对数正态总体参数的信仰区间估计

第３ｌ卷第３期　２０１１年ｌ２月　上饶师范学院学报　

ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＳＨＡＮＧＲＡＯ　ＮＯＲＭＡＬ　ＵＮＩＶＥＲＳⅡＹ　Ｖ０１．３１．Ｎｏ．６　

Ｄｅｃ．２Ｏｌ１　

对数正态总体参数的信仰区间估计　徐健　（上饶师范学院，江西上饶３３４００１）　

摘要：用信仰推断法给出了对数正态总体位置参数和尺度参数的信仰区间估计，并与由枢轴量法得到的置信　区间估计进行了比较，得出一致的结果。　关键词：对数正态总体；参数；信仰区间；置信区间　中图分类号：０２３１．４　文献标识码：Ａ　文章编号：１００４—２２３７（２０１２）ｏ３—００１５—０６　Ｄ０Ｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００４—２２３７．２０１２．０３．ＯＯ４　

对数正态总体是数理统计中的重要分布之一，在实际中有着广泛的应用价值，在电子产品的可靠性分析　中，常被作为电子产品的寿命分布。本文分别用信仰推断法和枢轴量法给出对数正态总体参数的区间估计，　得到了一致的结果。　・　

１　基本引理　设总体Ｘ有概率密度函数为　ｐ（　）＝　王１　ｅ一‘　‘　，　＞０　

其中一∞＜　＜＋。。，　＞Ｏ，则称Ｘ服从参数为　，　的对数正态总体。记为Ｘ一　（　，　）　引理１　若随机变量Ｘ～ＬＮ（ｔ，，　），Ｙ＝１ｎＸ，则Ｙ～Ⅳ（　，盯　）　证明　Ｙ＝Ｉ　，反函数为　＝ｅｙ，于是　（），）＝　１　ｅ一　２　’　：　１　ｅ山　胞　一Ⅳ（　，盯　）　

证毕。　引理２　设Ｘｌ，Ｘ２，…，　是来自对数正态分布ＬＵ（ｔ￣，　）的一个简单随机样本。记　

一ｌ　ｎＸ：　

。

ｌ　，Ｑ｛：　（１　一一ｌｎＸ）　，ｓ｛：　（１啦一丽）　＝　，则　

（１）（一ｌｎＸ，ｓ｛）是参数（　，　）的充分统计量　（２）１ｎＸ～Ｊ７ｖ（　，　）　（３）　～　ｃｎ一　收稿日期：２０１１—１１—０３　作者简介：徐健（１９５卜），女，教授，主要从事概率统计应用研究。　ｌ６　上饶师范学院学报　２０１１（第３１卷）　（４）—ｌｎ—Ｘ与Ｑ｛相互独立，从　与Ｉｓ｛相互独立。　证明　（１）Ｘｌ，Ｘ２，…，　的联合密度函数为　ｐ（　。，　一，　）：（２斯　）一ｅｘｐ｛一　ｎ（１　，一　）　）　

：（２ｒｃａ２）一ｅｘｐ｛一去【　耋（１　一　）　＋　（　一　）　】）　根据因子分解定理即知，（　，Ｑ；）是参数（　，　）的充分统计量，从而（Ｔ　，ｓ｛）也是参数（　，　）的充　分统计量。　（２）　（４）：ｘ１，　，…，Ｘ　是对数正态总体的样本，则　＝ｌ　，ｉ＝１，２，……，　是正态总体的样本。对　

正态总体样本，结论成立［１ｊ。　

２　函数模型与信仰分布　设Ｘ１，Ｘ２，…，％是来自对数正态分布ｔｓｖ（ｔ￣，ａ２）的一个简单随机样本，由引理２的（２）、（３）　孚　Ⅳ（０’１），　１２～Ｚ２（　）　￡　

孚　记　１　Ｑ｛　【ｅ２一　２　则。　～Ｎ（０，１），ｅ２～　ｎ—１），且ｅｌ，－￣—ｌｎ—Ｘ的函数，ｅｌ是Ｑ｛的函数，由引理２的（４），ｅｌ，ｅ２是相互独立的。　因此得函数模型　ｆ丽　＋　・　（１）　【Ｑ｛：ｄ　：　此函数模型中的观察值、参数和误差变量分别为（Ｔ　，Ｑ；），（　，盯　）和（ｅｌ，ｅ２）。从（１）式可以得出　

ｌ口　：　当样本观察值确定，参数　，　均是（ｅｌ，ｅ２）的函数。　定理ｌ　设　ｌ，　，…，墨是来自对数正态分布　（　，　）的一个简单随机样本，则参数（　，盯　）的联合　信仰密度函数为　

ｐｃ　，　，＝　踽ｃ　一　｛一　＿＝＿　），一∞＜　＜＋∞，口２＞。　

（３）　的边际信仰密度函数为　）：　－】，一∞＜　＜＋∞　（４）　

即　的边际信仰密度函数为ｔ分布，其中ｔ（ｘ　Ｉ　ｎ一１）是ｆ（ｎ一１）分布的密度函数。　的沩际信仰密摩函数为　第６期　徐　健：对数正态总体参数的信仰区间估计　ｌ７　）：　１　２【　・　＞。　即　的边际信仰密度函数为倒　分布，其中　ｘ　ｌ凡一１）是Ｘ２（儿一１）分布的密度函数。　证明　因ｅｌ—Ｎ（Ｏ，１），ｅ２一ｚ２（ｎ—１），ｅｌ，ｅ２相互独立，得（ｅｌ，ｅ２）的联合密度函数为　

）　１一　翻１　ｙ　ｅ一　

令　变换雅可比行列式为　Ｊ＝　Ｏｘ　Ｏｘ　ａ　ａ　

ｏｒ亟　ａ　２　

—２　俯【　】　

（５）　ｙ　－１ｅ－（１２＋ｙ）／２，一ｏ。＜　＜＋∞，ｙ＞０　

√ｒｔ（１　ｎＸ一　）　＝一　ｄｒ　

Ｑ｛　ｙ　

一Ｇ一　６２　

。一　：ＪｎＱ］（　）一专　

政　，　。　列职苗１舌ｔｒｌＪ苗厦凼效刀　ｐ（　，盯２）＝ｐ。．　【　（　，　２），），（　，０－２）】Ｉ　Ｊ　Ｉ　

＝　褊ｃ盯　一　ｅ　｛一　兰－＝二　），一∞＜　＜＋∞，　２＞。　

将ｐ（　，盯　）对　从０到＋∞积分，可得／ｚ的边际信仰密度函数为　ｃ　＝－ｆ：　ｐ　，　ｄｐ　ｃ盯　＝　踽　ｃ　，一　｛一　＿＝－＿　）如　

：皿ｔ．，／—ｎ（ｎ—－１）（，ｕ－一ｌｎＸ）Ｑｌ　Ｉ　—ｌ】　一　

。　一　Ｊ　

：　】．　一∞＜　＜＋∞　

＝　唧｛一薯）＋　ｅｏ一　）　

＝　｛一摹　Ｉ　ｅ　＝　１　２　［　Ｑ　￣一ｎ一－】，盯２＞。。证毕。　３　位詈鑫教的信仰区间估计　３．１　位置参数的信仰区间估计　根据区间长度应尽可能短的精度要求，位置参数　的１一ａ的信仰区间［Ａ　，金　］应满足　

（８）　

一　上　一　丽　亟ｙ　＝　＝　比１８　上饶师范学院学报　２０１１（第３ｌ卷）　将（８）式进一步化街　Ｐ（Ａ　≤　≤Ａ　）＝　ｐ　（　）ｄ　＝　Ｊ　ｔ【　・ｎ一・】ｄ　＝・一　

由　（　）＝　（金　）等价于：　【　・ｎ一・】＝ｔ【　三　，　一１１　（９）　

￣Ｔ（一ｌｎＸ　）是充分统　记　，　＇贝ｆＪ（９）式化简为．　ｔ（　ｌ　Ｉ　ｎ一１）＝ｔ（Ｊｊ｝２　ｌ　ｎ一１）　即有　ｋ　＝ｋ　因此（８）式等价于　Ｊ　ｆ　ｎ一　）　＝　一ａ　（１０）　【　＝　由（１０）式可以看出后１与｜］｝２是仅与ｎ有关的常数。　￡（ｎ一１）分布密度函数是偶函数，取ｆ　ｔ（ｘＩｎ—１）ｄｘ：号，ｆ　１乏　ｔ（ｘＩｎ一１）ｃｂ【＝号，即．ｊ｝　＝ｆ号（ｎ—１）　＝一　，　号（ｎ—１），ｋｚ：ｔ　昔（ｎ一１），此时区间　［Ａ　，　【　＋　Ｓｌ丽＋　

的长度￡：拿（后２一后１）：２　Ｓｌｔ　（ｎ一１）仅与ｎ有关，在样本观察值确定时是定值。由此得出如下定理２：　定理２　在引理２的条件下，位置参数　的信仰水平为１一口的信仰区间为：　【　一　Ｓｌ　ｎ－１），丽十　Ｓｌ　ｎ－１）】　

注：由（６）式中的　丛　～　（ｎ一１），及　Ｐ［１　Ｉ≤　一ａ　

可以推出与定理１相同的结果。　３．２　位置参数　的置信区间估计　

未知时’由弓【理２，　州ｏ＇１），　０，２：　（ｎ－１），　相互独立，根　据￡分布的定义［　］：　

＝　～　（ｎ一１）　对给定的ａ（０＜口＜１），由ｆ（ｎ一１）分布的分位数定义，有　Ｐ【Ｉ　ｅ　ｌ≤ｅ．甘（　一・）】：Ｐ【Ｉ　五　ｌ≤ｔ　一｛（ｎ一・）】・一ａ　

得　的置信水平为１一ａ的置信区间为：　［丽一　Ｓｌ　－１），　＋　Ｓｌ　－１）】　第６期　徐　健：对数正态总体参数的信仰区间估计　ｌ９　可见　的信仰水平为１一口的信仰区间与　的置信水平为１一口的置信区间一致。　４　尺度参数　２的信仰区间估计　４．Ｉ　尺度参数　的信仰区间估计　根据区间长度应尽可能短的精度要求，尺度参数　的水平为Ｉ一口的信仰区间［　，合：］应满足　

Ｔ＇．Ｚ　ＡＺ　＇２　Ａ　２）＝ｍ（ｏ２）　＝　～．　（１１）　Ｌ　（盯Ａ２。）＝　（　）　

将（１１）式进一步化简　Ａ２　Ｚ＝＝

ｊ　ｌ　（ａ２）ｄ０２＝Ｊ葬　ｎ一１】　＝１一Ｑ　

由　（ｄＡ２。）＝　（　）等价于：　南　…］＝　一】　

由于（　，ｓ｛）是充分统计量，记　＝ａ　ｓ｛，　＝ｂ　ｓ；，即得　【　－　一，】＝　１　【　・　一　】　

或　口一　ｅ一　：６一　ｅ一　因此（１１）式等价于　嚼　ｎ一－】ｄｏ２小ａ　【　・ｎ一－】＝　１　ｘ２［　ｎ－１　－］　（１２）　

由（１２）式司以看出口，６也是仅与　确‘关的常数。由此口Ｊ得定理３ｏ　定理３　在引理２的条件下，尺度参数　的水平为１一ａ的信仰区间为：　

【ｎ　ｓ｛，ｂ　ｓ｛，】　其中０，ｂ由（１２）式确定。　在实际应用中，　的水平为１一ａ的信仰区间，常取口，ｂ满足条件　

＝　凡一１），－ｇ　＝ｚ：　（凡一１）　，一　凡一　，　Ｚ・ｎ　凡一　于是　的水平为１一口的实用信仰区间为　［　１，　】　【　：　。，２（凡一　）’　：　（ｎ一１）Ｊ　、‘。　

４．２　尺度参数ｄ　的置信区间估计　

由　～　２（ｎ—１），应存在后１，后２满足　

Ｐ【ｋ　≤　二　曼≤ｋ２】＝Ｊ：　（ｘｌｎ一１）ｄｘ＝ｌ—ａ　

则区间【　坦，　坦】就是　ｚ的置信水平１一口的置信区间。该区间的平均长度为　￡：（去一　）盯２　Ｅ｛　旦—　ｊ　）＝（ｎ—１）（袁一袁）