7.3参数的区间估计

无法判别两个总体均值的大小
2.两个总体方差比12/22的置信度为1 的置信区间
选12/22的点估计为S12/S22
S ~F(n11,n21) 取 S
2 1 2 2 2 1 2 2
对于给定的置信度1,有 2 2 S1 1 P{ F1 ( n1 1, n2 1) 2 2 F ( n1 1, n2 1)} 2 2 S2 2 =1
n1

2
S ( n 1)} 1
2 2
2
f(x)
o a
b
x
( n 1) S ( n 1) S 2 P{ 2 2 } 1 ( n 1) 1 ( n 1)
2 2
2 2
∴2的置信度为1的置信区间为:
( n 1) S ( n 1) S ( 2 , 2 ) ( n 1) 1 ( n 1)
S 1 S 1 P{ } S F ( n1 1, n2 1) S F1 ( n1 1, n2 1)
2 1 2 2
2
2 1 2 2
2 1 2 2
2
=1 ∴12/22的置信度为1的置信区间为:
S12 1 S12 1 ( 2 , 2 ) S 2 F ( n1 1, n2 1) S 2 F1 ( n1 1, n2 1)
1 1 ( X Y ) t ( n1 n2 2) S , 2 n1 n2 ( X Y ) t ( n1 n2 2) S
2
1 1 n1 n2
)
12的置信区间的含义:
12的置信下限大于0 1>2
12的置信上限小于0 1<2 12的置信区间包含数0

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a1(1, ,k )=v1
1 f1(v1, ,vk )
假定方程组a2(1, ,k ) v2 ,则可求出2 f2(v1, ,vk )
ak (1, ,k ) vk
k fk (v1, ,vk )
则x1 xn为X的样本值时，可用样本值的j阶原点矩Aj估计vj，其中
Aj
1 n
n i1
xij ( j
L(x1, ,xn;ˆ)maxL(x1, ,xn;)，则称ˆ(x1, ,xn)为
的一种参数估计方法 .
它首先是由德国数学家
高斯在1821年提出的 ,然而， 这个方法常归功于英国统
Gauss
计学家费歇（Fisher） . 费歇在1922年重新发现了
这一方法，并首先研究了这
种方法的一些性质 .
Fisher
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极大似然估计是在已知总体分布形式的情形下的 点估计。
极大似然估计的基本思路：根据样本的具体情况
注：估计量为样本的函数，样本不同，估计量不 同。
常用估计量构造法：矩估计法、极大似然估计法。
4
7.1.1 矩估计法
矩估计法是通过参数与总体矩的关系，解出参数， 并用样本矩替代总体矩而得到的参数估计方法。 （由大数定理可知样本矩依概率收敛于总体矩， 且许多分布所含参数都是矩的函数）
下面我们考虑总体为连续型随机变量的情况：
n
它是的函数，记为L(x1, , xn; ) f (xi , ), i 1
并称其为似然函数，记为L( )。
注：似然函数的概念并不仅限于连续随机变量 ，
对于离散型随机变量，用 P {Xx}p(x,)
替代f ( x, )
即可。
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设总体X的分布形式已知，且只含一个未知参数，

S S X tα / 2 ( n 1) , X tα / 2 ( n 1) n n
二．正态总体均值与方差的置信区间
S S X tα / 2 ( n 1) , X tα / 2 ( n 1) n n
例题 1
有一大批糖果。现从中随机地取16袋，称得重量 （以克计）如下：
称随机区间 X 1.96 15 , X 1.96 15

为未知参数 的置信度为0.95的置信区间.
置信区间的意义
反复抽取容量为5的样本,都可得一个
区间,此区间不一定包含未知参数 的真
值, 而包含真值的区间占95%. 若测得 一组样本值, 算得 x 1.86 则得一区间 (1.86 – 0.877, 1.86 + 0.877) 它可能包含也可能不包含 的真值, 反复 抽样得到的区间中有95%包含 的真值.
注 记
（2）概率等式
确定方法： ◆ 当 W 的分布为对称时，可取 a = - b ，使得
Pa W b 1 中 a, b 的 α
P b W b 1 α
此时，b 为随机变量 W 的 上 /2 分位点。 ◆ 当 W 的分布为非对称时，可取a, b ，使得
P a α / 2 W
( n 1) S 2 , 2 χ ( n 1) α/2
( n 1) S
( n 1) S 2 χ1α / 2 (n 1)
2
χ
2 α/2
,
( n 1)
( n 1) S 2 χ1α / 2 (n 1)
P b α / 2 W
此时，b 为随机变量 W 的 上 /2 分位点，

§7.3参数的区间估计一、置信区间的概念设θ是总体X 的未知参数，1ˆθ和2ˆθ是统计量，若对于给定的α（10<<α），有αθθθ-=≤≤1}ˆˆ{21P ，则称]ˆ,ˆ[21θθ是参数θ的置信度为α-1的置信区间．二、单个正态总体的置信区间以下设总体X ～),(2σμN ，n x x x ,,,21 是X 的样本，置信水平为α-1． 1．已知202σσ=时μ的置信区间（1）选用样本函数：nx u /0σμ-=～)1,0(N ；（2）令αα-=≤1}|{|2/u u P ，即αα=>}|{|2/u u P ，有21)(2/αα-=Φu ，反查P .195标准正态分布表，求出2/αu （考试时直接给出）；（3）解不等式2/||αu u ≤，得μ的置信区间：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+⋅-n u x n u x 02/02/,σσαα．例1（P .157例7-18）设总体（直径）X ～)06.0,(μN ，样本观测值为1.15,2.15,8.14,9.14,1.15,6.14，求平均直径μ的置信区间：（1）05.0=α；（2）01.0=α．（96.1025.0=u ，576.2005.0=u ）解 已知06.020=σ，6=n ，算得95.14=x ． （1）05.0=α时，96.1025.02/==u u α，196.01.096.1606.096.102/=⨯=⨯=⋅nu σα，μ的置信度为95%的置信区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+⋅-n u x n u x 02/02/,σσαα]146.15,754.14[]196.095.14,196.095.14[=+-=；（2）01.0=α时，576.2005.02/==u u α，2576.01.0576.2606.0576.202/=⨯=⨯=⋅nu σα，μ的置信度为99%的置信区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+⋅-n u x n u x 02/02/,σσαα]2076.15,6924.14[]2576.095.14,2576.095.14[=+-=． 例2（P .157例7-19）设总体（物体重量）X ～)1.0,(2μN ，9=n ，4.15=x ，求物体平均重量μ的0.95置信区间．（96.1025.0=u ）解 1.00=σ，9=n ，4.15=x ，05.0=α，96.1025.02/==u u α，0653.091.096.102/=⨯=⋅nu σα，μ的0.95置信区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+⋅-n u x n u x 02/02/,σσαα]4653.15,3347.15[]0653.04.15,0653.04.15[=+-=．例3（P .157例7-20）设总体X ～)1,(μN ，为使μ的0.95置信区间长度不超过1.2，样本容量n 应为多大？（96.1025.0=u ）解 10=σ，05.0=α，96.1025.02/==u u α，为使置信区间长度2.1196.12202/≤⨯⨯=⋅nnu σα，只要2.196.12⨯≥n ，1167.102.196.122≈=⎪⎭⎫⎝⎛⨯≥n ，即样本容量至少为11．2．未知2σ时μ的置信区间 （1）选用样本函数：ns x t /μ-=～)1(-n t ；（2）令αα-=-≤1)}1(|{|2/n t t P ，即αα=->)}1(|{|2/n t t P ，有2)}1({2/αα=->n t t P ，查t 分布表，求出)1(2/-n t α（考试时直接给出）；（3）解不等式)1(||2/-≤n t t α，得μ的置信区间：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-+⋅--n s n t x n s n t x )1(,)1(2/2/αα．例4（P .158例7-21）设总体（寿命）X ～),(2σμN ，σ未知，12=n ，样本观测值为（略），求平均寿命μ的0.95置信区间．（2010.2)11(025.0=t ）解 12=n ，05.0=α，2010.2)11()1(025.02/==-t n t α，算得7092.4=x ，0615.02=s ，1576.00716.02010.2120615.02010.2)1(2/=⨯=⨯=⋅-ns n t α，μ的0.95置信区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-+⋅--n s n t x n s n t x )1(,)1(2/2/αα]1576.07092.4,1576.07092.4[+-=]8668.4,5516.4[=．3．2σ的置信区间 （1）选用样本函数：222)1(σχsn -=～)1(2-n χ；（2）令αχχχαα-=-≤≤--1)}1()1({22/222/1n n P ，由21)}1({22/12αχχα-=->-n P 和2)}1({22/2αχχα=->n P ，查2χ分布表，求出)1(22/1--n αχ和)1(22/-n αχ（考试时直接给出）；（3）解不等式)1()1(22/222/1-≤≤--n n ααχχχ，得2σ的置信区间： ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----)1()1(,)1()1(22/1222/2n sn n s n ααχχ． 注：开方可得σ的置信区间．例5（P .159例7-22）设总体（零件重量）X ～),(2σμN ，9=n ，样本观测值为（略），求总体标准差σ的0.95置信区间．（1797.2)8(2975.0=χ，5345.17)8(2025.0=χ）解 9=n ，05.0=α，1797.2)8()1(2975.022/1==--χχαn ，5345.17)8()1(2025.022/==-χχαn ，算得0325.02=s ，26.00325.08)1(2=⨯=-s n ，2σ的0.95置信区间为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----)1()1(,)1()1(22/1222/2n sn n s n ααχχ]1193.0,0148.0[1797.226.0,5345.1726.0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=（近似值），从而σ的0.95置信区间为]3454.0,1217.0[]1193.0,0148.0[=（近似值．教材答案为[0.1218，0.3454]）．。