ，log m 5＝1b，则12a ＋1b ＝12log m 4＋log m 5＝log m 10＝1， 所以m ＝10. 答案：1013．求下列各式的值：(1)2log 32－log 3329＋log 38－5log 53；(2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64.解析：(1)原式＝2log 32－(log 332－log 39)＋3log 32－3 ＝2log 32－5log 32＋2＋3log 32－3＝－1.(2)原式＝[(log 66－log 63)2＋log 62·log 6(2·32)]÷log 64 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫log 6632＋log 62log 62＋log 632÷2log 62＝[(log 62)2＋(log 62)2＋2·log 62·log 63]÷2log 62 ＝log 62＋log 63＝log 6(2·3)＝1.14．已知x ，y ，z 均大于1，a ≠0，log z a ＝24，log y a ＝40，log (xyz )a ＝12，求log x a . 解析：由log z a ＝24得log a z ＝124，由log y a ＝40得log a y ＝140，由log (xyz )a ＝12得log a (xyz )＝112，即log a x＋log a y＋log a z＝112.所以log a x＋140＋124＝112，解得log a x＝160，所以log x a＝60.。