高一数学必修一第二章

高一数学必修一第二章第二课基本不等式摘要：一、基本不等式的概念与性质1.基本不等式的定义2.基本不等式的性质二、基本不等式的证明方法1.作差法2.替换法3.柯西-施瓦茨不等式三、基本不等式的应用1.求最值问题2.证明其他不等式四、练习与解答1.例题解析2.巩固练习正文：一、基本不等式的概念与性质在高中数学必修一第二章第二课中，我们学习了一个非常基础且重要的不等式——基本不等式。

基本不等式是指对于任意的实数a和b，都有a^2 + b^2 >= 2ab。

这个不等式在很多数学问题中都有广泛的应用，因此我们需要熟练掌握它的性质和证明方法。

二、基本不等式的证明方法1.作差法作差法是证明基本不等式最常用的方法。

具体操作如下：我们将a^2 + b^2 - 2ab分解因式，得到(a - b)^2。

因为一个数的平方一定大于等于0，所以(a - b)^2 >= 0，即a^2 + b^2 >= 2ab。

2.替换法替换法是将基本不等式中的a和b替换成其他表达式，从而简化证明过程。

常用的替换方法有柯西-施瓦茨替换和排序替换。

3.柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是基本不等式的一个推广，它是指对于任意的实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，都有(a1^2 + a2^2 + ...+ an^2)(b1^2 + b2^2 + ...+ bn^2) >= (a1b1 + a2b2 + ...+ anbn)^2。

这个不等式在求解某些问题时，可以提供更强的工具。

三、基本不等式的应用1.求最值问题基本不等式可以用来求解一些最值问题，如求函数的最值、求解不等式的最值等。

2.证明其他不等式基本不等式是许多其他不等式的基础，如柯西不等式、排序不等式等。

通过基本不等式，我们可以证明这些不等式，从而进一步解决实际问题。

四、练习与解答1.例题解析我们来看一道例题：已知a + b = 2，求a^2 + b^2的最小值。

新人教版高一数学必修一目录
一、第一章函数
1. 基本概念
2. 函数的表示法
3. 函数的图象
4. 函数的性质
二、第二章曲线
1. 曲线的表示法
2. 曲线的切线
3. 兰联形曲线
4. 椭圆曲线
5. 双曲线
三、第三章相关与回归
1. 相关系数
2. 线性回归与回归直线
四、第四章初等函数
1. 指定法求方程的根
2. 二次函数及加减乘除法
3. 牛顿迭代法求方程的根
五、第五章指数函数
1. 指数函数的基本性质
2. 常用指数函数
3. 对数函数及其应用
六、第六章对数函数及其应用
1. 对数函数的基本性质
2. 对数函数及其应用
七、第七章几何极限
1. 无穷小分析法
2. 无穷量极限
3. 二元函数极限
4. 级数的极限
八、第八章函数的微分
1. 导数的概念
2. 定义型微分
3. 导数的性质及应用
九、第九章函数的积分
1. 定积分及其应用问题
2. 微积分的应用ii
3. 曲线的积分性质。

必修一、二、三、四、五章节内容必修一必修四第一章集合与函数的概念第一章三角函数1.1 集合 1.1任意角和弧度制1.2 函数及其表示 1.2任意角的三角函数1.3 函数的基本性质 1.3三角函数的诱导公式第二章基本初等函数 1.4三角函数的图像与性质2.1 指数函数 1.5函数y=Asin(?x+?)2.2对数函数 1.6 三角函数模型的简单应用2.3 幂函数第二章平面向量第三章函数的应用 2.1平面向量的实际背景及基本概念3.1函数与方程 2.2平面向量的线性运算3.2 函数模型及其应用 2.3平面向量的基本定理及坐标表必修五 2.4 平面向量的数量积第一章解三角形 2.5 平面向量应用举例1.1 正弦定理和余弦定理第三章三角恒等变换1.2 应用举例 3.1 两角和与差的正弦、余弦第二章数列 3.2 简单的三角恒等变换2.1 数列的概念与简单表示方法必修二2.2 等差数列第一章空间几何体2.3等差数列的前n项和 1.1 空间几何体的结构2.4 等比数列 1.2 空间几何体的三视图和直观图2.5 等比数列前n项和 1.3 空间体的表面积与体积第三章不等式第二章点、直线、平面间的关系3.1 不等关系与不等式 2.1空间点、直线、平面之间的位3.2一元一次不等式及其解法 2.2 直线、平面平行的判定及其性质3.3 二元一次不等式(组)及其解法 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质3.4基本不等式第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式必修三第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 中国古代数学中的算法案例第二章统计2.1 随机抽样2.2 用样本估计总体2.3 变量的相关性第三章概率3.1 随机现象3.2 古典概型3.3 随机数的含义与应用3.4 概率的应用。

【高中数学课本】高中数学必修1~5目录高中数学必修一：第一章. 集合与函数概念1.1. 集合1.2. 函数及其表示1.3. 函数的基本性质第二章. 基本初等函数（I）2.1. 指数函数2.2. 对数函数2.3. 幂函数第三章. 函数的应用3.1. 函数与方程3.2. 函数模型及其应用高中数学必修二：第一章. 空间几何体1.1. 空间几何体的结构1.2. 空间几何体的三视图和直观图1.3. 空间几何体的表面积与体积第二章. 点、直线、平面之间的位置关系2.1. 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2. 直线、平面平行的判定及其性质2.3. 直线、平面垂直的判定及其性质第三章. 直线与方程3.1. 直线的倾斜角与斜率3.2. 直线的方程3.3. 直线的交点坐标与距离公式第四章. 圆与方程4.1. 圆的方程4.2. 直线、圆的位置关系4.3. 空间直角坐标系高中数学必修三：第一章. 算法初步1.1. 算法与程序框图1.2. 基本算法语句1.3. 算法案例第二章. 统计2.1. 随机抽样2.2. 用样本估计总体2.3. 变量间的相关关系第三章. 概率3.1. 随机事件的概率3.2. 古典概型3.3. 几何概型高中数学必修四：第一章. 三角函数1.1. 任意角和弧度制1.2. 任意角的三角函数1.3. 三角函数的诱导公式1.4. 三角函数的图像与性质1.5. 函数y=Asin（ωx+φ）的图像1.6. 三角函数模型的简单应用第二章. 平面向量2.1. 平面向量的实际背景及基本概念2.2. 平面向量的线性运算2.3. 平面向量的基本定理及坐标表示2.4. 平面向量的数量级2.5. 平面向量应用举例第三章. 三角恒等变换3.1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.2. 简单的三角恒等变换高中数学必修五：第一章. 解三角形1.1. 正弦定理和余弦定理1.2. 应用举例1.3. 实习作业第二章. 数列2.1. 数列的概念与简单表示法2.2. 等差数列2.3. 等差数列的前n项和2.4. 等比数列2.5. 等比数列的前n项和第三章. 不等式3.1. 不等关系与不等式3.2. 一元二次不等式及其解法3.3. 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.4. 基本不等式。

(2)log am b n＝nm log a b；(3)log a b·log b a＝1；(4)log a b·log b c·log c d＝log a d.7．对数函数的概念一般地，把函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．8．对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1图象性质定义域(0，＋∞)值域R过定点过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0函数值的变化当0＜x＜1时，y＜0当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0当x＞1时，y＜0单调性是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数9.反函数对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)与指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)互为反函数.例1如图所示，曲线是对数函数y＝log a x的图象，已知a取3，43，35，110，则相应于c1，c2，c3，c4的a值依次为()A.3，43，35，110 B.3，43，110，35C.43，3，35，110 D.43，3，110，35解 (1)函数的零点是使函数值为0的自变量的值，所以函数f (x )＝x 2－2x 的零点为0和2，故(1)错．(2)虽然f (1)＝0，但1∉[2,5]，即1不在函数f (x )＝x －1的定义域内，所以函数在定义域[2,5]内无零点，故(2)错．要点二 判断函数零点所在区间例2 在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫－14，0 B.⎝⎛⎭⎫0，14 C.⎝⎛⎭⎫14，12 D.⎝⎛⎭⎫12，34 答案 C解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫14＝4e －2＜0， f (12)＝e －1＞0，∴f ⎝⎛⎭⎫14·f ⎝⎛⎭⎫12＜0， ∴零点在⎝⎛⎭⎫14，12上．规律方法 1.判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图象．2．要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用 ，若f (x )图象在[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )＜0，则f (x )在(a ，b )上必有零点，若f (a )·f (b )＞0，则f (x )在(a ，b )上不一定没有零点． 跟踪演练2 函数f (x )＝e x ＋x －2所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2) 答案 C解析 ∵f (0)＝e 0＋0－2＝－1＜0， f (1)＝e 1＋1－2＝e －1＞0，∴f (0)·f (1)＜0， ∴f (x )在(0,1)内有零点．要点三 判断函数零点的个数例3 判断函数f (x )＝ln x ＋x 2－3的零点的个数．解 方法一 函数对应的方程为ln x ＋x 2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y ＝ln x 与y ＝3－x 2的图象交点个数．在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．由图象知，函数y ＝3－x 2与y ＝ln x 的图象只有一个交点．从而ln x ＋x 2－3＝0有一个根， 即函数y ＝ln x ＋x 2－3有一个零点． 方法二 由于f (1)＝ln 1＋12－3＝－2＜0， f (2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0，∴f (1)·f (2)＜0，又f (x )＝ln x ＋x 2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f (x )在(1,2)上必有零点， 又f (x )在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．规律方法 判断函数零点个数的方法主要有：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(2)由f (x )＝g (x )－h (x )＝0，得g (x )＝h (x )，在同一坐标系下作出y 1＝g (x )和y 2＝h (x )的图象，利用图象判定方程根的个数；(3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数． 跟踪演练3 函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 令f (x )＝2x |log 0.5x |－1＝0， 可得|log 0.5x |＝⎝⎛⎭⎫12x.设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点． 1．函数y ＝4x －2的零点是( ) A ．2 B ．(－2,0) C.⎝⎛⎭⎫12，0 D.12 答案 D解析 令y ＝4x －2＝0，得x ＝12.∴函数y ＝4x －2的零点为12.2．对于函数f (x )，若f (－1)·f (3)＜0，则( ) A ．方程f (x )＝0一定有实数解 B ．方程f (x )＝0一定无实数解 C ．方程f (x )＝0一定有两实根 D ．方程f (x )＝0可能无实数解 答案 D解析 ∵函数f (x )的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f (－1)·f (3)＜0，但未必函数y ＝f (x )在(－1,3)上有实数解．3．函数y ＝lg x －9x 的零点所在的大致区间是( )A ．(6,7)B ．(7,8)C．(8,9) D．(9,10)答案 D解析因为f(9)＝lg 9－1＜0，f(10)＝lg 10－910＝1－910＞0，所以f(9)·f(10)＜0，所以y＝lg x－9x在区间(9,10)上有零点，故选D.4．方程2x－x2＝0的解的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析在同一坐标系画出函数y＝2x，及y＝x2的图象，可看出两图象有三个交点，故2x－x2＝0的解的个数为3. 5．函数f(x)＝x2－2x＋a有两个不同零点，则实数a的范围是________．答案(－∞，1)解析由题意可知，方程x2－2x＋a＝0有两个不同解，故Δ＝4－4a＞0，即a＜1.【新方法、新技巧练习与巩固】一、基础达标1．下列图象表示的函数中没有零点的是()答案 A解析B，C，D的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故函数没有零点．2．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点个数是()A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.3．根据表格中的数据，可以断定函数f(x)＝e x－x－2的一个零点所在的区间是()x －1012 3e x0.371 2.727.3920.09x＋21234 5A.(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(2,3) 答案 C解析 由上表可知f (1)＝2.72－3＜0， f (2)＝7.39－4＞0，∴f (1)·f (2)＜0，∴f (x )在区间(1,2)上存在零点． 4．函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点所在的区间为( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,5) 答案 B解析 f (1)＝ln 1＋2－6＝－4＜0， f (2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2＜0，f (3)＝ln 3＋6－6＝ln 3＞0，所以f (2)·f (3)＜0，则函数f (x )的零点所在的区间为(2,3)． 5．方程log 3x ＋x ＝3的解所在的区间为( ) A ．(0,2) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 答案 C解析 令f (x )＝log 3x ＋x －3，则f (2)＝log 32＋2－3＝log 323＜0，f (3)＝log 33＋3－3＝1＞0，那么方程log 3x ＋x ＝3的解所在的区间为(2,3)．6．已知函数f (x )为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于________． 答案 0解析 ∵奇函数的图象关于原点对称，∴若f (x )有三个零点，则其和必为0. 7．判断函数f (x )＝log 2x －x ＋2的零点的个数． 解 令f (x )＝0，即log 2x －x ＋2＝0， 即log 2x ＝x －2. 令y 1＝log 2x ，y 2＝x －2.画出两个函数的大致图象，如图所示，有两个不同的交点．所以函数f (x )＝log 2x －x ＋2有两个零点． 二、能力提升8．若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( ) A ．(a ，b )和(b ，c )内 B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内 答案 A解析 ∵f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋ (x －c )(x －a )，∴f (a )＝(a －b )(a －c )，f (b )＝(b －c )(b －a )， f (c )＝(c －a )(c －b )，∵a ＜b ＜c ，∴f (a )＞0，f (b )＜0，f (c )＞0， ∴f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内．9．若函数f (x )＝ax 2－x －1仅有一个零点，则a ＝__________. 答案 0或－14解析 a ＝0时，f (x )只有一个零点－1， a ≠0时，由Δ＝1＋4a ＝0，得a ＝－14.10．设x 0是方程ln x ＋x ＝4的解，且x 0∈(k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________. 答案 2解析 令f (x )＝ln x ＋x －4， 且f (x )在(0，＋∞)上递增， ∵f (2)＝ln 2＋2－4＜0， f (3)＝ln 3－1＞0.∴f (x )在(2,3)内有解，∴k ＝2.11．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，x ∈[－1,4]． (1)画出函数y ＝f (x )的图象，并写出其值域；(2)当m 为何值时，函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1,4]上有两个零点？ 解 (1)依题意：f (x )＝(x －1)2－4，x ∈[－1,4]，其图象如图所示．由图可知，函数f (x )的值域为[－4,5]．(2)∵函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1,4]上有两个零点．∴方程f (x )＝－m 在x ∈[－1,4]上有两相异的实数根，即函数y ＝f (x )与y ＝－m 的图象有两个交点． 由(1)所作图象可知，－4＜－m ≤0，∴0≤m ＜4.∴当0≤m ＜4时，函数y ＝f (x )与y ＝－m 的图象有两个交点，故当0≤m ＜4时，函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1,4]上有两个零点． 三、探究与创新12．已知二次函数f (x )满足：f (0)＝3；f (x ＋1)＝f (x )＋2x . (1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝f (|x |)＋m (m ∈R )，若函数g (x )有4个零点，求实数m 的范围． 解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵f (0)＝3， ∴c ＝3，∴f (x )＝ax 2＋bx ＋3.f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋3＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋(a ＋b ＋3)， f (x )＋2x ＝ax 2＋(b ＋2)x ＋3， ∵f (x ＋1)＝f (x )＋2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋2，a ＋b ＋3＝3，解得a ＝1，b ＝－1， ∴f (x )＝x 2－x ＋3.(2)由(1)，得g (x )＝x 2－|x |＋3＋m ，在平面直角坐标系中，画出函数g (x )的图象，如图所示，由于函数g (x )有4个零点，则函数g (x )的图象与x 轴有4个交点． 由图象得⎩⎪⎨⎪⎧3＋m ＞0，114＋m ＜0，解得－3＜m ＜－114，即实数m 的范围是⎝⎛⎭⎫－3，－114. 13．已知二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋4 ，求下列条件下，实数a 的取值范围． (1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1； (3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内． 解 (1)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得 ⎩⎪⎨⎪⎧(－2a )2－16≥0，f (1)＝5－2a ＞0，a ＞1.解得2≤a ＜52.(2)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，。

第一节从简到繁：基本不等式的核心概念基本不等式在高一数学必修一中是一个非常基础且重要的概念，它为我们理解和解决各类不等式问题奠定了基础。

在本节中，我们将从简到繁，逐步深入探讨基本不等式的定义、特点和应用。

1.1 基本不等式的定义基本不等式是指形如a≥b或a≤b的不等式，其中a和b是两个数。

当a≥b时，我们称a大于等于b；当a≤b时，我们称a小于等于b。

在这里，我们需要深入理解等号的含义：等号在不等式中表示两个数相等或等价。

基本不等式并不仅仅局限于大于或小于的关系，更包括了等于的情况。

1.2 基本不等式的特点基本不等式有许多特点，其中最重要的是传递性和对称性。

传递性指的是如果a≥b且b≥c，则a≥c；如果a≤b且b≤c，则a≤c。

对称性则表示如果a≥b，则-b≥-a；如果a≤b，则-b≤-a。

这些特点使得基本不等式在推导和转化过程中能够起到重要作用，也为后续的应用奠定了基础。

1.3 基本不等式的应用基本不等式在实际问题中有着广泛的应用，例如在代数、几何和概率等领域。

特别是在二元一次不等式的求解中，基本不等式的运用尤为重要。

通过将不等式转化为标准形式，我们可以利用基本不等式的特点进行简化和求解，从而解决各类实际问题。

第二节深入探讨：基本不等式的转化和应用2.1 基本不等式的转化在实际问题中，我们经常会遇到需要将不等式进行转化或简化的情况。

在这里，我们可以运用基本不等式的传递性和对称性进行变形，并通过加减乘除等运算来实现不等式的转化。

通过加减同一个数或式子，我们可以将不等式的左右两边进行平移或合并；通过乘除正数或负数，我们可以改变不等式的方向或大小。

这些转化方法为我们解决实际问题提供了有力的工具。

2.2 基本不等式在二元一次不等式中的应用二元一次不等式是指形如ax+by≤c的不等式，其中a、b和c为已知数，x和y为未知数。

在实际问题中，通过运用基本不等式的转化和特点，我们可以将二元一次不等式转化为标准形式，并利用基本不等式进行求解。

高中数学必修1知识点总结 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(∅). （6）空集的特性①空集是不含任何元素的集合.②空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.③空集单独使用时当集合的，但是放在集合里面又可以当元素使用,如｛Φ｝【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集B{x A A = ∅=∅ B A ⊆ B B ⊆ B{x A A = A ∅= B A ⊇ B B ⊇Φ=A C U UA C U =【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法（2）一元二次不等式的解法0)【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f 叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a xa xb x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a yc y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．o⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种． 解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a叫做元素b 的原象．〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法增；若y f =则[()]y f g x =为减．（2）函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[0)、上为减函数．（3）最大（小）值定义 ①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M=．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M=．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作m x f =)(min ．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．若0)0(≠f ，则0=x 必不在)(x f 的定义域上③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．高中数学必修1知识点总结第二章 基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nxa a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n a =；当n 为偶数时， (0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m naa m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rs r s aa a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)rr r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义 ①若(0,1)xaN a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a xN =，其中a 叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质 如果0,1,0,0aa M N >≠>>，那么①加法：log log log ()aa a M N MN += ②减法：log log log a a aMM N N-=③数乘：log log ()n aa n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤loglog (0,)bn a anM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()xy ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()xf y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质 ①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义 一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对． (0,)+∞上为减函p,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x=是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x=是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x=是非奇非偶函数． ⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x=上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a --．②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2bx a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=．③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||M x M x M M x x =-． （4）一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布． 设一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出． （5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a>时（开口向上）①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b qa->，则()m f q =xxx①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = (Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()mf q = ②02b x a->，则()m f p =．高中数学必修1知识点总结第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

高中数学必修一目录第一章：集合论与函数1.1 集合的概念• 1.1.1 集合的定义• 1.1.2 元素与集合的关系• 1.1.3 子集与真子集1.2 集合的运算• 1.2.1 并集与交集• 1.2.2 补集与差集• 1.2.3 集合的运算法则1.3 函数的概念• 1.3.1 函数的定义• 1.3.2 定义域、值域和对应关系• 1.3.3 二元函数和多元函数第二章：代数式与方程式2.1 代数式的基本概念• 2.1.1 代数式的定义和性质• 2.1.2 简单代数式与多项式2.2 方程式与解的概念• 2.2.1 方程式的定义和分类• 2.2.2 方程的解的概念• 2.2.3 代入法与消元法2.3 一元一次方程和一元一次不等式• 2.3.1 一元一次方程的解法• 2.3.2 一元一次不等式的解法2.4 二次根式方程和二次根式不等式• 2.4.1 二次根式方程的解法• 2.4.2 二次根式不等式的解法第三章：直线与圆3.1 直线的基本概念• 3.1.1 直线的定义• 3.1.2 直线的表示方法• 3.1.3 直线的倾斜角和斜率3.2 直线的性质与判定• 3.2.1 平行直线与垂直直线• 3.2.2 直线的位置关系• 3.2.3 直线与斜率的关系3.3 圆的基本概念• 3.3.1 圆的定义和性质• 3.3.2 圆的公式• 3.3.3 圆与直线的位置关系第四章：三角函数4.1 角的概念与常用角• 4.1.1 角的定义和性质• 4.1.2 角的度量与弧度制• 4.1.3 常用角的度数和弧度表4.2 三角函数的概念与基本关系• 4.2.1 三角函数的定义• 4.2.2 三角函数的性质与图像• 4.2.3 三角函数的基本关系4.3 三角函数的计算• 4.3.1 三角函数的大小关系• 4.3.2 三角函数的正负判别• 4.3.3 三角函数的值域和周期以上是《高中数学必修一》的目录，包括集合论与函数、代数式与方程式、直线与圆、三角函数等内容。

高一数学必修一第二章知识点第二章：函数与方程在高一数学必修一中，第二章是关于函数与方程的内容。

函数与方程是数学中重要的概念，它们在数学和实际生活中都有广泛的应用。

本章将介绍函数的基本概念、性质和常见类型，以及方程与不等式的解法。

1. 函数的基本概念函数是一种特殊的关系，它将一个自变量的值映射到一个因变量的值。

在函数中，自变量通常用x表示，因变量通常用y表示。

函数可以用图象、公式或表达式来表示。

函数具有单值性，即对于一个特定的自变量，对应的因变量只有一个值。

2. 函数的性质函数的性质包括定义域、值域和图象。

定义域是指函数中自变量的取值范围，值域是指函数中因变量的取值范围。

图象是函数在坐标系中的表示，它是自变量与因变量之间对应关系的可视化。

3. 常见函数类型常见的函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数和三角函数等。

线性函数的图象是一条直线，二次函数的图象是一个抛物线，指数函数的图象是一个递增或递减的曲线，对数函数的图象是一个反比例曲线，三角函数的图象是正弦曲线、余弦曲线或正切曲线等。

4. 方程的解法方程是数学中常见的等式，通常包含未知数和已知数。

解方程就是找到满足等式的未知数的值。

常见的方程类型包括一元一次方程、一元二次方程等。

解方程的方法包括合并同类项、移项、因式分解、开方等。

5. 不等式的解法不等式是数学中表示大小关系的符号，包括大于、小于、大于等于、小于等于等。

解不等式就是找到满足不等式关系的变量的取值范围。

常见的不等式类型包括一元一次不等式、一元二次不等式等。

解不等式的方法包括合并同类项、移项、因式分解、试验法等。

总结：通过学习函数与方程，我们可以更好地理解数学的应用和实际问题的解决。

函数与方程是数学中的基础知识，它们在代数、几何、概率等数学领域中有广泛的应用。

掌握函数与方程的概念、性质和解法，可以为我们今后的学习和工作打下坚实的数学基础。

希望同学们能够认真学习、彻底理解，并能够灵活运用到实际问题中。

必修1第二章基本初等函数(Ⅰ)知识点整理〖2.1〗指数函数2.1.1指数与指数幂的运算（1）根式的概念 ①如果,,,1nxa a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n当n 是偶数时，正数a 的正的nn次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．（2（3（4〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xaN a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a xN =，其中a 叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式:l o g 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数：常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4【（5(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()xy ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数y =（7③将x=（8①原函数y ②函数y =③若(,P a （1一般地，函数（2（3①三象限，时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． 幂函数在(0,)+∞都有②过定点：所有的通过点(1,1)．定义，并且图象都0α>，则幂函数的图③单调性：如果象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q pα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x =是非奇非偶函数． ⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x=上方，当α（1①一般式：f ③两根式：f （2（3①二次函数f ②当0a >当0a <．③二次函数11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=． （4）一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2⇔ ②x 1≤x 2＜k ⇔ ③x 1＜k ＜x 2⇔af (k )＜0 ④k 1＜x 1≤x 2＜k 2⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2⇔f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2⇔ 此结论可直接由⑤推出． （5）二次函数2设f (p) )2b a -f x0x (q) 0x x ??0x xx。

第二章 基本初等函数一、指数函数一指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1,且n ∈N ．负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,记作00=n. 当n 是奇数时,a a nn =,当n 是偶数时,⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义,规定：)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm ,)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义3．实数指数幂的运算性质1r a ·sr r a a += ),,0(R s r a ∈>；2rs s r a a =)(),,0(R s r a ∈>；3s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>．二指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1．a>1 0<a<1定义域 R 定义域 R 值域y ＞0 值域y ＞0 在R 上单调递增在R 上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点0,1函数图象都过定点0,1注意：利用函数的单调性,结合图象还可以看出： 1在a,b 上,)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；2若0x ≠,则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈；3对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且,总有a )1(f =； 二、对数函数 一对数1．对数的概念：一般地,如果N a x =)1,0(≠>a a ,那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数,记作：N x a log =a — 底数,N — 真数,N a log — 对数式说明：错误! 注意底数的限制0>a ,且1≠a ；错误! x N N a a x=⇔=log ；错误! 注意对数的书写格式． 两个重要对数：错误! 常用对数：以10为底的对数N lg ； 错误! 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ．指数式与对数式的互化N a log幂值 真数N对数二对数的运算性质如果0>a ,且1≠a ,0>M ,0>N ,那么： 错误! M a (log ·=)N M a log ＋N a log ；错误! =N Malog M a log －N a log ； 错误! na M log n =M a log )(R n ∈．注意：换底公式abb c c a log log log =0>a ,且1≠a ；0>c ,且1≠c ；0>b ．利用换底公式推导下面的结论 1b mn b a n a mlog log =；2ab b a log 1log =．二对数函数1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ,且)1≠a 叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是0,+∞．注意：错误! 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别.如：x y 2log 2=,5log 5x y = 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数．错误! 对数函数对底数的限制：0(>a ,且)1≠a ．值域为R 值域为R 在R 上递增 在R 上递减 函数图象都过定点1,0函数图象都过定点1,0三幂函数1、幂函数定义：一般地,形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数,其中α为常数．2、幂函数性质归纳．1所有的幂函数在0,+∞都有定义并且图象都过点1,1；20>α时,幂函数的图象通过原点,并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地,当1>α时,幂函数的图象下凸；当10<<α时,幂函数的图象上凸；30<α时,幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内,当x 从右边趋向原点时,图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴,当x 趋于∞+时,图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 例题：1. 已知a>0,a 0,函数y=a x 与y=log a -x 的图象只能是2.计算： ①=64log 2log 273 ;②3log 422+= ；2log 227log 553125+= ;③21343101.016])2[()87(064.075.030++-+----- =3.函数y=log 212x 2-3x+1的递减区间为4.若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍,则a=5.已知1()log (01)1axf x a a x+=>≠-且,1求()f x 的定义域2求使()0f x >的x 的取值范围。

高一数学必修一第二章知识点归纳高一数学必修一第二章知识点1方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。

即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.3、函数零点的求法：求函数的零点：1(代数法)求方程的实数根;2(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.4、二次函数的零点：二次函数.1)△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点.2)△=0，方程有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.3)△<0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点.高一数学必修一第二章知识点2空间几何体表面积体积公式：1、圆柱体:表面积:2πRr+2πRh体积:πR2h(R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高)2、圆锥体:表面积:πR2+πR[(h2+R2)的]体积:πR2h/3(r为圆锥体低圆半径,h 为其高,3、a-边长,S=6a2,V=a34、长方体a-长,b-宽,c-高S=2(ab+ac+bc)V=abc5、棱柱S-h-高V=Sh6、棱锥S-h-高V=Sh/37、S1和S2-上、下h-高V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/38、S1-上底面积,S2-下底面积,S0-中h-高,V=h(S1+S2+4S0)/69、圆柱r-底半径,h-高,C—底面周长S底—底面积,S侧—,S表—表面积C=2πrS底=πr2,S侧=Ch,S表=Ch+2S底,V=S底h=πr2h10、空心圆柱R-外圆半径,r-内圆半径h-高V=πh(R^2-r^2)11、r-底半径h-高V=πr^2h/312、r-上底半径,R-下底半径,h-高V=πh(R2+Rr+r2)/313、球r-半径d-直径V=4/3πr^3=πd^3/614、球缺h-球缺高,r-球半径,a-球缺底半径V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r-h)/315、球台r1和r2-球台上、下底半径h-高V=πh[3(r12+r22)+h2]/616、圆环体R-环体半径D-环体直径r-环体截面半径d-环体截面直径V=2π2Rr2=π2Dd2/417、桶状体D-桶腹直径d-桶底直径h-桶高V=πh(2D2+d2)/12,(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15(母线是抛物线形)高一数学必修一第二章知识点3(1)直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

高一数学必修一第二章知识点总结在高一学习数学的过程中，必修一是重要的基础课程之一。

第二章是其中的一个重要部分，以下是对该章节的知识点总结。

1. 二次函数二次函数是高中数学中的重要内容，它是由形如y=ax^2+bx+c的函数所组成。

其中，a、b、c分别代表二次函数的系数，a决定了二次函数的开口方向，b决定了抛物线的位置，c决定了二次函数的纵坐标截距。

需要特别注意的是，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

2. 二次函数的图像与性质二次函数的图像是一个抛物线，其形状和位置与二次函数的系数有关。

可以通过求解二次函数的顶点、轴对称线、零点等内容来探究二次函数的性质。

顶点是抛物线的最低点（最高点），轴对称线是通过顶点的一条垂直线，零点是函数与x轴的交点。

利用顶点坐标可以得到二次函数的最值，即最大值或最小值。

3. 二次函数的变化规律通过改变二次函数的系数，可以观察到其图像的变化规律。

例如，改变a的值可以改变抛物线的开口方向；改变b的值可以改变抛物线的位置；改变c的值可以改变抛物线的纵坐标截距。

此外，二次函数还可以通过平移、伸缩等变换来改变其图像。

4. 二次函数的解及其应用解二次函数的方法包括配方法和求根公式。

通过配方法，将二次函数转化为完全平方的形式，然后求解方程。

求根公式是通过根据二次函数的系数来计算零点的方法。

在实际应用中，二次函数经常用于解决最值、距离、速度等问题。

5. 二次函数与一次函数的关系一次函数是高中数学中的基础内容，而二次函数可以看作是一次函数的补充和扩展。

可以通过观察二次函数与一次函数的图像和性质，探讨二者之间的关系。

一次函数的图像是一条直线，而二次函数则是一个抛物线。

此外，二次函数与一次函数的图像有关系。

以上是高一数学必修一第二章的知识点总结。

通过对这些知识点的理解和掌握，同学们可以更好地应对数学学习和应用中的问题。

希望同学们在学习数学的过程中，能够更加深入地理解和应用这些内容，提升数学思维能力。

高一数学必修一第二章第二课基本不等式摘要：1.必修一第二章第二课：基本不等式2.基本不等式的概念3.基本不等式的推导和证明4.基本不等式的应用举例5.总结与拓展正文：【1.必修一第二章第二课：基本不等式】在高一数学必修一的第二章中，我们迎来了第二课——基本不等式。

这一课是整个高中数学学习过程中非常重要的一部分，它将为我们后续学习更复杂的数学知识打下坚实的基础。

那么，什么是基本不等式呢？它又有哪些应用呢？让我们一起来探讨。

【2.基本不等式的概念】基本不等式，又称柯西不等式，是指在实数范围内，两个数的平方和与两个数的乘积之间存在的一种不等关系。

它的数学表达式为：(a+b)^2 >=4ab。

这个不等式在数学中有着广泛的应用，是解决许多数学问题的关键思想。

【3.基本不等式的推导和证明】接下来，我们将来推导和证明基本不等式。

首先，我们假设有两个实数a 和b，那么(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。

根据基本不等式，我们要证明a^2 + 2ab + b^2 >= 4ab。

将4ab 移到左边，我们得到a^2 - 2ab +b^2 >= 0，也就是(a-b)^2 >= 0。

这个不等式显然成立，因为一个数的平方永远大于等于0。

所以，我们成功地证明了基本不等式。

【4.基本不等式的应用举例】了解了基本不等式的概念和证明，我们来看看它在实际问题中的应用。

假设有一个等差数列，首项为a，公差为b，项数为n，我们要求这个等差数列的和。

根据等差数列求和公式，我们可以得到S_n = na + n(n-1)/2 * b。

由于n 是正整数，我们可以利用基本不等式得到：S_n >= 2 * sqrt(na * (n-1)/2 * b)。

这个式子告诉我们，在等差数列中，当n 固定时，a 和b 的乘积越大，和就越大。

【5.总结与拓展】通过学习基本不等式，我们不仅掌握了一个重要的数学知识，还学会了如何运用它解决实际问题。

高一必修一数学第二章知识点总结
哎，说起高一必修一数学第二章，那可是个重头戏哦，咱们得好好捋一捋。

首先得说说那些柱啊、锥啊、台啊、球啊的结构特征。

啥子三棱柱、四棱柱哦，还有三棱锥、四棱锥，这些都得搞清楚它们的底面和侧面是个啥子形状，还有棱是咋个平行的。

还有那个圆台、圆柱、圆锥、球体，它们的底面、侧面、母线都是啥子样子，都得牢记在心。

再来说说空间几何体的三视图，正视图、侧视图、俯视图，这些都要会画，晓得它们各自反映了物体的啥子特征。

然后是指数函数和对数函数。

指数函数y=a^x，底数a不能是负数、零和1，它的图像有啥子特征，单调性咋样，这些都得搞明白。

还有对数函数y=log_a(x)，底数a也是有限制的，它的图像和性质也得好好琢磨琢磨。

对数运算的性质也得牢记，啥子
log_a(mn)=log_a(m)+log_a(n)，log_a(m^n)=n*log_a(m)这些，都是做题的关键。

最后，做题的时候，一定要细心，莫把题看错了。

先把课本的知识点和例题看懂了，再做题，这样才能事半功倍。

做完题后，还要好好反思一下，总结一下自己的收获，看看哪些地方还做得不够好，哪些地方可以做得更好。

哎，数学这门学科，就是要多练，多做题，才能越来越熟练，越来越有信心。

希望大家都能好好掌握这些知识，以后的学习之路才能越走越顺。