第八章 立体几何初步 8.2 立体图形的直观图专题训练

y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.( ×)
2 题型探究
PART TWO
一、水平放置的平面图形的直观图的画法
例1 画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.
解 画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立 直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
6.在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的 对应点是M′，则点M′的坐标为___(4_,_2_)__. 解析 由直观图画法“横不变，纵折半”可得点M′的坐标为(4,2).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
7.在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm， 则在平面直角坐标系中原四边形OABC为_矩__形___(填具体形状)，其面积 为__8___ cm2.
12345
5.如图，是用斜二测画法画出的△AOB的直观图， 则△AOB的面积是__1_6__.
解析 由图可知O′B′＝4，则对应△AOB中，OB＝4. 又和y′轴平行的线段的长度为4，则对应△AOB的高为8. 所以△AOB 的面积为12×4×8＝16.
12345
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
2
√A.等边三角形
B.直角三角形 C.三边中只有两边相等的等腰三角形 D.三边互不相等的三角形
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解析 由△ABC的直观图，知在原△ABC中，AO⊥BC.
∵A′O′＝ 23，∴AO＝ 3. ∵B′O′＝C′O′＝1，∴BC＝2，AB＝AC＝2， ∴△ABC为等边三角形.
45° 135° 水平面

《8.2 立体图形的直观图》教案【教材分析】画出空间几何体的直观图是学生学好立体几何的必要条件.本节课主要介绍了最常用的、直观性好的斜二测画法.而水平放置的平面图形的直观图画法，是画空间几何体直观图的基础.教学的重点是斜二测画法.教材给出了正六边形、长方体、圆柱直观图画法.教学可以适当延伸，讨论正三角形、六棱柱、组合体等的直观图画法.【教学目标与核心素养】课程目标1．掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图．2．通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图．数学学科素养1.数学抽象：斜二测画法的理解；2.数学运算：与直观图还原的有关计算；3.数学建模：画平面几何和空间几何体的直观图.【教学重点和难点】重点：用斜二测画法画空间几何值的直观图；难点：用斜二测画法画空间几何值的直观图.【教学过程】一、情景导入前面已经学习了常见地7种空间几何体，那么如何画出他们地直观图呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本107-111页，思考并完成以下问题1．画平面图形的直观图的步骤是什么？2．画简单几何体的直观图的步骤是什么？3．水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法有哪些规则？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1．用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤(1)在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴相交于点O ，画直观图时，把它们画成对应的x ′轴和y ′轴， 两轴相交于点O ′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ′轴或y ′轴的线段．(3)已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段，长度变为原来地一半.2．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可．(2)画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图．(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示．四、典例分析、举一反三题型一 水平放置的平面图形直观图的画法例1 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.【答案】见解析.【解析】（1）如图（1），在正六边形中，取所在直线为x 轴， 的垂直平分线为y 轴，两轴相交于点O .在图（2）中，画相应的轴与轴，两轴相交于点，使.（2）在图（2）中，以为中点，在x 轴上取，在轴上取以点为中点，画平行于轴，并且等于；再以为中ABCDEF AD AD MN x 'y ''O '45x O y ''︒∠=O 'A D AD ''='y 12M N MN ''='N B C ''x 'BC 'M点，画平行于轴，并且等于.（3）连接，并擦去辅助线轴和轴，便获得正六边形水平放置的直观图图（3）.解题技巧（画水平放置的平面图形的直观图的注意事项）在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．跟踪训练一1.画边长为1 cm 的正三角形的水平放置的直观图.【答案】见解析【解析】 (1)如图所示，以BC 边所在直线为x 轴，以BC 边上的高线AO 所在直线为y 轴，再画对应的x ′轴与y ′轴，两轴相交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)在x ′轴上截取O ′B ′＝O ′C ′＝0.5 cm ，在y ′轴上截取O ′A ′＝12AO ＝34cm ，连接A ′B ′、A ′C ′，则△A ′B ′C ′即为正三角形ABC 的直观图． (3)擦去坐标轴得直观图△A ′B ′C ′.题型二 几何体的直观图画法例2 用斜二测画法画长、宽、高分别是3 cm 、2 cm 、1.5 cm 的长方体ABCD －A′B′C′D′的直观图． 【解析】 (1)画轴．如图①所示，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.F E ''x 'FE ',,,A B C D D E FA ''''''''x 'y ABCDEF 'ABCDEF '''''(2)画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝3cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝1cm.分别过点M和点N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.(3)画侧棱，过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取1.5 cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD′.(4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理(擦掉辅助线，将被遮挡的线改为虚线)，就得到长方体的直观图(如图②)．例3 已知圆柱底面半径为1cm，侧面母线长为3cm的圆柱的直观图.【答案】见解析【解析】(1)画轴.如图所示,画x轴、z轴,使∠xOz=90°.(2)画下底面.在x轴上取A,B两点,使OA=OB= 1 cm.选择椭圆模板中适当的椭圆过A,B两点,使它为圆柱的下底面.(3)画上底面.在Oz上截取点O′,使OO′=3cm,过O′作Ox的平行线O′x′,类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面.(4)成图.连接AA′，BB′,整理得到圆柱的直观图.解题技巧： (画空间几何体的直观图的注意事项)(1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面，再作z′轴与平面x′O′y′垂直．(2)作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x′轴的线段并且长度不变．(3)平行于y轴的线段画成平行于y′轴的线段，且线段长度画成原来的一半．(4)平行于z轴的线段画成平行于z′轴的线段并且长度不变．跟踪训练二1．用斜二测画法画一个底面边长为4 cm，高为6 cm的正六棱柱(底面为正六边形，侧面为矩形的棱柱)的直观图．【答案】见解析【解析】(1)画轴：画x′轴、y′轴、z′轴，记坐标原点为O，如图①所示．(2)画底面：按x′轴、y′轴画边长为4 cm的正六边形的直观图ABCDEF.(3)画侧棱：过A，B，C，D，E，F各点分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′，使它们都等于6 cm.(4)成图：顺次连接A′、B′、C′、D′、E′、F′，并加以整理(去掉辅助线，并将被遮住的部分改为虚线)，就得到正六棱柱的直观图，如图②所示．2.一个几何体,它的下面是一个圆柱,上面是一个圆锥,并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合,圆柱的底面直径为3 cm,高为4 cm,圆锥的高为3 cm,画出此几何体的直观图.【答案】见解析【解析】(1)画轴.如图1所示,画x轴、z轴,使∠xOz=90°.(2)画圆柱的两底面.在x轴上取A,B两点,使AB的长度等于3 cm,且OA=OB.选择椭圆模板中适当的椭圆过A,B两点,使它为圆柱的下底面.在Oz上截取点O′,使OO′=4cm,过O′作Ox的平行线O′x′,类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面.(3)画圆锥的顶点.在Oz上截取点P,使PO′等于圆锥的高3 cm.(4)成图.连接A′A,B′B,PA′,PB′,整理得到此几何体的直观图,如图2所示.题型三与直观图还原有关的计算问题例4 如图所示，水平放置的一个平面图形的直观图是边长为1 cm的正方形O′A′B′C′，则原图形的周长是______ cm.【答案】 8．【解析】将直观图还原为原图形，如图所示，可知原图形为平行四边形，且AO⊥BO.又OA＝O′A′＝1 cm，OB＝2O′B′＝2 cm，所以AB＝＝3 cm.故原图形的周长为2×(1＋3)＝8(cm)．解题技巧（直观图还原注意事项）由于斜二测画法中平行于x轴的线段的长度在直观图中长度不变，而平行于y轴的线段在直观图中长度要减半，同时要倾斜45°，因此平面多边形的直观图中的计算需注意两点．(1)直观图中任何一点距x′轴的距离都为原图形中相应点距x轴距离的sin45°＝倍．(2)S直观图＝S原图．由直观图计算原图形中的量时，注意上述两个结论的转换．跟踪训练三1、已知△ABC是正三角形，且它的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )A.34a2 B.38a2C.68a2 D.616a2【答案】D.【解析】选D 由于S△ABC＝34a2，且S△A′B′C′S△ABC＝24，所以S△A′B′C′＝24S△ABC＝24×34a2＝616a2.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本109、111页练习，111页习题8.2.【教学反思】通过本节课感知，在引导学生进行技巧归纳时，教师不要着急告知学生.学生初始的回答可能不完善，甚至有错误的见解.教师应该对于正确的及时给与肯定和鼓励.通过教师的鼓励，能大幅度地调动其他学生的积极性.这样其他学生就能自主地给与修正补充.整节课地效果事半功倍.《8.2 立体图形的直观图》导学案【学习目标】知识目标1．掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图．2．通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图．核心素养1.数学抽象：斜二测画法的理解；2.数学运算：与直观图还原的有关计算；3.数学建模：画平面几何和空间几何体的直观图.【学习重点】：用斜二测画法画空间几何值的直观图；【学习难点】：用斜二测画法画空间几何值的直观图.【学习过程】一、预习导入阅读课本107-111页，填写。

知识梳理
一、 投影与直观图
1.投影的定义 由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这 种现象叫做投影.其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫 做投影面.
2.直观图 （1）直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形. （2）立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形.
Hale Waihona Puke ① ② ③ ④ ⑤图8-2-4
A.①② B.①②③ C.②⑤ D.③④⑤
2. C 解析：由斜二测画法知，长方形的直观图应为平行 四边形，且锐角为45°，故②⑤正确.
训练题3 如图8-2-5所示是水平放置的三角形的直观图， A′B′∥y′轴，则原图中△ABC是 （ ）
下列叙述中，正确的个数为
（）
斜二测画法的位置关系与2.度用量斜特征二用测口诀画简法记为画：空间几何体的直观图的具体规则
了解空间几何体的不同表现形式.
用斜二测画法画出正六棱锥P-ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心O.
九十度，画一半，横不变，纵减半，
第八章 立体几何初步
三、用斜二测画法画空间几何体的直观图
原图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度变为原来的一半”的规则，确定平面图
形的关键点.
点拨：斜二测画法中“斜二测”的意思：
（1）直观图是观察者站在某一点 观 察 一个 空 间几何体获得的图形.
1
C.
① ②
训练题1.下列叙述中，正确的个数为 （ ）
①相等的角，在直观图中仍相等；
②长度相等的线段，在直观图中长度仍相等；
③若两条线段平行，则在直观图中对应的线段仍平行；

【合作探究】
【探究二】 画空间几何体的直观图
【跟踪训练2】一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个 圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为 3 cm，高为4 cm，圆锥的高为3 cm，画出此几何体的直观图．
【合作探究】
【探究二】 由直观图还原成原图
【例4】如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观
画法：用斜二测画法Βιβλιοθήκη 斜二测画法的基本步骤和规则：
（1）建坐标系，定水平面； （2）与坐标轴平行的线段保持平行； （3）水平线段等长，竖直线段减半.
【合作探究】
【探究一】 画水平放置的平面图形的直观图 【例1】用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图。
【合作探究】
【探究一】 画水平放置的平面图形的直观图 【例1】用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图。
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轴得直观图△A′B′C′，如图③所示．
【合作探究】
知识点2：空间几何体直观图的画法
1.画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与 之对应的是 z′轴. 2.画底面：平面 x′O′y′表示水平平面，平面 y′O′z′, 和 x′O′z′表示竖直平面. 3.画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图 中_平__行__性 和 长度 都不变. 4.成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线. 思考 空间几何体的直观图惟一吗？
【合作探究】
【探究三】 由直观图还原成原图
【跟踪训练3】如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图 形用斜二测画法得到的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是( )
A．正方形 C．菱形
B．矩形 D．梯形