2006年初中数学竞赛模拟试题(4)

初中数学竞赛模拟试题六一、选择题1．已知a 1，a 2，…，a 1998，a 1999均为正数，又有M=（a 1+a 2+a 3+…+a 1998）（a 2+a 3+…+a 1999），N=（a 1+a 2+a 3+…+a 1999）（a 2+a 3+…+a 1998），则M 与N 的大小关系是（ ）． A ．M=N B ．M<N C ．M>N D ．关系不确定2．若a 4+3a 2=b 2-3b=1，且a 2b ≠1，则6331a b b+的值为（ ） A ．36 B ．35 C ．-36 D ．-353．为了给一本书的各页标出页码，在计算机排版录入时，•录入员需击打数字键3645次，这本书的页数是（ ）A ．1 187B ．1 188C ．1 189D ．非上述答案4．设方程x+1x =1 999的两根为a ，b ，则代数式a （311b b--）的值是（ ）A ．1 998B ．1 999C ．2 000D ．2 0015．已知函数y=ax 2+bx+c 的图像的一部分如图1的所示，则a+b+c 的取值范围是（ ）A ．-2<a+b+c<0B ．-2<a+b+c<2C ．0<a+b+c<2D ．a+b+c<2 6．已知）A ．11<A 3-B 3=12<A 3+B 3<13 B ．11<A 3-B 3<12<A 3+B 3<13C ．12<A 3-B 3=13<A 3+B 3<14D ．12<A 3-B 3<13<A 3+B 3<14 二、填空题 7．若方程3x x -+3x x -+2(3)x a x x --=0只有一个实数，则a 的值为_________．8．如图2，正三角形ABC 的边长为2a ，分别以A 、B 、C 为圆心，为半径作圆，三条圆弧相交成阴影部分，则这阴影部分的面积为_________．9．已知a 、b 、c 是三个非负实数，且满足3a+2b+c=5，2a+b-3c=1，则S=3a+b-7c •的最大值与最小值分别是_________．10．如图3，在梯形ABCD 中，CE 是∠BCD 的平分线，且CE ⊥AD ，DE=2AE ，CE 把梯形成分面积为S 1和S 2两部分，若S 1=1，则S 2=_______． 11．函数的最大值或最小值是__________．12．有一人利用休假在四个城市a 、b 、c 、d 旅游．他今天在这个城市，•明天又到另一个城市，请问这人从a 城出发5天后又回到a 城的不同旅游路线有________条． 三、解答题13．已知ab ≠1且5a 2+787 643 150a+7=0，7b 2+787 643 150b+5=0，求a b． 14．如图4，已知A 1、A 2、A 3、A 4、A 5、A 6是半径为1的⊙O 的内接正方形，P 是与216A A A 及半径OA 2、OA 6相切的圆的圆心，⊙P 交半径OA 1于B ．在半径OA 3上取一点Q ，使OQ=PA 1，以Q •为圆心以OA 3为半径作一圆，该圆交⊙P 于C 、E 两点，其中C 与A 2在OA 1•的同一侧，•试证四边形OPCQ 是平行四边形，并求 123A A A 、 3A C 、 1CBA 所围成区域的面积．15．一艘船A停泊在距海岸2km处的海面上，沿海岸有一座B城，距离岸上离船最近的C点3km．一位船员因事要到B城去，已知他步行每小时走5km，划船每小时行3km，•问此船员最快几小时到达B城？答案: 一、1．C ． 解：设a 2+a 3+…+a 1998=x ，则M=（a 1+x ）（x+a 1999）=a 1x+x 2+a 1a 1999+xa 1999， N=（a 1+x+a 1999）x=a 1x+x 2+a 1999x ， 所以M-N=a 1a 1999>0，M>N ． 2．C ．解：因为a 4+3a 2=1，所以a 4=1-3a 2，a 6=a 2-3a 4=a 2-3（1-3a 2）=10a 2-3，a 2=32-±，又因为a 2≥0，所以取a 2=32-+． 因为b 2-3b=1，所以b 2=3b+1，b 3=3b 2+b=3（3b+1）+b=10b+3，．又因为a 2b ≠1，所以取． 则有6331a b b+=a 6+31b =10a 2-3+1103b +=-36． 3．B ．解：1～9页，共需9个数字．10～99页，共需2×90=180个数字．100～999页，共需3×900=2 700个数字．这样1～999页共需9+180+2 700=2 889个数字． 3 645-2 889=756（个）， 756÷4=189（页）． 4．C ．解：由x+1x=1 999，得x 2-1 999x+1=0， 由韦达定理得a+b=1 999，ab=1，所以 a （311b b--）=a （1+b+b 2）=a+ab+ab 2=a+1+b=2 000．5．C ．解：由所给图形知20,1,0,0,240,4a b c c a b a ac b a ⎧⎪⎪-+=⎪⎪=⎪<⎨⎪⎪->⎪⎪->⎪⎩ 即20,0,1,1,40,a b c a b ac b ⎧<⎪>⎪⎪=⎨⎪-=-⎪⎪->⎩故1,01,1,a b b c -<<⎧⎪<<⎨⎪=⎩所以0<a+b+c<2．6．B ．解：显然A>B ．因为（A-B ）2=A 2+B 2-2AB=2，（A+B ）2=A 2+B 2+2AB=10， 所以又因为A 3-B 3=（A-B ）（A 2+B 2+AB ）A 3+B 3=（A+B ）（A 2+B 2-AB ）而11<8××15=12， 12<4××3.2<13，所以11<A 3-B 3<12<A 3+B 3<13． 故选B ． 二、7．解：将方程去分母整理得 2x 2-4x+9-a=0， ①原分式方程只有一个实根的可能有： 方程①有相等的实根，但非0与3． 即△=0，得a=7， 相应方程的根为x=1．方程①有两个不等实根，其中一根为0，另一根不是3． 即应有9-a=0，a=9，另一根为x=2．方程①有两个不等实根，其中一根是3，另一根不是0． 即应有2×9-4×3+9-a=0，a=15，另一根是x=-1．综上所述，a 的值等于7、9、15．8．解：如图，连结BP 、CP ，易知△BPC 是等腰直角三角形． 设曲边三角形PQR 的面积为S ． 曲边四边形DERQ 的面积为S 1， 曲边四边形BDQF 的面积为S 2．则有S+S 1=2S 扇形BEP -S △BPC =14π）2-12）2=（2π-1）a 2， ①S+3S 1+3S 2=S △ABC =2， ②S+2S 1+S 2=S 扇形BEG =16π）2=3πa 2， ③ 解①、②、③ 得S=12（π）a 2．9．-111和-57（提示：由题意得730,7110,a c b c =-≥⎧⎨=-≥⎩所以37≤c ≤711，S=3（7c-3）+（7-11c ）-7c=3c-2，故S 的最小值为-57，最大值为-111）10．78（提示：延长CB 和DA 相交于F ）11． 12．60（提示：采用树形计数法进行分析） 三、13．解：令m=787 643 150 则有 5a 2+ma+7=0， ① 7b 2+mb+5=0， ② 因为ab ≠1，所以a ≠1b，b ≠0．由②有5（1b ）2+m （1b）+7=0， ③ 由①、③知a 、1b （a ≠1b ）是方程5x 2+mx+7=0的两个不同的根，则有a ·1b =75，即a b =75．14．解：连结PC 、CQ ．因为PA 1=PC ，PA 1=OQ ．所以PC=OQ ，又因为OP=OA 1-PA 1=OA 3-OQ=QA 3=QC ． 所以四边形OPCQ 是平行四边形．已知⊙O 的半径为1，设⊙P 的半径为r ，则OP=1-r ， 又∠POA 2=∠POA 6=60°． 设⊙P 切OA 6于D ．连结PD ，可得OP=PD/sin60°，r ，所以．从而OP=QA 3=1-（） 又因为∠A 1PC=∠A 1OA 3=120°．所以S 扇形PA1DC =23π（）2，S 扇形OA1A3=13π，S 扇形QCA3=13π（4-22，SQOPC 设所求区域面积为S ，则 S=S 扇形OA1A3-S 扇形QCA3-S+S QOPC +S扇形PA1DC=13（π -3（15．提示：设DC=xkm ，则步行的时间是35x -，划船的时间是3．总时间+35x-， ①将①化简得．②设k=15t-9，代入②得，两边平方化简得16x2-6kx+100-k2=0．因x为实数，故△=36k2-6 400+64k2≥0从而得k≥8，即15t-9≥8，t≥1715，故t的最小值是1715，所以船员最快1715h．即1小时8分钟到达B城．。

初中数学奥林匹克竞赛模拟试卷(八年级)全国初中数学奥林匹克竞赛试卷（八年级）一、选择题1、已知三点A（2,3),B(5，4)，C（-4，1）依次连接这三点，则三点在同一直线上。

解析：AB的解析式为y= 3x+3，当x= -4时，y=1，即点C在直线AB上，∴选D。

2、边长为整数，周长为20的三角形个数是8个。

解析：设三角形的三边为a、b、c且a≥b≥c，a+b+c=20，a≥7，又b+c＞a，2a＜20a＜10，又7≤a≤9，可列出（a、b、c）有：（9，9，2）（9，8，3）（9，7，4）（9，6，5）（8，8，4）（8，7，5）（8，6，6）（7，7，6）共八组，选C。

3、N=++，则N的个位数字是9.解析：的个位数字为3，的个位数字为9，的个位数字为7，∴N的各位数字为9，选C。

4、P为正方形ABCD内一点，若解析：过P作BP’⊥BP，且使BP’=BP，连P’A。

易得△P’AB≌△PBC，则P’A=PC，设PA=k，则PB=2k，PC=P’A=3k，连PP’，则Rt△PBP’中，∠P’PB=45°且PP’=22k，在△P’AP中有：P’A2=P’P2+PA2，∴∠P’PA=90°，∴∠APB=135°选B。

5、在函数y= -x（a为常数）的图象上有三点：（-1，y1）（-4，y2）（2，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系是y3＜y1＜y2.解析：-（a2+1）＜0，∴在每个象限，y随x的增大而增大，因此y1＜y2.又∵（-1，y1）在第二象限，而（2，y3）在第四象限，∴y3＜y1，选C。

6、已知a+b+c≠0，且c=a=b。

解析：由c=a=b，可得a=b=c，代入a+b+c≠0中，得3a≠0，∴a≠0，选D。

新 知 杯 模 拟 试 题一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10题每题10分，共90分）1. 对于任意实数b a ,，定义b a *=b b a a ++)(，已知5.285.2=*a ，则实数a 的值是_________。

2. 在三角形ABC 中，，其中，，a CA a BC b AB 2122==-=b a ,是大于1的整数，则=-a b 。

3. 一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。

4. 已知关于x 的方程02)2()3(2234=++++++k x k x k x x 有实根，并且所有实根的乘积为-2，则所有实根的平方和为 。

5. 如图，直角三角形ABC 中1=AC ，2=BC ，P 为斜边AB 上一动点。

BC PE ⊥,CA PF ⊥，则线段EF 长的最小值为 。

6. 设b a ,是方程01682=++x x 的两个根，d c ，是方程01862=+-x x 的两个根，则()()()()d b d a c b c a --++的值为 。

7. 在平面直角坐标系中有两点()1,1-P ，()2,2Q ,函数1-=kx y 的图像与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q ），则实数k 的取值范围是 。

8. 方程2009=xyz 的所有整数解有 组。

9. 如图，四边形ABCD 中CD BC AB ==,78=∠ABC ,162=∠BCD 。

设BC AD ,延长线交于E ，则=∠AEB _________________.EEC10. 如图，在直角梯形ABCD 中，90=∠=∠BCD ABC ,10==BC AB ,点M 在BC上，使得ADM ∆是正三角形，则ABM ∆与DCM ∆的面积和是________________。

二、（本题15分）如图，ABC ∆中，90=∠ACB ,点D 在CA 上，使得，，31==AD CD 并且，BAC BDC ∠=∠3求BC 的长。

“希望杯”全国数学竞赛（第1-23届）初一年级/七年级第一/二试题目录1.希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题......................003-0052.希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题......................010-0123.希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。

-0204.希望杯第二届（1991年）初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。

-0265.希望杯第三届（1992年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。

-0326.希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。

-0407.希望杯第四届（1993年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。

-0508.希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。

-0589.希望杯第五届（1994年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。

-06610.希望杯第五届（1994年）初中一年级第二试试题..... 0错误!未定义书签。

-07311.希望杯第六届（1995年）初中一年级第一试试题..... 0错误!未定义书签。

-080 12希望杯第六届（1995年）初中一年级第二试试题..... 0错误!未定义书签。

-08713.希望杯第七届（1996年）初中一年级第一试试题..... 0错误!未定义书签。

-09814.希望杯第七届（1996年）初中一年级第二试试题....... 错误!未定义书签。

-10515.希望杯第八届（1997年）初中一年级第一试试题....... 错误!未定义书签。

-11316.希望杯第八届（1997年）初中一年级第二试试题....... 错误!未定义书签。

-12017.希望杯第九届（1998年）初中一年级第一试试题....... 错误!未定义书签。