E O A
C
B F
D
立体几何练习题
1．在直四棱住1111D C B A ABCD -中，12AA =，底面是边长为1的正方形，E 、F 、
G 分别是棱B B 1、D D 1、DA 的中点.
(Ⅰ)求证：平面E AD 1//平面BGF ; (Ⅱ)求证：1D E ⊥面AEC .
2．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，E 为AB 的中点． (1)求证： 1BDD AC 平面⊥（2）求点B 到平面EC A 1的距离.
3.如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面,90ABC ACB ∠=，2AB =1BC =13AA =．
（Ⅰ）求三棱锥111A AB C -的体积；
（Ⅱ）若D 是棱1CC 的中点，棱AB 的中点为E ， 证明:11//C AB DE 平面
4．如图，在棱长均为2的三棱柱ABC DEF -中，设侧面四边形FEBC 的两对角线相交于O ，若BF ⊥平面AEC ，
AB AE =.
(1) 求证：AO ⊥平面FEBC ； (2) 求三棱锥B DEF -的体积.
5.如图，在体积为1的三棱柱111C B A ABC -中，侧棱⊥1AA 底面ABC ，AB AC ⊥， 11==AA AC ，E 为线
段AB 上的动点.
F
E
A
B
D C
G 1
C 1
A
1
B 1D 1
B 1
C E
D C
B
A
1
D 1
A A
B
C
A 1
B 1
C 1
D
C 1
C
（Ⅰ）求证： CA 1C CA 11⊥C 1E ；
（2）线段AB 上是否存在一点E ，使四面体E-AB 1C 1的体积为
6
1
？若存在，请确定点E 的位置；若不存在，请说明理由.
6．已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的直观图和三视图如图所示，其主视图BB 1A 1A 和侧视图A 1ACC 1
均为矩形，其中AA 1=4。俯视图ΔA 1B 1C 1中，B 1C 1=4，A
1C 1=3，A 1B 1=5，D 是AB 的中点。 （1）求证：AC ⊥BC 1；
（2）求证：AC 1∥平面CDB 1；
（3）求异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值。
7.如图，在底面为平行四边形的四棱锥ABCD P -中，AC AB ⊥，
ABCD PA 面⊥，点E 是PD 的中点。
（Ⅰ）求证：PB AC ⊥（Ⅱ）求证：AEC PB 平面//
8． 如图，在四棱锥ABCD P -中，ABCD 是矩形，ABCD PA 平面⊥，3,1===AB AD PA ， 点F 是PD
的中点，点E 在CD 上移动。 （1） 求三棱锥PAB E -体积； （2） 当点E 为CD 的中点时，试判断EF 与 平面PAC 的关系，并说明理由； （3） 求证：AF PE ⊥
9．如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AB ==，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、BC 的中点． （1）求证：PA //平面EFG ； （2）求证：GC PEF ⊥平面；
（3）求三棱锥P EFG -的体积．
A B C
D P
E
F
E A
F C B 图(1) E
'
A F
C B
图
10．如图6，已知四棱锥ABCD P -中，PA ⊥平面ABCD ， ABCD 是直角梯形，BC AD //
，BAD ∠=90o，
AD BC 2=．
（1）求证：AB ⊥PD ；
（2）在线段PB 上是否存在一点E ，使AE //平面PCD ， 若存在，指出点E 的位置并加以证明；若不存在，请说明理由． 11.
.. )2( ; )1(
).2(,,,,,,,90,4,),1(的距离到平面求点求证如图上的射影恰为点在平面且位置到达使点折起将中点的分别是是等腰直角三角形如图BC A F C A EF E BCEF A A A AEF AB AC F E ACB BC AC ABC ''⊥''??=∠==?
12．如图所示是一个几何体的直观图、 正视图、俯视图和侧视图C 尺寸如图 所示）。
（Ⅰ）求四棱锥P ABCD -的体积；
（Ⅱ）若G BC 为上的动点，求证：AE PG ⊥。
13．如图，四边形ABCD 为矩形，DA ⊥平面ABE , 2AE EB BC ===，BF ⊥平面ACE 于点F ， 且点F 在CE 上.
（Ⅰ）求证：AE BE ⊥；
（Ⅱ）求三棱锥D AEC -的体积；
（Ⅲ）设点M 在线段AB 上，且满足2AM MB =， 试在线段CE 上确定一点N ，使得//MN 平面DAE .
A
C
D B
P 图6
A
E
B
F
· C
D
（19题图）
M
14．已知四棱柱1111ABCD A B C D -的三视图如图所示. （1）画出此四棱柱的直观图，并求出四棱柱的 体积；
（2）若E 为1AA 上一点，//EB 平面1A CD ， 试确定E 点位置，并证明EB
⊥平面11AB C D
15.如图是以正方形ABCD 为底面的正四棱柱被一平面所截得的几何体，四边形EFGH 为截面，且AB AD a ==，
BF DH b ==．
（Ⅰ）证明：截面四边形EFGH 是菱形； （Ⅱ）求三棱锥F ABH -的体积．
16．正方形ABCD 中，AB=2，E 是AB 边的中点，F 是BC 边上一点，将△AED 及△
DCF 折起(如下图)，使A 、C 点重合于A ’点．
(1)证明：A ’D ⊥EF ； (2)当BF=1
4
BC 时，求三棱锥A ’一EFD 的体积． 17、已知四棱锥P ABCD -的三视图如下图所示，E 是侧棱PC 上的动点. (1) 求四棱锥P ABCD -的体积；
(2) 是否不论点E 在何位置，都有BD AE ⊥？证明你的结论；
(3) 若点E 为PC 的中点，求二面角D AE B --的大小.
俯视图
正视图
侧视图
2
222
1
B
A
A
A
B
D
C
1A 1D 1B
1
A D G
F
C
A D
B
H
E
俯视图
侧视图
正视图
12
1
121C
D
P E
18、如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形， 2AD DE AB ==，F 为CD 的中点.
(1) 求证：//AF 平面BCE ； (2) 求证：平面BCE ⊥平面CDE ； (3) 求直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值.
19、如图，四棱锥P —ABCD 中，底面四边形ABCD 是正方形，侧面PDC 是边长为a 的正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD ，E 为PC 的中点。
（I ）求异面直线PA 与DE 所成的角； （II ）求点D 到面PAB 的距离.
20．如图，在三棱锥A －BCD 中，侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且AD ＝3，BD ＝CD ＝1，另一个侧面是正三角形 （1）求证：AD ︿BC
（2）在直线AC 上是否存在一点E ，使ED 与面BCD 成30?角？若存在确定E 的位置；若不存在，说明理由。
立体几何参考答案
1. 证明:(Ⅰ)F E , 分别是棱11,DD BB 中点11//BE D F BE D F ∴=且∴四边形1BED F 为平行四边形
BF E D //1∴又111,D E AD E BF AD E ??平面平面
//BF ∴平面E AD 1……………3分
又G 是棱DA 的中点1//AD GF ∴
又111AD AD E GF AD E ??平面，平面
//GF ∴平面E AD 1……………5分
A
B
C D E
F
A
B
D
C
F
E
A
B
D
C
G
1
C 1
A B
D
又BF GF F =∴平面E AD 1//平面BGF ……………6分
(Ⅱ)
12AA = ∴2211115AD A A A D =
+=,同理12,3AE D E ==
∴22211AD D E AE =+∴1D E AE ⊥……………9分
1,AC BD AC D D ⊥⊥∴AC ⊥面1BD 又11D E BD ?平面,∴1AC D E ⊥
又AC
AE A =,AC ?面AEC ,AE ?面AEC ∴1D E ⊥面AEC ………12分
2. （1）连接BD ，由已知有ABCD D D 平面⊥1、得D D AC 1⊥
又由ABCD 是正方形，得：BD AC ⊥、 ∵D D 1与BD 相交，∴1BDD AC 平面⊥ （2）∵CBE AE A ???1 ∴51=
=CE E A 又∵321=C A ∴ 点E 到C A 1的距离
235=-=d ，有：62
1
11
=?=
d C A S EC
A 12111=?=A A E
B S EB A ，
又由EB A C EC A B V V 11--= ， 设点B 到平面EC A 1的距离为h ，
则CB S h S EB A EC A ?=?1
1
3
131 ， 有26=?h ，36=
h ， 所以点B 到平面EC A 1的距离为36
3. 【解】在Rt ABC ?中，2AB =，1BC =，∴3AC =．∵13AA =，∴四边形
11ACC A 为正方形．
1
11
111
111
11113133
322
A A
B
C A A B C ABC A B C V V V ---===????= ----6分
（Ⅱ）当点E 为棱AB 的中点时，DE
平面11AB C ------8分
证明如下：
如图，取1BB 的中点F ，连EF 、FD 、DE ，
∵D 、E 、F 分别为1CC 、AB 、1BB 的中点， ∴1EF AB ．
∵1AB ?平面11AB C ，EF ?平面11AB C ， ∴EF
平面11AB C ． ------10分
同理可证FD 平面11AB C ．∵EF
FD F =，
∴平面EFD
平面11AB C ．∵DE ?平面EFD ，∴DE
平面11AB C ． ------12分
4. （1）证明：∵BF ⊥平面AEC ，而AO ?平面SEC ∴BF ⊥AO ………2分 ∵AE AB =,AB AC = ∴AE AC =，而BCFE 为菱形，则O 为EC 中点， ∴AO ⊥EC , 且BF EC O ?=∴AO ⊥平面BCFE .………6分 （2）
DA ∥BE ,BE BCFE ? ∴DA ∥平面BCFE
∴点D 、A 到面BCFE 的距离相等 ………8分
B DEF D BEF A BEF V V V ---== ∵AE AB = ，AO=AO
A 1A ∴?AOE ≌?AO
B ，得OE=OB ，即EC=FB ，而BCFE 为菱形，则BCFE 是正方形， 计算得AO=2，EFB ?的面积等于正方形BCFE 的一半2=， ……………12分 因此 1222233
B DEF V -=
??= ……………14分 5. 解：（Ⅰ）证明：连结1AC ，
侧棱1AA ⊥底面ABC ，
1AA AB ∴⊥又
AB AC ⊥.AB ∴⊥平面11A ACC .
又
1CA ?平面11A ACC ，
1AB CA ∴⊥ . ………（3分） 11AC AA ==， ∴四边形11A ACC 为正方形，
11AC CA ∴⊥.
1AC AB A ?=， 1CA ∴⊥平面1AC B . …………………………（5分）
又1C P ?平面1AC B ，11CA C P ∴⊥. …………………………………（6分） （Ⅱ）设在线段AB 上存在一点P ，使111
6
P AB C V -=
. 1111
1112
ABC A B C V AB -=???=， 2AB ∴= . ………………………（7分）
又
1,AC AB AA AC ⊥⊥且11C A ⊥平面11,ABB A BB AB ⊥，
由111116
P AB C C PAB V V --==
， 知11111111111332326
PAB S C A PA BB PA ?=??=???=， 解得1PA =，∴存在AB 的中点P ，使111
6
P AB C V -= . ……………（12分）
6. 解：（1）证明：因为主视图和侧视图均为矩形，所以该三棱柱为直三棱柱……1分
又∵俯视图中A 1C 1=3，B 1C 1=4，A 1B 1=5
∴A 1C 12+B 1C 12=A 1B 1
2
∴∠A 1C 1B 1=∠ACB=90° ∴AC ⊥BC 又∵AC ⊥CC 1，CC 1∩BC=C
∴AC ⊥平面BCC 1B 1 又∵BC 1?平面BCC 1B 1
∴AC ⊥BC 1 ………………………………4分
（2）证明：设CB 1与C 1B 的交点为E ，连结DE
∵D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点 ∴DE ∥AC 1 又∵DE ?平面CDB 1，AC 1?平面CDB 1 ∴AC 1∥平面CDB 1 ……………………………………………………………8分 （3）∵DE ∥AC 1 ∴∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角
在ΔCED 中 ED=
12AC 1=52，CD=12AB=52 CE=1
2
CB 1=22∴cos ∠CED=82255
2222
=
??
∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为
22
5
。……………………12分
7. ⑴ABCD AC ABCD PA 面面?⊥,
∴AC PA ⊥ 又PAB AB PAB PA A AC PA AC AB 面面??=?⊥,,, ∴PAB AC 面⊥ PAB PB 面⊥ ∴PB AC ⊥
（2）连结BD 交AC 于点O ，并连结EO 四边形ABCD 为平行四边形 ∴O 为BD 的中点 又E 为PD 的中点 ∴在PDB ?中EO 为中位线，PB EO //
AEC EO AEC PB 面面??, ∴AEC PB 面// …………………12 8. 解：（1） ABCD PA 平面⊥， 6
31312
1313
1=????=?==∴?--PA S V V ABE ABE P PAB E
（2）当点E 为BC 的中点时，PAC EF 平面||。理由如下： 点F E ,分别为CD 、PD 的中点，
∴PC EF ||。 PAC PC 平面?，PAC EF 平面?PAC EF 平面||∴
（3） ABCD PA 平面⊥，ABCD CD 平面? PA CD ⊥∴
是矩矩形ABCD ，AD CD ⊥∴ A AD PA =? ，PAD CD 平面⊥∴ PAD AF 平面? DC AF ⊥∴ AD PA = ，点F 是PD 的中点
PD AF ⊥∴
又D PD CD = PDC AF 平面⊥∴ PDC ，PE 平面?
AF PE ⊥∴
9. 解（1）证法1：如图，取AD 的中点H ，连接,GH FH ………1分 ∵,E F 分别为,PC PD 的中点，∴EF CD ………2分 ∵,G H 分别为,BC AD 的中点，∴GH CD ．
∴EF
GH ．∴,,,E F H G 四点共面 ………4分
∵,F H 分别为,DP DA 的中点，∴PA
FH ．
∵PA ?平面EFG ，FH ?平面EFG ，∴PA 平面EFG ………6分．
（2）解：∵PD ⊥平面ABCD ，GC ?平面ABCD ，∴GC PD ⊥．
∵ABCD 为正方形，∴GC CD ⊥ ∵PD CD D =，∴GC ⊥平面PCD ． ………10分 （3）∵112PF PD =
=，112EF CD ==，∴1122PEF S EF PF ?=?=．∵1
12
GC BC ==，
A
B
C
D
E F
G
P H
F
E
A
D
B
C
P
∴1111
13326
P EFG G PEF PEF V V S GC --?==
?=??=………14分 10. 解：（1）∵ PA ⊥平面ABCD ，AB ?平面ABCD ， ∴ PA ⊥AB ．
∵ AB ⊥AD ，PA AD A =，∴ AB ⊥平面PAD ， ∵ PD ?平面PAD ，∴ AB ⊥PD ．
（2）取线段PB 的中点E ，PC 的中点F ，连结DF EF AE ,,,
则EF 是△PBC 中位线．∴EF ∥BC ，BC EF 2
1
=
∵ BC AD //，BC AD 2
1
=，∴EF AD EF AD =,//．
∴ 四边形EFDA 是平行四边形， ……10分 ∴ DF AE //．∵ AE ?平面PCD ，DF ?平面PCD ，
∴ AE ∥平面PCD ．∴ 线段PB 的中点E 是符合题意要求的点．
11. 解:
分
平面平面平面平面又中在四棱锥且的中点分别是中在等腰直角证明6......................................................................... '' ' ','',' ,',' // ,,, :
)1(C A EF EC A C A EC
A EF EC A EC EC A E A E EC E A EC EF E A EF BCEF A AC
EF AC BC BC EF AB AC F E ABC '⊥∴?⊥∴??=⊥⊥-∴⊥∴⊥∴? 4
,2222'','' ')1( // :)2(2222==+=+=?⊥∴⊥'⊥∴BC EC E A C A CB A Rt EC
E A BCE
F E A C A BC EF
BC 中在平面由已知得得由解
分
的距离为到平面所以点分得由的距离为到平面设点分14 (22)
2
42
242
1
' '3
131 9................,8. (244222)
1
'21 '''''BC A F S E A S d E
A S d S V V d BC A F BC C A S BC A FBC FBC BC A FBC A BC A F BC A '=???=?=∴??=??='=??=??=
∴????--? 12.解：（I ）由几何体的三视图可知，低面ABCD 是边长为4的正方形，
//PA ABCD PA EB ⊥面，，且42,22,4PA BE AB AD CD CB ======, 11642
4244333
P ABCD ABCD V PA S -∴=?=???=
（Ⅱ）连BP ，
1
2EB BA AB PA ==， 90EBA BAP ∠=∠=°
,PBA BEA ∴∠=∠90PBA BAE BEA BAE ∴∠+∠=∠+∠=°
PB AE ∴⊥………………10分
又BC APEB BC AE ⊥∴⊥平面，
，AE PBG ∴⊥平面 AE PG ∴⊥
13. 解：（Ⅰ）证明：由AD ⊥平面ABE 及//AD BC 得BC ⊥平面ABE ，则AE BC ⊥ 而BF ⊥平面ACE ，则BF AE ⊥，又BC BF B =，则AE ⊥平面BCE ， 又BE ?平面BCE ，故AE BE ⊥。
（Ⅱ）在ABE ?中，过点E 作EH AB ⊥于点H ，则EH ⊥平面ACD .
由已知及（Ⅰ）得1
2,222
ADC EH AB S ?===.故1422233D AEC E ADC V V --==??=
(Ⅲ)在ABE ?中过点M 作//MG AE 交BE 于点G ，在BEC ?中过点G 作//GN BC 交BC 于点
N ，
连接MN ，则由13CN BG MB CE BE AB ===得1
3
CN CE = 由平面,ADE AE ?平面ADE ，则//MG 平面ADE
再由//,//GN BC BC AD 得//GN 平面ADE ，又MN ?平面MGN ，则//MN 平面ADE . 故当点N 为线段CE 上靠近点C 的一个三等分点时，//MN 平面ADE .
14. （本小题主要考查空间中线面关系，空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力） （1）（参考右下图——图略）；…………（3分）
162ABCD V S AA =?=…………（6分）
（2）作//EF AD 交1A D 于F ，连CF ，则BCFE 共面
//EB 平面1
ACD ，//BE CF ∴，又//EF BC ，BCFE ∴为平行四边形. 1
2
EF BC AD ∴==
，E ∴为1AA 的中点. ……………（10分） 在矩形11AA B B 中，2AB =，2AE =
1
AE AB
AB BB ∴
=，1AB B ABE ∴??，1AB B ABE ∴∠=∠， 1BE AB ∴⊥
又1AD AA ⊥，AD AB ⊥，1
AA AB A =
AD ∴⊥平面11AA B B ，BE ?平面11AA B B AD BE ∴⊥， 1
AB AD A =
BE ⊥平面11AB C D . ……………（14分）
15. 解：（Ⅰ）证明：因为平面ABEF ∥平面CDHG ， 且平面EFGH 分别交平面ABFE 、平面CDHG 于 直线EF 、GH ，所以EF ∥GH ． 同理，FG ∥EH ． 因此，四边形EFGH 为平行四边形．（1）
因为BD AC ⊥，而AC 为EG 在底面ABCD 上的射影，所以EG BD ⊥．…………4分
因为BF DH =，所以FH ∥BD ．因此，FH EG ⊥．（2） 由（1）、（2）可知：四边形EFGH 是菱形；………………6分
（II ）因为DA ⊥平面ABFE ，HD ∥AE ，所以H 到平面ABF 的距离为DA a =． 于是，由等体积法得所求体积211113326
F ABH H ABF ABF V V S DA ab a a b --?==??=??=…12分
16. (1)证明：∵A ’D ⊥A ’E ，A ’D ⊥ A ’F, ,∴．A ’D ⊥平面A ’EF ．∴ A ’D ⊥EF (5)
(2 J 解:∵A ’D ⊥平面A ’EF ．∴A ’D 是三棱锥D-A ’EF 的高………………7 ． 又
由
BE=1,BF=
12
推出EF=
52
,可得
A
'E 54
S
A'-EFD A'EF A'EF 1155..A'D=..23346
D V V S -===
(12)
17、解：(1) 由三视图可知，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，侧棱PC ⊥底面ABCD ，
且2PC =.
∴211212333P ABCD ABCD V S PC -=
?=??=正方形，即四棱锥P ABCD -的体积为2
3
.……4分 (2) 不论点E 在何位置，都有BD AE ⊥. ………5分
证明如下：连结AC ，∵ABCD 是正方形，∴BD AC ⊥.…………6分 ∵PC ⊥底面ABCD ，且BD ?平面ABCD ，∴BD PC ⊥.…………7分 又∵AC PC C =，∴BD ⊥平面PAC .…………8分
∵不论点E 在何位置，都有AE ?平面PAC . ∴不论点E 在何位置，都有BD AE ⊥.……9分 (3) 解：在平面DAE 内过点D 作DF AE ⊥于F ，连结BF .
∵1AD AB ==，2
2
112DE BE ==+=，3AE AE ==， ∴Rt △ADE ≌Rt △ABE ，从而△ADF ≌△ABF ，∴BF AE ⊥. ∴DFB ∠为二面角D AE B --的平面角.………12分 在Rt △ADE 中，123AD DE DF BF AE ??===，
又2BD =
，在△DFB 中，由余弦定理得
2
2
2
2
22
13cos 22223
DF BF BD DFB DF BF ?-+-∠===-??
，…………13分
∴120DGB ∠=?，即二面角D AE B --的大小为120?.………14分 18、
(1) 证法一：取CE 的中点G ，连FG BG 、.
∵F 为CD 的中点，∴//GF DE 且1
2
GF DE =
. …………1分 ∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴//AB DE ，∴//GF AB .…2分
又1
2
AB DE =，∴GF AB =. ∴四边形GFAB 为平行四边形，则//AF BG .……4分
∵AF ?平面BCE ，BG ?平面BCE ，∴//AF 平面BCE . ………5分 证法二：取DE 的中点M ，连AM FM 、.
∵F 为CD 的中点，∴//FM CE .…………1分
∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴//DE AB .…………2分
又1
2
AB DE ME ==，
A B
C
D
P
E
F
A
B
C
D
H
G
∴四边形ABEM 为平行四边形，则//AM BE . …………3分 ∵FM AM ?、平面BCE ，CE BE ?、平面BCE ， ∴//FM 平面BCE ，//AM 平面BCE .
又FM AM M =，∴平面//AFM 平面BCE .…………4分 ∵AF ?平面AFM ，∴//AF 平面BCE . ………5分
(2) 证：∵ACD ?为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF CD ⊥.…………6分
∵DE ⊥平面ACD ，AF ?平面ACD ，∴DE AF ⊥.…………7分
又CD DE D =，故AF ⊥平面CDE .∵//BG AF ，∴BG ⊥平面CDE . ………9分 ∵BG ?平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE . ………10分(3)
解：在平面CDE 内，过F 作FH CE ⊥于H ，连BH . ∵平面BCE ⊥平面CDE ， ∴FH ⊥平面BCE .
∴FBH ∠为BF 和平面BCE 所成的角.…………12分
设
22AD DE AB a
===，则
2sin 452
FH CF a =?=
，
2222(3)2BF AB AF a a a =+=+=，
R t △FHB 中，2sin 4FH FBH BF ∠=
=.∴直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值为2
4
.……14分
19、【解】（1）解法一：连结AC ，BD 交于点O ，连结EO.∵四边形ABCD 为正方形，∴AO=CO，又∵PE=EC，∴PA∥EO，
∴∠DEO 为异面直线PA 与DE 所成的角……………………3分
∵面PCD⊥面ABCD ，AD⊥CD，∴AD⊥面PCD ，∴AD⊥PD .在Rt△PAD 中，PD=AD=a ，则a PA 2=
，
,22,23,2
2
21a DO a DE a PA EO ====
∴ 又,462
2
232212143cos 2
22=??-+=
∠∴a
a a
a a DEO ∴异面直线PA 与DE 的夹角为.4
6
arccos
……………………6分 （
2）取DC 的中点M ，AB 的中点N ，连PM 、MN 、PN. ,//,,//PAB DC PAB DC AB DC 面面∴?
∴D 到面PAB 的距离等于点M 到面PAB 的距离.……7分 过M 作MH⊥PN 于H ，∵面PDC⊥面ABCD ，PM⊥DC， ∴PM⊥面ABCD ，∴PM⊥AB，又∵AB⊥MN，PM∩MN=M， ∴AB⊥面PMN. ∴面PAB⊥面PMN ，∴MH⊥面PAB ， 则MH 就是点D 到面PAB 的距离.……10分 在,2
7)23(
,
2
3,,22a a a PN a PM a MN PMN Rt =+=∴==?中 .7212
723a a a
a PN
PM
MN MH =?
=?=
∴………12分
20、【解】 (1):作AH ⊥面BCD 于H ,连.DH 取BC 的中点O ,连AO 、DO , 则有,.AO BC DO BC ⊥⊥ ,.BC AOD BC AD ∴⊥∴⊥面……………6分
(2)设E 为所求的点,作EF CH ⊥于F ,连FD .则EF ∥AH ………7分
∴,EF BCD EDF ⊥∠面就是ED 与面BCD 所成的角,则30EDF ∠=?.……8分
设EF x =,易得21,,1.AH HC CF x FD x ====+则23t an ,
31EF x EDF FD x
∴∠===+………10分 解得2
,2 1.2x CE x =
==则
故线段AC 上存在E 点,且1CE =时,ED 与面BCD 成30?角.……12分
高中数学必修2立体几何测试题及答案（一）一，选择（共80分，每小题4分） 1，三个平面可将空间分成n个部分，n的取值为（） A，4；B，4，6；C，4，6，7 ；D，4，6，7，8。 2，两条不相交的空间直线a、b，必存在平面α，使得（） A，a?α、b?α；B，a?α、b∥α；C，a⊥α、b⊥α；D，a?α、b⊥α。 3，若p是两条异面直线a、b外的任意一点，则（） A，过点p有且只有一条直线与a、b都平行；B，过点p有且只有一条直线与a、b都垂直；C，过点p有且只有一条直线与a、b都相交；D，过点p有且只有一条直线与a、b都异面。 4，与空间不共面四点距离相等的平面有（）个 A，3 ；B，5 ；C，7；D，4。 5，有空间四点共面但不共线，那么这四点中（） A，必有三点共线；B，至少有三点共线；C，必有三点不共线；D，不可能有三点共线。 6，过直线外两点，作与该直线平行的平面，这样的平面可有（）个 A，0；B，1；C，无数；D，涵盖上三种情况。 7，用一个平面去截一个立方体得到的截面为n边形，则（） A，3≤n≤6 ；B，2≤n≤5 ；C，n=4；D，上三种情况都不对。 8，a、b为异面直线，那么（） A，必然存在唯一的一个平面同时平行于a、b；B，过直线b 存在唯一的一个平面与a平行；C，必然存在唯一的一个平面同时垂直于a、b；D，过直线b 存在唯一的一个平面与a垂直。 9，a、b为异面直线，p为空间不在a、b上的一点，下列命题正确的个数是（） ①过点p总可以作一条直线与a、b都垂直；②过点p总可以作一条直线与a、b都相交；③
过点p 总可以作一条直线与a 、b 都平行；④过点p 总可以作一条直线与一条平行与另一条垂直；⑤过点p 总可以作一个平面与一条平行与另一条垂直。 A ，1； B ，2； C ，3； D ，4。 10，异面直线a 、b 所成的角为80°，p 为空间中的一定点，过点p 作与a 、b 所成角为40° 的直线有（ ）条 A ，2； B ，3； C ，4； D ，6。 11，P 是△ABC 外的一点，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，PA=1、PB=2、PC=3，则△ABC 的 面积为（ ）平方单位 A ，25； B ，611； C ，27； D ，2 9。 12，空间四个排名两两相交，以其交线的个数为元素构成的集合是（ ） A ，{2，3，4}； B ，{1，2，3，}； C ，{1，3，5}； D ，{1，4，6}。 13，空间四边形ABCD 的各边与对角线的长都是1，点P 在AB 上移动 ，点Q 在CD 上移 动，点P 到点Q 的最短距离是（ ） A ，21； B ，22； C ，23； D ，4 3。 14，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，PA ⊥平面ABC ，PA=8，则P 到BC 的距离是（ ） A ，45； B ，43； C ，25； D ，23。 15，已知m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，下列命题正确的是（ ） ①若m 垂直于α内的无数条直线，则m ⊥α；②若m 垂直于梯形的两腰，则m 垂直于梯形所 在的平面；③若n ∥α，m ?α，则n ∥m ；④若α∥β，m ?α，n ⊥β，则n ⊥m 。 A ，①②③； B ，②③④； C ，②④； D ，①③。 16，有一棱长为1的立方体，按任意方向正投影，其投影最大面积为（ ）
空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1， 侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 （ ） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0 的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。 （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°， 求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。 专题09立体几何与空间向量选择填空题历年考题细目表 题型年份考点试题位置 单选题2019 表面积与体积2019年新课标1理科12 单选题2018 几何体的结构特征2018年新课标1理科07 单选题2018 表面积与体积2018年新课标1理科12 单选题2017 三视图与直观图2017年新课标1理科07 单选题2016 三视图与直观图2016年新课标1理科06 单选题2016 空间向量在立体几何中的应 用2016年新课标1理科11 单选题2015 表面积与体积2015年新课标1理科06 单选题2015 三视图与直观图2015年新课标1理科11 单选题2014 三视图与直观图2014年新课标1理科12 单选题2013 表面积与体积2013年新课标1理科06 单选题2013 三视图与直观图2013年新课标1理科08 单选题2012 三视图与直观图2012年新课标1理科07 单选题2012 表面积与体积2012年新课标1理科11 单选题2011 三视图与直观图2011年新课标1理科06 单选题2010 表面积与体积2010年新课标1理科10 填空题2017 表面积与体积2017年新课标1理科16 填空题2011 表面积与体积2011年新课标1理科15 填空题2010 三视图与直观图2010年新课标1理科14 历年高考真题汇编 1．【2019年新课标1理科12】已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（） A．8πB．4πC．2πD．π 2．【2018年新课标1理科07】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（） … 数学立体几何练习题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．如图，在正方体－A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为 A 1 B 和上 的点，A 1M ＝＝，则与平面1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定 2．将正方形沿对角线折起，使平面⊥平面，E 是中点，则AED ∠的大小为（ ） A.45 B.30 C.60 D.90 ] 3．，，是从P 引出的三条射线，每两条的夹角都是60o，则直线 与平面所成的角的余弦值为（ ） A ．12 B 。 3 C 。 3 D 。 6 4．正方体—A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是1与1的中点，则直线与D 1F 所成角的余弦值是 A ．15 B 。13 C 。12 D 。 3 5． 在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面的中心，E 、 F 分别是1CC 、的中点，那么异面直线和1FD 所成的角的余弦值等于（ ） A ． 5 10 B ．32 C ． 5 5 D ． 5 15 6．在正三棱柱1B 1C 1中，若2，A A 1=1，则点A 到平面A 1的距离为（ ） A ． 4 3 B ． 2 3 C ． 4 33 D ．3 ： 7．在正三棱柱1B 1C 1中，若1,则1与C 1B 所成的角的大小为 （ ） o B. 90o o D. 75o 8．设E ，F 是正方体1的棱和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对 角线中，与截面A 1成60°角的对角线的数目是（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.在正方体－A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱1和1的中点，则 〈CM ，1D N 〉的值为. 10．如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点， A 、B 、M 是顶点， 那么点M 到截面的距离是 . 11．正四棱锥的所有棱长都相等，E 为中点，则直线与截面所成的角为 ． 12．已知正三棱柱1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则 直线与平面B 1所成角的正弦值为 . ： 13．已知边长为的正三角形中，E 、F 分别为和的中点，⊥面， 且2，设平面α过且与平行，则与平面α间的距离 A B | D C 立体几何复习测试题及答案 高一数学立体几何复习题 必修2立体几何知识点 第一章：空间几何体的结构 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。 ⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相 平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫 做棱台。 2、空间几何体的三视图和直观图 把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线 照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。 3、 空间几何体的表面积与体积 ⑴ 圆柱侧面积；l r S ??=π2侧面；圆锥侧面积：l r S ??=π侧面 ⑵ 圆台侧面积：l R l r S ??+??=ππ侧面 （3）体积公式： h S V ?=柱体；h S V ?=31锥体；()h S S S S V 下下上上台体+?+=31 （4）球的表面积和体积：32344R V R S ππ==球球，. 第二章：点、直线、平面之间的位置关系 1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直 线。 4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行. 5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 6、线线位置关系：平行、相交、异面。 7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。 8、面面位置关系：平行、相交。 9、线面平行： ⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线 平行，则该直线与此平面平行。 ⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直 线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 10、面面平行： ⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平 面平行，则这两个平面平行。 ⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 11、线面垂直： ⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂 直。 ⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 ⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。 12、面面垂直： ⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 ⑶定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。 质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 第一部分：空间几何体的结构特征及其三视图和直观图 E B C D A 立体几何-球-专题学案 练习 1.下列四个命题中错误．． 的个数是 （ ） ①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个球的大圆 ②球面积是它大圆面积的四倍 ③球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长 A.0 B.1 C.2 D.3 2.一平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm ，则该球的体积是 A.3π100 cm 3 B.3π208 cm 3 C.3π500 cm 3 D.3 π34161 cm 3 3.某地球仪上北纬30°纬线的长度为12π cm ，该地球仪的半径是_____________cm ，表面积是_____________cm 2. 预备 1. 球心到截面的距离d 与球半径R 及截面的半径r 有以下关系： ． 2. 球面被经过球心的平面截得的圆叫 ．被不经过球心的平面截得的圆叫 ． 3. 在球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧长，这个弧长 叫 ． 4. 球的表面积表面积S ＝ ；球的体积V ＝ ． 5. 球面距离计算公式：__________ 典例剖析 （1）球面距离，截面圆问题 例1．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为 A.43 B.23 C.2 D. 3 练习： 球面上有三点A 、B 、C ，A 和B 及A 和C 之间的球面距离是大圆周长的41，B 和C 之间的球面距离是大圆周长的61，且球心到截面ABC 的距离是7 21，求球的体积． 例2. 如图，四棱锥A －BCDE 中，BCD E AD 底面⊥，且AC ⊥BC ，AE ⊥BE ． (1) 求证：A 、B 、C 、D 、E 五点都在以AB 为直径的同一球面上； (2) 若,1,3,90===∠AD CE CBE 求B 、D 两点间的球面距离． 立体几何 一、年考试大纲 二、新课标全国卷命题分析 三、典型高考试题讲评 2011—年新课标全国（1卷、2卷、3卷）理科数学分类汇编——11．立体几何 一、考试大纲 1．空间几何体 (1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. (2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图. (3)会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式. (4)会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求). (5)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式. 2．点、直线、平面之间的位置关系 (1)理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内. 公理2：过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补. (2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理. 理解以下判定定理. 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行. 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行. 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直. 如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直. 理解以下性质定理,并能够证明. 如果一条直线与一个平面平行,那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行. 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行. 垂直于同一个平面的两条直线平行. 如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直. 3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题. 4．空间直角坐标系 (1)了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置. (2)会推导空间两点间的距离公式. 二、新课标全国卷命题分析 立体几何小题常考的题型包括：（1）球体；（2）多面体的三视图、体积、表面积或角度，包括线线角、 立体几何大题专练 1、如图，已知P A⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别为AB、PC的中点； (1)求证：MN//平面PAD (2)若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD 2（本小题满分12分） 如图，在三棱锥P ABC -中，,E F分别为, AC BC的中点． （1）求证：// EF平面PAB； （2）若平面PAC⊥平面ABC，且PA PC =，90 ABC ∠=?， 求证：平面PEF⊥平面PBC． P A C E F （1）证明：连结EF , E 、F 分别为AC 、BC 的中点， //EF AB ∴. ……………………2分 又?EF 平面PAB ，?AB 平面PAB ， ∴ EF ∥平面P AB . ……………………5分 （2）PA PC =，E 为AC 的中点， PE AC ∴⊥ ……………………6分 又平面PAC ⊥平面ABC PE ∴⊥面ABC ……………………8分 PE BC ∴⊥……………………9分 又因为F 为BC 的中点， //EF AB ∴ 090,BC EF ABC ⊥∠=∴……………………10分 EF PE E = BC ∴⊥面PEF ……………………11分 又BC ?面PBC ∴面PBC ⊥面PEF ……………………12分 3. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。 （1）求证：BC 1//平面CA 1D ； （2）求证：平面CA 1D ⊥平面AA 1B 1B 。 4．已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是 AB 、PC 的中点． (1) 求证：EF ∥平面PAD ； (2) 求证：EF ⊥CD ； (3) 若∠PDA ＝45°，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小． M D' D C B A 立体几何单元测验题 一、选择题：把每小题的正确答案填在第二页的答题卡中，每小题4分，共60分 1．一个圆锥的底面圆半径为3，高为4，则这个圆锥的侧面积为 A ． 152 π B ．10π C ．15π D ．20π 2．C B A ,,表示不同的点，l a ,表示不同的直线，βα,表示不同的平面，下列推理错误的是 A ．ααα??∈∈∈∈l B l B A l A ,,, B ．,,,AB l l AB l αβαβαβ=⊥?⊥?⊥I C ．,l A l A αα?∈?? D ．βαβα与不共线，，且?∈∈C B A C B A C B A ,,,,,,重合 3．直线c b a ,,相交于一点，经过这3条直线的平面有 A ．0个 B ．1个 C ．3个 D ．0个或1个 4．下列说法正确的是 A ．平面α和平面β只有一个公共点 B ．两两相交的三条直线共面 C ．不共面的四点中，任何三点不共线 D ．有三个公共点的两平面必重合 5． 直线b a 与是一对异面直线，a B A 是直线,上的两点，b D C 是直线,上的两点，N M ，分别是BD AC 和的中点，则a MN 和的位置关系为 A ．异面直线 B ．平行直线 C ．相交直线 D ．平行直线或异面直线 6．已知正方形ABCD ，沿对角线ABC AC ?将折起，设AD 与平面ABC 所成的角为α，当α最大时，二面角D AC B --等于（ ） A ．090 B ．060 C ．045 D ．030 7．已知异面直线b a ,分别在平面βα,内，且βαI c =，直线c A ．同时与b a ,相交 B ．至少与b a ,中的一条相交 C ．至多与b a ,中的一条相交 D ．只能与b a ,中的一条相交 8．一个平面多边形的斜二侧图形的面积是S ，则这个多边形的面积是 A 2S B ．2S C ．22S D ．4S 9．直线l 在平面α外，则 A ．α//l B ．α与l 相交 C ．α与l 至少有一个公共点 D ．α与l 至多有一个公共点 10．如图，BD AB BD M AC M AB BD AC AB ，，平面，平面，⊥⊥?===1与平面M 成030角，则 D C 、间的距离为（ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．3 11．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系 立体几何 G5 空间中的垂直关系 18．、[2014·广东卷] 如图1-4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E. (1)证明：CF⊥平面ADF； (2)求二面角D- AF- E的余弦值． 图1-4 19．、[2014·湖南卷] 如图1-6所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD ＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形． (1)证明：O1O⊥底面ABCD； (2)若∠CBA＝60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值． 19．解：(1)如图(a)，因为四边形ACC1A1为矩形，所以CC1⊥AC.同理DD1⊥BD. 因为CC1∥DD1，所以CC1⊥BD.而AC∩BD＝O，因此CC1⊥底面ABCD. 由题设知，O1O∥C1C.故O1O⊥底面ABCD. (2)方法一：如图(a)，过O1作O1H⊥OB1于H，连接HC1. 由(1)知，O1O⊥底面ABCD O1O⊥A1C1. 又因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形A1B1C1D1是菱形， 因此A1C1⊥B1D1，从而A1C1⊥平面BDD1B1，所以A1C1⊥OB1，于是OB1⊥平面O1HC1. 进而OB1⊥C1H.故∠C1HO1是二面角C1-OB1-D的平面角． 不妨设AB ＝2.因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1，OB 1＝7. 在Rt △OO 1B 1中，易知O 1H ＝OO 1·O 1B 1OB 1＝237.而O 1C 1＝1，于是C 1H ＝O 1C 21＋O 1H 2 ＝ 1＋12 7 ＝ 197 . 故cos ∠C 1HO 1＝O 1H C 1H ＝ 23 7197 ＝25719. 即二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为257 19 . 方法二：因为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 是菱形，因此AC ⊥BD .又O 1O ⊥底面ABCD ，从而OB ，OC ，OO 1两两垂直． 如图(b)，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O -xyz ，不妨设AB ＝2.因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1，于是相关各点的坐标为O (0，0，0)， B 1(3，0，2)， C 1(0，1，2)． 易知，n 1＝(0，1，0)是平面BDD 1B 1的一个法向量． 设n 2＝(x ，y ，z )是平面OB 1C 1的一个法向量，则?????n 2·OB →1＝0，n 2·OC →1＝0，即???3x ＋2z ＝0， y ＋2z ＝0. 取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23，所以n 2＝(2，23，－3)． 设二面角C 1-OB 1-D 的大小为θ，易知θ是锐角，于是 cos θ＝|cos 〈，〉|＝??????n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝2319＝25719. 故二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为25719 . 19． 、、[2014·江西卷] 如图1-6，四棱锥P - ABCD 中，ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD . 图1-6 (1)求证：AB ⊥PD . 高三立体几何专题复习 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高考立体几何专题复习 一．考试要求： （1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图，能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。 （2）了解空两条直线的位置关系，掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念（对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离）。 （3）了解空间直线和平面的位置关系，掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，理解直线和平面垂直的判定定理和性质定理，掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念，了解三垂线定理及其逆定理。 （4）了解平面与平面的位置关系，掌握两个平面平行的判定定理和性质定理。掌握二面角、二面角的平面角、两个平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。 （5）会用反证法证明简单的问题。 （6）了解多面体的概念，了解凸多面体的概念。 （7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。 （8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。 （9）了解正多面体的概念，了解多面体的欧拉公式。 （10）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式。 二．复习目标： 1．在掌握直线与平面的位置关系(包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系)的基础上，研究有关平行和垂直的的判定依据(定义、公理和定理)、判定方法及有关性质的应用；在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能，并探索立体几何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用． 2．在掌握空间角(两条异面直线所成的角，平面的斜线与平面所成的角及二面角)概念的基础上，掌握它们的求法(其基本方法是分别作出这些角，并将它们置于某个三角形内通过计算求出它们的大小)；在解决有关空间角的问题的过程中，进一步巩固关于直线和平面的平行垂直的性质与判定的应用，掌握作平行线(面)和垂直线(面)的技能；通过有关空间角的问题的解决，进一步提高学生的空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力． 3．通过复习，使学生更好地掌握多面体与旋转体的有关概念、性质，并能够灵活运用到解题过程中．通过教学使学生掌握基本的立体几何解题方法和常用解题技巧，发掘不同问题之间的内在联系，提高解题能力． 4．在学生解答问题的过程中，注意培养他们的语言表述能力和“说话要有根据”的逻辑思维的习惯、提高思维品质．使学生掌握化归思想，特别是将立体几何问题转化为平面几何问题的思想意识和方法，并提高空间想象能力、推理能力和计算能力． 5．使学生更好地理解多面体与旋转体的体积及其计算方法，能够熟练地使用分割与补形求体积，提高空间想象能力、推理能力和计算能力． 三．教学过程： （Ⅰ）基础知识详析 重庆高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题1--2道, 解答题1道), 共计总分20分左右,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立 数学立体几何练习题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上 的点，A 1M ＝AN ＝ 2a 3 ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定 2．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面CBD ，E 是CD 中点，则AED ∠的大小为（ ） A.45 B.30 C.60 D.90 3．PA ，PB ，PC 是从P 引出的三条射线，每两条的夹角都是60o，则直线PC 与平面PAB 所成的角的余弦值为（ ） A ． 12 B C D 4．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1与CC 1的中点，则直线ED 与D 1F 所成角的余弦值是 A ． 15 B 。13 C 。 12 D 5． 在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、 AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于（ ） A ．510 B ．3 2 C ．55 D ．515 6．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2，A A 1=1，则点A 到平面A 1BC 的距离为（ ） A ． 4 3 B ． 2 3 C ． 4 3 3 D ．3 7．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2BB 1,则AB 1与C 1B 所成的角的大小为 （ ） A.60o B. 90o C.105o D. 75o 8．设E ，F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面 A 1ECF 成60°角的对角线的数目是（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则 sin 〈CM ，1D N 〉的值为_________. 10．如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点， A 、B 、M 是顶点， 那么点M 到截面ABCD 的距离是 . A B M D C 第一章《空间几何体》单元测试题 （时间：60分钟，满分：100分）班别座号姓名成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1、图（1）是由哪个平面图形旋转得到的（） A B C D 2、过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分 的面积之比为（） A.1：2：3 B.1：3：5 C.1：2：4 D1：3：9 3、棱长都是1的三棱锥的表面积为（） A. 3 B. 23 C. 33 D. 43 4、已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，则V1：V2= A. 1：3 B. 1：1 C. 2：1 D. 3：1 5、如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为( ) A.8:27 B. 2:3 C.4:9 D. 2:9 6 A.24πcm2，12πcm3 B.15πcm2，12πcm3 C.24πcm2，36πcm3 D.以上都不正确 7、一个球的外切正方体的全面积等于6 cm2，则此球的体积为（） A.3 3 4 cm π B. 3 8 6 cm π C. 3 6 1 cm π D. 3 6 6 cm π 8、一个体积为3 8cm的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是 A．2 8cm π B．2 12cm π C．2 16cm π D．2 20cm π 9、一个正方体的顶点都在球面上，此球与正方体的表面积之比是（） A. 3 π B. 4 π C. 2 π D. π 10、如右图为一个几何体的 三视图，其中府视图为 正三角形，A1B1=2， AA1=4，则该几何体的表面积为 (A)6+3 (B)24+3 (C)24+23 (D)32 A B 1 C 正视图侧视图府视图 立体几何大题专练 1、如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别为AB 、PC 的中点； (1)求证：MN//平面PAD (2)若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD 2（本小题满分12分） 如图，在三棱锥P ABC -中，,E F 分别为,AC BC 的中点． （1）求证：//EF 平面PAB ； （2）若平面PAC ⊥平面ABC ，且PA PC =，90ABC ∠=?， 求证：平面PEF ⊥平面PBC ． P A C E B F （1）证明：连结EF , E 、F 分别为AC 、BC 的中点， //EF AB ∴. ……………………2分 又?EF 平面PAB ，?AB 平面PAB ， ∴ EF ∥平面P AB . ……………………5分 （2）PA PC = ，E 为AC 的中点， PE AC ∴⊥ ……………………6分 又 平面PAC ⊥平面ABC PE ∴⊥面ABC ……………………8分 PE BC ∴⊥……………………9分 又因为F 为BC 的中点， //EF AB ∴ 090,BC EF ABC ⊥∠=∴ ……………………10分 EF PE E = BC ∴⊥面PEF ……………………11分 又BC ? 面PBC ∴面PBC ⊥面PEF ……………………12分 3. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。 （1）求证：BC 1//平面CA 1D ； （2）求证：平面CA 1D⊥平面AA 1B 1B 。 4．已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是 AB 、PC 的中点． (1) 求证：EF ∥平面PAD ； (2) 求证：EF ⊥CD ； (3) 若∠PDA ＝45°，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小． 2010年高考立体几何专题复习 岱山中学 孙珊瑚 鲁纪伟 高考立体几何试题一般有选择、填空题, 解答题,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的发展.从历年的考题变化看, 以简单几何体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题. 一、知识整合 1．有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力． 2.判定两个平面平行的方法： （1）根据定义——证明两平面没有公共点； （2）判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面； （3）证明两平面同垂直于一条直线。 3.两个平面平行的主要性质： ⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。 ⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 ⑶两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那 么它们的交线平行”。 ⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。 ⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。 以上性质⑵、⑷、⑸、⑹在课文中虽未直接列为“性质定理”，但在解题过程中均可直接作为性质定理引用。 4.空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决． 空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概 念，由它们的定义，可得其取值范围，如两异面直线所成的角θ∈(0，2π]，直线与平面所成的角θ∈0,2π?? ???? ， 二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角θ∈[0，π]． 对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力． 如求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）与向量法；求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角；而求二面角－l －的平面角（记作）通常有以下几种方法： (1) 根据定义； (2) 过棱l 上任一点O 作棱l 的垂面，设∩＝OA ，∩＝OB ，则∠AOB ＝ ； (3) 利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面内一点A ，分别作另一个平面的垂线AB (垂足为B ),或棱l 的垂线AC (垂足为C )，连结AC ，则∠ACB ＝ 或∠ACB ＝－； (4) 设A 为平面外任一点，AB ⊥，垂足为B ，AC ⊥，垂足为C ，则∠BAC ＝或∠BAC ＝－； (5) 利用面积射影定理，设平面内的平面图形F 的面积为S ，F 在平面内的射影图形的面积为S ，则cos ＝S S ' . 5.空间的距离问题，主要是求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间（限于给出公垂线 2 专题一 立体几何 班级： _____ 姓名： _____ 学号： _____ 一、选择题(4 分×10=40 分) 1．直线 l , l 和 α ， l // l ， a 与 l 平行，则 a 与 l 的关系是 1 2 1 2 1 2 A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．以上都可能 2．若线段 AB 的长等于它在平面内射影长的 3 倍，则这条斜线与平面所成角的余弦值为 A ． 1 3 B ． 2 2 2 2 C ． D ． 3 3 3．在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，B 1C 与平面 DD 1B 1B 所成的角的大小为 A ．15 B ． 30 C ． 45 D ． 60 4．有下列命题：①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则其中 任何三点不共线；③空间四点中有三点共线，则此四点共面；④空间四点中任何三点 不共线，则此四点不共面．其中正确的命题是 A ．②③ B ．①②③ C ．①③ D ．②③④ 5．有一山坡，倾斜度为 300，若在斜坡平面上沿着一条与斜坡底线成 450 角的直线前进 1 公里，则升高了 A ． 250 2 米 B ． 250 3 米 C ． 250 6 米 D ． 500 米 6．已知三条直线 a , b , l 及平面 α , β ，则下列命题中正确的是 A ． 若b ? α , a // b , 则a // α B ．若 a ⊥ α , b ⊥ α ，则 a // b C ． 若 a ? α ,α β = b ，则 a // b D ．若 a ? α , b ? α , l ⊥ a , l ⊥ b , 则 l ⊥ α 7．已知 P 是△EFG 所在平面外一点，且 PE=PG ，则点 P 在平面 EFG 内的射影一定在△EFG 的 A ．∠FEG 的平分线上 B ．边 EG 的垂直平分线上 C ．边 EG 的中线上 D ．边 EG 的高上 8．若一正四面体的体积是18 2 cm 3，则该四面体的棱长是 A ． 6cm B ． 6 3 cm C ．12cm D ． 3 3 cm 9．P 是△ABC 所在平面α 外一点，PA ，PB ，PC 与α 所成的角都相等，且 PA ⊥BC ，则 △ABC 是 A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 3 10．如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 3 的正方形，EF//AB ，EF= ，EF 2 与面 AC 的距离为 2，则该多面体的体积为 E F A ．2 B ．4 C ． 2 2 D ． 4 2 D C 二、填空题(4 分×4=16 分) A B 11．空间四边形 ABCD 中，AB=6，CD=8，E 、F 、G 分别是 BD ，AC ，BC 的中点，若异面直 2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何（一） 1.如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，⊥PD 平面ABCD ， 2PD AB ==，点,,E F G 分别为,,PC PD BC 的中点. (1)求证：EF PA ⊥； (2)求二面角D FG E --的余弦值. 2.如图所示，该几何体是由一个直角三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成，AF AD ⊥，2AE AD ==. (1)证明：平面⊥PAD 平面ABFE ； (2)求正四棱锥P ABCD -的高h ，使得二面角C AF P --的余弦值是 22 . 3.四棱锥P ABCD -中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是 面积为ADC ∠为锐角，M为PB的中点． （Ⅰ）求证：PD∥面ACM． （Ⅱ）求证：PA⊥CD． （Ⅲ）求三棱锥P ABCD -的体积． 4.如图，四棱锥S ABCD -满足SA⊥面ABCD，90 DAB ABC ∠=∠=?．SA AB BC a ===，2 AD a =． （Ⅰ）求证：面SAB⊥面SAD． （Ⅱ）求证：CD⊥面SAC． S B A D M C B A P D 5.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，测棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，点E 是 BC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于F ． （Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PBC ． （Ⅱ）求证：PB ⊥平面EFD ． 6.在直棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，设1AB 中点为D ，1A C 中点为E ． （Ⅰ）求证：DE ∥平面11BCC B ． （Ⅱ）求证：平面11ABB A ⊥平面11ACC A ． E D A B C C 1 B 1 A 1 D A B C E F P 第一章 空间几何体 [基础训练A 组] 一、选择题 1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( ) A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对 2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） 3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在 同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ） A B 2 C ． 5．在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周， 则所形成的几何体的体积是（ ） A. 92π B. 72π C. 52π D. 32 π 6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长 分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 二、填空题 1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点， 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。 2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。 3．正方体1111ABCD A BC D - 中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ， 则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。 4．如图，,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形 E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。 5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个 长 方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________. 三、解答题 1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用） ，已建的仓库的 主视图 左视图 俯视图2021高考数学立体几何专题
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