启迪教育全等三角形三

王老师数学辅导QQ2533401322第1页共8页第7讲一线三等角模型与全等三角形基本模型1如下图，AB=AC,BD⊥DE,AB⊥AC,CE⊥DE,则△ADB≡△CEA规律：含有等腰直角三角形的条件，通常可以构造一线三垂直，利用全等三角形进行边角的等量转化。练习：如图，A(3,0),C(0,6),AC⊥BC，且AC=BC,求点B的坐标。变式2如图，已知B(4,0),C(0,2),AC⊥BC，AC=BC,求点A的坐标变式3如图，△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°,C在X轴上，BC交Y轴于M,BM=CM,C(-1,,0),点A的横坐标为-3，求点B的坐标王老师数学辅导QQ2533401322第2页共8页练习（武汉第三寄宿中学10月月考14.）如图，点C在线段AB上，DA⊥AB,EB⊥AB,FC⊥AB,且DA=BC,EB=AC,FC=AB,∠AFB=49︒则∠DFE=____︒分析：构造三垂直：△ADB≌△CBF，∴DB=BF,DB⊥BF，∠DFB=45°∵BE=AC,FC=AB,∴△ACF≌△EBA，AE=AF,AE⊥AF,∠AFE=45°∴∠DFE=∠AFE+∠DFB-∠AFB=45°+45°-49°=41°基本模型2:如图1,∠D=∠BAC=∠E,AB=AC则△ADB≌△CEA.如图2，∠BAC=∠BDF=∠CEF，AB=AC，则△ADB≌ACEA.图1图2教材变式1如图，点D、A、E在一条直线上,AB=AC，∠ADB=∠AEC=∠BAC=60°，试探究BD、CE与DE之间的数量关系.解:DE=DB+CE,证△ADB≌△CEA;教材变式2如图,D、A、E三点都在一条直线上，且∠BDA=∠AEC=∠BAC，AB=AC.试探究BD,CE与DE之间的数量关系。解:∠BDA=∠BAC=,∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-,∴∠DBA=∠CAE,王老师数学辅导QQ2533401322第3页共8页∵∠BDA=∠AEC=α,AB=AC，∴.△ADB≌△CEA.∴AE=BD，AD=CE,∴DE=AE+AD=BD+CE.教材变式3如图，AB=AC.∠BAC=60°，D、E为AD上两点，∠ADB=∠AEC=120°.探究BD、CE与DE之间的数量关系。解:CE=BD+DE,证△ABD≌△CAE;教材变式4如图，△ABC中，AB=AC，AB>BC，点F在边BC上，CF=2BF，点D、E在线段AF上，∠ADB=∠AEC=130°，∠BAC=50，若△ABC的面积为15，求△ACE与△BDF的面积之和。解:证∠ACE≌△BAD，则△ACE与△BDF的面积之和是△ABF的面积=13ABCS=5.练习1．某校八年级数学兴趣小组在研究等腰直角三角形与图形变换时，作了如下研究：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为腰作等腰直角三角形DAF，使∠DAF=90°，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①CF与BC的位置关系为；②CF，DC，BC之间的数量关系为（直接写出结论）；（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的①、②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，将△DAF沿线段DF翻折，使点A与点E重合，连接CE，若已知4CD=BC，AC=2，请求出线段CE的长．王老师数学辅导QQ2533401322第4页共8页2．（1）【问题发现】小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC是等边三角形，点D为BC的中点，且满足∠ADE=60°，DE交等边三角形外角平分线CE所在直线于点E，试探究AD与DE的数量关系．小明发现，过点D作DF∥AC，交AB于点F，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够使问题得到解决，请直接写出AD与DE的数量关系：；（2）【类比探究】如图2，当点D是线段BC上（除B，C外）任意一点时（其它条件不变），试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论．（3）【拓展应用】当点D在线段BC的延长线上，且满足CD=BC（其它条件不变）时，请直接写出△ABC与△ADE的面积之比．5．定义：如图1，在△ABC和△ADE中，AB=AC=AD=AE，当∠BAC+∠DAE=180°时，我们称△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，△ABC的边BC上的高线AM叫做△ADE的“顶心距”，点A叫做“旋补中心”．特例感知：（1）在图2，图3中，△ABC与△DAE互为“顶补三角形”，AM，AN是“顶心距”．①如图2，当∠BAC=90°时，AM与DE之间的数量关系为AM=DE；②如图3，当∠BAC=120°，BC=6时，AN的长为．猜想论证：（2）在图1中，当∠BAC为任意角时，猜想AM与DE之间的数量关系，并给予证明．拓展应用（3）如图4，在四边形ABCD，AD=AB，CD=BC，∠B=90°，∠A=60°，CD=2，在四边形ABCD的内部是否存在点P，使得△PAD与△PBC互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明，并求△PBC的“顶心距”的长；若不存在，请说明理由．王老师数学辅导QQ2533401322第5页共8页6．已知：△ABC中，CA=CB，O为AB的中点，E、F分别在直线AC、BC上，且∠EOF=2∠A．（1）如图1，若∠A=45゜，则=；=；（2）如图2，若∠A=45゜，求证：①OE=OF；②CF﹣CE=AC；（3）如图3，若∠A=30゜，探究CF﹣CE与AC之间的数量关系．2017洪山末已知△ABC、△ADE是等边三角形，点B、A、D在一条直线上，∠CPN=60°,PN交直线AE于点N;（1）若点P在线段AB上运动，如图1，（不与A、B重合）求证：PC=PN；（2）若点P在线段AD上运动(不与A、D重合，在图2中画出图形，猜想线段PC、PN的数量关系并证明你的结论。王老师数学辅导QQ2533401322第6页共8页广雅2020周测一23．(10分)等腰Rt△ABC，CA＝CB．D在AB上，CD＝CE，CD⊥CE．（1）如图1，连接BE，探究线段AD与线段BE的关系并证明；（2）如图2，连接AE，CF⊥AE交AB于F，T为垂足，①求证：FD＝FB；②如图3，若AE交BC于N，O为AB的中点，连接OC，交AN于M，连FM，FN．当25FMNS，则OF2＋BF2的最小值为_____________图1图2图3○1构造一线三垂直全等，△ACT≌△CBG,CT=GB,△DCH≌△TCE,CT=DH∴DH=GB,△DHF≌△BGF.∴DF=FB○2∵AO=CO,可证明∠OAM=∠OCF,∴△AOM≌△COF,OM=OF,∠OFM=45°，∴MF//CB作FH垂直CB,设OF=x,FB=y,则MF=x2，FH=y22252222121xyFHFMSFMN△，210xy2202102222xyyx王老师数学辅导QQ2533401322第7页共8

1 §4·3 探索三角形全等的条件（第1课时）

【北师大版七年级下学期】

福建省三明市沙县城南初级中学 吴小珍

内容分析

1. 课标要求

数学课标要求：（1）理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角。

（2）掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等。（3）会利用基本作图作三角形：已知三边、两边及其夹角。

新课标下的数学教学，既要为学生的今天的学习服务，又要为学生明天的学习奠基。改变课程实施过程过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生收集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力，以及合作与交流的能力。

2. 教材分析

知识层面：《探索三角形全等的条件（1）》是北师大七下第四章第三节的内容，它是在前面学习了全等三角形相关概念和性质、全等图形的特征的基础上，进一步研究三角形全等的条件，它不仅是前面知识的延伸，也是后面探究三角形全等的其他条件、探索三角形相似的条件、探索平行四边形性质的基础，三角形全等不仅是证明线段相等，角相等以及两线互相垂直、平行的重要工具，同时在知识结构上,等腰三角形,直角三角形,线段的垂直平分线,角的平分线等内容都要通过证明两个三角形全等来加以解决，并且是解决相关实际问题的重要理论依据。

能力层面：在前面探索图形全等的活动中，学生通过拼图、折纸等方式获得了一些数学活动经验的基础；本节课的探究学习，以学生为主体，让他们全面地参与到学习过程中来,有意识地培养学生的创新意识和实践能力，增强他们自主学习，合作交流能力，同时在全等三角形的教学中，无论是逻辑思维能力，推理论证能力，还是分析问题解决问题的能力，都可以得以培养和提高。因此，全等三角形的教学对全章乃至以后的学习都是至关重要的。

思想层面：本节课探究活动渗透分类思想，从一般到特殊的探索推导过程蕴含数学归纳思想，教学过程中发展空间观念。

3. 学情分析

重难点01全等三角形中“一线三等角”模型

1.识别几何模型。

2.利用“一线三等角”模型解决问题

图一如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。结论：Rt△BDC≌Rt△CEA

图二如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。结论：△BEC≌△CDA

例题1．如图，∠A＝∠B＝90°，E是线段AB上一点，且AE＝BC，∠1＝∠2．

（1）求证：ADE≌BEC△；

（2）若CD＝10，求DEC的面积．

（1）证明见解析；（2）25

【分析】（1）根据12，∠A＝∠B＝90°，可得DECE，ADE和BEC△为直

角三角形，利用“HL”即可证明RtADE△≌RtBEC△；

（2）根据（1）中RtADE△≌RtBEC△，则ADEBEC，根据直角三角形的性质

推出90AEDBEC，则可得DEC为直角，又因为∠1＝∠2，则可知DEC为

等腰直角三角形，进而通过等腰直角三角形的性质求出其面积．

【详解】

（1）∵12，

∴DECE，

∵∠A＝∠B＝90°，

在RtADE△和RtBEC△中，DEECAEBC，

∴RtADE△≌RtBEC△；

（2）∵RtADE△≌RtBEC△，

∴ADEBEC，

∵90ADEAED，

∴90AEDBEC，

∴90DEC，

∵12，

∴DECE，

∴DEC为等腰直角三角形，

∴其斜边CD上的高为5，∴1105252DECS△．

【点拨】本题考查了直角三角形的判定和性质，全等三角形的性质等知识，解题的关键是正

确寻找全等三角形解决问题．【变式1】．已知，如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，且AP=PC，AP

⊥PC．

（1）求证:△ABP≌△PDC

（2）若AB=3，CD=4，连接AC，求AC的长．（1）见解析；（2）52.

【分析】（1）根据等角的余角相等证明BAPCPD，继而证明()ABPPDCAAS；

（2）根据全等三角形对应边相等性质及勾股定理解题.

一线三等角与全等三角形

一、一线三等角概念

“一线三等角”指的是有三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。

二、一线三等角的类型

同侧：

锐角 直角 钝角

异侧：

三、“一线三等角”的性质

当∠1=∠2=∠3，且当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.

如右图，若 CE=ED，则△AEC≌△BDE.

四、“一线三等角”的应用

1.适用于直角的情况

例1：在ABCRt中，90ACB，BCAC，直线l经过点C，且lAE于点E，lBF于点F.

（1）当直线l绕点C旋转到如图1的位置时，

○1图中有几对相等的锐角？

○2求证：AEC≌CFB；

○3试探究AE、BF、EF之间的数量关系，并说明理由；

（2）当直线l绕点C旋转到如图2的位置时，试探究AE、BF、EF之间的数量关系，并说明理由；

（3）当直线l绕点C旋转到如图3的位置时，试探究AE、BF、EF之间的数量关系，不必说明理由.

图1 图2 图3

lFEBAClFEBAClFEBACDCABPCABPDDCBAPCDPBADPBCAADPCB巩固提高1：

1.如图，ABC是等腰三角形，DE过直角顶点A，90ED，则下列结论正确的个数有（ ）

○1AECD； ○221； ○39043； ○4BEAD.

（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个

2.适用于锐角或钝角的情况

例2：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CF，BE＝CD，若∠A＝40°，则∠EDF的度数为（ ）

A. 75° B. 70° C. 65° D. 60°