正态总体参数的Bayes估计
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正态总体参数的Ｂａｙｅｓ估计
[摘要]本文讨论了正态总体的参数的Bayes点估计和区间估计，并举例说明了Bayes估计的基本思想。
[关键词]参数估计分布
在Bayes统计中，任一未知量都可看做随机变量，可用一个概率分布去描述，这个分布称为先验分布。
这是因为任一未知量都有不确定性，而在表述不确定性时，概率与概率分布是最好的语言。
著名的美国经典统计学家Lehmann.E.L在他的《点估计理论》一书中写到：“把统计问题中的参数看做随机变量的实现要比看做未知参数更合理些。
”Bayes学派认为一个事件的概率可以是人们根据经验对该事件发生可能性所给出的个人信念，这样给出的概率称为主观概率。
譬如，一位教师认为甲学生考取大学的概率是0.95，而乙学生考取大学的概率是0.5。
这是教师根据自己多年的教学经验和甲乙两位学生的学习情况而分别给出的个人信念。
这样的例子在我们的生活、生产和经济活动中也是常遇到的。
他们给出的主观概率不是随意的，而是要求当事人对所考察的事件有较透彻的了解和丰富的经验，并能对周围信息和历史信息进行仔细分析，在这个基础上确定的主观概率就能符合实际。
假如有历史数据，要尽量利用，帮助形成初步概念，然后作一些修正，再形成个人信念，这对给出主观概率大有好处。
但是，在获得样本之后，总体分布、样本与先验分布通过Bayes公式结合起来得到一个关于未知量新的分布——后验分布。
任何关于的统计推断都应该基于的后验分布进行。
1.Bayes估计
（1）在给定的统计决策问题中，根据参数的先验信息确定先验分布。
（2）样本的联合条件概率函数为\\）.
（3）样本X和参数的联合分布为\，它综合了总体信息、样本信息和先验信息。
（4）把联合分布进行分解\，其中是X的边际密度函数：=\，而能用来对作出统计决策的是条件分布\X）。
它的计算公式是，这个条件分布是的后验分布，它集中了总体、样本和先验中有关的一切信息。
在有了后验分布后，对参数的估计，必须建立在这个后验分布的基础上推出，
具体可结合使用者的要求处理。
Bayes估计常用的有三种方法：（1）若去后验分布的均值作为的估计，则称此为Bayes条件期望估计；（2）若取后验分布的密度函数最大值点作为的点估计，称为Bayes最大后验估计;(3)若取后验分布的中位数作为估计，称为后验中位数估计。
本文给出最常用的第一种方法。
例1 设总体X～，其中已知，而为未知参数，的先验分布为，其中>0为已知常数，为X的样本。
试求的Bayes条件期望估计。
